等式性质与不等式性质（跟踪训练）-2026年高考数学一轮复习

第3讲等式性质与不等式性质

一.选择题（共10小题）

1.（2025•孝感模拟）已知a>〃，则下列不等式中一定成立的是（）

.11

A.一<一B.a2>h2C.Ina>InbD.r-h>1

ab

2.（2025春•浙江期中）设a,bcR,若-1<分<4<0,则下列不等式中不正确的

是（）

11

A.a2<b2B.—<—C.ab<h2D.a+b>-\

ab

3.（2024秋•安徽期末）己知一3”a+b„—2,\na-h„4，则3〃+力的取值范围是（

)

A.[-3,0]B.[—5，3]C.[-5,0]D.[-2,5]

4.（2025•海淀区模拟）设a,bwR,则（)

ab

A.a<hB.\a\<\b\C.a+b>ahD.2a<2h

5.（2025•河北模拟）已知a>0,匕>0,2a+b=l,则的最小值为（）

ab

A.2B-IC.4D.9

6.（2025•湖南模拟）下列命题为真命题的是（）

A.若a>b,c>dia-c>b-dB.若a>b,c>0,则ac>6c

C.若a>b,贝D.若a>b>c,则">Z?c

ab

7.（2025•广西模拟）〃=八/侬2,c=亚-1,则a,b,。的大小关系是（

)

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

8.（2025春•渭滨区月考）设a,beR,且QVZJVO,贝4（)

.11ba.

A.一<一B.h2>abc.j疯D.—+—>2

ab2ab

9.（2025春•皇姑区期中）己知a,b,ccR,则下列不等式中一定成立的是（

)

A.若a>b,则|a|>|Z)|B.若a>b>c>(),贝I]—^―>—^―

a+cb+c

C.若a<b<0,贝|J1<D.若a>b,则0

ab

10.（2024秋•龙岗区期末）下列命题是假命题的为（）

A.若a>b,则a/>人/B.若口>b,c>d则a+c>b+d

C.若q>方>0且c・<0,则二>二D.若a>b>-1,则一!一<—!—

a'b~a+\Z）+1

二.多选题（共4小题）

（多选）11.（2025•临沂二模）已知Q>/AC,则下列不等式正确的是（）

A.—!—<—!-B.ah1>cb2C.a+b>cD.a2+c2>b2

a-ca-b

（多选）12.（2025•聊城二模）已知实数a,〃满足仍>0,则（）

A.a-\-b<ah

C.若a>b,5JlJ-<-

cib

D.若avb,/«>0»则巴v"（b+/0）

bb+m

（多选）13.（2025•凉州区模拟）已知L<L<0,则下列不等式正确的是（）

ab

A.—!—<—B.\a\+b>0C.Ina2>bib2D.«-—>/）--

a+hahab

（多选）14.（2024秋•雨山区期末）下列命题为真命题的是（）

A.若则4c2>从2B.若口>/）>0,则片〉〃

C.若a>b>c>0,则——<—5—D.若a>b>c>0,则）>"。

a-cb-caa+c

三.填空题（共4小题）

15.（2024秋•邵阳期末）己知」<生，则a+2〃的取值范围为—

2323

16.（2025•深圳开学）己知+2<a-b<4,P=a+3b,则P的取值范

围是•

17.（2024秋•信阳期末）若实数q,b>c满足b+c=342-4a+6,b-c=a~-4a+4f

试确定a,b,。的大小关系是.

18.（2024春•崂山区期中）已知4va<6,3。<4,则竺女的取值范围

b

是—.

四.解答题（共6小题）

19.（2024秋•通辽期中）（1）若XGR,试比较3f+6x与4/-2x+16的大小;

（2）已知-5<x<4,2<y<3.求x-2y的取值范围.

20.（2024秋•拱墅区期末）已知-2ux-”0,l<2x+y<3.

2

(1)分别求x与y的取值范围；

(2)求8x+y的取值范围.

21.(2024秋•单县期中)已知2<8<8.试求：

(1)2a+3b的取值范围.

(2)4T的取值范围.

22.(2023秋•长安区月考)已知1VQV4,2<Z><8,分别求：

(1)2a+36的取值范围；

(2)a〃的取值范围；

(3)乌的取值范围.

h

23.(2024秋•府谷县月考)已知实数4,b满足1。〃+几8,3”〃-64.

(1)求实数”，6的取值范围；

(2)求2a-5b的取值范围.

24.(2024秋•禅城区月考)(1)已知12<a<60,15<6<36.求a—6和f的取俏

b

范围.

(2)已知()<〃+力<2,-\<b-a<\,求2。-力的取值范围.

3

答案

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案DDCBCBBDBA

二.多选题（共4小题）

题号11121314

答案ADBCADBC

一.选择题（共10小题）

1.【答案】D

【分析】举例说明初C错误；直接证明。正确.

【解答】解：对于彳，当a=l,仁-1时，1>1,故力错误；

ab

对于8,当a=l,5=-1时，a2=b2r故4错误；

对于C,当4=1,方=-1时，/〃〃>/〃〃不成立，故C错误；

对于O,由。>力，得”方>0,贝故。正确.

