高一数学单元复习（人教A版必修第一册）第三章测试：函数的概念与性质·基础卷（含解析）

2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷

第三章函数的概念与性质•基础通关

建议用时：120分钟，满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.下列表示函数图象的是()

.5”上

MJo[

c.J1LD.圭

2.函数/("=d+J(x+4)(17)的定义域是()

A.(e,-4]j2,4w)B.(-4,O]U(O,l)

C.H，0)J(0,l]D.[-4.0)J(0,l)

3.下列函数中，在区间(-8,0)上单调递减的是()

A.fM=xB./(幻=-一

C.f(x)=x2+2xD.fW=\x\

4.若函数/(工)=公2+法+7是区间[-I+&2司内的偶函数，则的值为（）

A-LB，c—D-1

A.2b.3J4

5.如图，①②③④对应四个事函数的图象，则①对应的累函数可以是（）

6.已知函数/（力=五，若/（。-1）＞/（10-2〃），则。的取值范围是（）

A.（0,5）B.（5,-HX））C.［-1,3）D.（3,5］

7.已知函数〃力=则（）

X—1

A./（X）的定义域为（I,+8）B./（工）在区间卜2,0］内单调递增

C./（外在区间卜2,0］内的最大值为-:D./（3）＜/（4）＜/（5）

8.数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进吁求解，然后根据结果去解决实际问题.小

明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那

么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千

米川、时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时

车流速度为0：当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明，当xe：20,200］时，

车流速度v是车流密度x的一次函数.问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车

辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（）

A.60B.100C.200D.600

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列各组函数中，是同一个函数的有（）

A./（幻=,与g（x）==B./（X）=x°与g（x）=1

xx~

C.f“）=（五尸与冢刈=|"D.==

x+2,x<-l

10.已知函数/(x)=・则下列关于函数/（x）的结论正确的是（)

x2,—1<x<2

A./(/(-1))=1B.若f(x)=3,则x的值是6

C./(刈＜1的解集为(—,1)D./(%)的值域为(e,4]

11.若定义在R上的函数满足〃x+l)为奇函数，且对任意王，七目1,也)，都有一〃内)＞0,

工2一占

则下列说法正确的是()

A,〃力的图象关于点(TO)对称

B./")在R上是增函数

C./(X)+/(2T)=0

D.关于x的不等式/")＞。的解集为(1，讨)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数)，=J_—+2x+2的值域为.

13.已知辕函数/5)=k一2(mwN)的图象关于原点对称，且在(0,+8)上单调递减，若涓＞(l-2a)与，

则实数a的取值范围是.

14.边际函数是经济学中一个基本概念，在国防J医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，

函数/("的边际函数期(对定义为必(x)=/(x+l)-/(x).某公司每月最多生产75台报警系统装置，生

产上台(xeN")的收入函数R(x)=300Qx-20V(单位：元)，其成本函数C(x)=500x+4000(单位：元),

利涧是收入与成本之差，设利润函数为尸(x),则以下说法正确的有

①P")取得最大值时每月产量为63台；

②边际利润函数的表达式为MP。)=2480-4(比1wN*)

③利润函数P(”与边际利润函数MQ(x)不具有相同的最大值

④边际利润函数例?(另说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

C(x)=-+----------1390.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完•(“年利润”="年总收入

4x

“生产成本”-“固定成本”)

(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？

19.(17分)

定义在(0,收)上的函数/。)满足：①当x>l时，/(x)>0；②对任意实数-y都有/■)，)=/*)+/”).

(1)证明：当0cx<1时，/(x)<0；

(2)判断/(x)在(0,y)上的单调性；

(3)解不等/(x+l)+/(2A-3)>0.

2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷

第三章函数的概念与性质•基础通关

建议用时：120分钟，满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.下列表示函数图象的是()

【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可.

【详解】在函数的基本概念中，自变量”和因变量y需要一一对应，且对「每个工值，仅有一个)'值对应,

所以选项ABD均不符合.

故选：C.

2.函数/(x)=d+J(x+4)(17)的定义域是()

A.S，-4]j[2*)B.(-4,0]U(0,l)

C.H，0)J(0,l]D.I，0)J(04)

【答案】C

【分析】由题意可得“X+4)(1T"O,求解即可.

【详解】由、八，得</1、/»小，解得-4Wx<0或。,

(x+4)(l-x)>0[(x+4)(x-l)<0

所以函数/(X)=+J(K+4)(I—»)的定义域是[-1,0)(0,1].

