利用勾股定理求几何最值问题（3大考点）解析版-2024八年级数学上册（北师大版）

利用勾股定理求几何最值问题（3大考点）

考点归纳

考点01求最短路径问题

考点02将军饮马求模型最值问题

考点U3构造几何求最值问题

考点专练

考点01求最短路径问题

1.如图，圆柱形玻璃杯，高为6cm,底面周长为16cm,在杯内离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只

蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对•的点A处，则蚂蚊到达蜂蜜的最短距离为（）cm.

蜂蜜C

B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键.利用

展开图，轴对称，勾股定理计算艮1可.

【详解】解：如图,

根据题意，必=8cm，CD=2cm,C4=6—2=4（cm）,

作点A关于直线所的对称点G,连接CG,则CG为所求最小值,

则AF=FG=2cm,

过点G作GEJ.C8,交C8的延长线于点£

则四边形反£G是矩形，

故所=EG=8cm,FG=EB=2cm,ZGEB=90°,

A'/CE=6cm，

故CG=ylGE、CE2=V62+82=IO（cm）,

故选：C.

2.如图是一个长40cm、宽20cm、高60cm的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间

把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点。处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去

吃精，则小蚂蚁所走的最短路径长为（）

A.20>/2cmB.30岳mC.20亚cmD.30V10cm

【答案】D

【分析】作点P关于8。的对称点力，则48=3尸=60cm,由于用一个玻璃板（厚度忽略不计:k在中间把

水桃分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点。处有一滴糖，故展开图中

Z）0=；x（4O+2O）=3Ocm,DB=DP=30cm,连接力。，交BC于点、E,此时最短，解答即可.

本题考查了长方体的展开图，勾股定理，轴对称，熟练掌握定理和展开图是解题的关键.

【详解】解：作点。关于8。的对称点儿则48=8P=60cm,

由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角

线交点。处有一滴糖，

故展开图中O0=gx（4O+2O）=3Ocm,O8=Z）P=30cm,

连接“。，交8c于点£此时最短，

且40=yjAD2+DQ2=7902+302=30V10

P

故选：D.

3.如图，一只蚂蚁从A处出发沿台阶爬行到达8处，已知每级台阶的宽度和高度分别是30cm和20cm,台

阶长度力C=165cm,则蚂蚁爬行的最短路程为cm.

A

【答案】275

【分析】本题考查求最短路径问题一勾股定理，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和

宽即可解答.

先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.

【详解】解：如图所示,

每级台阶的宽度和高度分别是30cm和20cm.

台阶平面展开图为长方形，长力。=165cm,=20x5+30x4=220（cm）,

二.蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.

由勾股定理得：AB=>!AC2+BC2=V1652+2202=275（cm）,

故答案为：275.

4.如图，用--条花带从高4.5m的圆柱的底部向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止.若柱子

的底面周长是2m,则这条花带的长度至少为m.

【答案】7.5

【分析】本题考查了勾股定理-最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间

的最短路径.•般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.

把圆柱沿48展开三圈，B点的对应点为C点,如图，由于8C=6m,/8=4.5m,则利用勾股定理可计算出

AC=75,然后根据两点之间线段最短求解.

【详解】解：把圆柱沿48展开三圈，8点的对应点为C点，如图，

【答案】这只蚂蚁的最短行程是17dm

【分析】本题考查了平面展开一一最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间

的线段长来进行解决.

可将教室的墙面力尸与地面48CO展开，连接尸、B,根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可.

【详解•】解：如图，将墙面4OE厂展开与地面488处于同一平面内，过点P作PG工BF于点G,连接

PB.

由题意,得AG=6dm,PA=10dm,

•••由勾股定理，得PG?=PT-力G?=64.

•:BG=AG+AB=\5(\n\,

•••由勾股定理，得PB?=PG、BG?=1千,

:.PB=17dm.

故这只蚂蚁的最短行程是17dm.

7.如图，长方体的长为10,宽为5,高为24,点8为棱上一点，且8C=2,如果蚂蚁要沿长方体的表面

从点A爬到点B,求蚂蚁爬行的最短路程是多少.

