对角互补模型巩固练习（提优）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

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对角互补模型巩固练习（提优）

1.如图所示，一副三角板按如图放置，等腰直角三角形固定穴动，另一个的直角顶点放在等腰三角形的

斜边中点。处，且可以绕点。旋转，在旋转过程中，两直角边与48、C8的交点为点G、H.

（1）当三角板OER旋转至图I所示时，探究4G与CH的大小关系，并说明理由；

⑵若在旋转过程中，两直角边的交点G、，始终在边力8、8c上，/8=8。=4,在旋转过程中四边形GBHD

的面枳是否不变，若不变，求出它的值，若改变，求出它的取值范围；

（3）当三角板旋转至如图2所示时，三角板DEF与AB、8C边所在的直线相交于点G、〃时，（1）中的结

论仍成立吗？并说明理由.

【解答】（I）BG=CH：（2）面积不变，始终是4；（3）仍成立，理由见解析.

【解析】（1）连接〃。，如图所示：

•••等腰直角三角形ABC,点。为4C的中点，:.DB=DC=DA,NDBG=NDCH=45",BDA.AC,

,/EQ尸=90〃，，N4OG+NHDC=90",

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*/ABDC=NBDA=9G",/BDG+ZADG=90(\/.ZBDG=ZHDC,

:.dBDGWMDH(ASA),：,BG=CIh

(2)在等腰直角△力4c中，'：AB=BC=4,，△力4c的面积为8,AZJ=ZC=45",:./A=NDBH,

yBDIAC,NBDG=4CDH,:.NBDH=NADG,

又•：BD=AD,:•△BDH"AADG(SAS),

由（1）可得△BDGgACDH,：・8四族渗我3=网球珀+&!如X+坂出^,

":DA=DC=DB,BDA-ACfS^ABD=2S4ABC、：.S四边形G8〃D=2S3ABC=4,

・•・在旋转过程中四边形G4〃Q的面积不变，始终是4；

（3）连接8。，如图所示:

*：BDVAC,ABLBlhED工DF,:・/BDG=90。一/CDG,ZCDH=W-ZCDG,AZBDG=ZCD1L

是等腰直角三角形，:・NDBC=/BCD=45",:./DBG=/DCH=\35。,

:・\DBG父ADCH,:,BG=CH,・••结论仍然成立.

2.在等边△ABC中，点。是线段4c的中点，NEDF=120",射线QE与线段48相交于点，射线

与线段/C（或4C的延长线）相交于点F.

（1）如图1,若。/J_4C,直接写出。E与力8的位置关系；

（2）如图2,将⑴中的N瓦加绕点。顺时针旋转•定的角度,。尸仍与线段4c相交于点F,求证:DE

=DF；

（3）在NEQ"绕。顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段CF、4?之间的数量关系.

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【解析】（1）VDFUC,：.ZAFD=90°,

VZJ=60°,/EDF=120。,1/AED=360。一NA—N4FD-NEDF=90。,；・/DE工AB；

（2）连接,40,过点。作。于点,M,作ONL4C于点N,如图所示：

丁点。是8c的中点，，/。是N4/C的角平分线，・・・DM=OM

*：NAMD=ZBMD=/AND=/CND=90。,ZJ=60°,/.NMON=360°-60°—90°-90°=120°,

ZEDF=\20°,AZMDE=ZNDF,：.XEMD@AFND,:・DE=DF；

（3）过点。作于点M,作OVJ_4C于点M如图所示：

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•・・8C为对称轴，点8的坐标为(1,3),・・・。。=1；

(2)如图，分别过点。作。A/_L1轴于点M,作QN_LP0于点N.

，：PQ〃BC,NDMQ=ZDNQ=NMQN=9()",:.四边形DMQN是矩形，

•••△。石是等腰直角三角形，・・・0。=。£,

•:2CDM+4MDE=4EDN+MDE=9U>,：・/CDM=/EDN,:./\CDM/4EDN,

・・.Z)M=ON,・••矩形。MQN是正方形，・・・N8QC=45。，•••△80C是等腰直角三角形，

：.CQ=CB=3,：,Q(4,0),设8。的解析式为“二kr+3洛点8、。坐标代入解得K=-l,b=4,

・•・直线BQ的解析式为y=一£+4.

4.如图，在正方形/J8CO中，4c是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点8,直角顶点P在

射线力。上移动，另边交。C于Q.

(1)如图1,当点。在。。边上，猜想并写出尸8与尸。所满足的数量关系，并加以说明；

(2)如图2,当点。落在QC延长线上时，猜想并写出所与户。满足的数量关系，请证明你的猜想.

