专题03 轻松破解圆中的范围与最值的十五大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019选择性必修第一册（原卷版）

2/37专题03轻松破解圆中的范围与最值的十五大题型题型一：斜率型 3题型二：直线型 3题型三：两点间距离型 4题型四：点到直线距离型 4题型五：三点共线型 5题型六：周长面积型 5题型七：数量积型 6题型八：点与圆的位置关系型 7题型九：圆的弦长型 7题型十：圆的切线型 8题型十一：直线与圆的位置关系型 9题型十二：两圆位置关系型 9题型十三：点的坐标型 10题型十四：角度型 10题型十五：方程中的参数型（拓展） 11【知识点综述】1．圆的参数方程（拓展）(1)设圆O的半径为r，点M从初始位置出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设，则,这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度.(2)圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为。2.点与圆的位置关系最值（范围）问题（1）若点M在圆内，则MNmin=M（2）若点M在圆外，则MNmin=M3.圆上一点到圆外一定直线的距离最值若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PEmin=P4.代数式的几何意义最值（范围）问题(1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题.5.直线与圆的位置关系最值（范围）问题设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为6．解决圆中的范围与最值问题常用的策略：(1)数形结合;(2)多与圆心联系;(3)参数方程;(4)代数角度转化成函数值域问题.题型一：斜率型求圆中动点(x,y)满足的形如的代数式的取值范围或最值问题，往往转化为圆上的动点(x,y)与定点(a,b)间连线的斜率，再数形结合求得其范围或最值.1．（24-25高二上·山东临沂·期中）已知为圆上任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·河北邢台·期中）已知圆，点在圆上，则的最大值为（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·山东济宁·期中）如果实数满足等式，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（24-25高二上·福建福州·期中）已知实数满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．6．（2024·四川成都·高二校联考阶段练习）已知点在曲线上运动，则的最大值为．题型二：直线型对于圆中形如mx+ny的代数式的取值范围或最值问题，往往设z=mx+ny,将问题转化为研究直线z=mx+ny与圆的位置关系，再进一步求解.7.(2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点是圆上的动点，则的最大值为（

）A． B． C．6 D．58．已知点是圆：上的一动点，若圆经过点，则的最大值与最小值之和为（

）A．4 B． C． D．9．点在圆上，则的范围是．10．已知，满足，则的范围是．11．如果实数满足等式，那么的最大值是；的最大值是．题型三：两点间距离型圆中形如的最值问题，可转化为圆上的点(x,y)到点（a，b）的距离平方的最值问题12.（2025·高二·湖南长沙·期末）已知，且，则的最大值为（

）A．9 B．12 C．36 D．4813．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数满足，则的最大值是．14.(2025·高二·浙江宁波·期中）已知实数满足，则的最大值为.15.（2025·高二·安徽芜湖·期中）若直线始终平分圆，则的最小值为．题型四：点到直线距离型圆上的点到直线距离的最值往往转化为圆心到直线的距离与半径和或差的最值问题求解.16.(2025·高二·山西·期末）已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（

）A． B． C．2 D．317.（2025·高二·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（

）A．4 B． C．3 D．218．（24-25高二下·云南西双版纳·期中）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为19.(2025·高二·辽宁大连·阶段练习）已知圆上两点满足，则的最小值为．题型五：三点共线型与两段距离之和或差有关的最值问题，常结合对称知识，转化为三点共线时距离最短来解决.20．（24-25高二下·浙江·月考）若为圆内的一个动点，且，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．421．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知圆，圆分别是圆、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．22.（24-25高二上·浙江温州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（

）A．10 B．9 C．8 D．723．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知动点在直线上，点是坐标原点，点是圆上的动点，则的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．4题型六：周长面积型圆中与周长或面积有关的问题，常构造函数求解，或者数形结合，此时往往利用到以下结论求某边边长的最值:(1)过圆内的某一点的所有弦中，直径最长；以该点为中点的弦最短;(2)当三角形某边为圆的一条直径时，另一顶点与圆心连线垂直于该直径时，该三角形面积最大.24．若圆C的方程为，则圆C的最小周长为（

