高考数学一轮复习：直线、平面垂直的判定与性质

第4讲直线、平面垂直的判定与性质

最新考纲考向预测

直线、平面垂直的判定及性质是高考中的

从定义和公理出发，信

重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、

助长方体，通过直观感

命题趋势面面垂直的判定及其应用、直线与平面所

知，了解空间中直线与

成的角等内容.多出现在解答题的第(1)问，

直线、直线与平面、平

难度中等.

面与平面的垂直关系.

核心素养逻辑推理、直观想象

走进教材•自主回顾〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃“

知识梳理温故知新

1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个a»bua>

平面内的两条条1aC\b=O

>0/

判定定理交直线都垂直，则7IVa

该直线与此平面ILb>

垂直_La

垂直于同一个平

0ci-La

性质定理面的两条直线壬0a〃b

〃_La

后

2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面过另一

/U£]

判定定理个平面的垂线，则

£/_L

这两个平面垂直h

两个平面垂直，则a邛、

luB

>

性质定理一个平面内垂直£

于交线的直线与

I-La>

另一个平面垂直=>/±a

3.空间角

(1)直线与平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐鱼，

叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，N做0就是斜线AP

与平面。所成的角./

②线面角夕的范围：0G0>==

(2)二面角

①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面\p—u

角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面.4f

如图的二面角，兀记作：二面角a-//或二面角P-AB-O.

②二面角的平面角

如图，过二面角o.-1-p的棱/上一点。在两个半平面内分别作

BOLI，AOL，则NA08就叫做二面角a-1-p的平面角.

③二面角的范围

设二面角的平面角为0，则0曰0，冗］.

④当时，二面角叫做直二面角.

<3常用结论

I.直线与平面垂直的五个结论

(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.

(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(4)一条直线垂直亍两平行平面中的一个，贝！这一条直线与另一个平面也垂

(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

2.三种垂直关系的转化：

线线垂直著蠹线面垂直霹蠹面面垂直

9常见误区

1.证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件.

2.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要

注意“平面内的直线”这一条件.

诊断自测易错清零

1.判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)已知直线a，b，c，若alb，bLc>则a/7c.()

(2)直线I与平面a内的无数条直线都垂直，则/±«.()

(3)设〃z力是两条不同的直线，。是一个平面若〃2〃〃vi±。，则〃_La.()

(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平

面.()

(5)若平面«内的一条直线垂直于平面p内的无数条直线，则a±/?.()

答案：(1)X(2)X⑶J(4)X(5)X

2.(易错题)已知/〃和〃是两条不同的直线，。和夕是两个不重合的平面，

下面给出的条件中一定能推出mLp的是()

A.。_1.£且相匚。B."2_1_〃且〃〃△

C.m〃〃且〃_1_夕D.〃z_L〃且〃〃夕

解析：选C.由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.

3.(多选泗棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD_L底面ABCD，则下列结论

中正确的是()

A.AC±SBB.ADA.SC

C.平面SAC_L平面S3。D.BD±SA

解析：选ABC.由SO_L底面ABCD，得S8在平面ABC。内的射影为DB.L

DB与AC垂直，所以SB1.AC，A正确；

由SC在平面A8CO内的射影。。与A。垂直，得SC_LA。，B正确：

由AC.LSB>AC±BD，SBClBD=B，可得AC_L平面SBD，从而有平面SAC1.

平面SBD，C正确；

【证明】(1)因为AP=CP=AC=4，0为AC的中点，

所以OP_LAC，且OP=2y/3.

连接O及因为A3=8C=

所以△ABC为等腰直角三角形，

且OBVAC，0B=^AC=2.

由O尸+0"=P，2知PO_L。及

由0P}OB，OP_AC且08nAe=0知PO_L平面A8C

(2)如图，连接BD，囱。1.因为AB=BC，所以四边形ABCD为正方形，故

ACLBD.又因为BBJ平面ABCD.于是ACLBBi.所以AC上平面BBQiD.由于EF

U平面BB'DiD，所以E/LAC.

判定线面垂直的四种方法

方法一7利用线面垂直的判定定理

一:利用“两千行段中的一条与平面垂直,则芳:

方法二一：一条也与这个平面垂直”：

:利用“一条直或垂直于两平行平面中的一个「

方法二,一：则与另一个也垂直”：

方法四J一汨疝而石翥直焉桎虚秀或…〜"""；

1.如图所示，已知A8为圆。的直径，点。为线段A8上一点，且，

点C为圆。上一点，且BC=@AC，POJ_平面ABC，PD=DB.

