河南省郑州市某中学2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试卷（含答案解析）

河南省郑州市实验中学2024-2025学年高一下学期期末考试数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若一个多面体共有12条棱，则这个多面体可能是()

A.六棱柱B.五楂锥C.四棱柱D.三楂台

2.已加(3,5),5(1,-2),。2,1),则［"+7-=()

A.(3,11)B.(-3,-11)

C.(9,9)D.(-9,-9)

a+i

3.已知a£R,复数z二,在复平面内对应的点位于第一象限，岫的取值范围为()

r21、B

A.朋

C.D.(-2,2)

4.&ABC中，AB=6,AC=5,8C'=8,则V/18C为()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

5.若复数Z=4+i(«GR)是关于x的一元二次方程f+4x+m=0(〃?£R)的一个根，则〃尸

()

A.2B.3C.4D.5

6.如图，在ZVIB。中，用用心上?2H丁生是力。的中点，则万一斤一一二()

894

B.--AB+-AC

63

c.-'AB+-7C

6，

试卷第1页，共6页

D.--AB+—AC

X94

7.如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机（视为质点）飞升至离地面高为6米的点力

处时，测得塔尖。的俯角为心无人机沿水平方向飞行b米后至点8处时.,测得塔尖。的

俯角为人则塔尖。距离地面（）

tana-tantz

C.〃一丝吧”幽米

tan。tan8

,Mtanaxtan优“

D.h--------------米

tana+tan6

8.不透明的袋子中装有两个分别标有数字1,2的红球和四个分别标有数字1,2,3,4的

黄球，这些球除颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则（）

A.这两个球颜色相同的概率大于颜色不同的概率

B.至少有一个红球被取出的概率为-

S

C.这两个球上的数字相同的概率为—

15

3

D.这两个球上的数字之积为偶数的概率为-

二、多选题

9.下列调查中，适合用抽样调查的是（）

A.调直某款新能源汽车电池的使用寿命

B.调查某班学生的身高

C.调查全国居民使用某款手机的情况

D.调查飞机零部件的质量情况

---兀

10.已知气e，是平面内的两个单位向量，且它们的夹角为大，若

■.T―,,,.T

n=et+3e=xe,—e,/=e,+jv,,且，△/，则（）

试卷第2页，共6页

5

B.

7

6

c.D.

7

II.如图，在正四棱锥产一片8CQ中，瓦尸分别是P4PC的中点，则下列结论正确的是()

A.设平面则丝=!

PD彳

B.三棱锥E—8。尸与正四棱锥P—"CQ的体积之比为1:4

C.若以=也，则正四棱锥P—X8CQ内切球与外接球的半径之比为1:6

AR7

D.正四棱锥P一被平面8七/分成的上、下两部分的体积之比为1:5

三、填空题

12.一组数据25,23,26,19,17,21,20的第40百分位数为.

13.如图，△4"/。/是用斜二测画法画出的水平放置的V48C的直观图，若

O/A/=B/C/=2,kO/C/B/=75°,则在MBC中，AC=

14.在V/8C中，AB+AC=6,BC=4,D是BC的中点，E是Y/IBC'的内心，则7万.7万二

四、解答题

15.为了提高学生的消防安全意识，某地计划从当地4万名中学生中随机选取1000人参加

消防安全知识测试,将他们的得分(满分：100分)分组为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100],并按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图.

试卷第3页，共6页

⑴求m的值:

(2)在参加了消防安全知识测试，且得分在［40,50)和［80,90)内的中学生中，按比例采用分层随

机抽样的方法抽取50人,求抽取的得分在［40,50)内的学生人数：

(3)若规定得分不低于70分的学生的评级为优秀，以参加了消防安全知识测试的中学生为代

表，估计当地中学生评级为优秀的人数.

16.如图，在四棱锥P-4BCQ中，△43是等边三角形，四边形44CZ)是正方形，PC=Ji4B.

(1)证明：平面平面力BCQ；

(2)求平面尸。£＞与平面4?CQ所成角的正弦值.

17.如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面

体骰子四个面分别标以数字1到4,正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子

游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为〃，若。为奇数，则第二

次抛掷正四面体骰了，若以为偶数，则第二次抛掷正八面体骰了记第二次抛掷的骰了与地

面接触的面上的数字为公设事件力：。42,事件4:力二2,事件C»=6.

