高考数学一轮复习：平面向量基本定理及坐标表示

第2讲平面向量基本定理及坐标表示

最新考纲考向预测

平面向量基本定理及

1了.解平面向量的基本定理及其意义.

其应用，平面向量的

2掌.握平面向量的正交分解及其坐标表

坐标运算，向量共线

示.

命题趋势的坐标表示及其应用

3.会用坐标表示平面句量的加法、减法

仍是高考考查的热

与数乘运算.

点，题型仍将是选择

4理.解用坐标表示的平面向量共线的条

题与填空题.

件.

核心素养数学运算

走进教材•自主回顾〃，w〃w〃

知识梳理温故知新

1.平面向量基本定理

(1)定理：如果ei,及是同一平面内的两个丕共线向量，那么对于这一平面

内的任意向量〃，有且只有i对实数2l,Z2,使。=2述|+义2£2.

(2)基底：不共线的向量口,62叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a=(xi,yi),b=g")，则

〃+b=3+i2,巾+⑼,a-b=Ui-X2>yi~V2),

Xa=(kx\,zyi)>|a|=Mx?+)*.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标;

②设A(X1,>'l),B(X2,)，2),则筋=(X2—X』，——y।),

\AB\=\j(X2一工)2+()，2—月)2.

3.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,yi),力=(也，")，a//b<^xiy^—X2yi=0.

［提醒］当且仅当了2户20时，。〃力与菅=藁等价.

即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.

©常用结论

1.向量共线的充要条件的两种形式

(1)。〃》台》=2。(。*0,ZeR)；

(2)0〃beri”一方2了1=0(其中。=(的,yi),b=g")).

2.已知P为线段AB的中点，若&笛，ji),8(x2,)，2),则P点坐标为

3.已知△A5C的顶点A3,yi),8(x2,*),。(孙”),则△ABC的重心G

‘XI+X2+X3

的坐标为1~~3~3~\

，常见误区

1.平面向量的基底中一定不含零向量.

2.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的坐标是指向量的终点

坐标减去起点坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标.

诊断自测易错清零

1.判断正误(正确的打“，错误的打“X”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()

(2)在8c中，向量而，麻的夹角为NA8C()

⑶同一向量在不同基底下的表示是相同的.()

(4)若〃=(»，)“)，6=(X2,”)，则〃〃〜的充要条件可表示成g=^.()

人2)2

(5)若〃，b不共线,且力。+"1〃=22。+〃2瓦则力=22，41=〃2.()

答案：⑴义(2)X(3)x(4)X(5)V

2.已知点A(()，1)，3(3,2),向量加=(一4,-3),则向量及=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

解析：选A.方法一：设C(x,y),

则危=(x,y—1)=(—4,—3),

X=-4,

所以<

U=_2,

从而反：=(一4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A.

方法二：AB=(3,2)-(0,1)=(3,1),

BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).

故选A.

3.(易错题)(多选)已知向量a,5是同一平面a内的两个向量，则下列结论

正确的是()

A.若存在实数九使得则。与力共线

B.若。与b共线，则存在实数九使得b=2a

C.若〃与b不共线，则对平面。内的任一向量c,均存在实数九〃，使得

D.若对平面a内的任一向量c,均存在实数九M，使得。=加+〃儿则a

与〃不共线

解析：选ACD.对于A,若存在实数九使得)=〃，则。与力共线，所以A

正确.对于B,若Q与力共线，则不一定存在实教九使得。=脑，如)=(1,0),

«=(0,0)时不满足，所以B错误.对于C,根据平面向量的基本定理知，a与b

作为基底，则对平面a内的任一向量c,均存在实数九〃，使得c=〃+〃从所

以C正确.对于D,根据平面向量的基本定理知，对平面a内的任一向量c,均

存在实数/1,",使得c=2a+〃》，则〃与力不共线，所以D正确.故选ACD.

4.已知「ABC。的顶点A(—1,-2),8(3,-1),C(5,6),则顶点D1勺坐

标为.

f->[4=5-Xi

解析：设。a，)，)，则由得(4,1)=(5—]，6—)，)，即，解

U=6-y,

x=l,

得C

3=5.

答案：(1,5)

/>?

5.已知向量0=(2,3)"=(—1,2),若〃汝+汕与a—2b共线，则刀=.

