导数与函数的单调性（1大考点+8大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）原卷版

3.2导数与函数的单调性

目录

01课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、导数研究单调性................................................................3

常用二级结论......................................................................3

03探究核心题型....................................................................5

题型一：不含参函数的单调性........................................................5

题型二：含参数的函数的单调性一一次型...........................................5

题型三：含参数的函数的单调性一含指对一次型....................................6

题型四：含参数的函数的单调性一可因式分解二次型................................8

题型五：含参数的函数的单调性一不可因式分解二次型..............................9

题型六：含参数的函数的单调性——含指对二次型....................................10

题型七：利用单调性比较大小或解不等式............................................12

题型八：根据函数单调性求参数.....................................................12

04好题赏析（一题多解）..........................................................15

05数学思想方法...................................................................16

①数形结合.......................................................................16

②转化与化归.....................................................................16

③分类讨论.......................................................................16

06课时精练（真题、模拟题）......................................................18

基础过关篇........................................................................18

能力拓展篇........................................................................19

1/21

01课标要求

1、结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.

2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

3、会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.

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02落实主干知识

一、导数研究单调性

1、函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

在某个区间(。，6)内，①如果r(x)>0,那么函数/(工)在这个区间内单调递增

②如果那么函数/(X)在这个区间内单调递减

③如果/'(x)=0,那么函数/(x)在这个区间内为常数函数

2、求单调区间的方法：

①通过解不等式/〈X)20或广(力W0(等号可要可不要)；

②求/'(X)，并可适当整理，尽量将/(x)整理成(x-xj，(x-/)，…，口-乙)之积商的形式，借

助数轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性.

注意：⑴写单调区间时，正确表示方法是：多个单调区间之间用逗号隔开，绝对不能用符号“u”.

⑵若/(x)在某个区间上单调递增，则/。)20；若/(X)在某个区间上单调递减，则((x)WO；

⑶设N,x2G[a,b],且$H%，那么

①“*)―"'，)>0o(x]-x2)[/(x()-/(x2)]>()<=>/(x)在[a,/>]是增函数o/1x)20恒成立

$一%

②J(Ai)/(匕)<0=0_4)[/(再)-/(x,)]<0of(x)在[a,是减函数o广(x)W0恒成立

%一々

常用二级结论

1、含参数单调性讨论

第一步：求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是

一个连续的区间)

第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒

正或恒负，无需单独讨论的部分)

第三步：恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)

第四步：然后再求有效根

第五步：根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)

第六步：导数图像定区间

2、函数/(x)在区间内单调递增(或递减)，可得/'")之0(或/'(力乂0)在该区间恒成立，而不是

3/21

f(x)>0(或f(x)<0)恒成立，“=”不能少.必要时还需对“=”进行检验.

3、若函数/(x)在伍㈤内存在单调递增区间，则当xe(al)时，/0)>0有解；若函数小)在伍必内

存在单调递减区间，则当xe(a㈤时，/")<0有解.

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03探究核心题型

题型一：不含参函数的单调性

【典例1・1】(2025・湖北•模拟预测)下列函数在区间「,4］上单调递增的是()

A./(x)=—B./(x)=^-C./(x)=xln¥D.f(x)=x-\nx2

2—xc

【典例1-2】已知函数/(x)=e'+lnx.证明：/(x)在定义域内单调递增.

【解题总结】

确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是

不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.

【变式1・1】函数/(x)=lnx-2d的单调递增区间是()

【变式1・2】(2025•高三・山西运城・开学考试)函数/(x)=g--]nx的单调递减区间为()

A.(-U)B.(0,1)C.(1收)D.(0,+句

【变式1・3】(2025•四川达州一模)曲线/(x)=(x+m)e'W£R)在点(OJ(O))处的切线平分圆

(x-2)2+(y-2)2=5,则函数y=/(x)的增区间为()

A.(-8,T)B.(0,+<»)C.(T+8)D.(0,c)

题型二：含参数的函数的单调性——一次型

【典例2・1】已知“cR,函数/(x)=aln(x+l)-2x-2,当。例0时,讨论函数］(x)的单调性.

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【典例2-2】已知函数/(x)=|/-Inx—1,讨论/(x)的单调性.

【变式2-1】已知函数/(x)=xlnx+ad.

(1)若°=1，求/。)在工=1处的切线方程；

(2)设函数g(x)=/(x),讨论g(x)在区间(0,+」)上的单调性.

【变式2-2］已知函数/(x)=(x-1)lnx-x+a-3(aeR).

⑴若a=0,求〃x)的极小值；

(2)讨论导函数/'(X)的单调性.

