高考物理一轮复习（人教版）第11章 专项强化17 带电粒子在有界匀强磁场中的运动

专题强化十七带电粒子在有界匀强磁场中的运动

【目标要求】1.能够确定粒了•运动的圆心、半径、运动时间.2.学会处理带电粒子在直线边界、

平行边界、圆形边界、多边形边界或角形区域磁场中运动的问题3会分析带电粒子在匀强磁

场中的多解问题.

题型一带电粒子在有界匀强磁场中的运动

一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法

1.圆心的确定方法

(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力尸的方向，其交点即为圆

心，如图甲.

⑵若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即

为圆心，如图乙.

(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据一=四计算出轨迹半径r,则在该点沿洛伦兹

力方向距离为，•的位置为圆心，如图丙.

甲乙丙

2.半径的计算方法

方法一由R=器求得

方法二连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得

例如：如图甲，R=系或由代=乙2+便一42求得

(偏转角)

常用到的几何关系

①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，(p=a.

②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，

3.时间的计算方法

方法一利用圆心角、周期求得

方法二利用弧长、线速度求得，=(

二、带电粒子在有界磁场中的运动

1.直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)

3.圆形边界(进出磁场具有对■称性)

(1)沿径向射入必沿径向射出，如图中所示.

(2)不沿径向射入时，如图乙所示.

射入时粒子速度方向与半径的夹角为仇射出磁场时速度方向与半径的夹角也为0.

4.在多边形边界或角形区域磁场

带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问题主要把

握以下两点：

(1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入.

(2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出.

①当时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d=2Rsina,如

图甲所示.

a0

②当时，不能通过两磁场边界的交点，粒子的运动轨迹会和另一个边界相切，如图乙所

考向1带电粒子在直线边界磁场中运动

m11如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的。点垂

直和磁场方向射入磁场，经人时间从〃点离开磁场.之后电子2也由。点沿图示方向以

相同速率垂直磁场方向射入磁场，经，2时间从〃、〃连线的中点c离开磁场，则一为（）

12

32

A.3B.2C，2D.§

答案A

解析电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图所示，

电子1垂直边界射入磁场，从〃点离开，则运动了半个圆周，〃〃即为在径，c点为圆心：电

子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经改时间从。连线的中点c离开磁场，根据半径

/*=詈可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，为等边三角形，则电子2

Bq

转过的圆心南为60。，所以电子1运动的时间h=/=等，电子2运动的时间/2=夕=罂，所

2tfqo3Bq

以?=3,故A正确，B、C、D错误.

<2

考向2带电粒子在圆形边界磁场中运动

m21（多选）如图所示，在圆形边界的磁场区域，气核IH和笊核汨先后从尸点沿圆形边界

的直径入射，从射入磁场到射山磁场，气核旧和笊核汨的速度方向分别偏转了60c和120c

角，已知笈核IH在磁场中运动的时间为m,轨迹半径为R,则（）

/XXXX\

pr\

riXX_XXj

\XXXX;

\x、XXX//

A.质核汩在该磁场中运动的时间为2/0

B.笊核汩在该磁场中运动的时间为4M

C.笊核泊在该磁场中运动的轨迹半径为少？

D.笊核汨在该磁场中运动的轨迹半径为:R

答案BD

解析由题意，作出两核在磁场中的运动航迹示意图如图所示，两核在磁场中做匀速圆周运

动，由洛伦兹力提供向心力，qvB=nq:t7=绊=缥,两核在磁场中运动时间粤

1H和;H的比荷之比为2：1,圆心角之比为1：2,代入可得负核;H在该磁场中运动的时间为

I,=4/0,故A错误，B正确；设磁场圆半径为广，丸核］H和抗核阻的轨迹圆圆心分别为。、

。2,分别从A点、C点射出磁场，我核汨在磁场中运动的就迹半径为R',则对△创8,由

几何关系可得R=小〃对△OzOC,由几何关系可得R'=会可得出R'=；R,故C错

误，D正确.

考向3带电粒子在平行边界磁场中运动

【例3】（多选汝口图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度大小

为R,磁场的宽度为d,磁场方向垂直于xOy平面向里.一个质量为m,电荷量为一q（gA。）

的带电粒子，从原点。射入磁场，速度方向与x轴正方向成30。角，粒子恰好不从右边界射

出，经磁场偏转后从），轴上的某点离开磁场.忽略粒子重力.关于该粒子在磁场中的运动情

况，下列说法正确的是（）

B.它进入磁场时的速度为鬻

C.它在磁场中运动的时间为瑞

D.它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为小d

答案AB

2

-

解析粒子运动轨迹如图所示，/•+与1130。=/解得粒子运动轨迹半径为3

由中出="，;，联立解得粒子进入磁场时的速度为。=噜"=当黑故B正确；T=~~

••»*lit-•r•1/

=券，如图由几何关系知/=弓7,解得粒子在磁场中运动的时间为/=驾，故C错误；粒

qBJ5qt5

子运动枕迹与y轴交点的纵坐标为y=-2/ws30°=---（/,故D错误.

