高考数学 第四章 三角函数与解三角形 重难点突破03 解三角形中的范围与最值问题（十七大题型）（原卷版）

重难点突破03解三角形中的范围与最值问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 3题型一：周长问题 3题型二：面积问题 4题型三：长度和差比问题 5题型四：转化为角范围问题 7题型五：倍角问题 7题型六：角平分线问题与斯库顿定理 8题型七：中线问题 9题型八：四心问题 10题型九：坐标法 12题型十：隐圆（阿波罗尼斯圆）问题 13题型十一：两边逼近思想 13题型十二：转化为正切有关的最值问题 14题型十三：最大角（米勒问题）问题 15题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题 16题型十五：托勒密定理及旋转相似 18题型十六：三角形中的平方问题 20题型十七：等面积法、张角定理 2103过关测试 21

1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：（1）利用基本不等式求范围或最值；（2）利用三角函数求范围或最值；（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；（4）根据三角形解的个数求范围或最值；（5）利用二次函数求范围或最值．要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：（1）求角的最值；（2）求边和周长的最值及范围；（3）求面积的最值和范围．题型一：周长问题【典例1-1】（2024·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2024·广西河池·模拟预测）已知中角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，求的周长的最大值，并求出此时角，角的大小.【变式1-1】（2024·江西南昌·三模）在锐角中，，，(1)求角A；(2)求的周长l的范围.【变式1-2】（2024·广东广州·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．(1)求角A的大小；(2)求周长的范围．【变式1-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求C；(2)若为锐角三角形，，求周长范围．题型二：面积问题【典例2-1】（2024·四川德阳·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且，.(1)求；(2)若为锐角三角形，求的面积范围.【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，．(1)求角A的值；(2)若，求面积的范围．【变式2-1】（2024·四川攀枝花·三模）已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【变式2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，当四边形ABCD的面积最大时，的最小值为.【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为.题型三：长度和差比问题【典例3-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A的大小；(2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值．【典例3-2】（2024·山西运城·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）求证：；（2）若是锐角三角形，，求的范围.【变式3-1】（2024·山东潍坊·一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在中，角所对的边分别为，且__________.(1)求角的大小；(2)已知，且角有两解，求的范围.【变式3-2】在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，(1)求角B﹔(2)求的范围．【变式3-3】（2024·重庆·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角A的大小；(2)若，且，求AP的最小值．【变式3-4】（2024·安徽亳州·高三统考期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）设为的垂心，且，求的范围.题型四：转化为角范围问题【典例4-1】在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)求的取值范围.【典例4-2】已知的内角、、的对边分别为、、，且．(1)判断的形状并给出证明；(2)若，求的取值范围．【变式4-1】（2024·山西·模拟预测）钝角中，角的对边分别为，，，若，则的最大值是.【变式4-2】在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知.(1)若，求角A的大小；(2)求的取值范围.题型五：倍角问题【典例5-1】（多选题）在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（

）A． B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为【典例5-2】（多选题）（2024·河北·三模）已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（

