湖北省武汉市某中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷（含解析）

湖北省武汉市七一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考

数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.将方程x=6化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.5,-1,6B.-5,7,1C.5,1,6D.5、一1、-6

2.下列校徽主体图案中，是中心对称图形的是（）

3.已知方程2/十3八-4=0的两根分别为十和巧，则玉+勺的值等于（）

33

A.2B.-2C.-D.--

22

4.如图，在0。中，AB是直径,AC是弦，连接OC,若NACO=25。，则N8OC的度数

是（）

5.我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射后，某航天科普网站的浏览量猛增.已知某年10月份

该网站的浏览量为80万人次，第四季度总浏览量为350万人次.如果浏览量平均每月增长率

为巴则应列方程为（）

A.80（l+x1=350B.80+80x2%=350

C.8O+8Ox2（l+x）=35OD.80[l+(l+x)+(l+x)[=350

6.下列说法中正确的是­）

A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是圆中最长的弧D.直径是恻中最

长的弦

7.函数），=如2-2x+l和），="+。（。是常数，且〃工。）在同一平面直角坐标系中的图象可

能是（）

8.己知〃，。是一元二次方程Zd+3x-1=0的两个实数根，则代数式"+助+」的值等于

a

（）

3113

A.—B.—C.-D.—

2222

9.如图，。是正VA8c内一点，04=3,03=4,0C=5,将线段80以点4为旋转中心逆

时针旋转60。得到线段AO,下列结论：①AACM可以由BOC绕点8逆时针旋转60。得到；

②乙408=150。；③四边形AO3O'的面积是6+46：④S八8+S4仍=6+竽，其中正确结

论有（）个.

10.如图，抛物线y=-2/+8.r-6与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其上方的部分记

作q,将C1向右平移得G，C?与x轴交于点8,D.若直线），=2x+机与&、G共有3个不

同的交点，则小的取值范围是（）

试卷第2页，共8页

B・-3<D\<—

4

C.—3<HI<—2D.-6</«<--

2

二、填空题

11.点?（-1,2）关于原点的对称点的坐标为.

12.元旦将至，若2班的一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺

卡72张，则可列方程为.

13.关于x的一元二次方程（。+2"-3x+l=0有实数根，则a的取值范围是.

14.某商场购进一种单价为4（）元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，

根据销售经验，每降价I元，每天可多卖出20个，设每个商品降价工（元），每天获得利润

y（元），则y与x的函数关系式是.

15.已知一个一次困数），=，*+/a+C的自变量人与函数y的几组对应值如下表：

X

•••-4-2035•••

yinn0-3h・・.

4

其中机/?<-3,现有以下表述：①当x>0时，）'随X的增大而减小；②图象不经

过第二象限：③关于x的一元二次方程。涓+辰+。=0（。工0）一定有一个小于3的正数根；

④当〃?+〃<-13时，«<-1.其中正确的结论序号是.

An?

16.如图，点。是等边内部的一点，ZADC=120°,A4=19,—则线段8。

K_-J

的长度是—.

J

三、解答题

17.解方程：

(l)x2+3A+I=0.

(2)3X2-4^-7=0.

18.已知关于工的一元二次方程*一3)(工一2)—加2=。

⑴求证：无论〃，为何实数，方程总有两个不相等的实数根;

(2)若方程的两个实数根。，/满足/+62=]7,求利的值.

试卷第4页，共8页

19.如图，点4,C,。在同一条直线上，V/WC和j£CZ)都是等边三角形，连接跖，AD.

(1)求证：ADC^BEC；

⑵△AOC可以看作是VAEC旋转得到，请直接写出旋转中心，旋转方向，旋转角最小度数.

20.己知函数y二;/一21一1.

(I)该函数图象的开口方向是二

⑵抛物线与y轴的交点坐标是」

(3)当-3Vx<6时，则函数y的最小值是_；

⑷当)，>-1时，则自变量x的取值范围是

21.如图是由小正方形组成的6x6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.VA3c的三个顶点

都是格点.仅用无刻度的在尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

图3

⑴在图I中，点0是格点，点。是与网格线的交点，先将线段人。绕点4逆时针旋转90。

得到A〃，画出线段A。，再画出点A关于点。的中心对称点/羽

(2)在图2中,将NABC绕点C顺时针旋转。，其中旋转角a=NB4C,画出旋转后的△A8°：

(3)在图3中，点£为BC边上一点，在4c上画点P,使P4+依的值最小.