故选：c.

3.下列函数中，在区间(-8,0)上单调递减的是()

A./(x)=xB./(x)=—

C.f(x)=x2+2xD./(x)=|x|

【答案】D

【分析1根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断.

【详解】在(-8,0)上，/(X)=X是增函数，/*)=-■!■是增函数，

X

fa)=f+2x在(y,-l)上是减函数,在(-1,0)上是增函数，

x<0时，f(x)=W=-x是减函数，

故选：D.

4.若函数〃力=⑪2+己+7是区间［T+。,冽内的偶函数,则的值为()

A,三B.：C.：D.|

【答案】B

【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到。的值，进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到〃的值,

即得.

【详解】由题得一1+。+〃=(),即又〃力是偶函数，

则or?+瓜+7=奴2一法+7,所以6=0,故a+b=；.

故选：B.

5.如图，①②③④对应四个基函数的图象，则①对应的基函数可以是()

【答案】C

【分析】结合图象及幕函数的性质判断即可.

【详解】由图可知，①对应的幕函数：函数的定义域为［0,+8),在第一象限内单调递增,

且图象呈现上凸趋势，则指数。的值满足排除选项AD；

又y=/=潺的定义域为R,尸j=正"的定义域为［。,+8),

故y=j符合题意.

故选：c

6.已知函数/(x)=JL若/(a-l)>/(IO-2〃)，则。的取值范围是()

A.(0,5)B.(5,-foo)C.［-1,3)D.(3,司

【答案】D

【分析】根据函数/(刈=五的单调性列不等式组求。的取值范围.

【详解】易知函数/(刈=6在［0,内)上单调递增，

£7+1>0a>-\

由/(々+1)>/(10_24)得“0―2°20即-a<5,解得3<。<5.

。+1>10-2。a>3

故。的取值范围是(3,5］.

故选：D.

2

7.已知函数/("=—；，则()

X-1

A.〃工)的定义域为(1,笆)B./(X)在区间［-2,0］内单调递增

C./(')在区间［-2,0］内的最大值为D./(3)</(4)</(5)

【答案】C

【分析】根据分母不为零建立不等式，可得函数的定义域，利用函数的单调性定义，可得函数的单调性,

进而可得答案.

【详解】/(x)的定义域为(e,1)(1,y)，A错误;

任取为<毛，则〃内)-/伍)=(,

A

当句<勺<1时，V101-1<o,x2-1<0,X,-A-|>0,则/(%)-/(七)>0；

当1<为<芍时,则菁一1>0,工2—1>0,々一为>0，则/（%）—/（王）>0，

因此/（x）在（—J）和（1,e）上分别单调递减，即在区间［-2,0］内单调递减，B错误：

当问—2,0］时，小）四=/（-2）=-屋C正确;

结合B项可得，/（3）>/（4）>/（5）,D错误.

故选：C.

8.数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进厅求解，然后根据结果去解决实际问题.小

明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那

么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：干

米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造戌堵塞，此时

车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明，当xe：20,200］时，

车流速度v是车流密度入•的一次函数.问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车

辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（）

A.60B.100C.200D.600

【答案】B

【分析】首先求得分段函数的解析式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值.

60=202+〃i200

【详解】解：当200W200时，设^=H+/九贝”0=200&十〃，解得左=三，力=-^.

［60,0<x<20,

于是u=I

——A:+—,20<A:<200.

33

60Mo<x<20,

设车流量为夕，则9=占工=，I

—<+——x,20<x<200,

33

当0Wx<20时，4=60%,此时，函数在区间［0.20）上是增函数，恒有q<1200；

1900

当20CW200时,q=—x2+—x,此时函数在区间［20,100］上是增函数,在区间［100,200］是减函数,

33

因此恒有“4詈"，等号成立当且仅当x=100；

综上所述，当x=100时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆.

故选:B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列各组函数中，是同一个函数的有()

A./(幻=』与g(x)==B./(x)=x°与g(x)=l

Xx~

C./(幻=(«尸与&。)=1川D./(幻二]与且⑺二方

【答案】AD

【分析】对选项中的两函数通过定义域、值域、对应关系等三要素进行逐一分析判断，即可得出结论.