试卷第4页，共6页

(1)求事件。发生的概率：

(2)判断事件力，8是否相互独立，并说明理由.

”共

18.定义：两个多面体M,加2的重合度,其中P公共是多面体M,必的

匕+匕一「公共

重合部分的体枳，匕，匕分别是多面体M，』弘的体积.如图，在三梭柱48c中，D,

E分别是棱3为，CG上的点(不包含端点)，且4。=CE,延长4Q,AE,分别交力四，

4G的延长线于点尸，G.

①求三棱柱48。-小乩。|与三棱锥力-小5G重合部分的体积；

②求三棱柱48C-481G与三棱锥4-X/G的重合度K.

\BD

(2)若三棱柱力与三棱锥力-4LG的重合度K=~,求万瓦的值.

19.已知锐角三角形43c的内角HaC的对边分别为“，瓦c,且a：+〃+°?=4".

(1)若c=5,cosC=Q：求V/8c的面枳；

(2)求C的取值范围；

试卷第5页，共6页

(3)求一!"；+」+」:的取值范围.

tanAtanHtanf

试卷第6页，共6页

《河南省郑州市实验中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案CBACDDBCACABD

题号11

答案ABD

1.C

【分析】利用棱柱、棱锥、棱台的结构特征判断即可.

【详解】对于A,六棱柱有18条棱，A不是：

对于B,五棱锥的10条棱，B不是；

对于C,四棱柱有12条核，C是；

对于D,三棱台有9条棱，D不是.

故选：C

2.B

【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解判断.

一T——♦

【详解】由掰3,5),5(1,-2),C(2,l),得4?=(-2,-7),.4。=(-1,-4),

一一>——♦

所以48+4C=

故选：B

3.A

【分析】根据复数的几何意义得到不等式组，求解即可.

a+i_(q+i)(l-2i)_(a+2)+(l-2a)

【详解】1+2?"(l+2i)(l-2i)-F

/10]o、

则z在复平面内对应的点为，且位于第一象限,

纪工>0

51

所以解得

]-2a

——->0

5

(n

所以。的取值范围为[-2,

I2yl

故选:A.

4.C

【分析】根据余弦定理可得cos4<0,即力为钝角，进而即可得到答案.

答案第1页，共12页

小AH±Xffi阳，AB2+AC2-BC262+52-1八

【详解】由余弦定理得cos/=-------------------------=--------------------------<0,

2ABAC2x6x520

又在Y48C中，力£（0,兀），则力为钝角,

所以V48C为钝角三角形.

故选：C.

5.D

【分析】z=Q-i也是/+4工+〃？=0（/〃£R）的一个根，由韦达定理求出。=-2,m=5.

I详解】由题意可得z=Q-i也是f+4x+m=0（znGR）的一个根,

由韦达定理得z+z=q+i+«―i=2a=—4,解得。=—2,

所以（-2+0（一2—。=5.

故选：D

6.D

【分析】根据向量:的加减法结合平面向量的线性表示计算求解.

-I->—►—I-♦

【详解】在△ABC中，BD=3DC,AF-2FC,E是力。的中点，

则而;丽-旋=2万一_1布=-JC--|^4§+^C|=匕G.

3232144厂248

故选：D.

7.B

【分析】根据给定条件，求出塔尖C到飞行线路48的距离即可.

【详解】作。_1_48于。，如图:

八CDfCDCDCD,

则AD=----,BD=-----.而力。一RD=h,即------------=b,

tanatanotanatano

解得CO="ta：atan',所以塔尖。距离地面〃Btancrtan6

tano-tanatan^-tana

故选：B

8.C

【分析】写出样本空间，列举法进行求解古典概型的概率.

【详解】从袋子中随机取出两个球，样本空间｛（红1,红2）,@1,黄I）,61,黄2）,

答案第2页，共12页

（红1,黄3）,⑶11,黄4"团2,黄1）,（红2,黄2）,（红2,黄3）,（红2,黄4）,

（黄1,黄2）,（黄1,黄3；,（黄1,黄4）,（黄2,黄3）,（黄2,黄4）,（黄3,黄4）}.

A选项，样本空间共15种情况数，其中两个球颜色相同的情况有7种，颜色不同的有8种，

7Q

这两个球颜色相同的概率为百，颜色不同的概率为是己，A不正确.