故选：D.

2.【答案】D

【分析】结合特殊值法，以及作差法，即可求解.

【解答】解：一1<b<a<0,

贝lj（J一〃，=（a一与5+/））<o,B|Ja2<b2f故力正确；

1_1=^<0,即_L<L故8正确；

ababab

2

ab-b=b（a-b）<0t故C正确；

令b=-0.6,a=-0.5f满足-lvbva<0,但a+bv-l,故。错误.

故选：D.

3.【答案】C

【分析】根据不等式的性质求解.

4

【解答】解：因为3a+8=2（a+8）+（4-/?）,

又-3”ci+b„-2,lnci—b„4,

所以一6”2（。+'）”-4,

即—5„2（。+b）+a—b„0,

所以3a+力的取值范围是[-5,0].

故选：C.

4.【答案】B

【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断.

【解答】解：若LL。，则〃<〃<0,4错误；

ab

所以8正确;

由Z）<Q<0可得〃+b<0,ab>Of

故a+b<ab,C错误；

由b<a<0可得，2"<2"。错误.

故选：B.

5.【答案】C

【分析1应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值.

【解答】解：由24+/』，稣0,方>0,得\@=生心+@=2+2+&4,

ababab

当且仅当4=力且2〃+八1,即4=/>=；时取等号.

故选：C.

6.【答案】B

【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断.

【解答】解：当a=2,b=l,c=1»d=0时，力显然错误；

因为c、0,由不等式性质可得.>如，“正确；

当〃=],6=-1时，。显然错误；

当c=0时，。显然错误.

故选：B.

7.【答案】B

【分析】结合对数恒等式化简a，结合对数函数单调性确定力的范围，即可比较

a>b,c的大小.

【解答】解:。=夕"3=e'"§=；,b=log2>log2V2=,c=&-le（；,g）,

5

故b>c>a•

故选：B.

8.【答案】D

【分析】44C选项，可举出反例；。选项，利用基本不等式进行求解.

【解答】解：力选项，当"-2,6=7时，l==故力错误;

a2bab

8选项，当。=一2,6=-1时，Z)2=1,ab=2,b2<abf8错误；

C选项，当白=-2,6=-1时，&+b==五,,C错误；

222

。选项，当"。<0时，->0,->0,由基本不等式可得@…2叵7=2,

abah\ah

当且仅当2=@,即q=/)时，等号成立，但〃工人故等号取不到，

故2+0>2,。正确.

故选：D.

9.【答案】B

【分析】利用特殊值法可判断力。错误，利用作差法计算可得6正确，再由不等

式性质可得。错误.

【解答】解：对于A,当白=-1>力=-3时，可知|G|>网不成立，故4错误；

对于8,因为a>b>c>0,可得

a(b+c)c(…>0；

a+cb+c(a+c)(b+c)(a+c)(b+c)(a+c)(b+c)

所以，故片正确;

a+ch+c

对于C,由avbvO,可得:<一，故C错误;

2

对于O,a>b9当c=0时，c(a-/>)=0,故。错误.

故选：B.

10.【答案】A

【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断.

【解答】解：当c=0时，4显然为假命题；

若a>b,c>d,则a+c>/?+d,8为真命题；

若0〃>()且c<(),则二〉:，C为真命题；

a'b'a'b'

若4>b>-1,则4+1>6+1>0,

所以_L<_L,。为真命题.

«+1b+1

故选：A.

二.多选题(共4小题)

6

11.【答案】AD

【分析】对于力，可以用作差法判断，对于8C,举反例判断即可，对于。，分

Z>>0,b=0,b<0二种情况讨论即可判断.

【解答】对于力，-——j_=(a-6)-(a-c)=c-b,因为"力〉〜

a-ca-b(a-c)(a-b)(a-c)(a-b)

所以c一力<(),a-c>().“一/)>(),即———<0,所以故4正确

(a-c)(a-b)a-ca-b

12

对于8,当b=0时，ab=cb=0f故8错误；

对于C,取a=-1>b=-2>c=-3,则a+b=c=-3,故C错误，

对于。，若a>0>b>e,则a21c2>J>〃成立,

若a>b=0>c,则/=o显然成立，

若a>力>0>c,则/成立，

综上所述，只要4>/?>c,就一定有故。正确.

故选：AD.

12.【答案】BC

【分析】由己知结合不等式性质及基本不等式检验各选项即可判断.

【解答】解：因为实数a,b满足必>0,

当4<0,人<()时，力显然错误；

泊之2后=2,当且仅当〃=力时取等号，8正确；

当a>b,”/)>O0寸，—-——<0>BP—<—,C正确；

ababab

若a=—2,Z>=-1,〃?=2时，'满足av/),>0>但—=2»°=0>。显然错

bb+m

误.

故选：BC.