解析：由向量。=(2,3),b=(—l,2),

(2)由题图可设CG=xCE(x>0),则CG=x(CB+BE)=^CB+1cbl=|cb+

*,土Y11

xCk因为Cd=诙x+比方，⑦与行不共线，所以呼x,所以

【答案】⑴AC(2)|

就窗窗

运算遵法则基底定分解

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形

法则进行向量的加、减或数乘运算.

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底

将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

跟踪训练】

1.(一时多解)(2020•长沙市四校模拟考试)如图，在梯形ABCD中，6C=2A£>,

DE=EC,设晶=mBC=b,则够=()

At_____、D

I1l5

--

T4B.+-6

3fl

2213

--力

a3D.+-4

32a

---卞----1c

方法一：如图所示，取8c的中点R连接AF,因为8C=2AQ,所以4。

=CF,又AQ〃CF,所以四边形AZ)C/为平行四边影，则A尸〃C。，所以&)=成.

因为DE=EC,所以CE=1C&=1M,所以丽=BC+CE=BC+1M=反:+：(丽一

1I1o13

BF)=BC^(BA~^BC)=^BA+^=5^+>,故选D.

———I4.I

方法二:

AD

Rk------------------'C.

如图，连接80,因为OE=£C.所以诙=；（防+反7）=；（砺+助+反?）=：（丽

乙乙1

।[3]

+ZBC+BC)=TBA+-BC=^,故选D.

2.己知在△ABC中，点0满足况+丽+反=0,点尸是0C上异于端点

的任意一点，且成=加或+〃协，则m+〃的取值范围是

解析：依题意，设次=7沆（04<1）,

由以+访+不?=0,知沆=一（以+励）,

所以称=一/1为一2仍，由平面向量基本定理可知,

机+〃=-2九所以小+〃6（—2,0）.

答案：（一2,0）

2

平面向量的坐标运算

1.已知向量。=(5,2),6=(-4,-3),c=(x,y),若3a—2办+。=0,则。

=()

A.(-23,-12)B.(23,12)

C.(7,0)D.(-7,0)

解析：选A.3。-2万+c=(23+x,12+y)=0,故x=-23,y=—12,故选

A.

2.已知屈=(1,-1),C(0,1),若丽=2踮，则点。的坐标为()

A.(-2,3)B.(2,-3)

C.(-2,I)D.(2,-1)

解析：选D.设£>（工，），），则⑦=（x,y-1）,2油=（2,-2）,

根据次)=2油，得。，y-1)=(2,-2),

x=2,x=2r

即，解得〈故选D.

ly-l=-2fb=_l，

3.(一题多解)如图，在正方形ABCQ中，M,N分别是BC,CQ的中点,

若危=杭^+〃历7,贝微+"=

解析:

方法一：以4。所在直线分别为x轴，了轴，建立平面直角坐标系，如

图所示，

设正方形的边长为1,则病=(i,R丽=(一;，11,AC=(1,1).因为危

._6

z-,

/5Q

解

=源而+〃丽=卜一欧尹“所以得<

1所以/+"=7.

2

方法二：由病=丽+：助，BN=~^AB+AD,得病=)购+4脐=(2—§怔

6

A--

修X8

++D52,-

/又危=嘉+崩，所以j解得5

一

=1，"-5-

8

答-

M:5

陶窗

向量坐标运算问题的一般思路

(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标

来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直

角坐标系，使几何问题转化为数量运算.

(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运

算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程

中要注意方程思想的运用.

考点3

平面向量共线的坐标表示

穗R(1)(多选)已知向量。=(x,3),力=(-3,x),则下列叙述中不正确的是

()

A.存在实数心使。〃力

B.存在实数x,使(。+。)〃。

C.存在实数x,m,使(〃汝+A)〃Q

D.存在实数x,必使(〃也+6)〃力

(2)已知向量醇=(鼠12),油=(4,5),OC=(-k,10),且4,B,。三点

共线，则女的值是()

24

--

A.-3B.3

C.TD.z

乙J

【解析】(1)由您〃力，得f=一9,无实数解，故A错误.因为。+方=(x

-3,3+x),又(。+万)〃〃，所以3(x-3)-M3+x)=0,即«=—9,无实数解，

故B错误.由已知，得/“。+办=。加1—3,3〃?+可.又("汝+))〃〃，所以工(3根+

工)一3(〃比-3)=0,即«=—9,无实数解，故C错误.由(〃以+力)〃力，得一3(3”?