10E

【答案】蚂蚁爬行的最短路程是25

【分析】本题主要考查长方体的展开图及勾股定理，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图及勾股定理.由

题意得:①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右面和上面进行展开时：③当沿长

方体的后面和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可.

【详解】解：按照答图①展开，因为长方体的宽为5,高为24,点8到点C的距离是2,所以

80=2+5=7,

在Rt△力中，由勾股定理，得4B=4心+BD?=J242+7?=25；

按照答图②展开，因为长方体的宽为5,高为24,点8到点。的距离是2,所以%=2+24=26,

AE=5,

在中，由勾股定理，得AB="BE、AE2=也6?+52=7^；

按照答图③展开，因为长方体的宽为5,高为24,点6到点。的距离是2,所以4?=5+24=29,

8c=2,

在Rt△48c中，由勾股定理，^AB=ylBC2+AC2=722+292=>/845：

因为25vJ^T<病L

所以蚂蚁按答图①爬行时，路程最短，力8=25,

答：蚂蚁爬行的最短路程是25.

考点02将军饮马模型求最值问题

8.如图，在RtA/lBC中，乙4cB=90°,AC=3,BC=4,点、D,E分别是4C上的动点，且

4D=BE,连接CO，AE,则CQ+4E的最小值是（）.

A.5B.734C.6D.向

【答案】B

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加

辅助线构造全等三角形是解题的关键.

如图：过点8作48,且使B"=/lC,连接七片"，先由勾股定理求出力4=5,AF=用,证明

/FBE=NCAD,进而依据“SAS〃判定△用后和△C4）全等得=继而得CO+4E=E/+/1E,由此得

当M+/E为最小时，力"为最小，根据“两点之间线段最短”得防+4E《/1/二后，据此即可得出

CO+力E的最小值.

【详解】解：如图：过点8作8/且使8/=力。，连接E凡AF,

在RtZ\/3C中，ZACB=900,AC=3,BC=4,

••AB=VAC2+BC2=732+42=5-

BFA.AB,

ZABF=90°,

在Rl△加?/中，48=5,BF=AC=3,

由勾股定理得：AF7AB2+BF?=15?+3?=取，

•/ZABF=90°,ZACB=90°,

:./CBA+NFBE=90Q,ZCBA+^CAD=90°,

NFBE=/CAD,

在△五8E和AC4。中，

BF=AC

-ZFBE=ZCAD、

AD=BE

:AFBE处CAD（SAS）,

/.EF=CD,

CD+AE=EF+AE,

二.当M+ZE为最小时，CO+/E为最小，

根据“两点之间线段最短”得：EF+AEWAF=后,

・•・当点/，E,4共线时，石尸十力E为最小，最小值是后，.•.CQ+4E的最小值是后.

故选：B.

9.如图，△44。中，乙48C=97.5。，PB=1,BQ=3五,PQ=M,若点、M、N分别在边力4、8C上,

当四边形PQVM的周长最小时，（加尸+〃%+2。）2的值为（）

A.18+875B.24+8贬C.22+6指D.31+丽

【答案】C

【分析】作点P关于48的对称点尸'，点。关于8c的对称点。'，连接P。'交48于交5c于N,此时

四边形PQNM的周长最小，过点P作由勾股定理求出4〃=JI，PH=BH=®,得出

440=45。，再求出N尸'60'=150。，过点。'作。'K_LP〃「K,在RtA^K。'中，NKBQ，=30。,

BQ=BQ=3垃,则KQf=半，8K=乎，在RkP'Q'K中，由勾股定理得尸。〃=+66，即可得出结

果.

【详解】解：如图，作点P关于48的对称点尸，点。关于3c的对称点。，连接尸'。'交48于M,交BC

于N,此时四边形尸。NM的周长最小，

:.PH?=PB2-BH-=PQ2-HQ2,

:.22-BH2=(Vf可-(3五-BH)二

解得：BH=五，

:PH，=4-2=2,

:9=应，

:・PH=BH=近,

.,."BQ=45。,

•：，ABP=4ABP,NCBQ=/CBQ',

"'BQ'=2(ZABC-NPBQ)+/PBQ=24ABC-NPBQ=150°,

过点。'作。'K_LP4于K,

在RL8K。'中，Zra^=180o-150°=30°,60'=80=3应，

•••KQ，=gw=孚，BK=[BQ2-KQ2=J(3"『一

在RIAP'Q'K中，KP=BP+BK=2+^~,KO'=逑

22

PQ,2=2+乎）+（乎）=22+6指，

：QdP+MN+NQ『=P'Q，2=22+6#,

故选：C.

