培优点14 导数中的零点问题（6大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）原卷版

培优点14导数中的零点问题

录

01重点解读........................................................................2

02思维升华........................................................................3

03典型例题........................................................................4

题型一：利用导数研究零点个数......................................................4

题型二：利用函数零点个数求参数范围...............................................5

题型三：隐零点问题................................................................6

题型四：零点赋值问题..............................................................7

题型五：零点差问题................................................................8

题型六：max与min的零点问题.....................................................10

04课时精练.......................................................................12

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导数在深入探究函数的单调特性、极值以及最值等关键性质时，发挥着不可或缺的作用。而要有效运

用导数解决这些问题，一个核心要素便是精准把握函数的零点。具体而言，导函数零点的出现，往往标志

着原函数单调性发生变化的临界点，或是原函数取得极值的点，甚至可能是最值的所在点。因此，牢牢抓

住函数的零点，就等于掌握了解决导数相关问题的关键钥匙。

零点问题，作为导数应用中的一个重要方面，主要涵盖以下四大类别：

1、函数零点个数的判定问题；

2、函数零点所在范围的确定问题；

3、隐零点（即不易直接求解的零点）的处理问题；

4、分段函数零点的分析与求解问题。

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02思维升华

1、解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种：

(1)特化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解.

(2)转化为函数/(X)的图象与x轴交点个数的问题.

⑶将/(幻=0进行参变分离，转化为Q=g(x)的形式；有时为了避免出现“断点”，可以考虑“倒数分

参”.

2、解决含参数的零点问题常用的方法主要有以下三种：

(1)分离参数法：分离之后函数无矣数，则可得到函数的图象，然后上下移动参数的值，观察直线与函数图

象交点个数即可.

(2)隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线

的含参函数，观察它们图象的变化趋势，找到临界的位置，易求得参数的取值范围.

(3)直接构造法：直接研究函数人x),对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用函数零点存在定理，判

断零点个数，从而求出参数的取值范围.

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题型一：利用导数研究零点个数

【典例1・1】(2025•湖南长沙•模拟预测)已知函数/(x)=』e'"r),其中。＞0.

⑴求/(X)的极值；

(2)讨论“X)的零点的个数.

【典例1-2](2025•山东淄博・三模)已知函数/(x)=ln(x+〃i)+e-x—

(1)当〃?=；时，判断N=/(x)有无极值点，并说明理由：

⑵当时，判断函数y=/[x)在(1-肛+00)上的零点个数并给出证明.

0

【变式MJ(2025•湖南.模拟预测)己知小)=*/7T为奇函数.

⑴求。的值;

(2)解不等式：/(力＞上夕:

1+Ve

(3)证明:函数尸(x)=4/(x)r有3个零点.

【变式1・2】(2025•湖北恩施•模拟预测)已知函数/(x)=2x-l-lnx,直线/：x-y-3=0.

(1)若点P是函数y=/(x)图象上的一点，求点尸到直线/距离的最小值；

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(2)若g(x)=/(x)+/e'-2x,讨论函数g(x)的零点的个数.

题型二：利用函数零点个数求参数范围

【典例2-1】已知函数/(幻="-。酸)2

⑴口=1时，求/(A)在点(1J。))处的切线方程;

(2)/(x)有3个零点，求。的取值范围.

【典例2・2】(2025•湖北黄冈•模拟预测)已知函数/(可=。,-。/.

(1)若。=1,证明：函数/(x)在R上单调递增：

(2)若函数/(x)有三个零点，求。的取值范围.

【变式2・1】(2025•山东泰安•模拟预测)已知函数=

x-\

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)设函数g(x)=f(x)-(a+l)ln(x-l).

(i)当。=0时，求g(x)的最大值；

(ii)若函数g(x)的图象与x轴恰有一个交点，求实数。的取值范围.

【变式2・2】(2025・山东泰安・模拟预测)已知函数/(x)=Mx-c)2在工=1处有极小值.

(1)求实数c的值；

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(2)若函数g(x)=/(x)+。有三个不同的零点，求实数。的取值范围.

题型三：隐零点问题

【典例3・1】(2025,新疆喀什•模拟预测)已知函数/(x)=x+4Sinx-xcosx.

⑴当a=1时，求/(x)在点(九,/(⑼处的切线方程；

(2)若/(X)在区间(0,上有零点，求实数。的取值范围.

【典例3-2】已知函数/(x)=x-aln(l+x),awR.

⑴当a=1时，求f(x)的极值;

⑵若/(力在区间(TO)上存在零点所,求4的取值范围;

【变式3・1】(2025•江西景德镇•模拟预测)(1)证明：cos2x+2x<］在上恒成立.

⑵若〃>2,证明：函数/(力=二--〃在(0。］上恰有1个零点.

coszxI4J

(3)试讨论函数g(x)=cJan(Y)在‘气)上的零点个数.

【变式3・2】(2025•重庆•三模)已知函数/(x)=(x-1)。,-办+6,函数y=/(x)在点(0,/⑼)处的切

线方程为x+j，+2=0.

