高考数专项复习：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【课标要求】1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和

与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.

二落实主干知识・

I.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

(1)公式C(a-/f):cos(a/),cosacos/?+sinasic6；

(2)公式C(a+/i):cos(a+1)=cosacos6-sinasin6；

(3)公式S(a-/y)：sin(a-/?)二sinacos£-cosasinB；

(4)公式S(a+//):sin(a+6)、sinacosS+cosasin6；

⑸公式TSM：tan®/尸黑黑；

tana+tan/?

(6)公式T(«+/?):tan(«+/?)=-

l-tanatan/?*

2.辅助角公式

/bci

asina+bcosa=7a2+匕2sin(a+o)，其中sin(/)=,..,cosw=-==5.

va2+d2,va2+b2

S自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“X”）

⑴两角和与差的正弦、余弦公式中的角a,A是任意的.(J)

(2)存在实数a,B,使等式sin(«+^)=sina+sinP成立.(J)

(3)公式tan(a+/?尸：ana+ta吗对任意角。，”都成立.(X)

1-tanatanp

(4)公式as\nx+bcosx=VH下不了sinQ+伊)中q)的取值与a,b的值无关.(X)

2，sin手*x)s2的值为()

A.OB.--C.lD.—

22

答案B

1

-11nV3cosn=cosITs,.nK.nK./ITir\./n\5/2

解析yn-Tn7适sm/s1rsm(石-->sin(-

3.若2cos«-sin«=0,则tan(a-等于()

A.--B.-C.-3D.3

33

答案B

解析因为2cosa-sina=0,

贝IIsina=2cosa,故tana=2,

因此，lan(a-tana-tan2-11

1+tanatan_1+2-3.

4.若tana=1,tan(a+^)=1,贝Utan

«34

答案\

tan(a+/?)-tana_丁]_1

解析tan^=lan[(a+//)-a]=

l+tan(a+/3)tanai+|x17,

回微点提醒

谨防两个易误点

(1)运用公式时要注意公式成立的条件；

(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0,冗)内，正弦值对应的角不唯一.

・探究核心题型•

题型一两角和与差的三角函数公式

例1(1)若驾抖=3,则tan(a+»等于()

cos(--a)'4，

A.-3B-C.-D.3

33

答案C

由题意，得把山吧;

解析1-tana=3,所以tana=-1,

y(cosa+sina)1+iana

则lan(a+tana+l

1-tana

(2)(2024•新课标全国I)已知cos(a+£)=〃？,tanextan^=2,则cos(a/)等于()

A..3,〃D.3”

答案A

解析由cos(「+6)=m得cosacos/y-sinasin/i=ni.®

由.如“二2得黑舞=2,②

cosacos/?=-m,

由①②得

.sinasinp=-2m,

所以cos(a-^)=cosacos^+sinasinP=-3m.

思维升华（1）使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.

（2）使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.

跟踪训练1（I）已知sin（a+g）=sin（a-己），则lana等于（）

A.V3B.2+V3C.V6D.V6+x^3

答案B

解析因为sin(a4-；)=sin(a—,所以gina+*osa=苧sina-^cosa所以(V5+l)cosa=("l)sina,所以

tanq二罂％低

（2）（2024•新课标全国H）已知a为第一象限角，夕为第三象限角,tana+tan//=4,tanatan/?=V2+1,

贝ijsin(a+^)=

答案-苧

解析由题意得lan（a+夕）

二tana+tan0_4二?显

1-tanatan/?1-(V2+1)'

因为“W卜kn,2/cn:+1),

夕《(2mir+TT,2mn+：),2,"?£Z,

贝lj。+田£（（2〃?+2攵）兀+兀，（2〃?+2攵）兀+2兀），攵，,

又因为tan(«+^)--2V2<0,

贝II。+夕£((2〃?+2攵)兀+^,(2〃?+2攵)兀+2兀)，攵，〃?£Z,

贝Usin(a+£)<0,

则当%2企,

cos(a+6)