【点睛】本题考查轴对称最短问题、勾股定理、含30。角的直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题

的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，由直角三角形解决问题.

10.如图，在RtZ\/8C中，Z/1C5=90°,AC=6,BC=8,七为4c上一点，且=力。平分NA4C

交BC于D.若尸是力。上的动点，则尸C+PE的最小值等于.

【分析】本题考查轴对称一最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题.作点

E关于4）的对称点连接交4。于P,连接E'P,由对称可得尸E=PE'，所以

PC+PE=PC+PE,>CE,,且当C、P、£依次共线时尸C+QE的值最小，最小值为CE,作CH_L43于

H,利用等面枳法和勾股定理求出CE'即可.

【详解】解：如图，作点七关于40的对称点£,连接交力。于P,连接？尸，

由对称可得PK-PE'，

：.PC+PE=PC+PE'>CE\且当C、P、£依次共线时PC+PE的值最小，最小值为CE',作CH_L48

于从

••AB=dAC'BC2=V62+82=10,

:.54/AfloiCc=-2ACBC2=-ABCH,

：.ACBC=ABCH,

ACBC24

:.CH=-------=一,

AB5

故答案为：y.

11.如图，四边形力中，AB1/DC,ABC=90\AB=5,BC=6,点P是CD边上一动点,则

周长的最小值为.

【答案】18

【分析1本题考查轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

如图，作点A关广。的对称点「连接力"证明产4+P8=P/+P8'2/*=13,再计算△45周长即可.

【详解】解：如图，作点8关于的对称点9，连接力"

:.W=dAB、BB，2=：5?+122=13,

•••PC垂直平分线段88',

:.PB=PB，

/.PA+PB=PA+PB,>AB,=\3,

.•./M+P8的最小值为13,

tPAB的周长最小值为0力+0"+/14=13+5=18.

12.如图，在直角△力8c中，ZC=90,AC=BC=2,〃为力C的中点，。为力6上的一个动点，连接

PQ,CQ,则P0+C。的最小值为.

A

Q

B

C

【答案】V5

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作点P关于力〃的对称

点P'，连接9C,交力“于点。'，连接4P，P。，证明当P、0'、C三点共线时，尸。+c。的值最小，最

小值为CP的长，再进一步求解即可.

【详解】解：如图，作点。关于43的对称点P,连接*C,交力3于点。'，连接P'。,

则NP=4RP'Q=PQ,PQ+CQ=P'Q+CQ>r0'+CQ'=CP',

即当P、Q\C三点共线时，尸。+C。的值最小，最小值为C户的长.

乙4cB=90。,AC=BC,

：.ZCAB=45°,NP/1B=45。，

.♦.NC4尸'=90。，

乂•.尸为月。的中点，

AP'=AP=\,

­•CP'=4AC2+AP'2=>/22+l2=45,

即PO+q?的最小值为石.

故答案为：石

13.如图，在△44。中，NCB4=90°,BC=3,AB=4,点、D、E分别是44、力。边上的动点，且

【答案】V34

【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助

线是解题的关键.

作E4J.4C,使H=8C,且点尸与点E在直线的异侧，连接尸。，由NCB4=90。，8c=3,AB=4,

求得4C=5,£4=8C=3,而/C力/=90。，则6=/^^二不=取，推导出NH1。=NBCE,可证明

△FADABCE,得FD=BE,由8+立＞2。/，得C0+8八回，所以储的最小值为A，「是得

到问题的答案.