【详解】对于A,易知两函数定义域相同，均为{x|xxO},且对应关系相同，值域相同，所以A正确；

对FB,易知f(x)=x°的定义域为{x|x=O},而g(x)=l的定义域为R,两函数定义域不同，即B错误；

对干C,易知〃幻=(«)2的定义域为{x|x2O},而g@)=UI的定义域为R,两函数定义域不同，即C错误：

对于D,易知两函数定义域相同，均为R,且对应关系相同，值域相同，所以D正确；

故选:AD

10.已知函数，则下列关于函数/(X)的结论正确的是()

『，一I<X<2

A./(/(-1))=1B.若/(x)=3,则%的值是石

C./(力<1的解集为(-<»/)D./(%)的值域为(-8,4]

【答案】AB

【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得：对B：分及-lvxv2进行计算即可得；对C：分

及一1<4<2解不等式即可得；对D：分别求出当xW—1时，—l<x<2时，〃X)的取值范围即可得.

【详解】对A：因为〃-1)=-1+2=1,则/(/(T))=/(1)=12=I,故A正确；

对B：当彳4-1时，x+2=3,解得x=l(舍去)，

当-1<工<2时，炉=3,解得x=G或x=-6(舍去)，故B正确；

对C：当xV-1时，x+2<l,解得x<T,

当一lvxv2时，x2<1,解得-Ivxvl,

所以J'(x)<1的解集为(f，故C错误；

对D：当时，〃力的取值范围是(TO』，

当-lvxv2时，/(x)的取值范隹是［0,4),

因此/("的值域为(-％4),故D错误；

故选：AB.

11.若定义在R上的函数/W满足〃x+l)为奇函数，且对任意小X,G［1,4W),都有"二)―

X2~X\

则下列说法正确的是()

A./(刈的图象关于点(TO)对称

B.〃力在R上是增函数

C./(x)+/(2-x)=0

D.关于x的不等式/(x)>0的解集为(1,小)

【答案】BCD

【分析】由已知结合函数的对称性及单调性检验各选项即可求解.

【详解】若定义在R上的函数/(%)满足/(x+1)为奇函数，

则f(“)的图象关于(1,0)对称,即/(2T)+/(X)=0,A错误，C正确;

因为对任意毛，毛£口,十8),都有>0,

*2—X

所以“力在上单调递增，

根据函数的对称性可知，/(x)在R上单调递增，B正确；

由“力>0=/⑴可得x>l,D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数y=，一一+2x+2的值域为.

【答案】［。网

【分析】根据题意可得()式--+入+2K3,可求出结果.

【详解】令〃(x)=-f+2x+2,则0W〃(X)=-/+2X+2=-(X-1)2+343,

所以OW)，4JL

故答案为：[。，6].

13.已知辕函数/*)=丁一2(,„eN)的图象关于原点对称，且在(0,+8)上单调递减，若〃W>(|_24)号，

则实数a的取值范围是.

【答案】陷

【分析】先根据基函数的性质求出机的值，再根据暴函数的单调性解不等式即可.

【详解】因为鼎函数=(,W€N)的图象关于原点对称,且在(0,+8)上单调递减，

所以〃?-2<0且6-2为奇数，

乂£N,所以“2=1,

mmI1

则二>(1-2〃尸，即为尸>(1-2〃尸，

因为函数^二/：的定义域为(0,y)且为减函数，

a>0

所以<1-2。>0,解得

a<\-2a

所以实数〃的取值范围是(。，£).

故答案为：((),；.

14.边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，

函数/(X)的边际函数W(x)定义为好(x)=〃x+l)-“X).某公司每月最多生产75台报警系统装置，生

产上台(xeN)的收入函数R(力=300(卜-201(单位：元)，其成本函数C(x)=500/4000(单位：元),

利润是收入与成本之差，设利润函数为P(x),则以下说法正确的有

①P(x)取得最大值时每月产量为63台；

②边际利润函数的表达式为=2480-40x(%GN")

③利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值

④边际利润函数”P(x)说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少.

【答案】②③④

【分析】对于①，表达出P(A)=-20X2+2500X-4000,根据单调性得到P(x)取得最大值时每月产量为63台

或62台：对于②，计算出MP(x)=2480—40x(x6N)②正确：对于③，计算出P(x)n«=74120,

MP(x)g,=MP⑴=2440；对于④，根据MP(x)=2480-40x为减函数，得到④正确.