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(1)求a,b的值;

(2)付论/(x)的零点个数.

【变式3・3】(2025・上海•三模)已知函数/(x)=「.

⑴求函数J，=/(x)的极值；

(2)当x>0时，证明：/(“)<■；『'恒成立.

1+X+—

2

(3)函数N=/(x)图像上存在多少组关于点(1,0)对称的点对？说明你的结论和理血

题型四；零点赋值问题

【典例4-1］已知函数/(x)=m(17)-lnx-l.

(I)当6=2时，求曲线，二/(X)在点(1J⑴)处的切线方程;

⑵若求〃?的值；

(3)当相>1时，证明：g(x)=/(x)+xe'-加有2个零点.

【典例4-2】(2025•北京•模拟预测)已知函数/(H=(x-2)eU+〃，曲线y=/(力在(。，/⑼)处的切线

方程为V=-3x-3.

⑴求a,6的值;

(2)①求证：/(力只有一个零点；

②汜/(小的零点为与，曲线)，=/")在(〃,/("))处的切线/与x轴的交点横坐标为为，若玉2%，求"的

取值范围.

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【变式4-1](2025•广东汕头•三模)已知函数/(力=加+卜/-2卜-皿;<.

(1)当。=1时，讨论/(》)的单调性；

⑵若/(x)有两个零点，/'(X)为/(X)的导函数.

(i)求实数。的取值范围；

(ii)记/(力较小的一个零点为题,证明：厮/'。)>一2.

【变式4・2】(2025•吉林K春•模拟预测)己知函数〃(x)=e-E,y(.Y)-hiv加(加eR),设

./'(X)=«(%)+v(.r),g(x)=M(X)-V(X).

⑴当机=0时，求曲线y=/(x)在点(Le)处的切线方程；

(2)证明：当曲线y=/(x)经过点(L2)时，y=g(x)有且仅有一个零点;

(3)证明：对小于-1的实数〃?，若关于X方程|#3|="恰有三个不同的实根，则〃+

m

题型五：零点差问题

【典例5-1】(2025•北京海淀•三模)已知函数/⑴=掘4-sinx,曲线y=/(x)在点弓J与处的

切线斜率为

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(1)求。的值.

⑵求/(X)在(0,2可上的零点个数.

(3)证明：/”)在(0,9上存在两个零点再,8,且民-王|>5.

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【典例5-2】(2025•高三•安徽蚌埠•期末)已知函数

⑴求函数/(x)在x=l处的切线方程；

(2)求函数/'(X)的极值；

(3)若关于'的方程/'(X)="QGR)有两个根当和七，求证：\x.-x2\<^-a-\,

N。

【变式5・1】(2025•重庆•模拟预测)牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛

顿法.具体做法如下：如图，设，是/。)=0的根，首先选取与作为，•的初始近似值，若/(x)在点

(/,〃/))处的切线与x轴相交于点3,0)，称怎是，的一次近似值;用为替代与重复上面的过程，得到与，

称々是「的二次近似值；一直重复，可得到一列数：质,用卢2,…，毛，….在一定精确度下，用四舍五入法取

值，当天7，X”(〃CN・)近似值相等时，该值即作为函数/(X)的一个零点

⑴若/(》)=/+3/+.L3,当玉|=0时，求方程/(x)=0的二次近似值(保留到小数点后两位);

(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数g(x)=e'-3在点

3

(2,g(2))处的切线，并证明：In3〈l+F：

e，

(3)若Mx)=x(l-lnx),若关于X的方程/?(x)=4的两个根分别为王,々(芭<々)，证明：X2-X1>G-ea.

【变式5・2】(2025•河南南阳•一模)己知函数/(x)=e“i—x-〃(a>0).

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(1)若函数/(x)在(0,+8)上单调递增，求4的取值范闹.

(2)若函数/(x)的两个零点分别是西,£，且王<工2,证明:

①々随着。的增大而减小；

1

②)%2-内>--Q.

【变式5-3】已知函数/'(x)=/+二有两个零点币占(菁<%).

-X

(1)求实数4的取值范围；

1、

(2)求证：/(王)>/-；

\X2/

2

(3)求证：x2-X1<\lcr-4<x1-x.

题型六：max与min的零点问题

【典例6-1](2025•高三•安徽县阳・开学考试)已知函数/(工);ei-l,

g(x)=-ox3+(1-a)x2-4x+4«+-.

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⑴若曲线y=/(x)与曲线y=g(x)在x=l处的切线平行，求实数。的值；

(2)定义min(6〃)=<:记函数/?(》)=min{/(x),g(x)},若函数y=A(x)有三个零点，求实数〃的

a>n

取值范围.

【典例6・2】(2025•河南•三模)已知函数/3=(l-x)e',g(x)=(x+1)In(x+1)-ax,其中

4GR.

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(1)求函数/(X)的零点；

出/?3=〃0+8(、)+|/")-8(刈.

(i)用max伽，力表示加，”的最大值，证明：F(x)=2max{/(x),g(x))；

(ii)是否存在实数。，使得VxeR,尸(%)20恒成立？若存在，求〃的取值范围；若不存在，请说明理由.