）A． B．的最小值为3C．若为锐角三角形，则 D．若，，则【变式5-1】（2024·江西九江·一模）锐角三角形ABC中，若，则的范围是（）A． B． C． D．【变式5-2】在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为.题型六：角平分线问题与斯库顿定理【典例6-1】中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分线.（i）证明：；（ii）若，求的最大值.【典例6-2】在中，内角的对边分别是，，.(1)求角的大小；(2)设的平分线与交于点，当的面积最大时，求的长.【变式6-1】（2024·山西吕梁·一模）设的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)设的角平分线交于点，求的最小值．【变式6-2】（2024·广东佛山·模拟预测）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．(1)求；(2)已知的角平分线交于点，求的取值范围．题型七：中线问题【典例7-1】在△ABC中，，D在边AC上，∠A，∠B．∠C对应的边为a，b，c．(1)当BD为的角平分线且时，求的值；(2)当D为AC的中点且时，求的取值范围．【典例7-2】（2024·高三·黑龙江大庆·期末）在中，角的对边分别为，且.(1)求；(2)求的边中线的最大值.【变式7-1】（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若边，边的中点为，求中线长的最大值.【变式7-2】（2024·高三·河北张家口·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)若，，求的面积；(2)已知为边的中线，且，求的最大值．【变式7-3】（2024·浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为且，(1)求；(2)求边上中线长的取值范围．题型八：四心问题【典例8-1】（2024·全国·模拟预测）已知锐角三角形的内角的对边分别为，且.(1)求角；(2)若为的垂心，，求面积的最大值.【典例8-2】在锐角中，，点O为的外心．(1)若，求的最大值；(2)若．①求证：；②求的取值范围．【变式8-1】已知的角，，所对的边分别为，，，点是所在平面内的一点．(1)若点是的重心，且，求的最小值；(2)若点是的外心，（，），且，，有最小值，求的取值范围．【变式8-2】从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．(1)求角C的大小；(2)若，的内心为I，求周长的取值范围．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【变式8-3】已知的内角的对边分别为，且.(1)求；(2)若为的内心，求的取值范围.【变式8-4】在中，分别是角的对边，．(1)求角A的大小；(2)若为锐角三角形，且其面积为，点为重心，点为线段的中点，点在线段上，且，线段与线段相交于点，求的取值范围.题型九：坐标法【典例9-1】（2024·山东·二模）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，且.(1)若，求tan∠GAC的值；(2)求cos∠ACB的取值范围.【典例9-2】在中，，，点在内部，，则的最小值为______．【变式9-1】在中，，，，M是所在平面上的动点，则的最小值为________．【变式9-2】在等边中，为内一动点，，则的最小值是（

）A．1 B． C． D．题型十：隐圆（阿波罗尼斯圆）问题【典例10-1】阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为.【典例10-2】阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值（）的动点的轨迹.已知在中，角的对边分别为，则面积的最大值为．【变式10-1】在平面四边形中，连接对角线，已知，，，，则对角线的最大值为（

）A．27 B．16 C．10 D．25【变式10-2】已知中，，为的重心，且满足，则的面积的最大值为______.【变式10-3】已知等边的边长为2，点G是内的一点，且，点P在所在的平面内且满足，则的最大值为________.【变式10-4】在平面四边形ABCD中，，，．若，则的最小值为____．题型十一：两边逼近思想【典例11-1】在中，若，且的周长为12．(1)求证：为直角三角形；(2)求面积的最大值．【典例11-2】设的内角的对边长成等比数列，，延长至，若，则面积的最大值为__________.【变式11-1】设的内角A，B，C的对边为，b，c．已知，b，c依次成等比数列，且，延长边BC到D，若，则面积的最大值为______．题型十二：转化为正切有关的最值问题【典例12-1】在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为.【典例12-2】（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是（

）A． B． C． D．4【变式12-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在中，角、、的对边分别为、、，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式12-2】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求A角的值；(2)若为锐角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范围.【变式12-3】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：(1)；(2)的取值范围．题型十三：最大角（米勒问题）问题【典例13-1】某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．(1)小王获得了以下信息：．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道；．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是；．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是；．教学楼的高度是20米．请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度．(2)小李获得了以下信息：．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米；．大屏幕的高度是2米；．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳．请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置．【典例13-2】1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高，山高，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（

）A． B．C． D．【变式13-1】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角原理”：对定点、和在直线上的动点，当与的外接圆相切时，最大．若，，是轴正半轴上一动点，当对线段的视角最大时，的外接圆的方程为（