22.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看

成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式产a(x-6)2+h.已知球网与O

点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m.

(1)当h=2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)

(2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由：

(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.

试卷第6页，共8页

23.如图3,,八8。、.乂。上都是等边三角形，点。、上分别是边人4、人C上的点，将VA/宏绕

点A旋转，8。与CE所在的直线交于点F.

图I图2图3

（1）将丫4。七绕点4逆时针旋转，且旋转角不大于60。，如图1,NC阳的度数为；

⑵如图2,若乙408=〃。，0E的延长线交8c于点P,交A8于点G,探究：〃为何值时，

点P恰好是8C中点？证明你的结论；

⑶若A8=6,AD=3,当YADE绕点A旋转时,且YBCF为直角三角形，线段BF的长为

（在图3中探究）.

24.如图,抛物线C：y=-“2+2x+3与4轴分别相交于A,B两点（点A在点8的左侧）,

与），轴相交于点C.

图1图2

⑴求点A,B,C的坐标;

(2)如图1,。是抛物线上第一象限内的一点，连接AO,CD.若NCD4=2ND48,求点。

的坐标:

(3)如图2,E是A8的中点.，。是抛物线上一动点（不与顶点重合），直线尸O,正分别交抛

物线于点M,N,直线ME交抛物线于点Q,求证：直线NQ必过一定点.

试卷第8页，共8页

《湖北省武汉市七一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案DBDBDDCBDD

1.D

【分析［本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题

的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：cvc2+bx+c=O(a,b,C是常数且〃H())

特别要注意OHO的条件，其中O?叫二次项，区叫一次项，。是常数项，其中。分

别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

【详解】解：：方程5f-x=6化成一般形式是51一工一6=0,

，二次项系数、一次项系数和常数项分别为5、-1、-6.

故选：D.

2.B

【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着

某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图

形，这个点叫做它的对称中心，即可判断，掌握中心对称图形的定义是解题的关键.

【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意；

故选：B.

3.D

【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系：占+七=-b-3%=上c，熟记关系式是

a~a

解题的关键.根据一元二次方程根与系数的关系解答即可.

【详解】解：：方程2/+3x-4=0的两根分另IJ为占和公，

..3

..x)+x2=--,

故选：D.

4.B

【分析】本题主要考查了等边对等角，圆周角定理，由等边对等角可得NA=4C0=25。，

再由圆周角定理可得答案.

答案第1页，共21页

【详解】解：・・・OA=OC，

AZA=ZAC<9=25°,

/./8OC=2NA=50。，

故选:B.

5.D

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用.根据题意列出方程即可.

【详解】解：根据题意得：80[1+（1+A）+（1+X）2]=35Q,

故选：D

6.D

【分析】根据弦、直径、孤、半圆的概念一一判断即可.

【详解】解：A、错误.弦不一定是直径.

B、错误.弧是圆上两点间的部分.

C、错误.优弧大于半圆.

D、正确.直径是圆中最长的弦.

故选D.

【点睛】圆的认识.

7.C

【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断。的符

号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误.正确掌握相关性质内容是解题的关键.

【详解】解：A、由一次函数>的图象可得：a<0,此时二次函数y=arJ2x+l的

图象应该开口向下，故选项错误；

B、由一次函数），=公+。的图象可得：0<0,此时二次函数>=加-2x+l的图象应该开口

向下，故选项错误；

C、由一次函数），=办+。的图象可得：a>0,此时二次函数），=ad-2x+l的图象应该开口

向上，对称轴x=-^>（）,故选项正确；

2a

D、由一次函数丁=如+。的图象可得：此时二次函数），=加-2x+l的对称轴入=一?〈0,

故选项错误.

故选：C.

答案第2页，共21页

8.B

【分析】本题考查一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数的关系,分式的求值，

理解方程的根以及根与系数的关系是解答的关键.首先根据解的概念得到2/+3〃-1=0,

I311

变形得到2。+3=工利用根与系数的关系得到〃+〃=然后代入必+2〃+一整

a22a

体求解即可.

【详解】解：•••明〃是一元二次方程2V+3x7=0的两个实数根，

・,,3心1

••+3”-1=0,〃+〃=-5'”力=一5，

2a2+3«=1，

2a+3=-

a

:.cib+2〃H—

a

=ab+2l?+2a+3

=aZ?+2(a+/?)+3

=_l+2xf.3Y3

2I2)

1

=-2,

故选：B.

