第一章 空间向量与立体几何（知识清单）挖空版-人教A版高中数学选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何

思维导图

知识清单

清单01空间向量的加法、减法运算

1、空间向量的位置：己知空间向量可以把它们平移到同一平面a内，以任意点。为起点，作向量

OA=a,OB=b

2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量从。二力，则向量0。叫做向量外〃的和.记作

即OC=AC=a+b

3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量胡叫做〃与力差，记作〃-力，即

BA=OA-OB=a-b

4、空间向量的加法运算律

（1）加法交换律：a+h=h+a

⑵加法结合律：a+〃+c=a+e+c）

清单02空间向量的数乘运算

1、定义：与平面向量一样，实数4与空间向星〃的乘积仍然是一个向星.，称为向量的数乘运算.

2：数乘向量与向量〃的关系

义的范围Aa的方向ka的模

2>0Xa与向量〃的方向_____

2=0Xa=0»其方向是_____

2<0与向量〃的方向_____

清单03共线向量与共面向量

1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相，则这些向量

叫做或,若〃与方是共线向量，则记为

在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：

（1）零向量和空间是共线向量.

（2）共线向量不具有传递性，如。〃瓦力〃c,那么q〃c不一定成立，因为当6=0时，虽然〃//b,b//c,

但〃不一定与c共线（特别注意0,0与任何向量共线）.

2、共线向量定理：对空间任意两个向量。,伙力工0）,。的充要条件是,使

2.1共线向量定理推论：如果/为经过点4平行于已知非零向量。的直线,那么对于空间任一点。，点P在直

线/上的充要条件是存在实数，，使0。=。4+S①，若在/上取=则①可以化作：OP=Q4+rA8

2.2拓展（高频考点），对于直线外仟意点O.空间中二点只4月共线的充要条件是

其中___________

3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.

3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量p与向量心力共面的充要条件是存在唯一的有序实

数对（x,y）,使

3.2空间共面向量的表示

如图空间一点尸位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对,使AP=xAB+yAC.

图3.1-15

或者等价于：对空间任怠一点O,空间一点〃位于平面ABC内（RA,⑸。四点共面）的充要条件是存在

有序实数对（MV）,使OP=QA+xAB+），4C,该式称为空间平面A3c的向量表示式，由此可知，空间中任

意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

3.3拓展

对于空间任意一点。，四点RCA8共面（其中CA8不共线）的充要条件是（M

i.

清单04空间两个向量的夹角

1、定义：如图已知两个非零向量G,/九在空间任取一点0,作=〃，0B=b，则么NAOB叫做向量。力

的夹角，记,（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）

ObBObB

11

2、范围：v4].

特别地，⑴如果va,八杉，那么向量“为互相,记作.

（2）由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量,夹角为；反向时，夹角为万，

故<a,b>=0（或<a,b>=乃）<=>a/lb（a,〃为非零向量）.

清单05空间向量的数量积

1、定义：已知两个非零向量b，则叫做a，8的数量积，记作。包；即.规

定：零向量与任何向量的数量积都为.

特别提醒：两个空间向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；

2、空间向量数量积的应用

（1）利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题；

（1•h

⑵利用公式cos可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题；

\a\\b\

3、向量Q的投影

3.1.如图（1）,在空间，向量a向向量〃投影，由于它们是自白向量，因此可以先将它们平移到同一个平

----b

面戊内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量匕共线的向量c，c=|^lcos<«,/?>—向量°称为向

1例

量〃在向量。上的投影向量.类似地，可以将向量〃向立线/投影（如图（2））.

3.2.如图（3）,向量〃向平面夕投影，就是分别由向量〃的起点A和终点B作平面夕的垂线，垂足分别为

4,B',得到A8'，向量A8'称为向最。在平面夕上的投影向量•这时，向量〃，A3’的夹角就是向

量〃所在直线与平面夕所成的角.

4、空间向量数量积的几何意义：向量a，h的数量枳等于Q的长度|。|与力在〃方向上的投影的

乘积或等于b的长度|以与4在/7方向上的投影的乘积.

