福建省福州某中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

阶段小测卷二

一、单选题

1.若方程x2=m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的（）

A.1B.4C.7D.!

42

2.已知。，c互为倒数，则关于x的方程依2-x+c=0（-0）根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根

D.有一根为1

2

3.若双曲线了=一过两点（-1，乂）,（-3,“），则必与外的大小关系为（）.

X

A.必＞必B.必＜乃C.乂=乃D.必与必大小无法确

定

4.在同一平面直角坐标系中，一次函数J，=ax+力（«,方为常数，且。工0）的图象与反比

例函数

）,二他（"工0）的图象大致是（）

X

二、填空题

5.若函数y=5+1）/%是关于X的二次函数，则。的值为.

6.如图，△48c是。0的内接三角形，连接。8、OC,若匕历JC+乙8OC=180。，BC=26

cm，则OO的半径为cm.

7.圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216°，母线长为5,该圆锥的底面半径为

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8.设。，。是方程.d+x-2009=0的两个实数根，则/+2a+b的值为.

三、解答题

9.解方程：

⑴/+l=2(x+l)：

(2)2”2+刃=山+2).

10.已知：关于x的一元二次方程/一(2〃?+1卜+〃尸+防一2=0,求证：不论机取何值，方

程总有两个不相等的实数根.

11.甲，乙、丙三个旅行社都安排了到高邮的景点游览，若每个旅行社分别从湖上花海、珠

湖小镇这两个景点中选择一个游览，且选择每个景点的机会相等，请用画树状图或列表法,

求三个旅行社恰好选择了相同的景点游览的概率.

12.要闹一个矩形菜园力8co,其中一功力。是墙,口力。的长不能超过16m,其余的三功力

BC,CO用篱笆，且这三边的和为30m,当菜园力8。。面积最大时.的长是多少？并

求面积最大值.

菜园

BI-----------------1c

13.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中,

△"C的三个顶点45,5),3(6,3),C(2,l)均在格点上.

(1)画出将4力8。向左平移8个单位长度得到的444。1：

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⑵画出△/5C绕点C顺时针旋转90°后得到的“z4。；

（3）求线段CA在旋转过程中扫过的面积.

14.如图，已知抛物线y=x?・（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与

抛物线交于A、B两点，与x、y轴分别交于D、E两点.

（1）求m的值；

（2）求A、B两点的坐标；

（3）当-3VxVl时，在抛物线上是否存在一点P,使得APAB的面积是AABC面积的2

倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（1）尺规作图：如图，以。尸为直径作O。，交。。于£尸两点，连接O尸，PE,P/；（保留

作图痕迹，不要求写作法）

（2）在（1）的条件下，求证：PE,刊7是。。的切线；

⑶在（1）（2）的条件下，若点。在。。上（点。不与E,尸两点重合），且NEP/=50。，

则/EDF的度数为一.

16.如图，二次函数），=—+队+4与x轴交于点力（4,0）,例-1,0）,与丁轴交于点c

试卷第3页，共4页

(1)求函数表达式及顶点坐标；

(2)连接力C,点尸为线段/1C上方抛物线上一点，过点P作尸。轴于点。，交力。于点

H,当行/=2AG时，求点尸的坐标；

(3)是否存在点〃在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得"MN是以8N为斜边的等腰

直角三角形，若存在，直接写出点〃的横坐标；若不存在，请说明理由.

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1.D

【详解】因为x2=m,所以x=±J£,x是有理数，所以m不能取措.

故选D.

2.C

【分析】根据一元二次方程的一般式以2,丫+。=0（。。0）可知根的判别式△=〃—4"<0解

答即可.

【详解】解：•.•〃，。互为倒数，

:.4C=1,

,•・关于x的方程的一般式为：av2-x+c=O（a^O）,

•••A=Z>2—4ac=1—4=—3<0♦

•••关于X的方程公2-％1。=0（。*0）无实数根，

故选C.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的

关键.

3.B

【分析】根据反比例函数的性质判断即可.

【详解】解:v2>0

・••反比例函数在每一象限内y随x增大而减小

v-l>-3

•,J<力

故选B.

【点睛】此题考查的是反比例函数图像的性质，掌握当k>0时，在每一象限内y随x增大

而减小是解决此题的关键

4.C

【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象所在象限判断

。，力的正负，进而判断面的正负，得出反比例函数图象应该所在的象限，逐项判断可得答

案.

【详解】解：A,由一次函数图象在第一、三、四象限，可得a>0,b<0,进而可得

答案第1页，共1（）页

必＜0,则y=帅工0）的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意；

B,由一次函数图象在第二、三、四象限，可得进而可得必＞0,则1=或（而00）

X

的图象应该在第一、三象限，而不是第二、四象限，不合题意；

C,由一次函数图象在第一、三、四象限，可得进而可得必＜0,则y=K（而工0）

X

的图象应该在第二、四象限，符合题意；

D,由一次函数图象在第一、二、四象限，可得4＜0"＞0.进而可得时＜0,则尸艺（而工0）

X

的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意；

故选C.