9.D

【分析】证9△&)C,即可判断①；连接OO',可推出△080'是等边三角形，即可判

断；由丝得O'A=OC=5,推出04=04+。0,2,ZAOOz=90°,即可判断②；

作8〃_L"，则Z0BH=1NOB。，=30。，可求出：08=2,8”=^OB'-OH?=273，

根据四边形A。。8的面积=:xOO&8〃+《xOO&A。，即可判断③；将V40B绕点A逆时

22

针旋转60c得到VAOC,连接作AKJ_OO”，同理可得：VQ4。是等边三角形，

oc2=oon2+con2,zc(r0=90°,求出AK=&^2一。犬二更,根据

2

S.八W+SAOB=SAOC+S也c=SAOO.+scoo.,即可判断④；

【详解】解：连接OO',如图所示：

答案第3页，共21页

1

由题意得：/I+/2=N3+N2=60。,AB=BC,OB=O'B,

/.N1=N3,

ABOAmABOC,

•••△80'A可以由8OC绕点B逆时针旋转60。得到：故①正确;

'：OB=OB,NO8O=60。，

・•・/\O用7是等i力三角形.

*/ABO'gABOC,

，CM=OC=5,

・•・。卬

・•・ZAOC/=90°,

•・•△08。是等边三角形，

/.ZAOB=ZAO(y+£BO(y=150°,故②正确；

作如图所示：

：.OH=-OB=2,

2

•*-BH=y/OB--OH-=2百

答案第4页，共21页

•••四边形AOBO^的面积='xOO&8"+』xOO&AO=6+4百，故③正确；

22

将VA04绕点A逆时针旋转6()。得到VAbC,连接作AK_LOO"，如图所示:

同理可得：VO4T是等边三角形，OC2=OO“+CO”2,/CO”O=90。，

则N04K=gN040”=30。，

|13

・•・OK=-OOn=-OA=-

222t

，AK=y/OA2-OK2=—

2

||Q

•**SAOC+SA0B=S.AOC+Swc=sAOO-+Sco(r=-x3x4+-x3x-^-=6+,故④正确；

故选：D

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾

股定理等知识点，几何综合性较强，掌握举一反三的数学思想是解题关键.

10.D

【分析】首先求出点A和点8的坐标，然后求出a解析式，分别求出直线y=2x+/〃与抛物

线G相切时m的值以及直线y=2x+/〃过点B时〃7的值，结合图形即可得到答案.

【详解】解：如图，

22

4,y=-2x+8.r-6=0,tipx-4x+3=0»解得x=l或x=3,则点A（l,0）,8（3,0）,

/.AB=2,

・•・a向右平移两个长度单位得G,

答案第5页，共21页

•/.V=-2x2+8x-6=-2(x-2f+2,

:.G解析式为y=-2(x-4)2+2(3<x<5),

当y=2x+班与g相切时，令2x+町=一2(.丫一41+2,即2/-14X+30+町=0,

2

VA=(-14)-4x2x(30+/n1)=-8〃4—44=(),

•,•町II；

当)，=2x+恤过点8时，即0=6+e，

叫=-6,

，当-6<m-曰时直线y=21+机与G、G共有3个不同交点.

故选：D.

【点睛】本题主要考查抛物线与X轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的

关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度.

11.(1,-2)

【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，根据“关于原点对称时，横纵坐标都

为相反数”求解即可.

【详解】解：尸(一L2)关于原点的对称点的坐标为(1,-2).

故答案为：。，一2).

12.x(x-l)=72

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能够读懂题意列出方程是解题关键.

这个小组有x个人，则每个人送出(工-1)张贺卡，再根据全组共送贺卡72张建立方程库可.

【详解】解：这个小组有x个人，则每个人送出(彳-1)张贺卡，

又•・•全组共送贺卡72张

・•・可列出方程x(xT)=72

故答案为：x(x-1)=72.

13.a4—且aw—2

4

答案第6页，共21页

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程翻2+云+。=0(。工0),

当△=6-4a>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=从-4"=()时・，方程有两个相等

的实数根；当△r/Z-WcyO时，方程没有实数根.利用一元二次方程的根的判别式解答，

即可求解.

【详解】解：:关于X的一元二次方程(a+2)V-3x+l=O有实数根，

/.A=/?2-4«c=9-4(a+2)xl20且〃+2工0,

解得：且"-2.