93

B选项，至少有一个红球的情况有9种，故概率为是二=±,B不正确.

ISS

C选项，这两个球上的数字相同情况有2种，故概率为食，C正确.

D选项，这两个球上的数字之积为偶数的情况有12种，概率为1匕2=24,D不正确.

ISS

故选：C

9.AC

【分析】根据抽样调查的定义直接判断即可.

【详解】选项A：调查某款新能源汽车电池的使用寿命，

测试电池使用寿命会对电池造成破坏，

且全面测试成本高、耗时久，适合抽样调查；

选项B：调查某班学生的身高，班级学生数量相对较少，

能够方便、准确地对每个学生进行身高测量，

适合全面调查（普查），不适合抽样调查；

选项C：调杳全国居民使用某款手机的情况，

全国居民数量极其庞大，全面调汽难度极大、成本过高，适合抽样调企：

选项D：调查飞机零部件的质量情况，飞机零部件质量关乎飞行安全，

必须进行全面、精确的检查，确保每个零部件都合格，

适合全面调查（普查〉，不适合抽样调查.

故选：AC.

10.ABD

【分析】根据给定条件，利用共线向量、垂直关系的向量表示求出'J,南结合向量的模及

数量积求解.

TXI

【详解」对于A,由得f=解得x=-Q，A正确；

——7T]—•—•—•31

对于B,e,-e,=lxlxcos-=y,由f屋，得=（巧+3e）・（6+g）=l+3y+5+支=o,

答案第3页，共12页

解得歹=一；，B正确；

2

对于C，c=e,-1e2»W'Jc|=^（et-^e2）==^-C错误；

_]______1—-113

对于D,b=~~^e\~e2»H=（q+3与）•（一Q,一0）=-4_3-1=一7，D正确.

故选：ABD

11.ABD

【分析】利用空间向量四点共面的结论判断A的真假：利用棱锥的体积公式判断B的真假:

分别求内切球和外接球半径，判断C的真假：利用B选项的结论，可以判断D的真假.

【详解】对A：取｛四,而，无｝为空间向量的基底.

则P1=P4+/£=P4+8'=尸/-PB+P

即匕=心工=解了-1B~+小尸=2心E-a8一+2/F

因为用E。,产四点共面，所以2人才+24=1-2二（

一1一po1

所以PO=Lp。，即上=一，故A正确：

-aPD;

对B：如图:

连接力。，交BD于G,连接GEGRGP.

因为四棱锥PF5C。为正三棱锥，所以平面产力CJ_平面力8CQ,PG_L平面/8CQ.

又E,尸分别为中点，。为dC中点，所以=

d

所以^fi-EFG=—^H-PAC»同理V【AEFG=~^l）-PAC»

44

111

所以Vg-EFG+^D-EFG=B-PAC~^D-PAC>即^E-BDF~~^PABCD,故B正确；

对C:若空二立，不妨设4=石，力8=2,则4G=g,PG=h

AR7

所以Pp-ABCD~彳龙dBCD.PG=—x4xG='.

答案第4页，共12页

又Sos=gx2x2=2：

设P—ABCD内切球的半径为广,则^P-ABCD=\（So械0+45血8）"，

即W=；x(4+4x2)v

设尸一48C。外接球球心为O,则。在尸G上，设外接球半径为A,

则A?=OG2+BG2-R2=(PG-R}+AG2_*R=(G_R)~+2-夫=5、3

所以彳=—%'=—.故C错误:

R5V35

6

1

对D：由B选项可知：VE-ABD~匕JW)D=VR~BDF=公尸P-ABCI)»

WVp-F.FB~/-EFO,所以Vp—EFB=^P-EFD~P-ABCD»

又=3，所以^F.-PQF=~^E-PI)F.=P-EFD=五匕jNCO'

所以P-BEQF~"fEF+VfTQF^P-riBCD=~yI

1824JP-^tBCD•

所以正四梭锥。一48C。被平面8f分成的上、下两部分的体积之比为1:5,故D正确.

故选：ABD

12.20

【分析】应用百分位数的求法求数据的第40百分位数.

【详解】将这组数据从小到大排序为17,19,20,21,23,25,26,

因为0.4x7=2.8,所以这组数据的第40百分位数为20.

故答案为：20

13.20

【分析】由直观图△/"/C7根据斜二测规则结合边长计算求解即可.