）A． B． C． D．25．已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（

）A．8 B．5 C．2 D．126.(2024·高三·河南·开学考试）若直线与圆交于A，B两点，则当周长最小时，k＝（

）A． B． C．1 D．－127.（24-25高二下·四川·阶段练习）在平面直角坐标系中，，点满足，则面积的最大值是.题型七：数量积型向量与圆综合的一种常见题型是求数量积或模长的取值范围、最值，对于这类问题，往往借助坐标及数量积、模长公式建立关于某参数的函数，利用函数思想求解.28．（2025·海南·模拟预测）已知点，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．29．（多选）（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为的中点，若，则的可能取值为（

）A． B． C． D．130.已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（

）

A．7 B．12 C．14 D．1631.在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（）A． B． C． D．题型八：点与圆的位置关系型对于由点与圆的位置关系求参的题，一般利用点与圆的位置关系列出不等式求解，记点与圆心的距离为d,圆的半径为r.此时有：(1)点在圆内；(2)点在圆上；(3)点在圆外.32．（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．∪33．（24-25高二下·四川南充·月考）记表示点到曲线上任意一点距离的最小值．已知圆，圆，若点为圆上的一点，则的最大值为（

）A．4 B．5 C．8 D．334．（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．题型九：圆的弦长型对于圆的弦长的取值范围或最值问题，主要有两种思路：(1)代数法：由弦长公式建立函数，利用函数思想求解;(2)几何法：数形结合，借助图形得到最长弦与最短弦.35．（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（

）A． B． C． D．36．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（

）A． B． C． D．37.(24-25高二下·浙江衢州·期中）已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（

）A． B． C． D．38．（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．题型十：圆的切线型主要策略有二：(1)对于过某点可作圆的切线的条数问题，往往转化为对于圆的弦长的取值范围或最值问题，主要有两种思路：(2)对于切线长或与切线长有关的图形周长、面积的最值问题，往往利用切线长、半径、点到圆心距离这三者间关系，借助勾股定理求解.39．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．40．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为.41．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是.42．（24-25高二上·江苏盐城·月考）已知圆，从点向圆作两条切线，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为；点到直线的最大距离为．题型十一：直线与圆的位置关系型对于直线与圆的位置关系求参问题，往往转化为圆心到直线的距离与半径间的大小关系，再列方程或不等式组求解；也可联立直线与圆的方程，将问题转化为方程组解的个数问题.43．（2025·北京海淀·三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（

）A． B． C． D．44．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．45．（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是．46．（24-25高一下·上海·期末）若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是．47．（2025·山东青岛·三模）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数取值范围是题型十二：两圆位置关系型对于两圆的位置关系求参问题，往往转化为圆心距与两圆半径和、半径差之间的关系，再列方程或不等式组求解；也可联立直线与圆的方程，将问题转化为方程组解的个数问题.48．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．649．（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．50．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知圆与圆外离，则的取值范围是（

）A． B．C． D．51．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．52．（2025·浙江宁波·三模）已知点，到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（

）A． B． C． D．53．（24-25高二下·广东·期中）已知点在圆上，直线与两坐标轴分别交于，两点，若存在点使得，则的取值范围为（

）A． B． C． D．题型十三：点的坐标型对于点的坐标型，往往建立关于坐标的函数，借助函数思想或基本不等式求解.54．动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．55．已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是.56．（多选）（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知直线，点是圆上的动点，则下列结论成立的是（

）A．当时，直线的倾斜角为B．直线与圆一定相交C．直线被圆截得的弦长最大值为4D．若点在直线上，的最大值为，则点的坐标可以是题型十四：角度型对于角度型问题，往往转化为求该角的某一种三角函数值的取值范围求解，有时也可画出图形，借助图形寻找角的两边的边界位置求解.57．（2025·云南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，，则的最大