联立$沛(0+日)+cos2(a+Q)=l,

r返+夜

•4

答案A

解析E^V3sin«+cosa=V3sin2a-cos2a,

所以？sina+gcosa二季sin2a-|cos2«,

所以sin(a4-：)=sin(2a—,

所以a+^=2a--+2Z：7i,k&Z或a+与2a工=2女兀+兀，A£Z,

6666

又。£（0,兀），所以a=^,

J

所以sin(a-*^)=sinQ-yj)=sinn_v2

42

（2）已知函数y（x）=sinx-3cosx,不等式兀对任意实数x恒成立，则实数。的取值范围

是

答案[VTo,+°°)

解析7U尸sinx-3cosx=\/T5sin(x-3)(其中tan(p=3),

V10sin(x-^)e[-Vl0,V10],

所以其丫）£[-m，V10],

故心

题型三角的变换问题

例3（I）（2024.南宁模拟）已知sin（a+々）=|，仁＜：，1）,则sin（a+自等于（)

A*B..型

io10

D.逋

C.-

1010

答案D

解析

故。空晤T)*所以8s(。+D<0•

又又(a+猊.故8s(a+%]*

sin(a+^)=sin[(a+9/

=sin(a+Dcosrcos(a+?)sin;

李圣㈢鹿写

⑵(2024.徐州模拟)已知角a,/?满足cos彼甘，cosacos(a+/?)=i,则cos(2a+/?)等于(

答案C

解析由cos/9=cos[(a+^)-a|=cos(«+^)cosa+sin(a+^)sina=g,

结合cosacos(a+/?)=-,可得sin(«+/i)sin,

43412

所以cos(2a+^)=cos[a+(a+^)]=cosacos(a+^)-sinasin(a+^)=--—=-.

4126

思维升华（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.

（2）当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公

式把“所求角”变成“已知角”.

(3)常见的角的变换：2a=(a+fi)+(a-^),-a),a=(a+/?)/=(a/)+Q,Q4--

z严；z”,5z\o/

。)守

跟踪训练3（1）已知国强+9胃，〃£隼或，则3。等于（）

A.在B.速C.叱D%

10102io

答案A

解析由同『以，得。乎)，

贝ijcosfa+-^=-11—sin2(a4-,

z)-；]=cos(a+9吟isn(a+；)sin:《X尹四篝.

cosa=cos[(«+

⑵（2024.杭州模拟）已知仁£（》n），蚱（0，,若sin（a+；?）=i,cos/?=y贝ljsina等于()

A.苧B片

D5

答案C

解析因为。£管，,sin(a+/0=》0,cos^q,所以，K)»

贝ijsinfi=yfl-cos2fi=^-,

cos(a+-^)=-71-sin2(a+»

所以sina=sin[(a+夕)/]

=sin(a+y?)cos^-cos(a+/?)sinp

"3T-\~)~3~~,

课时精练

（分值：80分）

IE知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.（2024•晋城模拟）若sin18。=〃？，则sin63。等于（）

1,V3-----7

A.y(Vl—2BD.-/〃+—VnI.—

m-m)22

C.^(M+V1—m2)2

D.—2?2??+-V1—m

答案C

解析因为sin18°=〃？,所以cos18°=V1-m2

所以sin63o=sin(18o+45°)=Asin180+cos18°)=A/H+V1-m2).

2.已知cosa+V5sina=|,贝Ucos(a一9)等于()

A3

A-5B.-c」|

答案B

解析由cos«+V3sina=1

得2cos(a-5)胃,

故cos(a-9W

3.已知sina+sin,cosa+cos/?=^,则cos(a/)的值等于()

A七B磊c--

答案C

解析sina+sin夕=a=sin%+sin%+2sinasin夕=：,①

cos«+cos^=|=>cos2a+cos2/?+2cos«cos^=^,②

①+②得,2+2(sinasin夕+cosacos戒尸卷=cos(a/)二^X段一4嚼

absinasin/?

4.定义运算=ad-bc,若cosa=1,二答贝IJ4等于（）

cdcosacos/?

A;B：C：D.H

12643

答案D

解析由题意得，

sinacosy?-cosasin4=sin(a/)二当.