【详解】解：作〃，力C,使玄=4C,且点尸与点E在直线,"的异侧，连接FO,

vZCZ?J=90",Z?C=3,AB=4,

-AC=yjBC2+AB2=A/32+42=5»FA=BC=3,

vF.4LAC,即NC4/=90°,

CF=>IFA2+AC2=>/?7F=V34，NFAD=90。-/BAC=NBCE,

在小FAD和ABCE中，

FA=BC

Z.FAD=NBCE,

AD=CE

.,.△FADABCE(SAS),

•••FD=BE,

•:CD+FDNCF,

•••CD+BEN扃,

••・8+命的最小值为取，

故答案为：V34.

14.如图，在△/"。中，AB=2也,AC=6,BC=如，点、P为边BC上一动点,过点P分别作。。_L于

点D,PE上4c于点E,点F为/1P中点,连接。/，则线段0"最小值为.

【答案】叵

5

【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理的逆定理、垂线段最短等知识点，根据

勾股定理是逆定理求出N41。=90。，根据三角形的面积公式求出8C边上的高，根据直角三角形斜边上的

中线的性质得到。，根据垂线段最短解答即可，根据勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式求

出8c边上的高是解题的关键.

【详解】•:AB=2叵,/C=&,=M，

-AB2+AC2=\0,8c2=10，

--AB2+AC2=BC2，

••.N84C=900,

*f「的收x2啦2M

Bl；dIJI'J|nj为：f=—=----，

Vio5

:PDLAB,点F为4P中点、,

.'.DF=-AP,

2

当/P最小时，。尸最小，

•.•当/1P_L8C时，/P最小，最小值为豆

5

厂的最小值为巫，

5

故答案为：—.

5

15.在四边形48co中，N849=N8co=90。，/ABC=135。,力4=3亚，8c=1,在力。、C0上分别找

一点、E、F,使得△8E厂的周长最小，求△朋叨周长的最小值为

【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，作点8关于4。的对称点用，关

于的对称点连接用反，与力。、。分别交于点E、F,由轴对称的性质可得，BE=B、E,

BF=Bp,表示出的周长，由两点之间线段最短，此时A8底户的周长最小，为B\B＞过点当作

B2M上BB、,交8线的延长线于点“，则△阴/鸟为等腰三角形，结合勾股定理可得8M=与河=应，求出

MB\=76,再由勾股定理计算即可得解,熟练掌握以卜知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：如图，作点5关于的对称点4,关于CQ的对称点4,连接44，与力。、C。分别交于

点E、F,则此时45石^的周长最小，

:.4BEF的周长=BE+BF+EF=B1E++EF,

•••两点之间线段最短，

此时ABEF的周长最小，为片打,

过点当作当河,^用，交64的延长线于点河，

'：ZABC=\35°,

:"MBB1=45°,

为等腰三角形，

:.BM=B]M,

vBC=1,

:.BB2—IBC—2,

22

-：BM+B2M,

:.BM=B2M=41,

,­AB=36,

：.MBi=MB+BA+ABi=76,

BB=《MB；+MB；=10,

4BEF的周长最小值为10,

故答案为：10.

16.在Rt△44c中，/44C=90。，AB=4,BC=3.过点C作CO_L8C,使CQ=4C,连接6。.点R

。分别是边力B和力。上的动点，始终保持力尸=。。，连接CP,即，则C尸+40的最小值为.

【答案】V34

【分析】本题考杳全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点A作4WJ.ZC,且

连接根据得至修A，即川.得到=伙？，然后得到当、、

AM=BC=3tMP,MC,SASUAC。PMMPC

三点共线时，PC+B。最小为MC,然后根据勾股定理解答即可.

【详解】解：过点A作力M_L4C,且4W=8C=3,连接MP,A/C,

则NMAB+Z.BAC=NBCA+ABAC=90°,

ZMAB=NBCA,

又二AP=CQ,

：.AMAP知BCQ,

:.PM=BQ,

:.PC+BQ=PC+MP之MC,即当〃、尸、C三点共线时，PC+B。最小为MC,

这时力C=，力炉+8C?=132+42=5,

••MC-y/\fA2+AC2->/32+52-，

故答案为：V34.

17.如图，在△力8。中,48=力。=5,8。=6,点。是3。的中点,点「、0分别为71。、力。上的动点,则。尸+尸。

的最小值=.