【变式6-1］已知函数/(%)=&'-犬-”-l,g(x)=-ln(x+2).

⑴若x=0是/(X)的极大值点，求。的值：

(2)用Max{〃?,〃}表示机，〃中的最大值，设函数Mx)=Max{/(x),g(x)},试讨论/?(x)零点的个数.

注：若m(x)=©-x-1,当xfyo时，w(x)->+co,当x->0时，zn(x)->l.

【变式6・2】(2025•浙江•二模)定义max{"”=：：］：,已知函数/(x)=max{lnx,-4/十九.1},其

中用wR.

(I)当〃?=5时，求过原点的切线方程；

(2)若函数/(x)只有•个零点，求实数〃?的取值范围.

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3,

1.(2025•陕西咸阳•模拟预测)已知函数/(x)=(a+l)e'-x-gaeR).

⑴当。=1时，求曲线N=/("在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)讨论/(x)的单调性;

(3)证明：当。之；时，函数g(x)=；ac2=〃x)只有一个零点

2.已知函数/(x)=sinx-4e1若/(x)在［0,2可上恰有两个零点，求实数a的取值范围.

3.(2025•安徽蚌埠•三模)已知函数/(x)=e'-a.

(1)若。=1,g(x)=/(x)cosx-sinx,讨论函数g(x)在(0,2兀)的单调性;

⑵若〃(x)=/(x)-xcosx在［0,2兀］上有唯一的零点，求实数”的最小值.

4.(2025•甘肃甘南•模拟预测)已知函数/(x)=ln(l+x)-〃K

⑴加=1时，求/(》)在x=0处的切线.

(2)求函数/(x)的极值;

(3)若函数/'(X)在区间［0苒2-1］上恰有两个零点，求机的取值范围.

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5.已知函数/(力=导+(a+2)e'+2ax吟.

⑴若"=1,求曲线y=/(x)在点(oj(o))处的切线方程;

(2)若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

6.己知函数/(x)=4e'(x-lM(GeR).

⑴若”=1,求曲线歹=/(x)在点3/⑴)处的切线方程；

(2)设/心)」［3,当“20时，求函数〃(力的最大值;

(3)讨论函数y=X与函数y=/(x)的图象的交点个数.

7.(2025•浙江嘉兴・二模)己知函数/(x)=or2+(a_2)x-hu-(b+l)sinEx(a,beR).

⑴当“=2,6=7时，求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)当6=0时,存在和%2«1，+°°)，使得/($)=/'仇)=°，求证：।〈土<3；

X2

(3)当0<4<1,。=2b时，判断y=/(x)的零点个数，并作出证明.

8.已知函数/(x)=(x—l)c-m”.

(1)讨论/(工)的极值点个数：

(2)探究/(大)的零点个数.

9.(2025•广东广州•三模)已知函数/(x)=a?+(a—2)x—iniMGR.

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(1)当。=2时，求与/(x)相切，且垂直于直线x+3y=0的直线方程;

⑵若"X)有两个零点，求实数。的取值范围.

10.(2025•海南•模拟预测)已知函数/(x)=g(x—2)2+41n(x—l).

⑴当。=-6时，求/(力的极值；

(2)若/(》)在区间(2,4)上有且仅有一个零点，求实数”的取值范围.

11.(2025•安徽六安•模拟预测)已知函数/(x)=-sinx+".

(1)若/")为R上的单调函数，求及的取值范围；

(2)若函数g(x)=§/+K+sinx,求证：人可以取无数个值，使得每一个攵的取值g(x)都恰有三个不同的零

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点.

12.(2025•安徽•模拟预测)己知函数"x)=ar+sinx,曲线y=/(x)在(冗,/(冗))处的切线斜率为().

(1)证明：函数/(X)在R上单调递增；

⑵设g(x)=〃2+/a),若加4-1判断函数g(x)的零点个数.

13.(2025•江西•模拟预测)已知/(》)=£~+(尿-%%火6R.

X

(1)当左=e时,讨论/(x)的单调性；

(2)已知方程/(力=，恰有3个实根，求一%的值.

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14.(2025•江西南昌•模拟预测)已知函数/(力=%-/【nx+2)(4>0),且x=2不是/(x)的极值点.

4\x)

⑴求。的值；

(2)判断/(X)的零点个数.

15.(2025•重庆九龙坡•三模)己知函数/(x)=-alnx-；.d+(a+l)x,aeR.

⑴当〃=2时，求函数/(x)的极值；

(2)设g(x)=/(x)+(a-l)lnx+g/有两个不同的零点芭，/，求。的取值范围.

16.已知函数/("=祀；工+1.

⑴讨论/(x)的零点个数：

⑵记g(x)=ln(x-l),证明：在X€(l,+8)上，当。时，/(.X)的图象恒在g(x)的图象上方.

e

11

17.(2025•山东•二模)已知函数八幻=r三++：'+”.

e2

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)若/(X)有两个零点，求。的取值范围.

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