高考数学一轮复习：函数模型及其应用

第10讲函数模型及其应用

最新考纲考向预测

1.了解指数函数、对数函数以及福函数的增长考查根据实际问题建立函数模型解决

特征，知道直线上升、指数增长、对数增长同题的能力，常与函数图象、单调性、

命题

等不同函数类型增长的含义.最值及方程、不等式交汇命题，预计

趋势

2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、¥高考对本讲考查将延续近几年的考查

函数、分段函数等普遍使用的函数模型）在料风格，各种题型均有可能，属中档题.

会生活中的广泛应用.核心

数学建模、数学运算

素养

走进教材•自主回顾

知识梳理温故知新

1.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型b为常数，〃W0）

二次函数模型J(x)=cur+bx+c(a,b,c为常数，aWO)

/U)=/?q*+c(a,b,c为常数，

指数函数模型

〃>0且〃W0)

尸blogax+c

对数函数模型

(a,b,c为常数，a>0且aWl,bWO)

幕函数模型fix)=ax,,+b(a,b,〃为常数，aHO,〃W0)

2.三种函数模型性质比较

y=〃(a>l)y=bgox(a>l)产炉(〃>())

在（0,4-oo）

增函数增函数增函数

上的单调性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

解工值增大，图象与£随X值增大，图象与人

图象的变化随n值变化而不同

驰接近平行轴接近平行

©常用结论

1.“对勾”函数人r）=x+?S>0）的性质

⑴该函数在（一8,一3］和Mi,+8）上单调递增，在［―W，0）和（0,yfci］上单调递

减.

⑵当x>0时，X=W时取最小值2皿；

当xvO时，x=-g时取最大值一23.

2.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成

倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.

0常见误区

1.解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关

键的字眼（如“几年后”与“第几年”），考生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目

不会做或函数解析式写错.

2.解应用题建模后一定要注意定义域.

3.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.

诊断自测,

1.判断正误（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）寡函数增长比一次函数增长更快.（）

（2）在（0,+8）内，随着工的增大，），=〃3>1）的增长速度会超过并远远大于），=/口>0）

的增长速度.（）

（3）指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题.（）

答案：（1）X（2）7（3）7

2.在某个物理实验中，测量得变量x和变量），的几组数据，如表：

X0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

则对X,），最适合的拟合函数是（）

A.y=2xB.y=f—1

C.y=2x~2D.y=log2X

解析：选D.根据x=0.50,），=一0.99,代入计算，可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,

代入计算，可以排除B,C：将各数据代入函数），=log为可知满足题意.

3.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是

力西।।।।।।।।。-收入

9()

x()-------------------------3k--------JJ-O-支出

7()

6<)

5()

40

30

20

10

123456789101112月份

（注：结余=收入-支出）

A.收入最高值与收入最低值的比是3：1

B.结余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D.前6个月的平均收入为40万元

解析：选D.由题图可知，收入最高值为90万元，收人最低值为30万元，其比是3：I,

故A正确：由题图可知，7月份的结余最高，为80—20=60（万元），故B正确；由题图可

知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确：由题图可知，

前6个月的平均收入为/X（40+60+30+30+50+60）=45（万元），故D错误.

4.（易错题）某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100km,票价是

0.5元/km,如果超过100km,超过100km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y（元〕与行

驶千米数Mkm）之间的函数关系式是.

0.5x»0aW100»

解析:由题意可得）=<

0.4x+10，心>100.

0.5x，OuWlOO，

答案：y='

0.4A+10>x>100

5.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品工万件时

的生产成本为C（x）=%+2x+20（万元）.一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业

一个月应生产该商品数量为万件.

解析：设利润为则利润L"）=20x一。（幻=

一扣一18"142,当x=l8时，〃力有最大值.

答案：18

明

考点探究•题型突破//////////////////////////////

考点EI

用函数图象刻画变化过程

［题组练透］

1.（多选）在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况

画山了某种产品的总产量），（单位：kg）与时间x（单位；h）的函数图象，则以下关于该产品生

产状况的正确判断是（）

“kg

012345x/h

A.在前三小时内，每小时的产量逐步增加

B.在前三小时内,每小时的产量逐步减少

图象.