+外一人(，小一3)=0,即〃”(f+9)=0,所以，〃=0,人WR,故DJL确.故选ABC.

(2)施=协一为=(4一亿-7),

AC=OC-OA=(-2k,-2).

因为A,B,。三点共线，所以无瓦危共线，

所以一2X(4—Z)=—7X(—2E),解得人=一3

【答案】(l)ABC(2)A

陶窗图

(1)向量共线的两种表示形式

设a=Cn,yi),8=(x2,”)，①。〃办=＞。=乃(5W0)；②。〃AOxi”一X2)，i=0,

至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.

(2)两向量共线的充要条件的作用

判断两向量是否共线（平行），可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共

线的充要条件可以列出方程（组），求出未知数的值.

跟踪训练;

1.(多选)己知〃=(1,2),b=(4,k),若3+23〃(3。-3,则下列说法正确

的是()

A.Z=8B.族|=4小

C.ab=l2D.a//b

解析：选ABD.因为4=(1,2),力=(4,k),所以。+2)=(1,2)+(8,2k)=

(9,2+22),3a-b=(3,6)-(4,%)=(—1,6T),因为(。+2加〃(3〃一万)，所以

9(6—4)=(—l)X(2+2k),则左=8,A正确；步|=142+82=4#,B正确；ab=

1X4+2X8=20,C错误；由于1X8=2X4,a//b,故D正确，所以选ABD.

2.已知梯形A8CD,其中A8〃CO,fLDC=2AB,三个顶点A(l,2),B(2,

1),C(4,2),则点。的坐标为.

解析：因为在梯形ABCD中，AB//CD,DC=2AB,所以皮=2卷.设点D

的坐标为(x,)，)，则成=(4,2)-(x,)=(4一心2—y),AB=(2,1)-(1,2)=(1,

[4—x=2,

-1),所以(4-x,2-y)=2(l,-l),即(4一x,2—)：)=(2,-2),所以，

[2-y=~2f

fx=2,

解得彳故点。的坐标为(2,4).

〔丁=4,

答案：(2,4)

3.己知a=(l,0),b=(2,1).

(1)当人为何值时，而一力与。+2〃共线？

(2)若筋=2a+3儿反:=°+，而且A,B,C三点共线，求〃z的值.

解：(l)ka—b=k(l,0)—(2,1)=伏一2,—1),

。+2力=(1,0)+2(2,1)=(5,2).

因为ka-b与〃+2。共线，所以2(女—2)—(一1)乂5=0,

即兼-4+5=0,得k=-Q.

（2）方法一：因为儿B,。三点共线,

所以即2。+38=4。+〃力),

2=2,3

所以彳解得小=；.

.3=〃"，，

方法二：荏=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),

BC=a-\-mb={\,0)+机(2,1)=(2/??+1,/??).

因为A,B,C'三点共线，

所以检//册.所以8机一3(2机+1)=0,

3

--

即2小一3=0,所以2

方法素养助学培优

思想方法系列10巧建系，促运算

AH

典例如图，在边长为4的正方形ABC。中，动圆。的半径为1,圆心。在

线段(含端点)上运动，尸是圆。上及内部的动点，设向量办=〃葡+〃国)伽,

n为实数)，则m+〃的取值范围是()

T2+当3

A.B.

9

3-

C.D.4

【解析】如图建立平面直角坐标系，则油=(4,0),AD=(0,4),AP=

mAB+nAD=(4mf4n),设。(4,t),re[0,4],则P在圆。-4)2+°，一。2=1上,

4+cos。=4/〃，厂(兀、

设P(4+cos0,f+sin0),则彳,八4〃z+4〃=4+7+也sin。+彳|,当/

U+sin0=4〃，V耳)

=0,〃=竽时，取得最小值1—乎，当7=4,时，团+，取得最大值2

[T2+即

+坐所以m+〃的取值范围是

【答案】A

国则信掘

巧建系妙解题，常见的建系方法如下

（1）利用图形中现成的垂直关系

若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线（如矩形、直角梯形等）,

可以利用这两条直线建立坐标系.

（2）利用图形中的对称关系

图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系（如:

等腰三角形、等腰梯形等），可利用自身对称性建系.建立平面直角坐标系的基

本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限.