）A． B．C． D．【变式13-2】（2024·山东滨州·二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大.【变式13-3】设中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题【典例14-1】当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”.(1)若，，.①求；②设的周长为，求的值；(2)若，，求实数的最小值.【典例14-2】“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且．(1)求；(2)若，设点为的费马点，求；(3)设点为的费马点，，求实数的最小值．【变式14-1】（2024·湖北·三模）内一点O，满足，则点O称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如，请你和他一起解决如下问题：(1)若a，b，c分别是A，B，C的对边，，证明：；(2)在（1）的条件下，若的周长为4，试把表示为a的函数，并求的取值范围．【变式14-2】拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”某街角公园计划对园内的一块草坪进行改建，这块草坪是由一个半径为的圆的一段优弧与此圆弧上一条长为的弦AB围成，改建计划是在优弧上选取一点C，以AC、BC、AB为边向外作三个等边三角形，其外心依次记为、、，在区域内种植观赏花卉．(1)设、，用a、b表示的面积；(2)要使面积最大，C点应选在何处？并求出面积最大值．【变式14-3】小明同学在一次数学课外兴趣小组活动中，探究知函数在上单调递增，在上单调递减．于是小明进一步探究求解以下问题：法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形中，角，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，若三角形的面积为，则三角形的周长最小值为．题型十五：托勒密定理及旋转相似【典例15-1】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（

）A． B．16 C． D．12【典例15-2】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．【变式15-1】克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（

）A． B． C． D．【变式15-2】凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，，，，，当变化时，对角线BD的最大值为（）A．4 B． C． D．【变式15-3】在中，，，以为边作等腰直角三角形(为直角顶点，，两点在直线的两侧).当角变化时，线段长度的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．9【变式15-4】如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD为正三角形，则BCD面积的最大值为（）A． B． C． D．题型十六：三角形中的平方问题【典例16-1】（2024·高三·江苏常州·期末）已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为．【典例16-2】（2024·辽宁辽阳·一模）在中，内角的对边分别为，且，则的最小值为.【变式16-1】已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（

）A． B． C． D．【变式16-2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是___________.【变式16-3】（2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是，其中a，b，c是的内角A，B，C的对边，若，且，则面积S的最大值为（

）A． B． C． D．【变式16-4】（2024·云南·统考一模）已知的三个内角分别为、、.若，则的最大值为（

）A． B． C． D．题型十七：等面积法、张角定理【典例17-1】（2024·江苏·模拟预测）在中，点在边上，且满足.(1)求证：；(2)若，，求的面积的最小值.【典例17-2】已知△ABC的面积为,∠BAC=,AD是△ABC的角平分线,则AD长度的最大值为（

）A． B． C． D．【变式17-1】（2024·上海宝山·高三海市吴淞中学校考期中）给定平面上四点满足，则面积的最大值为_______.【变式17-2】已知，内角所对的边分别是，的角平分线交于点D．若，则的取值范围是____________．【变式17-3】在中，角，，的对边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为.1．（2024·甘肃武威·一模）在中，，则的范围是（

）A． B． C． D．2．（多选题）（2024·山东济南·三模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R．若，且，则（

）A． B．面积的最大值为C． D．边上的高的最大值为3．（2024·贵州贵阳·二模）在中，角所对的边分别为且.当取最小值时，.4．（2024·四川自贡·三模）如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为.5．（2024·四川南充·二模）在中，，，分别为内角，，的对边．已知，．则的最小值为．6．（2024·重庆九龙坡·三模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为，已知，.则；的最大值为.7．已知△ABC的三个内角A，B，C满足，则A的最大值是．8．在中，角A，B，C对应的边分别为a、b、c，D是AB上的三等分点靠近点且，，则的最大值为.9．（2024·辽宁·一模）设的内角所对的边分别为，且,则的范围是．10．中，所在平面内存在点P使得，，则的面积最大值为．11．（2024·江苏苏州·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)若，求的面积;(2)若，求使得恒成立时，实数的最小值.12．（2024·江西鹰潭·二模）的内角的对边分别为，，，满足.(1)求证：；(2