⑵验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是

否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案.

考点2

已知函数模型求解实际问题

回0人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级火工）（单位：dB）与声音强度］（单

位：W/1/）满足如）=9怆1AJU八行一般两人小声交谈时,声音的等级约为54dB,在有50

人的课堂上课时，老师声音的等级约为63dB,那么老师上课时声音强度约为一般两人小声

交谈时声音强度的（）

A.1倍B.10倍

C.100倍D.1000倍

【解析】设老师上课时声音强度、一般两人小声交谈时声音强度分别为xiW/m2,

X2W/1T12.

根据题意得d（xi）=91g不丹L=63，解得沏=102

1入1U

d(x2)=91g]乂।13=54,解得汇2=107，所以,1=10,

I人IU42

因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，故选B.

【答案】B

侬窗留

求解已知函数模型解决实际问题的关键

⑴认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检脸.

中跟踪训练据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：min）为人工）=

c

-f=»x<A，

<''（A,c为常数）.已知某工人组装第4件产品用时30min,组装第A件产品用时

方，.

15min,那么。和A的值分别是（）

A.75,25B.75,16

C.60,25D.60,16

/⑷=口=30

解析：选D.由题意可知4VA,则

/⑷=9=15

c=60»

解得，

A=16.

考点3

构建函数模型解决'文际问题

角度一构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型

窗②(2021•济南一中月考)响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学

毕业后决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定

成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)

=；f+2工在年产量不小于8万件时，W(X)=7X+¥-37.每件产品售价6元.通过市场分

析.小王生产的商品能当年全部售完.

(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量M万件)的函数解析式：(注：年利润=年销售收入

一固定成本一流动成本)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【解】(1)因为每件商品售价为6元，

则x万件商品销售收人为6x万元.

依题意得

当(Kx<8时，

P(x)=6X-RF+2,-2=-$+4x-2,

当x28时，

P(x)=6x-\lx+^—37)—2

=35-Q+平).

故P(.v)=

⑵当0<A<8时，尸(x)=一:。-6)2+10.

此时，当％=6时，P(x)取最大值，最大值为10万元.

当x28时，P(x)=35—(X+¥，W35—平=15(当且仅当工=手，即x=10时,

取等号).

此时，当x=10时，P(x)取得最大值，最大值为15万元.

因为10<15,所以当年产量为10万件时，

小王在这一商品的生产中所获利泗最大，

最大利泗为15万元.

陶信明

建模解决实际问题的三个步骤

(1)建模：抽象出实际问题的数学模型.

(2)解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解.

(3)回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问

题中去，得到实际问题的解.

即：

-----抽象概括-----(数学模型

实际问题

推理演算

实际问题还原说明数学模型

的解"的解

［提醒I(I)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域.

(2)利用模型人求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件.

角度二构建指数、对数函数模型

侧⑶某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2020年全年投

入科研经费130()万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全

年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：1g1.12^0.05,1g1.3^0.11.Ig2

—.30)()

A.2022年B.2023年

C.2024年D.2025年

【解析】若2021年是第1年，则第〃年全年投入的科研经费为1300X1.12"万元，

由1300XL12〃>2000,可得/gL3+〃lg1.12>lg2,所以〃X0.05XH9,得心3.8,即〃24,

所以第4年，即2024年全年投入的科研经费开始超过2000万元，故选C.

【答案】C

指数型、对数型函数模型

(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模

型表示.通常可以表示为了=2(1+〃)、(其中N为基础数，〃为增长率，x为时间)的形式.解

题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解.

(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数

解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其

实际意义.

跟踪训练

1.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要

增加投资1万元，年产量为件.当xW20时，年销售总收入为(33x—x2)万元；当x

>20时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为)，万元，

则y与x的函数关系式为,该工厂的年产量为件时，所得年利润最大

(年利润=年销售总收入一年总投资).