【解答】(1)PB=PQ；(2)PB=PQ

【解析】。)过点P作PELBC,PFA.CD,如图所示:

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・“、。为正方形对角线AC上的点，・・・PC平分NQCB,ZDCB=90°,

:.PF=PE,，四边形尸爪才为正方形，

■:NBPE+NQPE=90",NQPE+N0P尸=90。,

：.£BPE=NQPF,:.△PQFqdPBE,:,PB=PQ；

(2)过点P作尸E_L8C,PFLCD,如图所示：

证明过程参考(1),通过证^尸。「二△P8E即可得到。4=P0.

5.我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形，同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相

等的四边形定义为等邻边四边形.把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形.

O)请写出一个你学过的特殊四边形中是等邻边四边形的图形的名称；

(2)已知，如图，完美等邻边四边形力8c。，AD=CD,N8+/Q=180°,连接对角线AC,BD,请你结

合图形，写出完美等邻边四边形的一条性质；

(3)在四边形月8CO中，若/8+/。=180。，且8。平分N/1BC时，

求证：四边形48。是完美等邻边四边形.

B

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【解答】(1)菱形、正方形都是满足条件的等邻边四边形；(2)N8/Q+N8CQ=180°；(3)见解析

【解析】(1)菱形、正方形都是满足条件的等邻边四边形

(2)性质是N44。+N8co=180’；

(3)证明：作DNLAB,垂足分别为M,N,

•••3。平分N/8C,DM1,BC,DN1AB,

:.DM=DN,

Y/DMB=NDNB=90°,

/.ZABC+ZMDN=180°,

VZABC+ZADC=180°,

，ZADC=4MDN,

：.NADN=NMDC,

*：NDNA=/DMC,

1ADMC公ADNA,

：,AD=CD,

••・四边形ABCD是等邻边四边形；

又・：N/3C+N/QC=180°,

・••等邻边四边形ABCD是完美等邻边四边形.

6.阅读理解

如果同一平面内的四个点化同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆证明“四点共圆”

判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若

平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆.例：如图1,若4DB=N4CB,则4B,C,。四

点共圆；或若4QC+N/4c=180°,则4B,C,。四点共圆.

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(2)如图2,若。为等腰心△力8C的边4C上一点，且。£_L4。，BE工AB,AD=2,求力E的长；

(3)如图3,正方形相CO的边长为4,等边△MG内接于此正方形，且凡F,G分别在边,48,AD,BC

上，若力E=3,求石户的长.

【解答】(1)55°：(2)2、回：(3)岸

【解析】⑴・；NADB=N4CB=60°,

・•/,B,C,。四点共圆，

/.^ACD=ZABD=180°-ZADB-ZBAD=18O°-60°・65°=55°,

故答案为：55°：

(2)在线段取一一点R使得Cr=CZ),如图2所示：

图2

VZC=90°,CF=CD,AC=CB,

：.AF=DB,NCFD=NCDF=45°,

ZJFD=135°,

'：BEA.AB,ZJ^C-45°,

:"ABE=90°,ZD5£=135°,

，NAFD=NDBE,

•・7O_LOE,

••・N/OE=90°,

•；NF4D+N4DC=90°,NADC+NBDE=90°,

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:・NFAD=/BDE,

(ZFAD=ZBDE

在A4DF和ADEB中,\AF=BD,

UAFD=乙DBE

:.XADF叁XDEB(ASA),

:・KD=DE,

•・ZQE=9(T,

・•・△/1/)£是等腰直角三角形，

：.4E=WD=2也;

(3)作EK_L〃G于K,则K是FG的中点，连接4K,BK,如图3所示:

:,NEKG=NEBG=NEKF=/EAF=9G0,

:.E、K、G、B和E、K、F、力分别四点共圆，

：・NKBE=/EGK=6C,NEAK=/EFK=60°,

是等边三角形，

：,AB=AK=KB=4,作KM_L48,则M为48的中点,

：.KM=AK*sin^=2®

\'AE=3,AM=^4B=2,

AME=3-2=1,

'.EK='MR?+ME2=,(2、J3)2+12-^13,

・rr.EK“。=

,・EF=sin60°

7.我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”.

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（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是一（请填序号）；

（2）在“完美"四边形48CQ中，AB=AD,N8+NQ=180°,连接4c.

①如图1,求证：平分N3CQ；

小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明力。平分N8C。：

想法一：通过N4+NQ=180°,可延长C8到E,使BE=CD,通过证明△力EAgZUCQ,从而可证4C平

分N8CO；

想法二：通过48=力。，可将△4CO绕点力顺时针旋转，使4。与重合，得到△4E8,可证C,B,E

三点在一条直线上，从而可证力。平分N8CQ.