【变式2-3］(2025•浙江绍兴•三模)已知函数/(x)=Hiw—x—1,“wR.

⑴若y=/(x)在工=正处的切线方程为歹二(%-1%+〃］，求实数机的值:

⑵讨论/(x)的单调性.

题型三：含参数的函数的单调性——含指对一次型

【典例3・1】已知函数/(幻=。'---1.

(1)当。=1时，求曲线歹=/(力在点处的切线方程；

6/21

⑵当工＞0时，讨论函数/*)的单调性.

【典例3-2】已知函数/3=2*-4门+川4-4”()).讨论/3的单调区间.

【变式3・1］已知函数/(x)=ae«—3)(“*()).

(1)若/(X)在x=l处的切线斜率为2,求切线方程.

(2)求/(X)的单调区间.

【变式3-2】设函数/3=“2=/,aeR.

⑴若〃0)=1，求曲线P=/(x)在x=0处的切线方程;

(2)求函数〃x)的单调区间.

【变式3・3］已知函数/(X)=C'-G-2.

⑴当。=2时，求曲线J=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程:

⑵求/(x)的单调区间.

7/21

题型四：含参数的函数的单调性——可因式分解二次型

【典例4・1】已知函数/*)=#-等/+X+6,其中。力wR.

(1)若函数y=/(x)的极小值为4,且在x=g处取到极大值，求函数〃x)的解析式;

⑵讨论函数/(幻的单调性.

【典例4・2】已知函数/'(x)=ox2-(a+2)x+lnx,aeR.

(1)若/(x)在x=l处的切线方程与直线y=2x垂直，求。的值并求函数/(》)在区间［1,3］的最值;

(2)若。＞0,试讨论/(无)的单调性.

【变式4-1】已知函数=+(3—2a)x-6lnx.

(1)当。=2时，求曲线y=/(x)在。J⑴)处的切线方程;

(2)当。＜0时，讨论函数/(X)的单调性.

【变式4-2］(2025•江西南昌•模拟预测)已知函数/(x)=2ar+(2-4)ln.E+L

⑴已知/(x)在X=1取得极值，求Q的值，

(2)当4＜0时，讨论/(X)的单调性；

【变式4-3】已知函数/(x)=x2-(6+a)x+3Hnx,其导函数为f(x).

⑴设/'(2)=-1.

8/21

①求。的值：

②求在(0,2)上的最大值.

⑵讨论/(x)的单调性.

【变式4-4］已知函数/(x)=gx2+(l-a)x-alnx(asR).

⑴当。=1时,求函数/(x)的极值；

(2)i寸论函数/(X)的单调性.

【变式4・5】已知函数/(x)=#-("+l)x+/nx,其中aeR.

⑴当“=1时，求曲线P=/(x)在x=l处的切线方程；

⑵讨论/(x)的单调性.

题型五：含参数的函数的单调性一不可因式分解二次型

【典例5・1】(2025・高三•山西晋城•期末)设函数/(x)=or2+ln(x+l).

(1)当〃=一(时，求曲线y=/(x)在点(0J(0))处的切线方程；

(2)当。＞0时，讨论/(x)的单调性.

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【典例5・2】已知函数/(工)=一/+》一加Inx.

⑴当〃?=1时，求的解集；

(2)当，"R时，求/(力的单调区间.

【变式5-1】已知函数/(x)=-e2，+6c〈aj讨论/(X)的单调性.

【变式5-2](2025•贵州黔东南•三模)设函数/")=lnx+x—加,aeR.

(1)若。=1,试求函数/(工)的极值；

(2)设g(x)=/(_),讨论g(x)的单调性.

题型六：含参数的函数的单调性——含指对二次型

【典例6・1】已知函数/(x)=e2、-(2x+a—2)/+；⑪2一2.

⑴若曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线与直线工+歹=0垂直，求。的值;

(2)讨论/⑴的单调性.

V

【典例6-2】(2025•福建福州•模拟预测)已知函数/(x)=log“：；一+如，。＞0且4Hl.

2-x

⑴求曲线y=/(x)的对称中心；

10/21

(2)证明：曲线y=/(x)在对称中心处的切线不过坐标原点;

(3)讨论/(x)的单调性.

参考数据：当XTO时，x\nx^O.

【变式6・1】(2025•湖北武汉•三模)已知函数/(x)=(x-2)cv--

\2

⑴若。=/，求函数y=/(x)在点尸(2,/(2))处的切线方程：

(2)讨论/(x)的单调性.

【变式6-2】已知函数/(x)=ae"-(a+2)e*+x.

⑴若a=1,求》=在点(0,/(。))处的切线方程:

(2)讨论/(x)的单调性.