解析：年销售总收入成去年总投资即可得到年利润，年总投资为。+100)万元，故函数

关系式为

J-『+32x-100，04W20，x£N'，

1160-x，x>20，x£N”.

当0<xW20时，x=16时函数值最大，且最大值为156;当心>20时，><140.

故年产量为16件时，年利润最大.

'一/+32丫-100，0aW20，x£N*，

答案：)，=<.16

,160-x，x>20，x£N

2.里氏震级M的计算公式为：M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最

大振幅，Ao是相应的标准地震的振幅.假设在•次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,

此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级：9级地震的最大振幅是5

级地震最大振幅的倍.

解析：M=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6.

设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为则9=lg4一lgAo=lgF，

则2=1。9,

Ao

4

5=lgA2-lgAo=lg唬=1*所以,E0.

即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍.

答案：610000

—方法素养助学培优~

高考新声音系列3数学与美育教育一“断臂维纳斯”身高推演

2019年高考全国卷I数学第4题考查了断臂维纳斯的身高，此题以著名的雕塑“断臂

维纳斯”为命题背景，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育，考查类比归纳与

合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算的核心素养.我们应该为这次高考数学命题者点一个

赞，让维纳斯进入了高考数学，可以说这是一次全国性的数学美的普及活动，使人们对抽象

的数学不得不刮目相看.从该题的命题立意、命题导向、解题途径等方面来看，这道网红题

可圈可点.

典例（2019商考全国卷【）占希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐

至足底的长度之比是夸［（写1比0.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便

是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是咛」.若某人满

足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可

能是（）

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

【解析】26+26^0.618+(26+26^0.618)^0.618^178(cm),故其身高可能是175cm,

故选B.

【答案】B

阿爵部雷

本题涉及了“黄金比”和“断臂维纳斯”，并渗透了估值思想.

以往高考试题中往往选择中国古代《九章算术》中的数学文化题，这一网红题选择大家

熟悉的黄金分割为背景，通过设置真实情景，引导学生从“解题”到“解决问题”能力的培

养，使学生能够灵活运用所学知识分析问题和解决问题.

拓展练习中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由

黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出

定义：能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为这个圆的“优美函数”，给出

下列命题：

①对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个；

②函数儿0=加（7+正不I）可以是某个圆的“优美函数”；

③函数y=l+sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；

④函数y=2x+l可以同时是无数个圆的“优美函数”；

⑤函数），=/□）是“优美函数”的充要条件为函数）=儿6的图象是中心对称图形.

其中正确的命题是.（填序号）

解析：①对于任意一个圆。，其对称轴有无数条，所以其“优美函数”有无数个，①正

确；②函数人幻=111（『+审不T）的定义域为R,值域为［0,+8）,其图象关于），轴对称，且

在x轴及其上方，故不可以是某个圆的“优美函数”，②错误；③根据y=sinx的图象可知

函数y=l+sinx的图象可以将圆的周长和面积平分，又y=1+sinx的图象可以延伸，所以

可以同时是无数个圆的“优美函数”,③正确；④函数），=2A，+1的图象只要过圆心，就可

以同时是无数个圆的“优美函数”，④正确；⑤错误，有些中心对称图形对应的函数不一定

是圆的“优美函数”，比如“双曲线”.

答案：①③④

|二_______⑰__二|

知能提升■分层演练

[A级基础练]

1.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销

售400台，第四个月销售790台，则卜列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数

x之间关系的是（）

A.y=100.rB.y=50?-50.v+100

C.y=50X2vD.y=1001og2.v+100

解析：选C.根据函款模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代

入数据脸证即可得.故选C.

2.已知正方形A8CZ）的边长为4,动点〃从8点开始沿折线BCD4向A点运动.设点

P运动的路程为x,ZVIBP的面积为S,则函数S=/（x）的图象是（）

解析：选D.依题意知当0WxM4时，/（x）=2x;当4<xW8时，人工）=8;当8WM12时，

fix）=24-Zv,观察四个选项知D项符合要求.

