高考数学二轮复习（全国版文）培优点5 向量极化恒等式

培优点5向量极化恒等式

平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且

复:杂，用向量极化恒等式、等和（高）线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清

晰简单.

考点一向量极化恒等式

极化恒等式：。力=（生姜）—（周上）

ab22

加T/lxA（a+》F（~）,\a-b\

变式：（1>A=4-

⑵如图，在中，设M为的中点，则荒.n=/G3一我触=疝2一必论

考向1利用向量极化恒等式求值

例1（1）如图所示，在长方形/WC。中，A/3=4小，AQ=8,E,。，尸为线段的四等分

点，则危.淳=.

答案27

解析人序+人》=12,

・・・A0=6,0E=3,

・•・由极化恒等式知第•能=/2—无2=36—9=27.

（2）如图，在△ABC中，。是BC的中点，E,尸是4。上的两个三等分点.BACA=4,BFCF

=-1.则屈的值为

答案I

O

解析设8O=OC=〃?，AE=EF=FD=n,则AO=3〃.

根据向量的极化恒等式，

得一。炉=9〃二一〃/=4,①

FB-FC=FD2-DB2=n2-m2=-1.②

5

-

s

联立①②，解得〃c

因此诿反二访?一加2=4〃2一/=

O

即匠无二1.

O

考向2利用向量极化恒等式求最值、范围

例2(I)已知/W是圆。的直径，/1B长为2,C是圆0上异于A,B的一点,P是圆0所在

平面上任意一点，贝"启+丽)•正的最小值是.

答案

解析如图所示，取0C的中点。，连接P。，因为。为A8中点，

D

所以(启+丽)辰

=2POPC,

由极化恒等式得

PC)PC=pb2-Db2=PD2-^

因此当P为0C的中点，即|而1=0时，

(M+两.正取得最小值

(2)平面向量。，力满足|2。一"W3,则。功的最小值为

答案V

解析由向量极化恒等式知

(2。+〃丛2。-4

。由=8

|2a+肝一Ra—评

=8

J2—329

-8一一小

当且仅当［2。+臼=0,|2a—臼=3,

33

--

42■a,b）=兀时，a心取最小值.

规律方法利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特

别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.

跟踪演练1（1）如图，在四边形A8C。中，B=60。，4B=3,BC=6,且俞=2胫，ADAB=

一看则实数2的值为；若M,N是线段8。上的动点，且|丽=1,则戢屈的最

小值为.

答案6竽

解析依题意得ZB/1D=12O°,

由A/>AB=|病H浦卜cos/BAQ

3

-=

-2IADI一多得而|=1,

1

-

因此2=丝6

BC

取MN的中点£,连接OE（图略），

则痂+赤=2疫，

7WD/V=|［（/W+而2-（DA/-5/V）2J

=DE2-翔3=流2—9

当点M,N在线段BC上运动时，OF的最小值等于点。到直线BC的距离，

即A®sin8=邛^,

因此赤一；的最小值为（3坐下一；=¥，

即血赤的最小值为学

（2）如图所示，正方体A8CO-AiSGOi的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦（我们把球面

上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，

丽丽的取值范围是.

=0痂+稣

所以—g所以；i+4=g.

方法二如图，过N作8c的平行线,

设2+〃=%,则&=^^.

\AM\

上面日.\AN]1

由图易知，_=2>

\AM\一

⑵如图，圆。是边长为2小的等边△A8C的内切圆，其与3C边相切于点。，点M为圆上

任意一点，布=丫前+丁丽（r,>>GR）,贝lj2r+），的最大值为（

A.eqB.eq

C.2D.2^2

答案C

解析如图，作出定值*为I的等和线OE,AC是过圆二的点最远的等和线,

则说=不函+）丽

I-A—>—>—>

=2AL+y-BD=IxBE^yB,D,

当M在N点所在的位置时，2r+y最大，设2t+），=k,则k==2,

所以2x+y取得最大值2.