故答案为：。4：且〃。-2.

4

14.y=-20x2+100x+6000

【分析】本题考杳二次函数的应用，理解题竟，根据利涧等于单件利润乘以销售量列东数关

系式即可.

【详解】解：设每个商品降价“(元)，每天获得利润)，(元)，

则)，与"的函数关系式是：^=(300+2O.v)(60-40-x)=(300+20%)(20-x),即

y=-20.r2+100.r+6000,

故答案为：丁=-20/+100x4-6000.

15.①②③④

【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等；①由〃<-3得

由二次函数的增减性，即可判断；②由"4<-2时，且经过(0,0)即可判断；③

由当x=3时，y=-3<0,当x=0时，y=0,由二次函数与一元二次方程，即可判断；④

由表格可求〃=-勿-1,将汇=-2,x=-4代入求得/〃+〃=2()〃一6/%即可求解；掌握二次函

数的性质，会用二次函数图象解一元二次方程是解题的关键.

【详解】解：①./?<一3,.<—3<0,・・・。<3<5,.,.当x>0时，随x的增大而减小，

4,

故此项正确；②•--4<-2时，机<〃<-晨且经过(0,0),由①得：图象不经过第二象限；

故此项正确；③当x=3时，y=-3<0,当x=0时，『=。，由②得：关于x的一元二次方程

尔+法+。=0(。=0)一定有一个小于3的正数根，故此项正确；④."当x=3时，产-3,

当x=。时，y=0,.-.c=0,9。+3。=-3,.•.)=一3。-1,：当x=-4时，)，=，〃，当x=-2时，

答案第7页，共21页

y=n,I&L4〃=〃7,4a-2b=nm+n=2()a-()b,

.•.20。-6(-3。-1)<-13,解得：故此项正确；

故答案：①②③④.

16.百

【分析】如图，以AO为边作等边△AD£,连接CE,作AALCO交延长线于点F,作CG_LQE

于点G,证明ADA8三AEAC得8O=EC,设AO=OE=AE=2x,则。£>=3x,运用勾股定理

求出。G,CG,CE,DF,AF的长,最后列出方程求解即可.

【详解】解：以4。为边作等边AAOE,连接CE,作AELC。交延长线于点尸，作CG_LOE

于点G,如图，

：,AD=AE,ZZMC+ZC4E=60°

•••A48C是等边三角形，

：.AB=AC,^DAC+ZDAB=(^°

JZDAB=ZEAC

在AZM3和AE4C中，

AB=AC

<NDAB=NEAC

AD=AE

・•・ATX6三AE4C

/.BD=EC

••丝_2

•CD-3

，设4O=OE=AE=2x,贝i]CD=3x

*/Z4£)C=120°

，ZCDG=120O-ZADE=120°-60°=60°

答案第8页，共21页

，ZGCr>=90o-ZCDG=90°-60o=30°

，BD=币x

•・•ZA£)C=120°

VZA£)F=60°

，ZMD=30°

/.DF=-AD=x

2

,AF=^ADr-DF2=瓜

又CF=C£>+OF=3x+x=4x

在m中，AF2+CF2=AC2,AF1+CF2=AB1

/.(4.r)2+(>/3x)2=19

解得，x=l(负值舍去)

，BD=@x=@

故答案为："

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质

和勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.

1\-3+y/5—3—yjs

17.(1)N=---,x2=---

(2)X1=^,X2=-1

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟冻掌握解一元二次方程的常用方法:

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等.

(1)利用公式法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可.

答案第9页，共21页

【详解】(1)解：在f+3x+l=0中，a=\,b=3,c=\,

A=Z?2-4ac

=32-4x1x1

=5>(),

，该方程有两个不同实根，

・-b±\jb2-4ac

■•X=--------------------------------

2a

-3±>/5

2x1

-3±N/5

=----------9

2

・-3+6-3-yj5

■■%=2，“2=;

(2)解：3X2-4X-7=0»

A(3x-7)(x+l)=0,

:.3工一7=0或x+l=O,

7

解得不=一1.