3.“酒驾猛于虎”，所以交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超

过0.2mg/mL.假设某人喝了少量酒，血液中酒精含量迅速上升到0.8mg/mL,在停止喝酒后,

血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则他至少要经过多少个小时后才可以驾驶机动

车.（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B.设〃个小时后才可以驾驶机动车，则0.8X（1—50%）"=02解得〃=Io%0.25

=2.

即至少要经过2个小时后才可以驾驶机动车.故选B.

4.（2020・四川绵阳模拟）2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出

家门享受春光.某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：

购票人数1〜5051〜100100以上

门票价格13元/人11元/人9元/人

两个旅游团队匕划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成一

个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（）

A.20B.30

C.35D.40

解析：选B.设两个旅游团队的人数分别为a,b,且小

不妨令.因为1290不能被13整除，所以。+6251.

若51Wa+/?W100,JI']11（6/4-/2）=990,得a+b=90,①

由共需支付门票费为1290元可知，11〃+13。=1290,②

联立①②解得》=150,«=-60,不符合题意：

若。+历>10（）,则9（〃+〃）=99（）,得。+力=110,③

由共需支付门票费为1290元可知，1WZ<5O,51W“W100,

得11〃+13力=1290,④联立③④解得a=70,0=40.

所以这两个旅游团队的人数之差为7040=30.故选B.

5.（2021•合肥第一次教学检测）射线测厚技术原理公式为/=/（）e*其中/o,/分别为射

线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，，为被测物厚度，O为被测物的密度，〃

是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用锢241（25An】）低能y射线测量钢板的厚度.若这

种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢的密度为7.6,则这种射线的吸收系数为（注：半价层

厚度是指将已知射线强股减弱为一半的某种物质厚度，In2*0.6931,结果精确到

0.001）（）

A.0.110B.0.112

C.0.114D.0.116

解析：选C.由射线测厚技术原理公式得?=椒一7.6*。即，所以±=e-6.08〃，-hl2=-608//,

〃弋0.114,故选C.

6.某购物网站在II月份开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受

“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单

价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为.

解析：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额（6折后）满300元时可减

免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元.由于每件原价48元，因此每张订单

至少11件，又42=11X3+9,所以最少需要下的订单张数为3.

答案：3

7.某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以〃km/h的速度直达灾区，已知

某市到灾区公路线长400km,为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于（治）km,那么这

批物资全部到达灾区的最少时间是h-（车身长度不计）

解析：设全部物资到达灾区所需时间为th,由题意可知，/相当于最后一辆车行放了

36Xkm所用的时间,

岛）+400

36X

因此，/=----

当且仅当需=呼，即。=怨时取等号.

故这些汽车以竽km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12h.

答案：12

8.（2021・陕西咸阳二楼）为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，

C1

kt，0<r<2，

据实验表明，该药物释放量Mmg/n?）与时间/（h）的函数关系为y=<（如图所示）

石T英，

实验表明，当药物释放量），<0.75（mg/m3）时对人体无害.

⑴氏=；

（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少

经过_______分钟人方可进入房间.

2/»0</<^,

I

{二T

]19

当后£时,y=~f令产0.75,得丐,

2

所以在消毒后至少经过？小时，即40分钟人方可进入房间.

答案：（1）2（2）40

9.“活水用网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”

养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度。（单位：千克/年）是养殖密度x（单

位：尾/立方米）的函数.当x不超过4尾/立方米时，。的值为2千克/年；当44W20时，p

是X的一次函数，当X达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，〃的值为。千克/年.

（1）当0<xW2（）时，求。关于x的函数解析式；

（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出

最大值.

解：（1）由题意得当（KtW4时，r=2：当4WxW20时，设。=ar+Z>,“HO,

显然。=如+/>在［4,20］内是减函数，

f20t/+/?=0，

由已知得彳.,

4。+/?=25

2，0a&4，x£N+

故函数v=—^.v+|，4<xW20，x£N+.

（2）设年生长量为九1）千克/立方米，依题意并由（1）可得

2x，0cxW4，

—|x2+|,v»4<r^20.