易错提醒要注意等和（高）线定理的形式，解题时一般要先找到4=1时的等和（高）线，以此

来求其他的等和（高）线.

跟踪演练2给定两个长度为1的平面向量后和协，它们的夹角为号，如图所示，点。在

以。为圆心的4B上运动，若公为（%,>'£R）,则％+y的最大值是

H

答案2

解析方法一以O为坐标原点，晶所在直线为4轴，建立平面直角坐标系，如图⑴所示,

则41,0),从一：,坐)，

设/40C=a(aJo,yj),

则C(cosa,sina).

由沆*=x'+)，3瓦得《

所以x+y=cosa+小sina=2sin(a+,

又0,苧，

所以当。=即4，x+y取得最大值2.

图(1)图(2)

方法二令x+)，=A,在所有与直线48平行的直线中，力线离圆心最远，如图(2),即比时A

取得最大值，结合角度，不难得到％=一Z.

I丽

专题强化练

1.已知正方形A8C。的面积为2,点尸在边A8上，则丽•元的最大值是()

A.eqB.2C.eqD.eq

答案B

解析如图所示，取CQ的中点七，连接明由极化恒等式可得而•亚=亦一反心而一宗

所以当〃与4(8)重合时,

4D

P

E

B

|P£1=¥最大，从而（访•陌max=2.

2.如图，在四边形MNPQ中，若成）=丽，|而］=6,|5>|=10,MN-MQ=-2S,则成•加等

于（）

A.64B.42C.36D.28

答案C

解析由亦而=而一丽?

=36—苏2=—28,

解得加=64,

所以0。2=64,

所以而杂=口立际=心一曲2

=100-64=36.

?2

3.若A,8为双曲线存一：=1上经过原点的一条动弦，M为圆C：『+（.y—2y=1上的一个

动点，则麻•麻的最大值为（）

A.eqB.7

C.—7D.-16

答案C

解析如图，。为AB的中点，

MAMB=MO2-^BA2,

幽。|皿=|。€]+1=3,

|A8|min=2〃=8,

所以（讥加）|而=9一364=-7.

4.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2,点P是区域ABDC内任意一点（含边界），旦崩=工

+/zAC,则2+4的取值范围为（

A.[0,1]

C.[0,3]D.[0,4]

答案C

解析如图，当尸位于点A时，a+〃）min=0,

当尸位于点。时,（计〃）皿=3.

5.己知在AABC中，户0是边A8上一定点，满足凡3=%8,且对于边A8上任一点P,恒

有油•无力筋瓦淳则（）

A.NA8C=90°B.NMC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

答案D

解析如图所示，取AB的中点E,因为P（W=%B,

所以凡为E3的中点，取8c的中点。，连接。凡，DP,

则。岛为△CEB的中位线，DPaZ/CE.

根据向量的极化恒等式，

有丽•元?=寿一加2,

KBP^C=P^D2-DB2.

又PB・PC》PQBPOC,

则|PQ|冽。0。|恒成立,

必有OPo_LA立因此CE_L/18,

又E为A8的中点，所以AC=3C

6.已知等边aABC内接于半径为2的圆O,点P是圆。上的一个动点，则%的取值范

围是.

答案[-2,6]

解析如图所示，取A8的中点。，连接C。，因为△ABC为等边三角形，所以。为△ABC

的重心，。在CQ上，且。。=20。=2,所以8=3,4?=24.又由极化恒等式得谡.能=

赤一演2=赤-3,

因为。在圆。上，所以当P在点。处时，|PD|mx=3,当P在CO的延长线与圆O的交点处时,

|Pg=l,所以成•丽口一2,6].

7.如图所示，正方形A8C0的边长为I,人，。分别在x斩、），轴的正半轴（含原点）上滑动，则

灰,•濡的最大值是

答案2

解析如图，取8c的中点M,A。的