18.(1)见解析

⑵〃7=±\f2

［分析】小题考查了一元一次方程a?+法+c=0(a=0)的根的判别式△=ir-4ac和一元一

次方程的根与系数的关系：当△>（）,方程有两个不相等的实数根：当△=（）,方程有两个相

等的实数根；当△<（）,方程没有实数根；

（1）先把方程。一3）（工一2）-"『=0,变形为f—5X+6-/〃2=（）,得出

A=25-4（6-w2）=l+4/7f>0,即可得出答案；

（2）先把方程（x-3）（x-2）-"/=o,变形为f—5«+6—〃/=o,然后计算两根之和以及两

根之积，代入求值的代数式;计算即可.

【详解】（1）证明：整理原方程得，V-5X+6-布=0.

/.△=25-4（6-w2）=1+4m2,

无论加为何实数，总有4m2>0,从而1+4m2>0,

即△>（）.

答案第10页，共21页

.•无论加为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：由(1)得方程*一3)(工一2)-加2=()整理得/一5工+6-〃/=0,

・,•方程(x-3)(x-2)-m2=0的两个实数根夕、夕，

,a+fl=5,ap=6-/?z2,

.•・+£2=(a+6)2_2加=25-2(6-nr)=13+2m2=17,

•,•解得m=±V2.

19.(1)见解析

(2)旋转中心：点C；旋转方向：顺时针；旋转角最小度数：60°

【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握

知识点是解题的关键.

(1)由等边三角形得到C6=CA,CE=S,NACb=N£：CO=60。，则N8CE=ZACO,继血

可由SAS证明全等；

(2)由旋转的性质即可求解.

【详解】(1)证明：VA比和EC。都是等边三角形，

CB=CA,CE=CD,^ACB=ZECD=60°,

：・4BCE=ZACD,

・•・AADC也△BEC(SAS)；

(2)解：VADCBEC,且ZACK=/石8=60。

・•・旋转中心：点C：旋转方向：顺时针：旋转角最小度数：60°.

20.(1)向上

(2)(0,-1)

(3)-3

⑷xv0或x>4

【分析】本题考查二次函数图象与性质，与坐标轴的交点，二次函数与不等式的关系,，解

题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想.

(1)由〃=3>。即可确定开口向上；

(2)当x=0,y=-l,即可求解；

答案第11页，共21页

(3)可得对称轴为直线：x=2,而一3<2v6,开口向上，故当x=2时，

).=”-2x2—1=—3；

(4)当)，=-1时，则《丁一2工一1=一1,解得：玉=0,七=4,故y=T与抛物线的两个交点

的横坐标分别为0,4,那么y>-1转化为在直线y=T上方的抛物线所对应横坐标的取值范

围.

【详解】(1)解：・・・1=40,

Z

工开口向上，

故答案为：向上；

(2)解：当x=0时，y=-l,

・••与)，轴的交点坐标为

故答案为:；

(3)解：对于y=1,

-2

=2

可得对称轴为直线:2出)

V-3<2<6,开口向上

?

当x=2时，ymin=^x2-2x2-l=-3,

故答案为：-3；

(4)解：当)，=-1时，M1x2-2x-l=-l,

解得：用=0,占=4,

:.y=-i与抛物线的两个交点的横坐标分别为0,4

如图：

答案第12页，共21页

.•.当y>7,自变量X的取值范围为XV。或x>4.

21.(1)见详解

(2)见详解

(3)见详解

【分析】(1)结合网格特征以及旋转特征，先画出八耳，再取出点R,运用中心对称的性

质，画出ATT,然后与相应的网格交点，即点

(2)结合网格特征，由勾股定理得日7=巧丁=5=4。，证明△ACE是等腰三角形，结

合三线合一，则OC是AE的中垂线，所以=幺ER=平用,证明

^?\EBI^E4)/?(ASA),所以EB|=AR=2,C5,=5-2=3,即可作答；

(3)结合网格特征，证明二人比空13//卬，得出NWK〃=NE4C,因为N8C4+N8AC=90。，则

NHC4+NWB〃=9O°,所以8W_LAC,令BW交AC与N,取格点尸，D,连接FD交十

M,可知△汽年八48。，可证AC〃6D,再根据平行线间距离相等可证3N=MN,得出

点8和点M关于线段AC对称，再连接EM与线段AC的交点，即为点P,此时

PB+PE=MP+PE=ME,即可作答.

【详解】(1)解.：线段对称点以如图所示：

_______

'1

答案第13页，共21页

(3)解：点。如图所示:

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，无刻度尺蚱图以及全等三角形的判定与性质,

旋转性质，勾股定理与网格，中心对称性质，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是

解题的关键.