考向4带电粒子在多边形边界或角形区域磁场中运动

【例4】（多选）（2023•河北石家庄市模拟）如图所示，ZVIOC为直角三角形，NO=90。，/A=

60°,AO=L,。为AC的中点.△AOC中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小

为以在O点放置一粒子源，可以向各个方向发射质量为，〃、电荷量为一外速度大小均为

%=警"的粒子.不计粒子间的相互作用及重力作用，对于粒子进入磁场后的运动，下列说

法正确的是（）

A.粒子在磁场中运动的半径为L

B.与0c成45。角入射的粒子将从AC边射出

C.在AC边界上有粒子射出的区域长度为L

D.所有从04边界射出的粒子在磁场中运动的时间相等

答案ABC

2

解析粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有小，(山=等，解得粒子在磁

场中运动的半径为,故A正确；如图甲所示，当粒子恰好从A点射出时，根据几

何关系可得粒子与0C成60。角入射，所以与0c成45。前入射的粒子将从4c边射出，故B

正确；

如图乙所示，根据几何关系可知沿0C方向入射的粒子将恰好从。点射出，结合上面B项分

析可知4D为AC边界上有粒子射出的区域，其长度为L故C正确；所有粒子在磁场中运

动的周期均相同，设为7,设粒子在磁场运动过程中转过的圆心角为d则粒子运动时间为z

=^T,由于所有粒子的运动轨迹为半径相同的圆，从Q4射出的粒子，其轨迹所极人。的长

度不同，对应转过的圆心角不同，所以所有从04边界射出的粒子在磁场中运动的时间不等，

故D错误.

总结提升

带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题.解决带电粒子在

磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻

找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解.

临界点常用的结论：

(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.

(2)当速度。一定时，弧长(或弦长)越长，对应圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的

时间越长.

(3)当速度。变化叶，圆心角越大，运动时间越长.

题型二带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题

带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、

临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题.

⑴找出多解的原因.

⑵画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况.

考向1磁场方向不确定形成多解

【例5】（多选）如图所示，力点的离子源沿纸面垂直0Q方向向上射出一束负离子，离子的重

力忽略不计.为把这束负离子约束在。〃之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场.已知0、A

两点间的距离为s,负离子的比荷为3，速率为必0P与OQ间的夹角为30。，则所加匀强磁

场的磁感应强度B的人小和方向可能是（）

A.及>诉，垂直纸面向里

B.B>—,垂直纸面向里

qs

C.B黑,垂直纸面向外

qs

3mv

D.,垂直纸面向外

答案BD

解析当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与。〃相切的抗迹如图甲所示，切点为设

轨迹半径为/•],由几何关系可知sin30°=工，可得/•]=$,由/•[二等-可得8|=";当磁场

s-rr\o\qqs

方向垂直纸面向外时，其临界统迹即圆弧与。尸相切于N点，如图乙所示，设就迹半径为2

由几何关系s=sinAo。+「2，得又底=微，所以82=停~,综合上述分析可知，选项

B、D正确，A、C错误.

考向2带电粒子电性不确定形成多解

IW61（多选）如图所示，在边长为上的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度

大小为8的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则能够以原速率弹回.一质

量为〃?、带电荷量为q的粒子以某一速度垂直于磁场方向从。点射入磁场，恰好从。点射出.卜

列说法正确的是（）

A.带电粒子一定带负电荷

B.带电粒子的速度最小值为^

C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为警

D.带电粒子在磁场中运助时间可能为9

答案CD

解析若粒子带正电，粒子与挡板A7N碰撞后恰好从Q点射出，粒子运动4丸迹如图中所示,

设轨迹半径为相，由几何知识得炉+（介-0.5£）2=］，解得根据牛顿第二定律得卯28

2

=〃=-,解得丁2根据动量定理得/=2〃?。2=四兽，故A错误，C正确：若粒子带负

电，则粒子的运动轨迹如国乙所示,

乙

粒子做圆周运动的半径为力=），由牛顿第二定律得w山=〃皆，解得功=舞，此时半径

最小，速度也最小，故B错误；若粒子带负电，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为即九

粒子在磁场中的运动时间为r=T7'=Y^,故D正确.