A

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、垂线段最短及三角形面积公式的应用，解题的关

键是利用轴对称将CP转化为BP，将CP+PQ的最小值转化为点B到AC的垂线段长度.

由48=47、£＞是8C中点可知力。是△WBC的对称轴，点C关于40的对称点为3,故CP=BP；根据垂

线段最短，当8、P、。共线且B0JL4c时，8P+尸。最小（即最小值为8。）；利用的面积，分别

以8C、力。为底计算，结合勾股定理求出的/。，可解得5。.

【详解】解：•"8="C,点。是8c的中点，

••.4。是△49C的对称轴，点C关于力。的对称点为点8,

:,CP=BP、

：.CP+PQ=BP+PQ.

根据垂线段最短，当8、P、。三点共线且80J.4C时，8P+P。取最小值，即最小值为8。的长.

在Rt△44Q中，AB=5,BD=3BC=3,

由勾股定理得：AD=>!AB1-BD-=yls2-32=4.

'-StABC=^xBCxAD=^xACxBQ,

II24

.•.-x6x4=-x5xZ?(2,8。二手.

24

故答案为：y.

18.如图，在△力8C中，AB=BC,ZJ5C=90°,后是边上一点，BE=2,AE=3BE,P是4C上一

动点，求P8+PE的最小值.

B

【答案】10

【分析】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称

解决最值问题.

作点4关于NC的对称点。，连接。E.证明依=P。，推出PB+PD=PE+PDNDE,由A/BC是等腰直角

三.角形,得到/历1C=45。，由轴对称可得/D4C=N历1C=45。，从而得到是直角三角形，利用勾股

定理求出。E即可.

【详解】解：如图，作点8关于/C的对称点O,连接OE,DP.

PB+PE=PD+PE^DE,

•:AB=BC,N48C=90。，

•••△REC是等腰直角三角形，

.-.Z5JC=45°,

由轴对称可得/DAC=NBAC=45°,

：.々BAD=Z.BAC+ZDAC=90°,

△4£7）中，AE=3BE=3x2=6,AD=AB=AE+BE=8.

DE=dAE?+AD?=V62+82=10，

PE+PB>10,

.•.P8+PE的最小值为10.

考点03构造几何图形求最值

19.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或

"以数解形〃可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

⑴【经历体验】已知加，〃均为正实数、且〃?+〃=4,求"^+行7的最小值.通过分析，小明想到

了利用下面的构造解决此问题：如图，48=4,JC=1,BD=2,ACLAB,4力工48,点E是线段48

上的动点，且不与端点重合，连接CE,DE,设/石=机，BE=n.

①用含用的代数式表示。石=,用含〃的代数式表示;

②据此写出"TT+的最小值是;

⑵【类比应用】根据上述的方法，求代数式正+25+-16丫+49的最小值;

【答案】⑴①"77，7774：②5

⑵20

【分析】本题考查了轴对称O最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法.

（1）①利用勾股定理可得CE和DE的长；

②利用三角形三边的关系得到CE+OEN8（当且仅当C、E、。共线时取等号），作。〃_LC4交点的延长

线于〃，易得四边形力8OH为长方形，利用勾股定理计算出。=5,从而得到结论；

（2）利用（1）中的方法画出图形，设"=16,CA=5,BD=LAE=x,则“=16-x,利用勾股定理

得到，CE=qAC2+AE?=477^，DE=^jBE2+BD2=7（16-x）2+49：根据三角形三边的关系得到而

CE+DE2CD（当且仅当C、E、。共线时取等号），作。〃_LC4文C4的延长线于〃，易得四边形力80〃为

长方形，利用勾股定理计算出8即可得到代数式表?+25+在「16）2+49的最小值.