【变式6・3】已知函数/(x)=e'(『+at+i)geR).

⑴当〃=0时，求曲线N=/(x)在点(0,〃。))处的切线方程:

⑵求/(x)的单调区间

【变式64】已知函数/(x)=ae2'+(a-2)c'—x+l,aeR.

(I)当。=1时，求/(4)的极值；

(2)讨论/(x)的单调性.

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题型七：利用单调性比较大小或解不等式

【典例7・1】(2025•高三・江苏•期天)已知实数x7满足闻则下列关系一定正确的

是()

A.x<yB.2x<yc.x<2yD.x>2y

【典例7・2】(2025・湖北武汉•三模)己知函数/(x)的定义域为(0,+纥)，对任意的XJ>0,均有

，⑴-/⑴J/仁+],且/(1)=—1,则下列结论中一定正确的是()

xy\y)

A./(2)<0B.2/(3)</(2)

“4)“⑶

D.3/(4)</(3)

，⑶/(2)

【变式7・1】定义在R上的函数y=/a)为奇函数，其导数为y'=/'(x),且当xw(ro,0]时，则

不等式/(X)-〃2022)之工一2022的解集是()

A.(2022,-hx))B.[2022,+oo)C.(-oo,2022]D.(-00,2022)

11,、9

【变式7・2]已知4=1ln(2e),/>=-ln(3e),c=/,则()

A.a>h>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c

【变式7・3】(2025•安徽蚌埠•三模)已知函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域都是R,若函数/(#是偶函

数，/'(x)+G+x也是偶函数,且/3)>/(3。-1),则实数〃的取值范围是()

A.口)11

C.

[42)

题型八；根据函数单调性求参数

【典例8-1】(2025•陕西•模拟预测)己知函数/(x)=(x-a卜r是R上的增函数，则()

A.a=hB,a=-C.a=\nbD.a=eh

b

【典例8・2】己知函数;若对任意两个不相等的实数项,当,都有二")>7,

则实数”的最大值为()

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A.0B.jC.1D.2

【解题总结】

1、函数/(x)在区间(。力)内单调递增(或递减)，可得/'(x)20(或/'(x)40)在该区间恒成立，而不是

/，(x)>0(或7(x)<())恒成立，“=”不能少.必要时还需对=,、进行检睑

2、若函数”切在(。/)内存在单调递增区间，则当xe(a⑷时，/'(x)>0有解；若函数/8)在他力)内

存在单调递减区间，则当时，/'(x)<0有解.

。丫+2costXW0

【变式8-1】已知函数/")二二'八在R上单调递减，则实数〃的取值范围是()

ax2--x-2a-4,x>0

A.[-3,-2)B.(—3,—2]C.[-3,—2]D.(-3,-2)

【变式8・2】(2025•高三•山西•开学考试)函数/(.丫)=«/4-〃13：-1)(其中”0,且。工1)是其定义域

上的单调函数，则实数。的取值范围为()

A.[e-c,l)U(l,+oo)B.[e-c,l)C.[e，l)D.(0©[

【变式8・3】已知函数/3=(2/+仆+1)-1("0)在上存在单调递减区间，则。的取值范围为

()

A.(0,l)u(4,+co)B.(1,4)C.0,g)u(8,+8)D.

【变式8-4](2025・高三・云南保山・期中)已知函数〃x)=ln(以+3)在区间(1,3)上单调递减，则实数。的

取值范围是()

A.—1<«<0B.-1<<0C.a<0D.a>-\

【变式8・5】(2025•河北•模拟预测)己知/(x)=f-〃氏g(x)=(x+W)e\两个函数图象至少有一个在

区间(-1,2)上不单调，则〃z的取值范围是()

A.(一2,4)B.(—3,0)C.(-3,-2)D.(—3,4)

【变式8・6】(2025•山东威海三模)已知函数/(.丫)=/-1吗*+1)(。>1)在(0,+8)上存在单调递减区间,

则。的取值范围是()

A.(l,e]B.(l,e)C.[e,+8)D.(e,+oo)

【变式8・7]若函数〃x)=lnx+aG-2在区间(；』)内存在单调递减区间，则实数。的取值范围是()

A._8,一g)B.(一(，+8)C.[―；，+8)D.(-8,+8)

【变式8-8】已知函数/(x)=ln(x2一时在(1,2)内单调递增，则实数。的取值范围是()

A.a22D.a>\C.D.a<\

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【变式8-9】函数/(工)=2/-。/+7的单调递减区间是(0,2),则。=()

A.6B.3C.2D.0

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04好题赏析（一题多解）

3111

1.己知。=一,/)=cos—,<?=4sin—,则()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>h