求证：PALCD.

JliDN\„

----/

证明：因为43为圆O的直径，所以ACJ_CB，

在。中，由市4。=8。得NA8C=30°，

设AD=1，由3AD=DB得DB=3，BC=2小，

由余弦定理得。。2=。4+3。2—2QBBCCOS30°=3，

所以C^+DB'BC?，即CO_LAO.

因为尸。平面ABC，COU平面ABC，

所以PDLCD，由PQGAO=O得，CD_L平面PAB，

又因为B4U平面PAB，所以PALCD.

2.如图，在三棱锥A-BCD中，ABLAD，BCA.BD，平面

48O_L平面BCD，点E，尸（£与A，。不重合）分别在棱AD，

上，且EFLAD.

c

求证：（1）后尸〃平面A8C；

（2）AD1AC.

证明：（1）在平面48。中，因为AB_LA。，E尸_LA。，所以笈F〃A8.

又因为EFQ平面48C，A8U平面A8C，

所以£7"平面A3c.

（2）因为平面平面BCD，

平面ABOG平面BCD=BD，

8CU平面BCD，BCXBD，

所以3aL平面ABD.

因为AOU平面ABD，

所以BCLAD.

又ABLAD，BCC\AB=B，ABU平面ABC，8CU平面ABC，所以4。，平

面A3c.

又因为ACU平面ABC，所以ADJ_AC.

2

面面垂直的判定与性质

函2：(1)(2020•离考全国卷I节选)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的

圆心，是底面的内接正三角形，P为力O上一点，NAPC=90°.证明：平

面以BJL平面PAC.

(2)(2020•开封市模拟考试)如图，已知在三棱柱ABC-AIiG中，平面A4GC

，平面ABC，A4i=AC，ACJLBC.证明：41c_L4Bi.

【证明】(1)由题设可知，PA=PB=PC，

由于△45C是正三角形，故可得，A^AC^APBC.

又NAPC=90°，故NAPB=90°>ZBPC=90°，

从而PBA.PA，PB工PC，故P8J_平面PAC，所以平面%8_1_平面PAC.

(2)因为A4=4C，所以四边形AAiGC为菱形，所以ACJ_AC.

因为平面AAiGC，平面ABC，平面AAiGCn平面ABC=AC，

BCU平面ABC，BC±AC，

所以8C_L平面A4iGC

又8C〃BG，所以5GJ•平面A4CC，所以31cl_LAiC.

因为AGnBiG=G，

所以4C1•平面ABiG，而ABC平面ABiG，

所以AiC_LA8.

(1)证明面面垂直的方法

①定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，

将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.

②定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面

的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直加以解决.

(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线

的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线浅垂直.

如图，在三棱锥P-ABC中,B4_L平面ABC，AB=AC=a，BC

=/0求证：平面以8_L平面%C.

证明：因为％_L平面A8C，

所以PAA.AB，PA-LAC，

所以N8AC即为二面角B-RVC的平面角.

又AB=AC=a，BC=yj2a，

所以N8AC=90°，

所以平面布8_L平面PAC.

3

平行与垂直的综合问题

如图在四棱锥P-A8CD中底面/WCO为矩形平面出O_L平面A8C0，

PALPD，PA=PD，E，尸分别为4。，的中点.

(1)求证：PE±BC；

(2)求证：平面以B_L平面PCD；

(3)求证：石/〃平面PCD

【证明】(1)因为PA=PD，七为AO的中点，

所以PELAD.

因为底面ABC。为矩形，

所以BC//AD，所以PELBC.

(2)因为底面ABCD为矩形，所以A3_LAD

又因为平面B4Q1平面ABCD，

平面平面48CQ=A。，ABU平面ABCD，

所以A8_L平面PAD，

因为POU平面PAD，所以43_LPD

又因为PALPD»\BQPA=A，

所以PD_L平面PAB.

因为POU平面PCD•

所以平面%5_L平面PCD.

(3)如图，取PC的中点G，连接八7，OG.因为/，G分别为PB，P。的中点，

所以FG//BC，FG=：BC.

因为四边形ABC。为矩形，且E为的中点，

所以DE//BC，DE=^BC.