【详解】（1）解：①在RLUCE中，CE7m，

在中，。七=历/=后不，

故答案为：-Jni2+1»>ln2+4；

②连接

由①得J〃/+l+J"2+4=CE+D£，

而CE+DENC。（当且仅当C、E、。共线时取等号），

作Q〃_Lai交点的延长线于H,如图1,

vACA.AB,BDLAB,

则四边形48。”为长方形，

AH=RD=2,DH=AB=4,

在RtaC〃Z)中，CD7cH、DH?=J(/C+4"丫+W=J(2+l1+42=5,

.•.CE+OE的最小值为5,

即+1+J/+4的最小值是5；

故答案为：5；

(2)解：如图，

设48=16,CA=5,5。=7,AE=x,则8E=16-x,

在RaXCE中，CE=\IAC?+AE”=0+25，

在RtZkBO七中，DE=ylBE2+Blf=5/(16-x)2+49:

•••4+25+J(x-16『+49=CE+DE,

而CE+DENC。(当且仅当C、E、。共线时取等号)，

作0H_LC4交C4的延长线于凡则四边形48。”为长方形，

/.AH=BD=1,DH=4B=T6,

•.CH=AC+AH=5+l=\2f

在RtaCHZ)中，CD=7C/72+DH2=>/122+162=20>

.•.CE+OE的最小值为20,

即6+25+^(X-16)2+49的最小值为20.

故答案为：20.

20.我国著名数学家华罗庚曾说过："数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事

休”.数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之

间可以相互转化，相互渗透.某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与

分析

【提出问题】已知o<x<i,求JITr'+JI+(I—K)2的最小情

【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为历/和JiTF1的线

段，将代数求和转化为线段求和问题.

⑴如图，我们可以构造边长为1的正方形46。。，P为8C边上的动点.设在7,则PC=1-X.

①庐=_;PD2=_.

②Vl+x2++=+的线段和.

(2)在(1)的条件下，已知0<x<l,求Jl+I+的最小值;

【答案】⑴1+-1+(1_盼2；②/p,DP

(2).75

【分析】本题考杳勾股定理及应用，用轴对称求最小距离等知识，解题的关键是掌握轴对称问题的解决方

法.

(1)①根据勾股定理可得答案；

②根据图形可得答案；

(2)作A关于直线6C的对称点连接尸4,连接04交8c于尸，可得，AP=AP,根据两点之间线段

最短可知，当〃与产重合时，4尸+。尸=4。最短，再用勾股定理可得答案.

【详解】(1)解：①•••边长为1的正方形力80设8P=x,贝lJPC=l-x,

由勾股定理可得，AP2=AB2+BP2=\+X2,DP2=CD2+PC2=\+(\-X)2,

故答案为：l+x。l+

JP2=l+x\。产=1+(1-J,

Jl+x2+Ji+([-x)2=AP+DP,

故答案为：AP,DP；

(2)作A关于直线8c的对称点T,连接连接。©交4c于/，如图:

由A,4关于直线8c对称可得，AP=AP,

AP+DP=A,P+DP,

根据两点之间线段最短可知，当「与P'重合时，力0+。尸=力'。最短，

•••A'B=4B=T，

44=2,

AfD=^AA,2+AD2=>j22+\2=y/5，

••・当0<%<1时，Vl+x2+yj\+(\-x)2的最小值为45.

21.【模型建立】

"数形结合''和"建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题.例：求

代数式5/7万+“127)2+22的最小值.

分析：4r行和J(12-X『+22是勾股定理的形式,必于是直角边分别是x和3的直角三角形的斜

边，血不在7是直角边分别是127和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△/8。和4)四，

并使直角边和石厂在同一直线上(图1),向右平移直角△力8c使点8和£重合(图2),这时

6=x+12-x=124：=3，=2,问题就变成“点〃在线段B的何处时，AB+DB最短?〃根据

两点间线段最短，得到线段力力就是它们的最小值.

⑴代数式心+3?+J(I2—X)+22的最小值为二

⑵变式训练：利用图3,求代数式4r7+J(5rf+l的最小值:

【答案】(1)13

（2）734

【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题.

（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；

（2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可.