当0<xW4时，凡。为:曾函数，故，仆)max=/(4)=4X2=8：

当4<xW2()时，ZU)=—1.r2+|x=一32—2()x)=—1(x—10)?+孕，府%皿=/(1())=12.5.

所以当0<xW20时，凡d的最大值为125

因为8V12.5,所以当泰殖密度为10尾/立方米时，@的年生长量可以达到最大，最大值

为12.5千克/立方米.

10.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，

经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm,继续排气4

分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间r（分钟）

之间存在函数关系尸O,机为常数）.

⑴求C,〃7的值；

（2）若空气中一•氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库

中的一氧化碳含量才能达到正常状态？

岁,

解：（1）由题意可列方程组《/、即”

MS-

c=128，

两式相除，解得J1

（2）由题意可列不等式128（；『W0.5,

所以即a28,解得/232.

故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.

［B级综合练］

11.（2020•而考全国卷HI）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有

学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/（/）（/的单位：天）的Logistic模型：

/（。=1+1总'厂53,,其中K为最大确诊病例数•当/（力=O.95K时，标志着已初步遏制疫情，

则「约为（加1923）（）

A.60B.63

C.66D.69

K1

解析：选C.由题意可知，当/（「）=0.95K时，——,:）23（/_53）=0.95/C,Kp—=l+e

1+c'

一0.23（「一53）-0.23（f-53）10.23（「一53）*

,e=而，e=19,所以0.23（1—53）=ln19'3,所以「七66.

故选C.

12.（2020・新高考卷［）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所

示.。为圆孔及轮廓圆弧4B所在圆的圆心，4是圆弧4B与直线4G的切点，B是圆弧4B

3

与直线8c的切点，四边形OEFG为矩形，BC.LDG,垂足为C,tan/OQC=$,BH//DG,

£F=12cm,DE=2cm,4到直线QE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴

影部分的面积为cm2.

解析：如图，连接。4,作4QJ_QE,交石。的延长线于Q,AM_LE尸于M,交。G于E',

交8”于广，记过。且垂直于。G的直线与OG的交点为P,设OP=3m,则。。=5犷，不

难得出AQ=7,AM=7,于是AE*=5,EG=5,所以NAG£=去AAOH为等腰

直角三角形，又A尸=5—36，0尸'=7—5〃2,A尸=0尸，所以5—3机=7—5加，得〃?=1,所

以AF'=5—3〃?=2,OF=7~5m=2,所以。4=2啦，则阴影部分的面积5=京产亦(2啦产

+；x2陋x2•一尹C+4)(cm)

答案：y+4

13.某公司计划投资开发•种新能源产品，预计能获得10〜1000万元的收益.现准备

制定一个对开发科研小组的奖励方案：资金M单位：万元)随收益M单位：万元)的增加而增

加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.

(1)若建立奖励方案函数模型)，=/U),试确定这个函数的定义域、值域和9的范围；

(2)现有两个奖励函数模型：①)，=忐+2：②y=41gx—3.试分析这两个函数模型是否符

合公司的要求？请说明理由.

解：(1))，=/。)的定义域是[10,10(X)],值域是(0,9],?£(0,0.2].

人

(2)①不符合，②符合.理由如下：

Io31

当)'=r念+2时'v)=忐+2的最大值是祷°2不符合公司的要求.

当y=41gx—3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.

由2'W0.2可知y-0.2r^0.

X

..2()—xln10”

令g(x)=41gx—3—02丫，x£[10,1000],则g'(x)=5dn10<0'所以g(x)在[10,1000]

上单调递减，所以g(x)Wg(10)=—1<0,即长0.2.故函数产41gL3符合公司的要求.

14.(2020•南考江苏卷)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示:

谷底。在水平线MN上，桥/W3与平行，00'为铅垂线(。，在A4上).经测量，左侧曲

线AO上任一点。到MN的距离小(米)与D到0。的距离。(米)之间满足关系式儿=》；

右侧曲线BO上任一点尸到MN的距离应米)与F到O。'的距离伏米)之间满足关系式生=

一福护+6〃.已知点B到。0,的距离为4