13.【答案】AD

【分析】由‘<L<(),可得()>“>/>.再利用不等式的基本性质逐一判断即可.

ab

【解答】解：由■!■<■!■<(),可得0>心人.

ab

所以，故彳正确；

a+bab

因为0<-av-b»

所以|a|<-/),即|a|+〃<0,故8错误；

由可得a2cb"所以加［</加,故。错误;

由2_<_1<0,可得又。>人

abab

所以故。正确.

ab

7

故选：AD.

14.【答案】BC

【分析】利用不等式的性质，结合作差比较大小的方法，逐项判断即得.

【解答】解：对于4,取。=0,彳显然错误；

22

对于8,若a>b>0,Ma-b=(a+b)(a-b)>0f即B正确;

对于C,若a>b>c>0,则”—b>0,a-c>Ofb-c>0,

所以」——L=…>(),则，<，，。正确；

b-ca-c(a-c\b-c)a-cb-c

对于。，若心〃则”如£=地+£)二0+。)=必6-(),则2V也，。

aa+ca(a+c)a{a+c)aa+c

错误.

故选：BC.

三.填空题(共4小题)

15.【答案】江，色).

23

【分析】由已知结合不等式的性质即可求解.

【解答】解：因为—£=<£二<尸<二,即不<2.<生，

23233

所以•^■<a+2/7〈号.

故答案为：(工，变).

23

16.【答案】{P|-6<P<4}.

【分析】利用换元法，结合不等式性质，可得答案.

_m+n

【解答】解：令?+产"，则”2,

a-b=n,m-n

b=----

2

即P=2m-n,

,{-\<a+h<3口n(-l<加<3—TZF1I-2<2ni<6n.i

1\2<a-b<^即《，可得《，贝lJ—6vP<4.

2<〃<4-4<-n<-2

故答案为：{P|-6c尸<4}.

17.【答案】b...c>a.

【分析】通过配方得b-c=(2)2..O,所以析c.将条件中的两个式子相减,整

理得c=〃2+2,由c-a>0得c>a.所以c>a.

【解答】解:因为6-。=。2一4。+4=(>-2)2..0,所以b...c.

8

由条件有2c=(3/—4。+6)—伍2—4。+4)=2。2+2，即。=。2+2，

f'HsVkc-a=a2-ci+2=(a--)2+—>()>所以e>“.

24

故答案为：b...c>a.

18.【答案】(2,3).

【分析】首先变形牛，再转化为求？的范围.

bb

【解答】解：由题意可知，—=-1,

bb+

4<a<6,,WJ1<-<2,所以2<色+1<3.

463bb

故答案为：(2,3).

四.解答题(共6小题)

19.【答案】(1)4X2-2X+16...3X2+6X;(2)-ll<x-2v<0.

【分析】(1)作差后再配方即可；

(2)根据y的范围可求出-y的范围，进而可得出x-2.y的范围.

【解答】解：(1)•/4X2-2x+16-(3x2+6x)=x2-8x+16=(x-4)2...0,

4x2—2x+16...3x2+6x;

(2)由题设，-6<-2><-4,而-5<x<4,

/.11<x2y<0.

20.【答案】(1)实数x的范围为(-1,1),y的范围为(最令；(2)(-1,9).

【分析】(1)不等式-2<x-"0①，lv2x+”3②，然后利用①+②，②+①x(-2)

分别求出x,y的范围；(2)利用)①x2+②x3即可求解.

【解答】解：(1)不等式-2<x-y<0①，l<2x+y<3②，

①+②可得：-1<3工<3,解得」<x<l,

3

②+①x(-2)可得：1V3JY7,解得

所以实数x的范围为(―，1),.”的范围为(；g);

(2)①x2+②x3可得：-1<8x+y<9,

即8x+y的范围为(-1,9).

2L【答案】(1)(8,32);

9

(2)(-7,2).

【分析】(1)利用不等式的性质计算即可；

(2)利用不等式性质计算即可.

【解答】解：(1)由2<人<8可知2v2”8,6v3bv24,

所以8<2。+3力<32,

故2〃+36的范围为(8,32);

(2)由2vbv8可知-8<-6〈-2,

所以7<ab<2,

故〃+力的范围为(-7,2).

22.【答案】(1)(8,32);

⑵(-7,2);

(3)(：,2).

O

【分析】根据不等式的性质，即可求所给式子的范围.

【解答】解：(1)由题可知，2<2a<8,6v3〃v24,所以8<2。+38v32,

则2a+3b的取值范围为(8,32);

(2)由题可知,l<a<4,-8<-Z><-2,所以-

则a-b的取值范围为(-7,2);

(3)由题可知，1<”4,,所以1<色<2,

8b28b

则：的取值范围为((，2).

23.【答案】(1)[2,6],[-翡];

⑵学.

【分析】(1)用己知式子a+力，a-b表示a,b,利用不等式的性质求解范围即

可；

(2)用已知式子心8，a-8表示2a-5b,利用不等式的性质求解范围即可.

【解答】解：(1)因为La+",8,3„a-h„4,

所以4”3+6)+m-6),,12,

所以2”％6，

即实数〃的取值范围为[2,6].

10

因为方=+b)-(a-/>)]=-[(a+b)+(b-a)],