［详解】由△4/8/C/可知，。/4/=B/C/=2,ILO/C/B/=75-,上C/0/8/=45*,上C/8/C/=60,

2O'C/,f-

由正弦定理得五一~所以OC=2C。/=

22

在V48c中，因为OCJ_/18,所以AC=J水阳=”+24=2"

故答案为：2行.

答案第5页，共12页

14.3

【分析】根据给定条件，结合三角形面积定理可得前=—-—AB+——AC,再利用

a+b+ca+b+c

数量积的运算律及余弦定理求解.

【详解】令V48C的内角所对边分别为,延长从E交BC于O,连接8£CE,

由E是V/14c的内心，得4£,8E,CE分别平分上84。,上仙。，上4c8,

BOSi_gxB.XOsinNBXO力§、

B()+CO-a

C0S.ACO-ACAOsinZCAOACbt

2

同理股1=02=92=即由=3万

令函=(l-x)而+戈沅,

\AE\ABACb+cb+c

则x=-^,^EO=—EB+—EC,

b+cb+cb+c

因此a力E=bEf+cEC=b(AB-AE)+dAC-AE),AE=-y—AB+―；——AC

a+b+ca+b+c

.I.1•..I.■I•.

y.AD=-(AB+AC)于是力。•力E=-(/18+4C)——(bAB+cAC)

2t210

=—[be2+cb1+(b+c)ABAC]=—(be+AB-AC),

由余弦定理得16="=—25ccos上84c=(b+cf—2(bc+AB,AC).

贝|匠+力B.AC-10,所以D.AE=3.

15.(1)0.015；

(2)20人；

(3)16000人.

【分析】(1)根据频率和为1列方程求参数值：

(2)(3)根据直方图估计对应区间频率，进而估计人数即可;

【详解】(1)由图得10x(0.01+2x0.02+003+0.005+〃)=1,解得m=0.015.

(2)参加了消防安全知识测试的中学生中，得分在［40,50)内的频率为10x0.01=0.1,

答案第6页，共12页

则学生人数为1000x0.1=100,

得分在［80,90)内的频率为10^=0.15,则学生人数为1000x0.15=150,

故抽取的得分在［40,50)内的学生人数为77粤左x50=20人.

1004.1Si)

(3)参加了消防安全知识测试的中学生中，得分不低于70分的频率为

10x(0.02+w+0.005)=0.4,

以参加r消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数为

0.4X40000=16000A.

16.(1)证明见解析

⑵痘

【分析】(1)由题干数据结合勾股定理可得8C_LP〃，根据正方形8CJL44可推出线面垂

直，然后根据面面垂直的判定定理证明；

(2)先作出二面角的平面角，然后由题干条件求解.

【详解】(1)饺PC=0QAB,则力八I,即底面正方形边长是1,等边三角形的

边长是1,

由PC=6,PB=BC=\,即尸。=PB2+BC,则8C_1_尸8,显然8CJ_,

义PBCAB=3,P8,4BL平面P4B,则8CJL平面尸4?,

又4cL平面48C。，则平面尸/WJ_平面力8。/).

(2)

作垂足为E,作EFJ_CD,垂足为尸，连接尸F,

平面P/8_L平面力48,PE_LAB,PEr■平面P/1B,平面P力8n平面44CZ>=月4,

于是尸£_!_平面/14C。，由CZ)L平面4?C£),则PE_LCZ),

又PECEF=E,PE,EP「平面PEF,则。。J_平面尸以"

又PF厂平面PE”.则CDA-PF.5L.EF±CD.

答案第7页，共12页

则上PPE为平面PCQ与平面ABCD所成角，

由PE=虫,EF=1,PF={PE+E户=—

99

则sin上PFE="=叵

PF7

17.⑴总

（2）不相互独立，理由见解析；

【分析】（1）利用全概率公式计算求解

<2）利用独立事件概率乘积公式计算判断即可.

【详解】（1）设第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为。，。为奇数为事件。,

P（C）=P（D）xP（C|D）+P（D）xP（C|D）=lxO+1xl=l

（2）事件4,8不是相互独立；

八

PD（/DB\）=-Ix1-+1-x-1=—3，0（<）=_2=一1

v7749816''A4

P（/1B）=—x—+—x-=—.

