二次函数（9知识23题型与6易错与6方法清单）-九年级数学上学期（人教版）解析版

专题02二次函数(9知识&23题型&6易错&6方法清单)

知识图谱

y=a>2+bx+c(a,b,c是常数，aHO)

—y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，aWO)

B5/SGC：y=a(x-h)2+k(a,h.k为常数，afO),(h,k)

三种霹析式

交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次函数与x轴的交点的假坐标.

a#0.

求解析式给项点设顶点式，给交点没交点式，其余情况设TiC

开口方向口向上:avO,开口向下

1.开口

开口大小?瓯开口丝小

―KJC：y=ax2+bx+c(aHO)M^&x=-b/2a

顶点式：y=a(x-h)2+k(a.h,k为常数，aWO),顶点坐标悬(h.k)

求对称轴5c^iC：y=a(x-x1)(x-x2),x=x1+x2/2

抛物线上詹整的两点，其二点必罡在对称轴上

对称性：抛物线上到对称轴距离相等的两点,其值必定相等

顶点的性质顶点横坐标等于对称轴横坐标顶点的y值即二^函数的最值

二F

3顶点求顶点坐标

求顶点坐标关他在求出对称轴，再将对称油代入解析式

当a>0时，二;次函数有最小值;当avtWt有最大值

五大性质给定题定围求加范围，关跟在确定x的范围与对称轴的相克位置

与盗交点△»(),有2个交点=闻,有1个交点:4«0,没有交点

^y=0,求出与

与坐标轴的交点

与潭交点与南交点

4.注(0,c)

与其它由数留象的交点求两国数图景的交点，具需将两匡数的解折式联立方程解出即可

r>-、.*苗地大药地大

“>0

rv-；.的增人向戒，卜

2a

*>《，■:的!1w小

5.塔雌

增减性作用:比较y的大小，求y的定国

平移规律化成顶点式，左加右温七口下减

二次函数囹象的麒对称变捻化成顶点式，结合图象，求出变换后的顶点和开口方向，再可出变换后的

解析式

利潍大求最值常用交点式

豆积可题普笆可题、铅垂高法求最大面积

应用

美抛物线问题拱桥.投球.喷泉问氢

-1-

知识清单

【清单01】二次函数的概念

一般地，形如产aF+/zr+c（〃，b,。是常数，〃#））的函数，叫做二次函数.

【清单02】二次函数解析式的三种形式

（1）一股式：y-cur+bx+c（a,b,。为常数，存0）.

（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（小h,我为常数，存0）,顶点坐标是（〃，k）.

（3）交点式：y=a（x-xi）GF）,其中xi,X2是二次函数与x轴的交点的横坐标，存0.

【清单03】二次函数的图象与性质

二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对

图象特征

称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.

2222

基本形式y=ax-y=ax+ky=a(x-h)y=a(x-h)+ky=ax+bx+c

\f/

7/h>0,k>0

a>0芈.事番

图

象

r，...h<0,k>04

h<a

a<0fl\^1

itTfv^Aj!>0,k<0

b

对称轲y轴y轴x=hx=hx=——

2a

b4ac-b2

顶点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)(4a)

最a>0开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；

值a<0开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.

2

【小结】二次函数最小值(或最大值)为0(k或号.

4a

增a>0在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.

减

a<0在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.

性

【清单04】二次函数的图象变换

1)二次函数的平移变换

平移方式(n>0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y=a(x-h)2+k平移口诀

左加

向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k

向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减

向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加

向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)~+k-n下减

2)二次函数图象的翻折与旋转

变换前变换方式变换后口诀

绕顶点旋转180°y=-a(x-h)2+ka变号，h、k均不变

y=a(x-h)2+k

绕原点旋转180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均变号

沿x轴翻折y=-a(x-h)2-ka、k变号，h不变

沿y轴翻折y=a(x+h)2+ka>k不变，h变号

【清单()5】二次函数的对称性问题

抛物线的对称性的应用，主要体现在：

1)求一个点关于对称轴对称的点的坐标：

2)已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.

解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(xl,y),(x2,y),则抛物线的对

称轴可表示为直线x=±产.

解题技巧：

1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=-?的差的绝对值相等；

La

2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=-白对称；

LC.

3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的

图象于x轴对称.