回拓展练习】如图2,“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点

。且三组对边分别平行.点A,B是“六芒星”（如图1）的两个顶点.动点P在

“六芒星”上（内部以及边界），若成=x法十），励，贝Ux+y的取值范围是（)

图1六芒星图2

A.[-4,4]

B.[一旧，师]

C.[-5,5]

D.[-6,6]

解析:

选C.如图建立平面直角坐标系，

令正三角形边长为3,则为=i,以=一号+书，可得i=血尸平苏+

小油，由图知当P在。点时有，OP=^3j=2OA+3OB,此时x+y有最大值5,

同理点户在与。相对的下顶点时有况=一代;=一2醇一3丽，此时x+y有最

小值一5.

知能提升•分层演练

fA级基础练］

1.(2020•陕西汉中月考)已知向量。，力满足Q一6=(1,-5),Q+2办=(-2,

1),则/=()

A.(1,2)B.(1,-2)

C.(-1,2)D.(-1,-2)

解析：选C.因为。一》=(1,-5)©,。+20=(-2,1)②，所以②一①得35

=(-3,6),所以5=(—1,2).故选C.

2.设向量ei,。2是平面内的一组基底，若向量。=-3ei—e2与力=ei-M2

共线，则2=()

A-3B-4

C.-3D.3

解析：选B.方法一：因为〃与》共线，所以存在〃&R,使得a=〃b,即一

3ei—e2=〃(ei-&2).

故〃=-3,—A//=-1,解得2=-g.

故选B.

方法二：因为向量ei,°2是平面内的一^且基底，

I—11

故由。与方共线可得，—,解得人=一不

-3—I5

故选B.

3.已知0。是平行四边形QABC的一条对角线，O为坐标原点，04=(2,

4),OB=(1,3),若点七满足氏=3反;，则点E的坐标为()

解析：选A.易知优=仍一宓=(—1,—1),则C(—1,-1),设E(x,y),

则3比=3(—1-x,一1一)，)=(一3一3不，-3-3y),由沆=3或知

一3—3/=—1,

-3-3y=-l,

所以所以

2

4.(多选)已知向量殖=(1,-3),丽=(2,-1),觉=(〃z+1,6一2),若

点A,B,。能构成三角形，则实数〃z可以是()

A.-2B.T乙

C.1D.-1

解析：选ABD.各选项代入验证，若4,B,。三点不共线即可构成三角形.因

为烈=丽一殖=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC=0C-dA=(/w+l,m-2)

-(1,-3)=(w,m+1).假设A,B,。三点共线，则lX(w+l)-2m=0,即〃z

=1.所以只要mW1,则4,B,。三点即可构成三角形，故选ABD.

5.在正六边形ABCOE/中，对角线用＞C厂相交于点P.若办=.信十)酢,

则x+y=()

A.2B.|

C.3D..

J

解析：选B.如图，记正六边形ABCQEb的中心为点0,连接。8,0D,

易证四边形OBC。为菱形，且P恰为其中心,

于是崩=；的=；籥，

3

因此/=赤+户»=4>+评,

3

因为AP=x4B+vAF,所以x?

6.已知向量。=(2,-1)”=(1若(〃+26)〃(2。一力),则实数％=.

解析：。+2力=(4,22—1)>2a—b=(3t—27),

因为(。+20)〃(2。一力)，

所以4(一2—2)=3(22—1),解得2=一/

答案：—g

7.设内，。2是平面内一组基向量，且a=ei+2e2,b=-e\-\-ei,则向量ei

+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合，即4+«2=。+

b.

解析：由题意，设ei+。2=/〃。+〃).

因为4=4+2及，Z>=-ei+及，

所以ei+C2=m(ei+2及)+〃(-ei+。2)=(加一〃)ei+(2m+n)ei.

由平面向量基本定理,得\鼠m十—n〃==1],,所以

答案：(21

3

8.已知点A(2,3),8(4,5),C(7,10),若AP=A3+14CUWR),且点P

在直线x-2y=0上，则2的值为.

解析：设P(x,)，),则由崩=方?+2/.得(X—2,)，-3)=(2.2)+2(5.7)

=(2+5九2+72),所以x=5/l+4,)，=72+5.又点P在直线工一2,=0上，故57

2

+4—2(72+5)=0,解得2=—不

9

答案：一(

9.已知A(—2,4),8(3,-1),。(一3,-4).设电=。，BC=b,CA=c,

且加=3c,C^=-2b.