VO</?<a<^,・・・0<a/<],

:.cos(a/)*.

v..i・•4>/3

乂.cosa=-,..sin«=—,

sin/7=sin[a-((x-//)]

=sinacos(a-/?)-cosasin(a-/?)

4731313V3V3

-XXKZ=一,

7-147----14---2

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

5.下列等式成立的有()

A.tan15°=V3-1

B.sin750cosl5°+cos75°sin150=1

C.cos500cos1600-cos40°sin160°=-2-

D.V3sin150+cosl50=l

答案BC

解析对于A,tan15。松!!(45。-30。尸丁：4：二「3：：ft2一百，故A错误；

l+tan45otan300立

对于B,sin75°cosl50+cos75°sin15°=sin(75°+15°)=sin90。=1,故B正确；

对于C,cos500cos1600-cos400sin160°=cos50°cos1600-sin500sin160°=cos(50°+160°)=cos2100—COS300=-Y,

故C正确；

对于D,V3sin150+cos15°=2sin(153+30°)=2sin450=V2,故D错误.

6.下列结论正确的是()

A.sin(a-/?)sin(^-y)-cos(a-^)cos(7-^)=-cos(cc-y)

B.x/l_5sin.r+x/5cosx=V5sin^x+

CJU);sin：+cos：的最大值为2

D.tan120+tan330+tan120tan330=1

答案AD

解析对于A,左边二-[cos(a/)cos/・7)・sin(a/)sinS-7)]=-cos[(a-，)+0-7)]=-cos(a・y),故A正确;

对于B,V15sinx+V5cosx=2V5(ysinx+gcosx)

=2V5sin(x+：),故B错误；

对于C,危)=sin|+cos：=V^sin(|+：),所以府)的最大值为a,故C错误；

对于D,tan120+tan33°+tan12°tan33°=tan(12°+33°)(l-tan12°tan33°)+tan12°tan33。=1,故D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分〕

7.(2024•西安模拟)已知sinx-2cos.v=V5sin(x+^)，贝Usin7-2cos7=.

答案I

解析sinx-2cosA-V5sin(.r+^)=V5sinAcos^+V5cos.¥sin(p,

所以cos%],sin,

22

则sii^Zos?3=(—等)-2Xg)=1-

g.已知tan(a+少),1211(〃/)是方程.¥2+5工+6=0的两个根，则tan2a二.

答案1

解析由题意可得lan(a+Q)+ian(a-A)=-5,

且tan(a+/?)tan(a-/?)=6,

贝ijtan2a=tan[(«+^)+(<z-^)l

_tan(a+0)+tan(a-0)__5

l-tan(a+A)tan(a-f)1-6

四、解答题(共28分)

9.(13分)已知sin(a-/?)=1,sin(a+夕)=；.

(1)证明：tana+5tan夕=0;(6分)

计算3若平展史的值分

tan2atan(a-/?)

(1)证明方法一由sin(«-^)=1,

sin(a+/?)=1,

得2sin(a/)=3sin(a+£),

即2sinacos/?-2cosc(sin^=3sinacos卅3cosasin口,

整理得sinacos/?=-5cos«sinfi,

也即tan«=-5tan/i,tan«+5tan/=0得证.

方法二由sin(a-^)=1,sin(a+/?)=1,

即sinacos^-cosasin^=|,

sinacos/?+costzsinfi=-,

得sinacos夕磊,cosasinP=~,

从而可得tan«=-5tanp,tana+5tan夕=0得证.

⑵解由于lan(a/)=：：L；黑mana-tan/9=tan(a-^)(I+tanatan产),

诉Utan(a-/?)-tana+tan/?

tan2atan(a-/?)

_tan(a-/?)-tan(a-^)(l+tanatan/?)

tan2atan(a-/?)

—tan(a-/?)tanatan^

tar2tztan(a-/?)

tan/?_l

tana5'

10.(15分汜知cosg-a)],sii©+/?)=£,斗)，蚱(0，7).求：

(1)sina的值;(7分)

⑵cos(a+”)的值.(8分)

解