【清单06】二次函数的最值问题

自变量取值范围图象最大值最小值

当时，二次函数

A2a

取得最小值铲

a>04a

当、二一白札二次函数

全体实数2a

取得最大值用

a<04Q

当x=x2时，二次函数取当时，二次函数

Za

得最大值y2

取得最小值竽！

4a

4

【清单07】二次函数与一元二次方程的关系

二次函数y=ax?+bx+c(a#)),当y=0时，得到一元二次方程ax?+bx+c=0(a#)).一元二次方程的

解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根

的情•况.

与工轴交点个数一元二次方程cL\2+bx+c=0的根判别式A=^-4«c

2个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0

1个交点有一个不相等的实数根〃-4ac=0

0个交点没有实数根护-4ac<0

【清单08】二次函数与不等式的关系:

b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0/?2-4«c<0

图象

t/T/

qxig

与X轴交点2个交点i个交点0个交点

5

ax2+bx+c>0x<xl或x>x2xT取任意实数

的解集情况

ax2+bx+c<0xl<x<x2无解无解

的解集情况

【清单（）9】用二次函数解决实际问题的一般步骤

1.审：仔细审题，理清题意；

2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的

未知数；

3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；

4.解：依据已知条件，借助二次逑数的解析式、图象和性质等求解实际问题；

5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.

【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果

顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论.

利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值

解决利润最大问题是否存在最大利润问题。

利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的

坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。

利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后

利用函数的最值解决面积最值问题。

【注意】自变量的取决范围。

利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合

直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条

件进行计算.

利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设

出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条

件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不

存在.

6

期中常考题型清单

【题型一】二次函数的定义

【典例1］下列函数中是二次函数的是（）

A.y=ax2+bx+cB.y=2x（x—3）

C.y=一盘D.y=（x—2）2—x2

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键.根据二次函数的定义“形如

y=ax2^bx+c（a工0）的函数”，逐一分析四个选项即可得出结论.

【详解】解：A、当a=0时，y=。％2+8工+。不是二次函数，故选项A不符合题意；

B>y=2x（x-3）=2x2-6x,是二次函数，故选项B符合题意；

C、小是二次函数，故选项C小符合题意；

D、y=（x-2）2-x2=-4x+4,不是二次函数，故选项D不符合题意；

故选:B.

【变式1】下列函数属于二次函数的是（）

15

A.y=x—1B.y=—C.y=9+xD.y=-

【答案】C

【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如y=。/+8”+«。工（））的函数，叫做二次函

数是解题的关键.根据二次函数的定义进行判断即可.

【详解】解：A.自变量的次数为1,不是二次函数，不符合题意；

B.分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意；

C.符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意；

D.分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意.

故选：C.

【变式2】二次函数解析式y=/+2%-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A.1,2,1B.1,2,-1C.0,2,-1D.0,-2,-1

【答案】B

【分析】此题主要考查了二次函数的一般式，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项

时，不要漏掉符号.二次函数的一般式为：y=ax2+bx^-c"、。、c是常数，。工0）.其中，。是二

-7-

次项系数，力是一次项系数，c是常数项，根据定义作答即可.

【详解】解：二次函数y=/+2%—1,

・•・二次项系数、一次项系数、常数项分别是1,2,-1.

故选：B.

【变式3］若函数丫=（771-2次旅-2是关于％的二次函数，则m的值为.

【答案】-2

【分析】本题考查了二次函数的定义，列出关于，〃的方程和不等式是解题的关键.

根据二次函数的定义：一般地，形如丫=。/+6：+。（4、b、c是常数，aHO）的函数，叫做二次函

数，列出关于机的方程和不等式，求解即可.

【详解】解：•・，=（血-2）/12-2是关于1的二次函数，

m2—2=2,目TH—2Ho.

解得：m——2.

故答案为：一2.

【题型二】特殊二次函数的图像和性质

（典例2］下面关于抛物线y=（%+I）2-2的结论正确的是（）

A.开口向上，顶点坐标为（1,一2）B.开口向下，顶点坐标为（1,一2）

C.开口向上，顶点坐标为（-1,-2））D.开口向下，顶点坐标为（一1,一2）

【答案】C

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的顶点式确定顶点坐标.