所以DE〃FG，DE=FG.

所以四边形DEFG为平行四边形.

所以EF//DG.

又因为ERZ平面PCD，OGU平面PCD，

所以£7”平面PCD.

陶窟四

平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解

决.注意遵循“空间到平面”“低维”到“高维”的转化关系.

-(2020•庙令江苏卷)在二棱柱ABC-A\B\C\中，AB.LAC，Z?iC±

平面ABC，E，尸分别是AC，SC的中点.

⑴求证：E尸〃平面A5G；

（2）求证:平面A8CJ_平面ABB.

证明：（1）因为E，尸分别是AC，从。的中点，

所以EF//AB\.

又七爪平面ABC，A5U平面ABC1，

所以E/"平面AB\C\.

（2）因为■平面ABC，A8U平面ABC,

所以BiCLAB.

又AB.LAC，BiCU平面ABiC，

ACU平面ABiC，BiCDAC=C，

所以4B_L平面AB\C.

又因为ABU平面ABBi，

所以平面A8C_L平面

函a但

方法素养•助学培优

思想方法系列14构造几何模型解决空间问题

判断空间线、面的位置关系，常利用正（长）方体及其他几何体模型来判断，

把平面、直线看作正（长）方体内及其他几何体平面、侧棱、对角线等进行推导验

证，使抽象的推理形象化、具体化.

»已知，〃，〃是两条不同的直线，。，万为两个不同的平面，有下列四个

命题：

①若tnLa，〃_L£，〃?_!_〃，则a_L夕；②若in//a»n//B，〃?_!_〃，则a!/夕；

③若/n±«»n//85in.Ln,则a//px④若〃Z_LG,n//£，。，贝Um.Ln.

其中所有正确的命题是（）

A.①④B.②④

C.①D.@

【解析】对于①，可以得到平面a，6互相垂直，如图(1)所示，故①正确;

对于②，平面a，6可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面a，B

可能垂直，如图⑶所示，故③不正确；对于④，由ml.a，a〃。可得m邛，

因为〃〃4，所以过〃作平面y，且yGp=g，如图］4)所示，所以〃与交线g平行，

因为加_Lg，所以m_1_〃，故④正确.故选A项.

m

(1)⑵(3)(4)

【答案】A

国画窗画

(1)构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后利用模型对问

题直观地作出判断.这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致的解题借误.

(2)由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂

直及面面垂直等各种位置关系.故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间

的位置关系，显得直观、易判断.构造时注意其灵活性，想象各种情况反复验

证.K

(2020•贵阳市四校联考)如图所示，在三棱锥P-A8c中乂。_1_平

面ABC»NAC3=9(T，AC=BC=\>AP=yf?>，则该三棱锥外接球的体积为

解析：如图所示，根据题意可将三棱锥补形为一个长、宽、高分

别为1，1小的长方体则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同.设

外接球半径为R，则(2R)2=12+I2+(#)2=5,所以该三棱锥外接球

的体积V=Jn氏3=尊^口.

3o

答案：手n

知能提升?分层演练

[A级基础练]

1.己知平面。和直线/，则口内至少有一条直线与/（）

A.平行B.相交

C.垂直D.异面

解析：选C.当直线/与平面a斜交时，在平面a内不存在直线与/平行，故

A项错误；当/〃a时，在。内不存在直线与/相交，故B项错误：当/Ua时，

在a内不存在直线与/异面，故D项错误；无论哪种情形，在平面a内都有无数

条直线与/垂直.故选C项.

2.（今选）设a5乃是两个不同的平面»m»n是两条不同的直线，下列说法

正确的是（）

A.若a邛»aP0=m»mLn»a，则〃_L夕

B.若a_L£，〃〃。，则〃_L£

C.若m//a、m//B，则a//p

D.若»mA.£，〃_La»则〃_L夕

解析：选AD.选项A中，由面面垂直的性质定理知，正确；选项B中，直

线〃可以与平面p相交、平行或〃uB，不正确；选项C中，与直线m平行的

平面有无数个，且这些平面可以与平面a平行、相交，不正确；选项D中，根

据mA.a5m-LB'知a〃夕，又nA.a，所以〃_L4正确，故选AD.