请你参考上面的想法，帮助小明证明4C平分N8CQ：

②如图2,当NA4O=90°,用等式表示线段4C,BC,C。之间的数量关系，并证明.

【解答】（1）④；（2）①见解析；@BC+CD=\2AC

【解析】（1）由“完美四边形”的定义可得正方形是“完美四边形”.

故答案为：④

（2）①想法一：延长C8使8£=CO,连接4E

图1

VZJZ)C+ZJ5C=180°,N4BE+N力BC=180°,

ZADC=ZABE

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•：AD=AB,

:.△ADgAABE(SAS)

：,/ACD=/AEB,AC=AE

：.NACB=N4EB.

・•・NACD=N4CB.

即4c平分N8CO4

想法二：将△力CO绕点4顺时针旋转，使力。边与48边重合，得到

E

图1

:•△ADC/AABE.

工ZADC=/ABE；

ZACD=ZAEB；

AC=AE.

•IN/。C+N/8C=180°,

AZJ5E+ZJ^C=180°.

・••点C,B,E在一条直线上.

'：AC=AE,

/.ZACB=ZAEB

・•・ZACD=ZACB

即NC平分N4co

@BC+CD=、②4c

理由如下：

延长C8使8E=CZ),连接力E,

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由①得△4CE为等腰三角形.

V2^0=90°,

.\Z£，JC=90°

:・CU=2A。,

:.CE=*AC.

：.BC+CD=\2AC.

8.定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直

角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.

根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1，正方形48C。中，E是CO上的点，将△BCE绕8点旋转，使8C与84重合，此时点E的

对应点尸在D4的延K线上，则四边形6£。/为“走等补”四边形，为什么？

(2)如图2,已知四边形月8c。是“直等补”四边形，4B=BC=5,CD=1,力。＞48,点8到直线力。的

距离为

①求BE的长：

②若M、N分别是力仄力。边上的动点，求△."NC周长的最小值.

备用图

【解答】(1)见解析；(2)①4；②8M.

中考核等

【解析】(1)•・•四边形力是正方形，

/.ZABC=ZBAD=ZC=ZD=90°,

•・•将△8CE绕8点旋转，使〃。与氏4重合，此时点E的对应点尸在。力的延长线上,

:・EE=BF,NCBE=NABF,

：・NEBF=NABC=90°,

・・・NEBF+/D=180”,

・•・四边形尸为“直等补”四边形：

(2)①过C作C『_L8少于点R如图1,

则NCPE=90",

•・•四边形48CQ是“直等补”四边形，4B=BC=5,CD=1,AD>AB,

AZJ5C=90°,ZJ5C+ZD=180°,

••・NO=90°,

•：BE工AD,

：・NDEF=90°,

••・四边形COb是矩形，

:.EF=CD=l,

•；NABE+N4=NCBE+N4BE=gO0,

:.NA=NCBF,

•:NAEB=/BFC=90°,AB=BC=5,

:.△ABE@4BCF(AAS),

:・BE=CF,

设BE=b=x,WiJBF=x-1,

・：C%BF2=BC"

.“+(x-1)2=52,

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解得，x=4,或x=-3（舍），

；・BE=4；

②如图2,延长C8到月使得〃尸=4C,延长C。到G,使得CO=OG,连接产G,分别与4B、力。交于点

M、N,过G作GH1BC,与BC的延长线交于点H.

则8c=8/=5,CD=DG=l,

VZABC=ZADC=900,

:,CM=FM,CN=GN,

:,&MNC的周长=CM+MV+CN=EW+MN+GN=R7的值最小,

•・•四边形/8c。是“直等补”四边形,

/.Z^+Z5CD=180°,

•：NBCD+NHCG=180°,

JZA=Z11CG,

♦：NAEB=/CHG=90°,

：・>ABEs4CGH,

.,.—BE=—AE=—AB

GHCHCG

•・78=5,BE=4,

：,AE=^AB2-BE2=3,

-

**G/7-c7721

：.GH=l，CH=l，

:・FH=FC+CH卷,

:・FG=V'FH2+GH2=8&,

・•・△MNC周长的最小值为8&.

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9.如图1,四边形48CQ,将顶点为力的NE/ib绕着顶点力顺时针旋转，角的一条边与OC的延长线交于

点兄角的另一边与C8的延长线交于点£,连接£足

(1)如果四边形/4CO为正方形，当NE4产=45°时，有EF=DF-BE.请你思考如何证明这个结