22.(1)y=~(X-6)242.6

60

(2)球能越过网；球会过界

Q

(3)h>-

【详解】试题分析：(1)利用h=2.6将点(0,2),代入解析式求出即可；

(2)利用当x=9时，y=-(x-6)2+2.6=2.45,当y=0时，-+2.6=。，分别

6060

得出即可；

(3)根据当球正好过点(18,0)时，抛物线y=a(x-6)?+h还过点(0,2),以及当球刚

能过网，此时函数解析式过(9,2.43),抛物线y=a(x-6)?+h还过点(0,2)时分别得

出h的取值范围，即可得出答案.

试题解析：解：(I)Vh=2.6,球从O点正上方2m的A处发出，

・••抛物线产a(x-6)2+h过点(0,2),

/.2=a(0-6)2+2.6,

解得：a=

6()

故y与x的关系式为:y二・±(x-6)2+2.6,

60

(2)当x=9时，y=——(x-6)2+2.6=2.45>2.43,

60

所以球能过球网；

当y=0时，一二_(人.-6)2+2.6=0,

60

解得；X|=6+2V39>18,X2=6-2739(舍去)

答案第14页，共21页

故会出界;

(3)当球正好过点(18,0)时，抛物线y=a(x-6)?+h还过点(0,2),代入解析式得:

2=36。+h

0=144。+/?'

1

a=---

解得：(J4

h=》

3

IQ

此时二次函数解析式为」•次-6)2+鼠

此时球若不出边界

当球刚能过网，此时函数解析式过(9,2.43),抛物线y=a(x-6)?+h还过点(0,2),代

入解析式得:

2.43;a(9-6>+h

2=a(0-61+1】

43

a=------

劭，组.2700

解得：｛

h=---

75

193

此时球要过网h>—

故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h>^.

考点：二次函数的应用

23.(1)60°

⑵当〃=90时，点P为的中点，证明见解析

⑶8F=26或8F=4G

【分析】本题考查等边三用形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握手拉

手模型是解题的关键：

(1)证明AuABZ泾/XACE,得到ZACE=ZABF,设48,CF交于点O,得至ljZAOC=NBOF,

进而得至ljNCFB=ZBAC=60。即可；

(2)当〃=90时，点〃为8。的中点，作CN//BD,交OP的延长线于点N,证明.CPN0BPD,

得到CP=3P,即可；

答案第15页，共21页

(3)分？FBC90?和NBC尸=90。，两种情况进行讨论求解即可.

【详解】⑴解：.ABC、AOE都是等边三角形，

・•・AD=AEfAB=AC,NDAE=ZBAC=60°,

，ZDAB=ZCAE=60。-/BAE,

△ABD^AACE,

/.ZACE=ZABF,

设AB.CT交于点。，贝ljNAOC=N4O"，

（2）当〃=90时，点尸为BC的中点，证明如下:

作CN//BD,交0P的延长线于点N,

由(1)知：△ABD^AACE,

/.ZAEC=ZADB=90°,CE=BD,

•・•VAO石为等边三角形，

••・ZADE=zS4£D=6()n,

/.ZDBE=ZADB-ZADE=30°,ZCEN=900-ZAED=30°,

•・•CN//13D,

，NCNP=NBDE=30°=4CEN,

:・CN=CE,

:,CN=BD,

又：,

答案第16页，共21页

・•・CPNqBPD,

：.CP=BP,

，点尸为BC的中点：

(3)如图，当？FBC90?时,

由（1）可知：ZCFB=60°,

/.ZBCF=30°,

ABF=^CF,BC=^FB,

•・・VA4C为等边三角形，

BC=AB=6,NABC=NACB=60°,

，y/3FB=6,

/.BF=2瓜

当N4CF=90。时，则ZACVMQOO-ZACAMBO0,

・•・ZABD=ZACE=30°,

：.ZCBD=ZABC-ZABD=30°,

/.BF=2CF,BC=&CF=6,

:.CF=2x/3,

,BF=4氐

答案第17页，共21页

综上：BF=2xH或BF=40.

24.（1）A（-1,O）,4（3,0），C（0,3）,

⑵鸣5）

（3）直线NQ过定点（2,0）,证明见解析

【分析】（1）令x=0,则尸3,令尸=0,则一/+2_¥+3=0,再解方程即可；

（2）如图，过。作。尸轴于扛记AO与