3.如图所示，在正方体ABCO-48IGQI中，点O，M，N分别是线段8。，

DDT，01G的中点，则直线0M与AC，MN的位置关系是（）

A.与AC，MN均垂直

B.与AC垂直，与MN不垂直

C.与AC不垂直，与MN垂直

D.与AC，MN均不垂直

解析：选A.因为OQiJ■平面A8CO，所以AULOQi，

又因为AC_LBD，DDTC\BD=D，

所以AC_L平面BDD\B\»

因为OMU平面BDDB，所以OMLAC.

设正方体的棱长为2，

则OM=3+2=V5，MN=M+l=p，

0—=。1+4=小，

所以OM?+MN?=ON?，所以OM_LMM故选A.

4.（2021•山东济宁模拟）如图，在三棱柱ABC-A}BiC\中，侧棱底面

4向G，底面二角形AAICI是正二角形，七是8c的中点，则下列叙述正确的是

A.CG与BiE是异面直线

B.AC_L平面ABB'

C.AEIB1C1

D.4G〃平面A&E

解析：选C.对于A，CG与BiE均在侧面BCGBi内，又两直线不平行，故

相交，A错误：对于B，4。与平面ABB,Ai所成的前为60°，所以4。不垂直于

平面ABBAi，故B错误；对于C，AEA-BC，BC//B\C\>所以AEJ_EG，故C

正确；对于D，AC与平面4SE有公共点A，AC〃4G，所以AiG与平面八BiE

相交，故D错误.

5.（多选）如图，AC=2A为圆O的直径，NPC4=45°，PAp

垂直于圆。所在的平面，3为圆周上不与点4，。重合的点，AS

H

_LPC于点S，AN上PB于点N，则下列选项正确的是()

A.平面475，平面「8。

B.平面ANSL平面

C.平面％B_L平面08。

D.平面48。_1_平面以。

解析：选ACD.因为%平面ABC，雨U平面PAC，所以平面A8CJ_平面

B4C，故D正确；因为B为圆周上不与A，。重合的点，AC为直径，所以3C_L48,

因为％_!_平面ABC，8CU平面A3C，所以8c_LR4，又48nB4=A，所以8C_L

平面左8,又BCU平面尸BC，所以平面以B_L平面尸BC，故C正确；因为BCA.

平面PAB，所以BCLAN，又因为AN_LP8，PBQBC=B，所以4N_L平面PBC，

又ANU平面ANS，所以平面ANS_L平面PBC，故A正确.故选ACD.

6.如图，在△45。中，NACB=90。，AB=g，ZABC=600，尸卜

PCJ_平面ABC，PC=4，M是边AB上的一个动点，则PM的最小。

值为.

解析：作CHAB于H，连接PH.因为PC_L平面ABC»所以

PHLAB，PH为PW的最小值，等于2币.

答案：2市

7.(2019・高考北京卷)已知/，m是平面a外的两条不同直线.给出下列三个

论断：

①/_!_〃？；②加〃。；③/_La.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命

题：.

解析：其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题.

命题(1):若l-Ltn»m//a，则I-La，此命题不成立，可以举一个反例，例

如在正方体ABCD-A\B\C\D\中，设平面ABCD为平面a，A\D\和A\B\分别为/

和加，满足条件，但结论不成立.

命题(2):若/J_〃7，/_La，则in//a，此命题正确.证明：作直线m\//m»

且与/相交，故/与利确定一个平面。，且l-Ltn\»因为/J_a，所以平面a与平

面£相交，设aC\p=n»则又加i，〃u£：所以m\//n，又m\//m,所以

m//n»又〃z在平面a外，〃ua，故m//a.

命题(3):若in//a_La，则lA.ni，此命题正确.证明：过直线作一平

面»且与平面a相交，交线为a，因为m//a»所以〃?〃a.因为/_La»aUa，所

以l-La，又m//a，所以ILm.

答案：若/_!_〃？，/•!_a，则m//a(或m//a1l-La，则/_!_〃？，答案不唯一)

8.如图，已知NBAC=90°，PCJ_平面ABC，则在△ABC，ABAC的边所

在的直线中，与尸C垂直的直线有;与”及

垂直的直线有.

解析：因为PC_L平面ABC，

所以PC垂直于直线AB，BC，AC.

因为A8_LAC，AB-LPC，ACHPC=C，

所以八8_L平面PAC，

又因为APU平面PAC，

所以AB_LAP，与AP垂直的直线是AB.

答案：AB，BC，ACAB

9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PUL平面ABCD，AB//乐、

DC>DCLAC./Ax.