【详解】对于①，P(r)=/?(r)-C(r)=-20,r2+2500r-4000,

二次函数P(x)的图象开口向下，对称轴为直线]=絮=62.5,

因为xeN*,所以，P(x)取得最大值时每月产量为63台或62台，①错；

对卜②，MP(x)=P(x+l)-P(x)

=卜20(x+1)2+2500(x+1)-400()]-(-20x2+2500x-4000)

=2480-40x(xeN*),②对；

对于③，P(x)1mx=P(62)=P(63)=74120,

因为函数MP(x)=2480-40x为减函数，则/“(力…=MP(l)=2440,③对；

对于④选项，因为函数MP(x)=2480-40x为减函数，

说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，④对.

故答案为：②③®.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知函数〃力=匿.

⑴求“X)的定义域；

⑵若外。)=2,求〃的值；

(3)求证：/6)=-/").

【答案】⑴{巾工±1}

(2)a=±—

3

（3）证明见解析

【分析】（1）根据函数有意义求解即可;

（2）将x=〃代入函数求解即可；

（3）将，代入函数表达式，化简验证即可求证.

x

【详解】（1）要使函数有意义，只需1-%2/0，解得XW±1,

1—X

所以函数/（力的定义域为34工土1}.

（2）因为/（"二二4，

1-X

所以仆）=粤=2,解得a=土#.

（3）因为〃刈=上工，

1—X"

而"（'）=-黑"品

所以=

16.（15分）

已知幕函数y=/（x）的图象过点

⑴求函数/（X）的解析式，并画出其图象;

（2）判断函数y=/（"的单调性，并用定义法证明.

【答案】（1）/（力=£1图象见解析

⑵在（0,y）上单调递减，证明见解析

【分析】（1）设/（"=/，代入求出。=-;，得到解析式，并画出图象;

（2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论.

【详解】（1）设（。为常数），则2"=9=2一1所以a=—；,

所以函数/"）的解析式为/"）=■，定义域为（0,+的，其图象如图所示.

（2）困数/（x）在（0,十。）上单调递减.证明如下：

[1

根据题意，得函数〃X）=X2=R,定义域为（0,y）.

V%,e（0,+oo）,且4＜七，

〃再）一/伍）=+一+=军0.

"lyjX}-X2

因为。＜玉＜当,所以0＜北＜石，所以后一北＞0.

所以/6）-/优）＞0,即以（再）"（七）,

所以/（与）-/（与）＞0,即/（内）＞/（%），

所以函数y=2在区间（0,y）卜.单调递减.

17.(15分)

(1)已知是二次函数，且满足"0)=1,/(x+I)-/(x)=2x,求的表达式;

(2)已知/(2x+l)=4f+4x,求/(x)的表达式;

(3)已知/")一2了9=3x+2,求/(x)的表达式.

【答案】(1)/(r)=r2-r+l；(2)/(切=1-1；(3)/(.r)=2(x^0).

2。=2

【分析】⑴设的表达式为小)=加+瓜+4"0),由已知可得a+b=o,解之即可;

(2)利用换元法可求解析式；

(3)在原式中用:替换”,得了(£|-2/(%)=：+2,与原式联立方程组，求解即可.

【详解】(1)设/(力="2+法+c(aw0),・・・/(0)=1,・・.c=l.

XV/(x+l)-/(x)=2x,A«(A+l)2+/?(A+l)+l-(ar2+Z?x+ri=2x.

整理得2cix+^a+b)=2.x.

由恒等式的性质知上式中对应项系数相等,

2a=2a=1

j3解得

b=-\

・•・所求函数的表达式为/(x)=f-X+1.

(2)令2x+l=z,PPJx=.・:/1(f)=4x(i^+4x^-^=/:—1>

・••所求函数的表达式为〃x)=W-1.

(3)在原式中用一替换工，得/6卜2/(%)=1+2,

j)-2/w=r2

于是有Y

=3.r+2

消去了(：),得/(X)=—X—：—2(XH0).

2

・•・所求函数的表达式为〃x)=r---2(工工0).

•V

18.（17分）

某企业生产某种产品的年固定成本为1000万元，每生产X千件，需另投入生产成本。（X）（万元）.若年产

量口氐于100千件，则生产成本C（x）=f-90X+1200；若年产量x不低于100千件时，则生产成本

。（%）=芈+西巴-1390.每千件产品售价为10万元，且生产的产品能全部售完•（“年利润”=“年总收入”一

4x

“生产成本“固定成本”）

（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（千件）的函