'7947816

因为夕（4?）H,所以事件力，8不是相互独立：

2

18.⑴①12；②k

⑵厚

1A

【分析1（1）先设△力1与G的面积为s,三棱柱/BC-力与G的高为〃，得到三棱柱

4BO4BC1的体积匕=Sh.①作DH//4B,交4小于点H,连接E”,求证平面平

面得到〃为棱44的中点，进而依次得三楂柱"QE-43c的体积、三棱锥力-DEH的体积,

从而得三棱柱与三棱锥力-小”1重合部分的体积.

44।

②求证市7=］得到S△小心=4S»B£=4S,从而求出三棱铢力・//G的体积力即可由重合

度定义求解.

（2）先设有二1（°<”<1）进而求出三棱柱与三棱锥4-4/G重合部分的

nDx

体积唳共二片1匕接着求出21二4进而求出FG

从而求出三棱

・I/,

锥Z-小尸G的体积匕，再由重合度定义列出关于力的方程即可求解.

答案第8页，共12页

【详解】(1)设△力向G的面积为S,三棱柱48C—4为G的高为力，则三棱柱48C—48G

的体积匕=Sh.

①作OM//16,交/4于点〃，连接E”，

因为。〃丈平面48C,/18L平面48C,所以。〃//平面48C,

伏I为RD!ICE,且4£)=CE,所以AC/〃)E,

又DE丈平而ABC,BCL平而48C,所以。£7/平面ABC,

又DH&DE;D,所以平面。石〃//平面44C,

因为8。=：8与，所以，为棱44的中点，

11

则三棱柱M5E一小81G的沐积力一向&=不匕=9,三棱锥力一£)£〃的体积匕一砥/=^匕=3.

故三棱柱z/8C—481G与三棱锥J—4EG重合部分的体积

“公共=%ET四*+^.4-00!=9+3=12.

②因为。〃//力向，所以所以△4E%,

DHAHBD1A.B.1

所以一所以----二—

A.FAA.BB、2'AtFV

因为。E//81G，8[C]U平面小FG,OE丈平面4R7,所以£>£7/平面A/G.

因为平面力产GCI平面小产G二尸G,且。EL平面/FG,

所以DE//FG,所以BCJ/FG,

则△481Gs/\4尸G,故SZ、FG=4sAi产£=4s,

从而三棱锥力一小R7的体枳后=上的小=$7,=24,

〃共二12二2

故三棱柱/8。一4&G与三棱锥/—4川G的重合度犬=匕+匕_%共=18+2472=^

答案第9页，共12页

（2）设百=，（°<4<1）：则8。二犯V，从而丛。=（1—才）4名,

故三棱柱"QE—4&G的体积心1/£二（1一方）匕，

三楂锥A-DEH的体积匕_o£〃=!匕，

故三棱柱48C一力fiG与三楂锥力一/LG重合部分的体积

3—2；

匕&共=-HDE-AB©+，A-DEH=-—匕-

因为。〃//小从，所以。印///，所以△4V/s/：i/少/，

因为。E//81G，81GL平面4EG,OE丈平面小尸G,所以。£7/平面小尸G.

因为平面力bGfl平面小NG=R7,且OEL平面/FG,

所以DE//FG,所以BIG〃FG,

则△/l[8]GsZ\4/rG,故SM、FG=不§△48£|=1N，

从而三棱锥A—AFG的体积匕—qS&f/G,h-Try匕，

}45AT

1/3

故三棱柱/8C-4B1G与三极锥彳一彳尸G的重合度犬=——1'-7=-

1彳/2I

因为K=-,所以“："」,所以。3—9不+1=0,

R2万+13

所以（才一1）（8/一才-1）=0解得R=1或，=或2=

1nIn

因为0<4<1,所以4=11画.

19.⑴5亚

【分析】（1）根据余弦定理，结合所给条件可得15,即可由面积公式求解，

<2）根据锐角三角形，绍合余弦定理可得!<；<2且；工1,进而利用余弦定理以及对勾函

2bb

数的性质求解,

答案第10页，共12页

（3）根据三角形面积公式以及余弦定理可得」一+」_+_L=1+"+。2进一步得

fnnAtanRtanCzlV

」1一+」1一12=即可结合角的范围求解.

tanAtanRtnnC

【详解】（I）cosC="一十1一.则/+/一/:华，

lab3彳