考向3临界状态不确定形成多解

m71（多选）（2022・湖北卷・8）在如图所示的平面内，分界浅SP将宽度为L的矩形区域分成两

部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀

强磁场，磁感应强度大小均为B,SP与磁场左右边界垂直.离子源从S处射入速度大小不同

的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30。角.已知离子比荷为公不计重力.若

离子从。点射出，设出射方向与入射方向的夹角为〃，则离子的入射速度和对应。角的可能

组合为（）

L

A.aBL,0。B.细L,0。

C."60。D.2kBL6。。

答案BC

解析若离子通过下部分磁场直接到达尸点，如图,

L

根据几何关系则有R=L,由卯3=〃彳，可得D=%~=kBL,根据对称性可知出射速度与SP

成30。角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为0=60）.当离子在两个磁场均运动一次时，

如图，因为两个磁场的磁感应强度大小均为B,则根据对称性有R=）,

根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=向,可得。=骞尸3左8匕,此时出射方向与入射方向相

同，即出射方向与入射方向的夹角为e=0。.通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，

需满足？==二二奶七(〃=123,-),此时出射方向与入射方向的夹角为0=60。；

小(2/2,—"1)、/??2/2—1

当离子从上部分磁场射出时，需满足。=瑞=9/8乂〃=1,2,3,…)，此时出射方向与入射方

向的夹角为。=0。，故B、C正确，A、D错误.

课时精练

留基础落实练

1.(多选)(2022・辽宁卷⑹粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所

示.内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测岩.两个粒子先后从P点沿径向射入

磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点.粒子2经磁场偏转后打在探测器

上的N点.装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力.下列说法正确的是

()

A.粒子1可能为中子

B.粒子2可能为电子

C.若增大磁感应强度,粒子1可能打在探测器上的Q点

D.若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的0点

答案AD

解析由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子，A正确；

粒子2向上偏转，根据左手定则可知，粒子2应该带正电，不可能为电子，B错误：由以上

分析可知粒子I不带电，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；粒子2

在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有弓，解得r=簿，可知若增大粒子的入射速度，

则粒子2做圆周运动的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确.

2.（多选）如图所示，虚线MN上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为A一群电子以不同速率

从边界MN上的P点以相同的入射方向射入磁场.其中某一速率为u的电子从Q点射出边

界.已知电子入射方向与边界MN的夹角为"则（）

A.该匀强磁场的方向垂直纸面向里

B.所有电子在磁场中的轨迹半径相等

C.速率越大的甩子在磁场中运动时间越长

D.在此过程中每个电子的速度方向都改变2。

答案AD

解析由左手定则可判断，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A正确；由洛伦兹力提供向心

mv

力可得整理得「=葩，电子的轨迹半径与速度大小有关，速率不同，半径不同，

B错误：由周期公式7=篝可知，电子在磁场中的运动周期相同，由几何关系可知，在此过

程中每个电子的速度方向都改变2仇即枕迹圆心角为24电子在磁场中的运动时间-葬。

故不同速率的电子在磁场中的运动时间都相同，C错误，D正确.

3.（2023•黑龙江齐齐哈尔市模拟）如图所示，虚线上方存在垂直纸面的匀强磁场（具体方向未

知），磁感应强度大小为力一比荷为k的带负电粒子从虚线上的M点垂直磁场方向射入滋场，

经过一段时间，该粒子经过N点（图中未画出），速度方向与虚线平行向右，忽略粒子的重力.则

下列说法正确的是（）

A.磁场的方向垂直纸面向外

B.粒子从M运动到N的时间为念

C.如果N点到虚线的距离为L,则粒子在磁场中做圆周运动的半径为2L

D.如果N点到虚线的距离为L则粒子射入磁场的速度大小为3乙

答案C

解析根据题意作出粒子的运动轨迹如图所示，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，

故A错误；粒子从M运动到N时速度方向改变了60。，所以粒子在该段时间内运动航迹对应

的圆心角为a=60°,则粒子从M到N运动的时间为又粒子在磁场中的运动周期为7

="詈，整理得尸缶,故B错误；如果N点到虚线的距离为L,根据几何关系有cosa=f

CjDJKDK

解得R=2L,又冗=患，则。=2&a，故D错误，C正确.

.-

'、、、、a；

4.（多选）如图所示，A粒子和A粒子先后以同样大小的速度从宽度为4、方向垂直纸面向外的

有界匀强磁场的边界上的。点，分别以与边界成37。和53。角的方向射入磁场，sin370=0.6,

sin530=0.8,又都恰好垂直另一边界飞出，若粒子重力不计，则下列说法中正确的是（）

A.A、8两粒子均带正电

B.A、3两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是4：3

C.4、8两粒子比荷之比是4：3

D.A、8两粒子在磁场中做圆周运动的时间之比是53：37

答案AC

解析作出A粒子运动批迹如图，根据左手定则可判断粒子A带正电，同理可知，B也带正

申,，A正确：由几何关系可得所以4、5两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比各

cosa

=管嗒B错误：根据洛伦兹力提供向心力有效8=濡，所以*急则A、8两粒子

/ir\litiJr\

比荷之比警：警=祟=*正确；根据7=当得，粒子在磁场中做圆周运动的时间『见?

ninKAJv2TI

（90。­）/?"53。私53v3上53

T~v，所以加一37。心—37Xy37，Dt昔伏.