【详解】（1）解：如图，设C产=12,Z?C=x,点4在W的上方，且彳C_LC//C=3,点。在。户的下方,

且，"L6£F=2,对于C尸任意一点儿过点。作。GJL4C,交ZC延长线卜点G,连接4）,则

03=CF=2DG=CF=12,

•••代数式V77F+J（12—耳2+22表示AB+DB,

•••AB+DB的最小值为力。的长，

即代数式4^+而二了工7的最小值为力。的长，

在RS4OG中，由勾股定理得：AD=>lAG2+DG2=^122+（3+2）2=13，

即行方+加二孑f的最小值为13：

故答案为：13

（2）解：设C”=5,4C=x,点Z在C/"的上方，且％CJ_Cb/C=2,点。在C户的卜方，且

CFICF,CF=1,对于。户任意一点4,过点。作O〃_L4C,交力。延长线于点，，连接力。，则

AH=2+1=3,CH=CF-5，

，代数式6+4+J（5-x『+l表示AB+BD，

•••AB+DB的最小值为ZO的长，

代数式庐7+7（5-X）2+1的最小值为ZO的长,

••㈤=+"=V32+52=V34，

即代数式J7M+J（5T）2+1的最小值为后.

22.某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析.

【提出问题】已知求>A77+Ji+（i-x）2的最小值.

【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为7177和的线

段，将代数求和转化为线段求和问题.

【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形初CQ,P为8c边上的动点，设4P=x，则CP=lr,

贝!jV1+-V2+J]+（1=+:

C）在（1）的条件下，已知0<xv1,请结合图形求jm+Jl+（l-x）2的最小值:

【应用拓展】（3）直接写出内匚7+$7而二『的最小值为.

【答案】（1）PA,PD-,（2）6（3）7

【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题：

（1）利用勾股定理，即可得出结果；

（2）作点。关于8C的对称点连结力。，与交于点P,则CO=CO=1,此时产力+PO的值最小,

RPA\PD~PAiPD'9AD',即PA\PD的最小值为AD'的长，

利用勾股定理求出的长即可；

（3）构造一个长方形N8CO,使两边长力8=3,BC=&5，点、P为BC边上一动点,设则

PC=屈-X，作点。关于6。的对称点。，连结彳。'，与BC交于点P,则C/y=CO=3,此时/><+/>£>的

值最小，且0力+。。=4+&）'=4。'，即4+尸。的最小值为4。的长，利用（1）的方法进行求解即可.

【详解】解：（1）根据题意得：V1+X2+71+（1-X）2=PA+PDI

故答案为：PA,PD；

（2）作点。关于8c的对称点沙，连结力。，与BC交于点、P,则CD'=8=1,

AD

此时PA+PD的值最小，且P/1+PD=P4+PD'=AD',

即PA+PD的最小值为ADf的长，

在RtZX/OO中，由勾股定理得：+*=VP77=后，

.•.P4+”的最小值为逐，

•••>J\+x2+^l+(l-x)2的最小值为行;

(3)如图，构造一个长方形力5CQ,使两边长相=3,8C=JI5，点P为4c边上一动点，设BP=x,则

PC=A-x，作点。关于BC的对称点6,连结4/,与8c交于点P,则CO=8=3,

此时PA+PD的值最小，RPA+PD=PA+PD,=AD',

即PA+PD的最小值为AD1的长，

在Rt△/力Q'中，由勾股定理得：AD'=JAD?+DD；=旧+(行丫=7，

.•.P4+PO的最小值为7,

>/9+x2+,9+(713_/)2的最小值为7.

23.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数〃或

“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化.从而起到优化解题途径的目的.

⑴【经历体验】已知〃?，〃均为正实数、且〃?+〃=4,求府石+的最小值.

通过分析♦，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，48=4,AC=\,BD=2,ACLAB,

BDJ.AB,点E是线段48上的动点，且不与端点重合，连接CE,DE,设力上=〃?，8t：=n.

①用含用的代数式表示底=，用含〃的代数式表示。E=;

②据此写出+7774的最小值是:

(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式J7石+J(x-16y+49的最小值是；

⑶【感悟探索】

①已知。，b,。为正数，且〃+"c=2,试运用构图法，画出图形，并写出疗行+质忑+犷左

的最小值；

②若〃，b为正数，试运用构图法，直接写出以7^寿，J4a2+4〃，历V为边的三角形的面积是

【答案】⑴①7774②5

⑵20

(3)①2/②2ab

【分析】本题是三角形的综合题，考查了轴对称最短路线问题；灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短

解决此类问题.也考查了勾股定理和类比的方法.

(1)①利用勾股定理可得CE