首先根据二次项系数确定开口方向，而抛物线/=。（刀-九）2+左的顶点坐标为（/1次），利用这个公式即

可求解.

【详解】解：•••抛物线y=Q+l）2-2,

•••开口方向向上.

顶点坐标为：（一1,一2）,

故答案为：C.

【变式1】若点A（-1,%），3（2,丫2）在抛物线？=一（％+2）2上，则丫1，乃的大小关系是（）

A.%>y2B.%>y2C,月<y2D.%<y2

【答案】A

【分析】本题考查了求二次函数的函数值，比较二次函数函数值的大小，先求出力,y2的值，比较大小

-8-

即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：•・•点4(-1,%)，8(2〃2)在抛物线¥=-0+2)2上，

2

=—(-1+2)2=一1,y2=—(2+2)=-16,

V-1>-16,

•*•71>丫2、

故选：A.

【变式2】已知二次函数y=—Q—l)2+2,当04%45时，y的取值范围是()

A.-14<y<1B,l<y<2C.-14<y<2D.y<1

【答案】C

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的通减性，进行判断即可.

【详解】解：•・》=」(第一1)2+2,

••・抛物线的开口向下，对称轴为真线％=1,

，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，

VO<x<5,

・,•当％=5时，函数值最小为y=-(5-1)2+2=-14；

当％=1时，函数值最大为2：

A-14<y<2：

故选C.

【题型三】与特殊二次函数有关的几何知识

【典例3】已知田表示不超过实数”的最大整数，函数y=的的部分图象如图所示，若方程［幻

0W%<3有2个解，则a的取值范围是()

9

A.7<a<|B.^<a<lC.<a<D.^<a<^

6898188188

【答案】A

【分析】本题考查了函数图象，弄清函数图象与方程的关系是解题的关键.分别作出当y=ax2+9经

过(1,1)、(2,2)、(2,1)、(3,2)时的图象，再由图象判断出函数y=Q/+，与函数y=［出的图象在0<x<3

有两个交点时［幻=ax2+；在0<x<3有两个解，即可解答此题.

【详解】解：当函数y=a/+g与函数y=［幻的图象在0<x<3有两个交点时［x］=ax2+g在0<%<

3有两个解，

令〉=a/+?经过(1,1),得a=j

12।1

•••y=-户+

J22

令y=ax2+肯经过(2,2),得a=

28

1

32.

令y=ax2+;经过(2,1),得a=\

28

12.1

••­y=-xz+->

,82

2

令y=ax+；经过(3,2),得Q=

Z6

如图,

可以看出经过(2,2)的y=1x2+；和经过(3,2)的y=^x2+与函数y=［幻的图象在0<%<3有两个交

o262

点,

10

故选：A.

【变式1】如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y=4,与二次函数丫=/和丫=。/分别交于小

3和C、。四个点，此时，CD=2AB,把直线y=4向上平移b（b>0）个单位，则CO与4?之间的关系

是（）

C.随着百线y=4向上平移，CD<2ABD.无法判断

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出4、B、C、。的横坐标

是解题的关键.

将y=4分别代入y=%2和丫=Q%2,即可得出求出48,CD长度，根据CD=2A8得出噂=2X4,从而

得出a的值，然后得到y=a/表达式为y=然后求出CD与AB的值进而求解即可.

【详解】解：把y=4代入y=/中得，/=4,

:.x=±2

・・・A的横坐标为-2,8横坐标为2

・"8=2-（-2）=4

把y=4代入y=Q/得，ax2=4,

・・・C的横坐标为-也，。横坐标为亚

aa

：.CD=—

a

VCD=2AB,

・,.迪=2x4

a

11-

・・・Q=：(负值舍去)

2

Ay=QM表达式为y=i%,

•・•把直线y=4向上平移b(b>0)个单位，得到直线y=4+b

・,・把y=4+b代入y=/中得，x2=4+b,

・，.无=±V4+b

：,AB=X/4+3-(-V4+T)=2V4TF

把y=44-b代入y=得，\x2=4+b,

:.x=±2V4+b

:.CD=2V4TT-(-2V4+T)=4V4TF

/.CD=24反

故选：A.

【变式2】如图，在平面直角坐标系中、抛物线y=/上已知A的坐标为(1,1).过点4作力必II无轴交抛物线

于点4，过点儿作4遇2II。4交抛物线于点力2，过点42作42力3II%轴交抛物线于点&•过点％作44II

OA交抛物线于点4,……依比规律进行下去，例点力2ooi的坐标为.