5.（多选）如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，

带电粒子从a点沿与a匕边成30。角方向射入磁场，恰好从〃点飞出磁场；另一带电粒子以相

同的速率从〃点沿a〃方向射入磁场后，从c点飞出磁场，不计重力，则两带电粒子的比荷之

比及在磁场中的运动时间之比分别为（）

答案AC

解析两粒子的运动故迹加图，设正方形区域边长为，则从沙点飞出的粒子的运动轨迹半

径为ri=L;从c点飞出的粒子的运动扰迹半径为f2=L;根据4的8="呼，可得a=言，则

京：案=1：1,选项A正确，B错误.根据7=1彳可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周

期相同，两粒子在磁场中转过的角度分别为60。和90°,根据可得h:12=60。：90°

=2：3,选项C正确，D偌误.

、V/

6.如图所示，abed为边长为L的正方形，在四分之一圆而d区域内有垂直正方形平面向外的

匀强磁场，磁感应强度大小为8.一个质量为机、电荷量为+g的带电粒子从〃点沿加方向射

入磁场，粒子恰好能通过。点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为（）

A幽事qBL

mB.2m

(5+1)网

c(V2-lWD:

mm

答案c

解析画出粒子在磁场中运动的轨迹示意图，根据几何关系，射出磁场时的速度反向延长线

通过。点，磁场的半径为L,设粒子的就迹半径为〃由几何关系得乙+「=啦〃由洛伦兹力

7?*—1

提供向心力得手心=〃/：,联立解得0=1、,故选C.

立能力综合练

7.（多选）如图，在直角坐标系第一象限中），轴与直线），=%所夹范围内存在匀强磁场，磁感应

强度大小为B、方向垂直于纸面向里.一带负电的粒子以速度如自y轴上a点垂直射入滋场,

一段时间后，该粒子垂直直线y=x射出磁场，自x轴上。点（图中未画出）离开第一象限.已

知Oa=L,不计粒子重力.则下列判断正确的是（）

A.粒子在磁场中运动的轨迹半径为L

B.〃点的横坐标为啦L

C.粒子在第一象限磁场中的运动时间为中

如

D.粒子在第一象限的运利时间为€+陋）5

答案AB

解析粒子在第一象限的运动轨迹如图，在磁场中轨迹圆心为。点，所以R=L,根据几何

耳

关系。力=W匕粒子在磁场中的运动时间，=1=若，在第一象限运动的路程s=d+l）L

VQ4Uo4

所以时间，总=京=。+1）上，故选A、B.

8.如图所示，半径为厂的圆形区域内有匪直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为注磁场

边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向（均平行于纸面）且速度大小相等的

带正电的粒子（重力和粒子间的相互作用力不计），已知粒子的比荷为3速度大小为2姐匚则

粒子在磁场中运动的最长时间为（）

A诟B.漏C.荻D.而

答案C

解析粒子在磁场中运动的半径为R=菽=箫=2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其

qDDK

轨迹对应的圆心角最大，比时弦长最大，其最大值为圆磁场的直径2几则圆心角最大为会

故T=露品故选项c正确.

9.（多选）（2021・海南卷・13）如图，在平面直角坐标系。孙的第一象限内，存在垂直纸面向外的

匀强磁场，磁感应强度大小为8.大量质量为〃h电量为q的相同粒子从），轴上的尸（0,小L）

点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与）•轴正方向的夹角

为a（0WaW180。）.当a=150。时，粒子垂直x轴离开磁场.不计粒子的重力.则（）

A.粒子一定带正电

B.当。=45。时，粒子也星直上轴离开磁场

c.粒子入射速率为当空

D.粒子离开磁场的位置到。点的最大距离为3小L

答案ACD

解析粒子垂直工轴离开联场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确；当a=150°叶，粒

子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图甲，

a•=150•。B

粒子运动的半径为小，洛伦兹力提供向心力，有qvB=nr：,解得粒子入射

COSOUt

2小qBL

速率v=,C正确；若Q=45。，粒子运动轨迹如图乙,

根据几何关系可知粒子离开磁场时与x轴不垂直，B错误；粒子离开磁场的位置到。点距离

最远时，粒子在磁场中的枕迹为半圆，运动轨迹如图丙，

根据几何关系可知Qr）2=（小厅+大上解得/m=3于L,D正确.

10.（多选）速度均为加的阳