设a=0.1e°」,6=1,c=-ln0.9,贝I」()

2.（2022年新高考全国I卷数学真题）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

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①数形结合

1.已知函数/(幻=|?|,。="〃4)),Z>=/(/(In3)),c=/(八1))，贝■，&。的大小关系是()

A.a<c<bB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

2.已知a-4=InN<(),/)—3=ln—<0,c—2=ln—<0,则()

432

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.a<c<b

3.若/。)=[了「2丫・。，为我上的减函数，则a的取值范围为()

In(x+l)-x-l,x>t7

A.(-1,0]B.[0,1]C.(-1,1]D.[1,2]

②转化与化归

4.已知£>o,X,yw，且e"'siny=/sinx,则下列关系式恒成立的为()

A.cosx•cosyB.cosx开cosyC.sin.r•sinyD.sin.vHsiny

5.若函数/(x)=lnx+4——2在区间(；,2)内存在单调递增区间，则实数。的取值范围是()

A.(-8,-2]B.(--,+oo)C.(-2,--)D.(-2,+8)

88

6.若函数/G)=代-Inx在区间",+*)上单调递增，则实数2的取值范围是

4~,-2]B.(f-1]C.[2,+8)力.[1,网

③分类讨论

7.已知函数/(x)=(x—a—Dei咋—。)在H上单调递增，则方一。的最小值为()

1

A.0B.1C.-D.e

e

8.若函数/(x)=log“x+log.小是减函数，则实数a的取值范围是()

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9.已知函数/（x）=gM+x2+x+3在［0,2］上不单调，则。的取值范围是（）

，6,。）&（f-卞C（-11）

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[06课时精练（真题、模拟即）Q

基础过关篇

1.（2023年新课标全国H卷数学真题）已知函数/（1）=讹'-In.x在区间（1,2）上单调递增，则。的最小值为

（）.

A.e2B.eC.e-1D.e~2

2.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设若函数/（力=/+（1+“）'在（0,+“）上单调递增，

则〃的取值范围是—.

3.（2025•上海黄浦三模）若a、bwR,则“/>/”成立是“2a-sin〃>2b-sin/T成立的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

4.（2025•四川眉山・模拟预测）函数/（x）=d+（"l）f+（A+5）x+2在区间（0,3）上单调递减的必要不充分

条件是（）

A.ke(-00,-2]B.Are(-5,-2)C.ke(-5,-1)D.ke(—2,1)

5.（2025•北京海淀•三模）下列函数中，在（-8,0）上时单调递增函数的是（）

A./(力=同B./(x)=e+eC./(x)=ND./(x)=sin|x|

6.(2025・湖南长沙•二模)已知函数/(x)=sinx+cosx+WaeR)在R上单调递减，则实数。的取值范围

是()

A.[X/2,-KO)B.(-co,\/2]C.[-x/2,+oo)D.(TO,-应]

7.(2025・四川泸州・模拟预测)若实数满足ln(2o—3+2+21n(—〃)=0,则。一/)=()

C

c3e

A.-B.cC.—D.2c

22

8.（2025•江西新余•模拟预测）已知函数/（x）=（x-l）ln三，则不等式0的解集为

/X

（）.

A.（'l，2B.（呜'C.（L2）

9.（2025•湖北黄冈•模拟预测）已知。、fie0,^|,且ea-2sina—l=e"-2cos£=0，则（）

A.a>pB.a-P

C.a<pD.无法确定口、夕的大小

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10.（2025•江西萍乡•三模）记X,V为实数，设甲：y>x>0；乙：x—cosy<y-co&L则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.（多选题）（2025•湖北恩施•模拟预测）下列不等关系中，正确的是（）

A.cosO.l<lOsinO.lB.In3>In2+—

2

12.（多选题）（2025•海南•模拟预测）已知函数/（X）=（X+2）（X-I）2-4,则（）

A.点（。，-2）是函数/（"）图象的对称中心B.x=-l是函数“X）的极小值点

C.当一1<%<1时，-4</（2x）<0D.当一l<x<0时，f（2-x）>f（x）

13.（多选题）（2025•湖南长沙•三模）已知函数/（x）=e*l+cos2x,（xwR）,则下列判断正确的是（）

A.函数/（》）的图象关于N轴对称B.函数/（x）的最小值为2,无最大值

C.函数/⑺在（-兀,兀）上单调递增D.不等式的解集为6,+8）

14.（2025•山东泰安,模拟预测）已知函数/。）=。-1），+〃江+|）既有极大值又有极小值，且/*）在区间

（1,2）上单调，则机的取值范围是

15.（2025•山西•模拟预测）若函数/（上八"/…］）在区唱