(1)求3。+力一3c；

(2)求满足汕+〃c的实数m,n的值;

(3)求M,N的坐标及向量曲的坐标.

解：由已知得。=(5,—5),》=(—6,—3),c=(l,8).

(1)3〃+力-3c=3(5,—5)+(—6,—3)—3(1,8)

=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).

(2)因为mb+nc=(—6m+〃，-3〃?+8〃)，

X-

—6机+〃=5，m=­1,

所以，|c解得，

3团+8〃=-5,[n=-1.

(3)设。为坐标原点，因为《力=而一浣=3c,

所以5X/=3c+及'=(3,24)+(—3,-4)=(0,20).

所以M(0,20).又因为西=原一沆*=一24

所以就=-2方+庆=(12,6)+(—3,-4)=(9,2),

所以N(9,2),所以疝V=(9,-18).

10.已知点A,8为单位圆。上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一

点，且总与成不共线.

(1)在△OAB中，点P在4B上，且崩=2而，若#=,协+s苏，求r+s

的值；

(2)已知点P满足办=机醇+份("2为常数)，若四边形0ABp为平行四边形,

求m的值.

fff2

解：(1)因为存=2而，所以办=抻,

272

所以/=,(丽一)1)=,丽—1宓，

又因为#=7协+S苏，

-29

所以—所以r+s=O.

*'

(2)因为四边形OABP为平行四边形,

所以励=次，

又因为次=加醇+协，所以丽=丽+。〃+1)5A,

依题意醇，痂是非零向量且不共线,

所以"?+1=0,解得m=-1.

［B级综合练］

11.(多选)已知向量ei=(-1,2),e2=(2,1),若向量。=力幻+22/，则可

使7也＜0成立的a可能是()

A.(1,0)B.(0,1)

C.(-1,0)D.(0,-1)

解析：选AC.因为ei=(—1,2),e2=(2,1),所以向量。=iiei+2262=(一力，

221)+(222,A2)=(2A2—zi,221+12).若。=(1,0),则2九+22=0,满足2122V0,

所以A符合题意.若。=(0,1),则2后一为=0,不满足右后＜0,所以B不符合

题意.若。=(一1,0),则2为+22=0,满足力方＜0,所以C符合题意.若〃=((),

-1),则2力一力=(),不满足［以2＜(),所以D不符合题意.故选AC.

12.已知关于大的方程加+公+。=0,其中a,b,。都是非零向量，且

力不共线，则该方程的解的情况是()

A.至少有一个解B.至多有一个解

C.至多有两个解D.可能有无数个解

解析：选B.由平面向量基本定理可得，

c=ia+”)(九〃£R),

则方程af+/x+cn。可变为ax2+bx-\~ka+/zZ>=0,

即(A+x2)a+(〃+大))=0,

=(),

因为m力不共线，所以1’

l//4-x=0,

可知方程组可能无解，也可能有一个解.

所以方程aF+bx+cn。至多有一个解，故选B.

13.

如图，在△08C中，点A是线段8c的中点，点。是线段。8上一个靠近

点8的三等分点，设牯=0AO=b.

(1)用向量。与力表示向量沆，CD;

(2)若无=］晶，判断C,D,£二点是否共线，并说明理由.

解：(1)因为点A是线段3c的中点，点。是线段。8上一个靠近点8的三

等分点，所以危=一丽，CB=2AB,应)=!应).因为筋=a,AO=b,所以衣=

OA+AC=-AO-AB=-a-b,a)=丽+国)=2烈+版=2油+g屈+双

(2)C,D,E三点不共线.理由如下：

因为无=3为，

3372

所以走=乃+无=乃+；/=_沆_次=4+6—罗=〃+,，

由⑴知⑦=£。+;力，

所以不存在实数2,使得在=7诙.

所以C,。，E三点不共线.

14.已知在AABC中，AB=2,AC=1,NBAC=120。，A。为角平分线.

B

(1)求的长度;

（2）过点。作直线交A3,AC的延长线于不同两点石，F,且满足4E=xA3,

1o

AF=yAC,求的值，并说明理由.

解：⑴根据角平分线定理：黑=笠=2,所以黑骞，

L-xCz/HoLD

ff2ff22f

所以启=油+丽=烈+1册=电+1（危一油尸产+”，

444