(1)求证：Z)CJ_平面以C；人噫二^-8

⑵求证：平面力BJ_平面以C.

证明：⑴因为PCJL平面ABC。，QCU平面ABC。，

所以PCLDC.

又因为AC_LDC，且PCC1AC=C，

所以OC_L平面PAC.

(2)因为A8〃C。，DC-LAC，

所以A8_LAC.

因为PUL平面ABCD，ABU平面ABCD，

所以PCLAB.

又因为PCDAC=C，

所以ABJ_平面PAC.

又A8U平面PAB，

所以平面附8_L平面PAC.

10.(2020•沈阳市教学质量监测(一))如图，已知△ABC为等边

三角形，△48。为等腰直角三角形，A8JL8D平面A8CJ_平面方灵。£

ABD，点E与点D在平面A3C的同侧，且CE〃BD，BD=2CE.F

为八。的中点，连接EE

(1)求证：E尸〃平面ABC；

(2)求证：平面4即_1_平面"。.

证明：⑴如图，取AB的中点为。，连接。。，。尸，因为O，产分别为A8，

AD的中点，所以OF//BD且BD=2OF，

又CE〃BD且BD=2CE，所以CE〃OF且CE=OF，

所以四边形OCEF为平行四边形，所以EF//OC.

又ERI平面ABC且OCU平面ABC，

所以石尸〃平面ABC.

(2)因为三角形A3C为等边三角形，

所以OC_LAB，

又平面A8C_L平面A8O且平面ABCA平面ABD=AB，

所以OC_L平面4B3，

因为EF//OC，所以EnL平面ABD，

又E/U平面AE。，所以平面AEQ1平面A8D

[B级综合练J

11.(多选)已知在四面体ABCD中，XABC、丛BCD均为边长为1的等边三

角形，E，尸分别为8C，8。的中点，则()

A.BC1AD

B.若人£)=1，则四面体八合。)的体积为潜

C.若AD=^，则平面A8C_L平面BCD

D.^AF=\，则截面AEb的面积为噜

解析：选ACD.连接人£，DE*因为△ABC，△38均为边长为1的等边三

角形，所以AE1BC，DE±BC，又AECDE=E，所以3CJ_平面ADE，所以

BCLAD，故A正确；设点H在平面BCD内的射影为点O，贝4AO=

J12一惇x,j=坐,所以四面体ABCD的体积为gx号义I2义普=兴,故B

错误；易知NAEO为二面角AdCO的平面角‘AE=与‘DE=与’当4。=手

时，4石2+。石2=402，所以N4E£）=90°，所以平面ABC_L平面BCD，故C正

确；因为E，F分别为BC，BD的中点、，连接EF>AF>易知EF=|cD=|，由

，所以sinZAEF=1，所以

12.如图，在直三棱柱ABC-AyB\C\中，侧棱长为2，AC=BC=\»NACB

=90°，D是A\B\的中点，F是BBi上的动点，AB]>DF交于点£要使A&_L

平面CiDF，则线段BF的长为

解析：设BiF=x,因为A8i_L平面C\DF>。尸U平面CiDF，所以A8i_LOF.

由已知可以得48|=啦，

设Rl/VUiBi斜边ABi上的高为h，则DE=gh，

又2X也=〃X、22+（啦）2,

所以〃=¥，DE=坐.

(2)点Q在棱尸B上，且，证明：P。〃平面QAF.

证明：⑴如图，连接AC.

因为底面A8CO为菱形，且NA8C=60°，

所以三角形A8C为正三角形.

因为E为BC的中点，所以BCA.AE.

因为APJ_平面PBC，BCU平面PBC，

所以BCLAP.

因为APGAE=A>AP，AEU平面PAE，

所以3C_L平面PAE.

(2)连接BD交A厂于点M，连接QM.

因为尸为。的中点'所以在底面A8CZ)中'~MB=~AB=2'所以方一

所以鬻=嗡=?所以在三角形旅。中

又QMU平面QAF，尸)1平面QAF，所以PO〃平面QAF.

14.(2020・广东七校联考)如图，在四棱锥P-ABCQ中，外

J_平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=2，E是

A3的中点，G是PQ的中点.

(1)求四棱锥P-ABCD的体积;

(2)求证：AG〃平面PEC；

(3)求证：平面尸CDJL平面尸EC.

।