【答案】(-1001,10012)

【分析】待定系数法求直线04的解析式为y=》；如图，记A4,4P42，4&，与'轴的交点分别

为B,C,D,E,由y=%2,可得物线关于y轴对称，则力1(-1,1),AB=ArB=1,A2D=A3DfAAt1y

轴，力2力3^y轴，证明三△&CB(AAS),则CB=OB=1,即C(0,2),直线力遇2的解析式为V=

%+2,联立「「J委之，可求,42(2,4),似一2,4),同理，百.线24的解析式为、=%+6,4(3,9),

4(一3,9),可推导一般性规律为，当n为奇数时，4n=(-等，(等))，然后计算求解即可.

【详解】解：设直线。力的解析式为y=kx，

将4(1,1)代入得，k=l.

12

，直线。4的解析式为y=%；

如图，记44],A】4，&&，与'轴的交点分别为以C,D,E,

・•・抛物线关于y轴对称，

••41（—1，1）»AB=A1B=1»A2D=i43D»AA11A2A31

*：A1A2IIOA,

Z.AOB=ZJliCB,

乂,・ZBO=N&BC,AB=A1B,

“AOB三△4iC8（AAS）,

工CB=0B=1,即C（0,2）,

・•・直线&&的解析式为y=%+2,

联立跖二2,

解得，｛短：端工，

，4⑵4）,原一2,4）,。（0,4）,

同理，直线44的解析式为y=%+6,

联立尸¥，

（y=力

解得，停二之咪菊,

・・・A4（3，9）,45（-3，9）,

・•・可推导一般性规律为，当71为奇数时，-等，（等）2）

・•・当71=2001时，712001=（-1001,10012）,

故答案为：（-1001,10012）.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探

13-

究等知识.熟练掌握二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探

究是解题的关键.

【题型四】二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

［典例4］己知二次函数y=ax2+队+c的自变量％与函数y的几组对应值如下表:

X•••-20135••・

y・・・5-3-4012•・・

则下列关于这个二次函数的结论正确的是()

A.a-b+c=1B.函数图象开口向下

C.当x>0时，y随工的增大而减小D.y的最小值是-4

【答案】D

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握杵关性质内容

是解题的关键.先根据表格的数据，把(0,-3),(1,-4),(一2,5)代入、=ax2+bx+c,求出y=x2-2x-

3=(x-l)2-4.再根据二次函数的图象性质进行分析，得对称轴是直线％=1,当％=1时，函数取

得最小值-4,a-b+c=Q,据此进行逐项分析，即可作答.

(详解］解：把(0,-3),(1,-4),(一2,5)代入y=ax2+bx+c,

(c=—3,

得，a+b+c=-4,

(4a-2b+c=5,

(a=l

解得b=-2

c=-3

・•・二次函数的解析式为y=炉一2%-3=(%—1乃一4.

••・函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴是直线》=1

・•・当％=1时，函数取得最小值一4.

当％<1时，，y随汇的增大而减小，当％>1时，y随工的增大而增大.

由以上分析知，B、C不符合题意，D符合题意；

va=1,b=—2,c=—3»

a-b+c=l—(—2)+(-3)=0.

故A不符合题意.

故选D

14

【变式I】抛物线y=-X2-4x+771的对称轴为().

A.直线％=-2B.直线x=2C.直线x=4D.直线x=-4

【答案】A

【分析】此题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的一般式，利用对称轴公式直接求解.

【详解】解：抛物线的表达式为y=-/-4%+血，其中b=-4.

代入对称轴公式得：x=--^-=4=-2.

因此，抛物线的对称轴为直线％=-2,

故选A.

【变式2】二次函数y=ax2+4ax-5a(a>0)与“轴交于M,N两点(点M在点N左侧)，则点M的坐标为()

A.(-5,0)B.(-4,0)C.(-1,0)D.(1,0)

【答案】A

【分析】本题考查求二次函数图象与式轴交点坐标，涉及解•兀二次方程等知识，由题意，令y=0,

解一元二次方程即可得到答案.熟记二次函数图象与性质、解一元二次方程是解决问题的关键.