5.1

【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如了=。/+公+。（其中4、b、C是

常数，且。工0）的函数叫做二次函数，据此求解即可.

【详解】解：•.・函数了=（。+1）一”是关于X的二次函数，

＞?+1=2

•・[a+lwO'

a=I,

故答案为；1.

6.2.

【详解】解：如图作O£18C于£

-Z-BAC+/.BOC=\SO0,乙B0C=2乙A,：/BOC=120。,zU=60°.^OElBC,:.BE=EC=6

（BOE=zXJOE=60°,：WBE=3（",：QB=2OE,设OE=x,O8=2x,•••4x2=x2+（百）2,.♦.尸1,

：.OB=2cm.故答案为2.

点睛：本题考查了三角形的外心与外接圆、圆周角定理.垂径定理、勾股定理、直角三角形

30度角性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所

答案第2页，共1（）页

学知识解决问题，属于中考常考题型.

7.3

【分析】设该圆锥的底面半径为r,利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于

216^-5

圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2引・=—然后解关

1OU

于厂的方程即可.

216•一・5

【详解】设该圆锥的底面半径为尸，根据题意得2m•二解得，*=3.故答案为3.

」：1°8：0\

【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的

弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

8.2008

【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值.熟练

掌握一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.

由题意知，/+"2009=0,a+b=-l,根据/+2。+〃=(/+。)+(4+〃)，代值求解即可.

【详解】解：由题意知，4-^-2009=0，a+b=-\,

:.a2+a=2009

.-.a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2009-1=2008,

故答案为：2008.

9.(l)x,=1+72,?=”应

(2)M=-2,y2=~

【分析】本题主要考查解一元二次方程，热练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键.

(1)方程整理后运用配方法求解即可；

(2)方程移项后运用因式分解法求解即可.

【详解】(1)解：x2+l=2(x+l),

X2-2(.V+1)+1=0,

.v2-2x-l=0,

X2-2X=\,

x2-2x+1=2»

(xlf=2,

答案第3页，共10页

X-\=±5/2，

•••X)=1+5/2,x2=1-5/2；

(2)解：2y(2+丁)=-(丁+2),

2)，(2+力+(歹+2)=0,

2，(y+2)+(y+2)=°,

(y+2)(2y+l)=0,

y+2=(),2y+l=(),

01

工必=-2,^2=--.

10.见解析

【分析】本题中耍考杳了一元二次方程根的判别式，耍证明方程总有两个不相等的实数根就

是证明其判别式永远都是一个正数，因此只需要证明判别式大于()即可；对于一元二次方程

a/+6+。=0(〃工0),若A=/—4ac>o,则方程有两个不相等的实数根，若△=〃-4枇=0,

则方程有两个相等的实数根，若A=〃-4w<0,则方程没有实数根.

【详解】证明：,.,△=[一(2/〃+1)]2-4(〃/+〃7-2)

=+4m+1-4m2-4m+8

=9>0,

••・不论m取何值，方程总有两个不相等实数根.

【分析】本题考查了树状图法和列表法，利用树状图法或列表法展示所以等可能的结果〃,

再从中选出符合条件的结果数目〃?，然后利用概率公式计算即可.画树状图展示所有8种等

可能的结果数，再找出三个旅行社恰好选择了相同的景点游览的结果数，然后根据概率公式

求解.

【详解】把湖上花海、珠湖小镇这两个景点分别记为力、B,

画树状图如下：

答案第4页，共1()页

开始

甲AB

/\/\•••共有8种等可能得结果，其中甲、乙、丙三人

乙ABAB

AAK

丙ABABABAB

选择相同景点的结果有2种，

21

・•・甲、乙、丙三人选择相同景点的概率为

84

12.4?的长为蓝m,矩形片BC。的面积为争m?

【分析】此题主要考查了二次函数的应用，读懂题意,找到数量关系准确地列出二次函数是

解题的关犍.根据矩形的面积公式列二次函数即可解答.

【详解】解：设/B的长为巾，矩形/8CO的面积为.yn?,贝IJ8C的长为（30—2力m,

由题意得：y=x（30-2x）,即尸_2卜-"[+•，

<2）2

其中0430—2》<16,BP7<x<15,

v-2<0,开口向下，且满足7Km<15,

••・当X吟时，­=等，

1s7?5

答："的长为jm,矩形488的面积为手nf.

13.⑴见解析

（2）见解析

⑶手

【分析1（1）根据平移的性质即可画出图形；

（2）根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点出的坐标:

（3）由勾股定理得0=5,再代入扇形面积公式即可.

【详解】（1）解：如图，△44G即为所求；

（2）解：如图，△4层。即为所求；

答案第5页，共10页

Ay

(3)解：由勾股定理得C4uVF彳=5，

线段CA在旋转过程中扫过的面积为世工二二过.