清单06空间向量基本定理

如果向量三个向量4,不共面，那么对空间任意向量P，存在有序实数组｛x,y,z｝,使得

清单07空间向量运算的坐标表示

设。=@,a2,%），加他，%%）,空间向量的坐标运算法则如下表所示：

运算坐标表示

加法

a+b={a{+瓦,%+瓦，%+4)

减法a-b={a-bvga3—hy)

数乘

数量积ab=a向+42匕2+0363

清单08空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示

1、两个向量的平行与垂直

a-{aea2,%)力=(d，b2,4)

%=独

平行(a\h)ab(bw0)=a=劝。，a2=2b2(2e/?)

-a',=AhJ.

垂直（a_L8）aJ-b<=>ab=O^>a]bl+a2b2+a3b2=0(a,b均非零向量)

%=独

特别提醒：在4=｛生=4%（4£氏）中，应特别注意，只有在b与三个坐标平面都不平行时，才

%=劝3

能写成微=长=例如，若b与坐标平面火力平行，则打=o,这样上就没有意义了.

2、向量长度的坐标计算公式

2

若a-{av的4)，则Ia|=\j\a\=\[a~={a：+aj+'即

空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式•致，它的几何意义是表示长方体的

体对角线的长度

3、两个向量夹角的坐标计算公式

1Sa=(a,,a2,a^b-(bvb2,&),则___________________________________

4、两点间的距离公式

已知4(%,y,4),8(/,%,z2),则___________________________________

清单09空间中直线、平面的平行

设直线4,4的方向向量分别为a，b，平面。，£的法向量分别为〃，团，则

线线平行《14=aII8<=>_________(-wR)

线面平行41|aoQj_〃0_________

面面平行QII1=〃I=_________

清单10空间中直线、平面的垂直

设苜线/[的方向向量为〃=(q,々，6),直线的方向向量为〃=(生也，G),平而。的法向量〃=(w，y,/J,

平面夕的法向量为〃7=(工2，%，22)，则

线线垂直1\112=_=

线面垂直/)Laa\n<=>_______

面面垂直

清单11点到线面距离

1、点到直线的距离

已知直线/的单位方向向量为"，A是直线/上的定点，尸是直线/外一点,设AP=o,则向量AP在直线/

上的投影向量AQ=(a・〃)〃，在RfAAPQ中，由勾股定理得：

u

AQ

2、点到平面的距离

如图，已知平面。的法向量为〃，A是平面夕内的定点，P是平面。外一点.过点P作平面a的垂线/,

交平面a于点Q,则〃是直线/的方向向量，且点P到平面。的距离就是AP在直线/上的投影向量。尸的

清单11用向量法求空间角

1、用向量运算求两条直线所成角

已知a,6为两异面直线，4，与8,〃分别是a,6上的任意两点，a,6所成的角为。，则

①_______________________

②____________________.

2、用向量运算求直线与平面所成角

设直线/的方向向量为平面。的法向量为〃，直线与平面所成的角为。，〃与〃的角为。，则有

®_______________________

②一.（注意此公式中最后的形式是:sin。）

3、用向量运算求平面与平面的夹角

如图，若B4J_a于儿PB上0于■B,平面阳8交/于£,则/力所为二面角二一/一夕的平面角，NAE//

力峰180°.

若％・〃2分别为面。，口的法向量

0_______________

②cos。根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；

若二面角为锐二面角（取正），则_______________________一

若二面角为顿二面角（取负），则_______________________一

易错总结

易错点1混淆异面直线所成角和向量的夹角

错误：易忽略异面直线夹角的范围为（0，］，而向量的夹角是。泪

注意：注意向量法求异面直线所成角最后要考虑异面直线所成角范围

例题1・1如图，四棱锥S-人BCO的底面是正方形，5。_1_平面/WC。，点七为SC中点，SD=AD,则异面

直线E8与AC所成角的余弦值为（）

C.男D.一直

66

例题1-2在正四面体A3c。中，点M在BC上，且3M=2CM,则异面直线AM与。。所成角的余弦值

为.