【详解】解：1二次函数y=ax2+4ax-5a(a>0)与一轴交「M,N两点，

.•.令y=o,则0=ax2+4ax-5a,

a>0,

•••/+4%-5=0,即(％+5)(x-1)=0,

解得％=-5或%=1,

•.•点M在点N左侧，

.•.点M的坐标为(-5,0),

故选:A.

【变式3］已知点(一1,%)，(1,月)，(4,为)都在抛物线'=一/+2%+c上，则%,y2,%的大小关系是()

A.y3<yi<yzB.%<、2<乃c.y2<yi<D.yi<y3<y2

【答案】A

【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可.

【详解】解：・・・y=-/+2K+c,

・•・抛物线的开【I向下，对称轴为直线％=-2=L

-1X2

・•・抛物线上点离对称轴越远，函数值越大，

♦・•点(一L%),(l.y2),(4)3)都在抛物线V=-/+2x+c上，且|4一1|<|一1一1|〈|1一1|,

15

，为vyi<乃；

故选A.

【题型五】二次函数尸ax2+bx+c的最值与求参数范围问题

【典例5】已知函数丫=。/+2奴一1在一3WxW2上有最大值7,则常数Q的值是()

A.1B.1C.g或-8D.1或-8

【答案】D

【分析】本题考杳二次函数的性质，注意根据二次函数性质对待定参数分类讨论是解题的关键.由解

析式可确定抛物线对称轴％=-1，对参数取值分类讨论，开口向上或开口向下，分别在自变量取值范

围内确定极值列方程求解.

【详解】解：•・•二次函数解析式y=a/+2ax—l,

・•・二次函数对称轴为x=-l.

①当aVO时，二次困数开口向卜，％=-1时，函数有最大值7.

：.a-2a-l=7,解得a=-8.

②当Q>0时，二次函数开口向上，在一33无W2上有最大值7,离对称轴越远，函数值越大，

V|-3-(-l)|<|2-(-l)|,

・•・当x=2时，函数最大值为7,即4a+4。-1=7,解得Q=1.

综上分析，”的值为-8或1.

故选：D.

【变式1】己知二次函数y=/一2%-3,当mWxWm+2时，函数y的最小值是一4,则TH的取值范围是

()

A.m>1B.m<1C.-1<m<1D.0<m<2

【答案】C

【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，把解析式化为顶点式求出抛物线开口向上，顶点坐标

为(1,-4),再根据当+2时，函数y的最小值是一4可得mW1Wm+2,解之即可得到答

案.

【详解】解：•・・抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

・••抛物线开口向上，顶点坐标为(L-4),

的最小值即为一4,

,:当m<x<m+2时,函数y的最小值是一4,

16

m<1<m4-2.

-1<TH<1,

故选：C.

【变式2]（24-25九年级上•山东烟台・期中）己知二次函数y=x2-bx+1在-1<%<2时最小值为一3,

则b的值为（）

A.4B.4或一5C.-5D.±4或-5

【答案】B

【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题论关键.根据

题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三

种情况讨论，结合最小值条件求解.

【详解】解：由二次函数y=M—+l=卜一92+_1，

・♦・二次函数图象的对称轴为直线％=会开口向上，且顶点坐标为弓,平），

当一1三,02即一2WbW4时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得：

解得b2=16.即b=±4；

/.b=4；

当?V-1即b<-2时，最小值在x=-1处，

则y=l+b+l=b+2=—3

解得b=-5,满足b<-2；

当々>2即b>4时，最小值在％=2处，

2

则y=22—2b+1=5-2b=-3,

解得b=4,fl！b>4不成立，舍去，

综上，b-4或一5.

故选：B.

【题型六】根据二次函数y=ax4bx+c的图像判断有关的信息

【典例6]（24-25九年级上•山东青岛・期末）抛物线y=。/+取+（；的对称轴为直线％=-1,部分图象如

图所示.下列判断中：①abc>0；②/-4ac>0；③9a-3b+c=0；④若点（一0.5,%）,（一2/2）均

在抛物线上，则为>丫2；⑤5a—2b<0.其中止确的个数有（）

17-

【答案】A

【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口方向判断出a>0,

结合对称轴位置判断出b>0,再根据与y轴的交点位置，判断CV0,进而得出结论①错误；根据抛物

线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，判

断出③正确,根据两点与对称轴的距离判断出④错误;根据对称轴得出b=2a,进而得出5a-2b=5a-

4a=a>0,即可判断⑤错误；综上即可得答案.