3604

【点睛】本题主要考查了作图•平移变换，旋转变换，扇形的面积等知识，熟练掌握平移和

旋转的性质是解题的关键.

14.(1)m=3；(2)点A的坐标为(1,4),点B的坐标为(6,9)；(3)存在，P

,7-V7337-6、

V---------,-----------/•

22

【详解】试题分析：(1)由顶点在x轴上知它与x轴只有一个交点，即对应一元二次方程中

△=0,可得关于m的方程，求解即可得m；

(2)联立抛物线与直线解析式可得方程组，求解即可得A、B坐标；

(3)设点P(a,b),作PTlx轴交BD于点E,ARlx轴,BSlx轴，分别表示出AR、

BS、RC、CS、RS、PT、RT、ST的长,根据S.ABLS秘彩ARSB-S.ARC-S^BCS求出S^ABC，

由SAPAB=S悌形PBST-S梯形ABSR-S梯形ARTP表示出S“AB，根据aPAB的面积是AABC面积的2

倍可得a、b间关系，代入抛物线解析式即可求得.

试题解析：(1)•.•抛物线的顶点在x轴上，

・•.它与x轴只有一个交点，

(m+3)2・4x9=0,

解得m=3或m=-9,

又•••抛物线对称轴大于0

一(〃?+3)口门

•••-」---^>0,即m>-3,

2

•••m=3；

答案第6页，共10页

(2)由(1)可得抛物的解析式为y=x2・6x+9,

y=x-6x+9，解得IMx=6

解方程组或，

y=x+3y=9

•••点A的坐标为(1,4),点B的坐标为(6,9)；

(3)存在，

设点P(a,b),如图，作PTlx轴交BD于点E,AR_Lx轴，BS_Lx轴,

••.AR=4,BS=9,RC=3-1=2,CS=6-3=3,RS=6-1=5,PT=b,RT=1-a,ST=6-a,

•••S^ABLS格形ARSB-SAARC_SABCS=x(4+9)x5--x2><4-—*3x9=15,

SAPAB=S楼形PBST-S他形ABSR-S梯彬ARTP

=1x(9+b)(6-a)-gx(4+9)x5-1x(b+4)(1-a)

222

=!(5b-5a-15),

2

又,」SapAB=2SAABC，二；(5b-5a-15)=30,.-.b-a=15,b=15+a,

•••点、P在抛物线上，b=a2-6a+9»15+a=a2-6a+9,

•••a2-7a-6=0,解得：a=：.,

2

“「7-V73.—37-V73

v-3<a<1,•••a=----------，•,•b=15+a=-------------，

22

”(』，37-V73k

22

15.(1)见解析

(2)见解析

答案第7页，共10页

(3)65。或115。

【分析1(1)如图1,连接OP,作的垂线交OP于点。'，以O'为圆心，08为半径画圆，

连接PE,Pb即可；

(2)如图1,连接0E，由OP为直径,可得NPEO=/PFO=90。，即OE_L尸E,0尸1尸E,

进而结论得证；

(3)如图I,D,D1,由题意知，AEOF=3600-ZEPF-APEO-APFO=130°,由圆周角

定理可得=由圆内接四边形可得，的,=180。-NEDF；计算求解即可.

【详解】(1)解：如图1,连接。尸，作。尸的垂线交。尸于点。，以O'为圆心，。'尸为半径

图1

(2)证明：如图1,连接OEOF,

•••OP为直径，

："PEO=4FO=9/,即OE_LPE,OF上PF,

•：OE,竹是半径，

：.PE,刊7是0。的切线；

(3)解：如图1,D,。'，

由题意知，NEOF=3600-NEPF-NPEO-NPFO=130°,

■:箴=箴，

:.NEDF='NEOF=65。；

2

由圆内接四边形可得，NED下=180°-NEDF=115°：

综上所述，/石。尸的度数为65。或115。，

故答案为：65。或115。.

答案第8页，共10页

【点睛】本题考查了作垂线，直径所对的圆周角为直角，切线的判定.圆周角定理，圆内接

四边形的性质等知识.熟练掌握作垂线，直径所对的圆周角为直角，切线的判定.圆周角定

理，圆内接四边形的性质是解题的关键.

16.(l)y=*+3x+4；

⑵以2,6)

⑶存在；上区或上叵或引二昼或生叵

2222

【分析】(1)利用待定系数法求出二次函数解析式，并转化为顶点式，即可求出顶点坐标：

⑵先求出直线力。的解析式,设点P(〃)〃/+3〃?+4),则〃(〃?,-〃?+4),则刊/=—/+4加，

HQ=-m+4,根据阳=2修，列出关于机的方程，解方程即可；

(3)过点M作石厂〃》轴，交对称轴于点凡过点B作BE1EF于点E,证明

△BEMAMFN,得出庭=M/,设点+3s+4|,则=H+3$+],

""=|-s,得出卜2+3$+4|=«|-S,求出s的值即可.