易错点2混淆线面角与向量夹角关系

错误：若直线与平面所成的角为仇直线的方向向量为〃，平面的法向量为〃，则sin〃=|cos〈a,〃〉|。

容易出错的是：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角;②误以为直线的方向向量与平

面付法向量所成角的余弦就是线面角的正弦,而忘了加绝对值③不清楚线面角的范围。

注意：线面角向量法公式中最后形式是正弦sine=|cos〈a,〃）|,注意公式中最后形式。

例题2-1若直线/的一个方向向量为\平面。的一个法向量为”=（夜,0,1）,则/与。所成的

角为（）

7tC2兀八九c兀

A.zB-Tc-yD-1

例题2・2正三棱锥P-4?C的侧直都是直角三角形，E,r分别是棱A8,4C的中点，则尸“与平面尸所所

成角的正弦值为.

易错点3混淆两个平面夹角与二面角平面角关系

错误：若两个平面的法向量分别为若两个平面所成的锐二面角为氏则cose=|cos〈a涉〉|;若两个平面

所成二面角为钝角，则cos。=-|cos〈a,。〉|

两个平面的夹角范围：0°<6?<90°,二面角的平面角范围：00<6^<1800

注意：两个平面的夹角范围：0°<6><90°,二面角的平面角范围：0°<<9<180°,注意区分角的范围

例题3-1在空间中，已知平面的一个法向量e=（A&C）和平面上一点PG。,），。*。），平面上任意一点的坐标

（,1,），,2）满足的关系式为4。=事）+8（》-%）+。（2-0）=。.则该方程称为这个平面的方程，若两平面的方

程分别为x+2），-z=l和2.r-），-z=友，则这两平面的夹角的余弦值为（）

A.--B.-C.--1）.-

3366

U1

例题3-2已知两平面的法向量分别为〃=7（0,0）,〃=（0,1,1）,则两平面所成的二面角为（）

A.45B.135C.45或135D.120

易错训练

1.在正四棱台人BCO-AeCa中，Ae=2,A8=4,且该正四棱台的体积为28,则异面直线与用。

所戌角的余弦值为（）

4I3^/2O95>/2092VH

Dn5阿

A.-----------D・------------L/-------------------

209209II209

21

2.如图，在长方体A4CO-44GR中,AB=BC=3,/狙=2,DM=-DB,A.N=-A.C,,则异面直线AM和

33

8N夹角的余弦值为（）

c-42x/6

3.已知直线乙的方向向量』=（1,0,1）与直线人的方向向量”=（-1，2,-2）,则直线《和6所成角的余弦值为（）

4.如图，已知在长方体ABCO-ABCQ中，AA=24B=2,AD=3,点E在棱8C上，且BE=2EC，则直

线AE与直线所成角的余弦值为（）

A.--B.巫C.-D.迈

3433

5.如图，在三棱锥中，AB=AC=A/）=2,且人4,AC,人。两两垂直，M,N分别为BC,AD

的中点，则异面直线AM和CN夹角的余弦值为（）

A

6.如图，在三棱锥P-A4c中，VA4c为等边三角形，/XAPC为等腰直角三角形，PA=PCt平面PAC_L

平面A3C,。为A8的中点，则异面直线AC与Q力所成角的余弦值为（）

，・乎口•羊

7.若向量。=（020）是直线,的方向向量，向量〃=（1』」）是平面。的法向量，则直线/与平面1所成角的余

弦值为（）

A--TD--TC-TD-T

8.如图，在正方体A8CO-44GR中,E为A3的中点.则直线AE与平面所成角的正弦值为（）

D*

9.已知向量〃2,〃分别是直线/和平面a的方向向量和法向量，若85〈，",〃）=-；，贝1]/与1所成的角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

10.如图所示，正方形A8CDABE尸的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.动点M.N分别在正方

形对角线AC和"上移动，且CM=BN.当MN的长最小时，二面角A-MN-3的平面角的余弦值为（）

D.f

C-T

11.已知两平面的法向量分别为川=（0,T0）,〃=（0,1,1）,则两平面的夹角为（）

A.45°B.135°C.45。或135。D.90°

12.如图，在正方体ABEF-QCEF中，N分别为AC,8尸的中点，则平面MNA与平面MV8的夹角的

余弦值为（）

13.已知平面