【详解】解：抛物线开口向上，

Aa>0.

•••抛物线的对称轴为直线％=-2-a=-1,

b=2a>0.

,••抛物线与y轴的交点在X轴下方，

c<0,

abc<0,

故①错误；

抛物线与之轴有2个交点，

△=b2-4ac>0,

②正确；

抛物线的对称轴为直线人=-1,抛物线与汰轴的一个交点坐标为(1,0)，

.•.抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3,0),

9Q-3b+c=0,

③正确；

点(一0.5,%)到直线％=—1的距席比点(一2,丫2)到自线％=-1的距离小，且抛物线开口向上，

•••y：vy?»

故④错误;

—18—

•••b=2a,

••5a—2b=5a-4a=a>0,

故⑤错误.

综上所述，正确的有②③，一共2个.

故选：A.

【变式I】（24-25九年级上•广东茂名•期末）二次函数y=ax2+bx+c（aH0）的图象如图所示.下列结论：

①％<0；②炉一4ac>0；③2a+匕=0；©3a+c>0；⑤4a-2b+c>0.其中正确结论的个数

有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】本题考查二次函数的图象和性质.由抛物线的开口方向判断。与0的关系，由抛物线与），轴的

交点判断。与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：由图象可知QVO,C>0,2u0,

：,b>0,

:.abc<0,故①正确；

根据抛物线与x轴有两个交点，

：.b2-4ac>0.故②正确；

根据图象知对称轴为直线x=1，则-餐=1

2a

'»b=-2a

•'-2a+b=0故③正确；

•・•对称轴为直线戈=1

・,•当％=3和%=—1时，函数值相等

根据函数图象可得当％=3时，y<0,

'［，\x=-1时，y=a-b+c<0

19

・・・a+2a+cVO即3Q+CVO,故④错误；

当％=-2时y=a(-2)2+(-2)-b+c=4a-2b+c<0,故⑤不正确.

故选:B.

【变式2】（24-25九年级上•河南驻马店•期末）丽从如图所示的二次函数y=ax2+bx+。的图象中，观察

得出了下面五条信息：©c<0；②abc>0：©a-b+c>0；®2a-3h=0；⑤4a+2£+c>0.你

认为其中正确信息的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大

小，当。>0时，抛物线向上开FI,当QV0时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对

称轴的位置，当〃与〃同号时，对称轴在x轴左侧，当。与力异号时，对称轴在x轴右侧，常数项决定

抛物线与），轴交点，抛物线与），轴交于（0,c）,掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键.

【详解】解：•・•函数图象与y轴的交点在），轴的负半轴可知，

：,c<0.

・••①正确.

•・•函数图象开口向上，

.*.a>0,

由函数的对称轴在x的止半相上可知，x=-=>0,匕<0，

2a

又由①知，L<0,

abc>0,

，②正确.

•・•把》=—1代入函数解析式，由函数的图象可知，x=-1M，y>0即Q-b+c>0，

，③正确.

*.*a>0,b<0,

：.2a>3b.

-20

2a—3/?>0.

•••④错误；

•・•把％=2代入函数解析式，由函数的图象可知，％=2时，y>0

即4a+2b+c>0,

，⑤正确.

其中正确的有①©③⑤.

故选：A.

【变式3］（24-25九年级上•北京,期中）二次函数、=。/+板+武。工0）的图象如图所示，则下列说法正

确的是（）

①QBC>0；②Q-b+c=0；③2Q+b=0；④若a/+以+c-k=0有两个实数根，则k<4；⑤am?+

bm<a+b.

A.@@®®B.©®®©C.③④⑤D.@@@@

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数的图象可得aVO,c>0,-。=1，即得力=

-2a>0.即可判断①；由对称性可得抛物线与“轴的另一个交点坐标为（-1,0），即可判断②；由对称

轴可判断③；由。%2+匕％+（；-k=0有两个实数根，可知抛物线y=aM++c与直线y=k相交，

结合图象可判断④；由顶点坐标可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

【详解】解：・・,抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴上，

：,a<0.c>0,