辽宁省东北大联考2025-2026学年高二年级上册10月阶段检测数学试卷（解析版）

辽宁省东北大联考2025-2026学年高二上学期

10月阶段检测数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

I.若直线x+ay=0的倾斜角为四，则。=()

6

A.且B.6C.一立D.-73

33

【答案】D

71]

【解析】因为直线x+ay=o的倾斜角为一，且斜率为一一，

6a

所以tan工=一,=立，解得〃=—G.

6。3

故选：D.

2.在空间直角坐标系。一种中，若点P(〃-1MM+2)在平面yOz内，则同卜()

A.75B.V10C.V13D.10

【答案】B

【解析】因为点尸(〃-1”a+2)在平面,V。内，所以。-1=为。=1,即*0,1,3),

所以|研二行齐二?"二痴.

故选：B.

3.若直线4：2x-y+l=O与直线4：米+y—2=0(左wR)平行，那么这两条直线之间的

距离为()

31375Js

5555

【答案】D

【解析】有己知直线4：2、一)，+1=0与直线4：米+)-2=0(%£R)平行，

则2x1—(—1>%=0,即左二一2,

此时直线4：2x_y+l=O与直线，2：―2X+)，_2=0,即勾：2工一)，+2=0满足平行,

」「石

则两直线间距离”二2T

5'

故选：D.

4.已知直线/与平面。垂直，直线/一个方向向量M=（2,3,-1）,向量B=（〃?1,5）与平

面。平行，则加二（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【解析】由题意可知，ab=0,即2m+3—5=0,解得机=1.

故选：B.

5.若经过点（2,1）的直线/在轴上的截距之比为2:1,则/与两坐标轴围成的三角形的

面积为（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【解析】由题意知，直线/不过原点，设/的方程为二1+2=1，

2aa

把点（2,1）代入方程，可得2+1=1,即2=1,解得。=2,

2aaa

所以/在X，y轴上的截距分别为4和2,

所以/与两坐标轴围成的三角形的面积为S=,x4x2=4.

2

故选：C.

6.若向量而在基底｛%及4下的坐标为（4,3,-1）,则向量而在基底M+2瓦2万一反4

下的坐标为（）

A.（10,5,-1）B.（2,1,-1）

C.（-2,-1,1）D.（7,1,-1）

【答案】B

【解析】因为向量而在基底加,反3下的坐标为（4,3,-1）,所以丽=4白+3B-1，

设刃5在基底｛〃+2万,2〃一瓦4下的坐标为（工,乂2）,

则OP=x（M+2B）+y（2a-〃）+z^=（x+2y）彳+（2x-y）54-zc,

x+2y=4

所以，2%一），=3,解得x=2,y=l,z=-l,

z=­I

所以向量方在基底M+25,2万-5e｝下的坐标为

故选：B.

7.在同一坐标系内作出直线办一丁+匕=0与〃x—y—a=O,则下列选项可能正确的是

【解析】由图中两直线都不与坐标轴垂直可知，心。0,所以两直线均不过原点，排除C；

av_y+b=O中取y=0得工=_2,饭_）,_々=（）中取）,=0得工二色，由一2,巴符号相

abab

反，可排除B；

对于D,直线依一），+〃=。即丁=依+〃该直线斜率为。，纵截距为b

反丫一）,一〃=0即y=瓜-4=0该直线斜率为匕，纵截距为一〃，

ab<0ab<0

由图可知这两条直线的斜率和纵截距异号，则〈%〉°,矛盾，故可排除D.

。（一〃）<0

故选:A.

8.在正四棱台八3cO-A4GR中，A/=24,g=2/，若区4+2x丽-y码的最

小值为血，则点C到直线AA的距离为（）

A.-B.2C.D.V2

33

【答案】C

【解析】设一2x丽+），而二探，则点G在平面ABCQ上，

故|羽+2工赤—），码丽_祠=网,

因为|丽+2为而一），码的最小值为血，|离|的最小值为血，

所以该棱台的高为、反.

如图，连接AG，AC,则四边形ACGA是等腰梯形，

4C=J（2&）«2扃=4,AJ“（⑸+（何=2,

从点A向平面ABCO作是线，垂足为E,

则|河+2忆4分一丁码最小时，点G与点£重合，点E在4c上，且AE=1，

所以A4,二qAE?+AE=VT+2=&,

设点C到直线A4的距离为d,则4E-4C=d.A4，

-V2x44瓜

G3

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列说法正确的是（）

A.任意一条直线的倾斜角都存在

B.倾斜角为钝角的直线必过第三象限

C.两条平行的直线一定有相等的斜率

D.若直线/的斜率为负数，则其倾斜角为钝角

【答案】AD

【解析】根据倾斜角的定义可知易得A正确，

由]•斜率攵与倾斜角0满足攵=lan〃，8W[0,7C）,故AYO时，Os兀，D止确；

直线y=-2x,斜率为负.故倾斜角为钝角，该直线经过二、四象限，不过第三象限，故B

错误；

当两条直线不重合，且均与大轴垂直，此时这两条直线平行，但它们没有斜率，故C错误.

故选:AD.

10.已知正方体48co—则（）

A.ABCD=AB

B.BDAJ\=O

C.狷•丽>0

D.当万为平面4用。的法向量时，匕当.=立人月

1«13

【答案】BD

【解析】如图所示：

对选项A,因为通，c方方向相反，所以福.①=_a亘:故A错误；

对选项B，因为8D_LAA，所以8万-A<=0,故B正确；

对选项C,因为△4旦2为等边三角形，所以狷，而*=与，

则丽•瓦»<0,故C错误；

对选项D,设正方体的边长为2,以A为原点，4氏AD,A4分别为x,y,z轴建系,

如图所示：

A（0,0,0）,5（2,0,0），4（2,0,2）,〃（0,2,2）,

福=（2,0,2）,碣=（0,2,2）,而=（2,0,0）,设及=（x,y,z）,

则｛____,令x=l,则y=l,z=-l,即而=（1,1,一1）.

nAD1=2y+2z=0

\n-AB\22r-x/3II

则=/=46;二48，故D正确.

\n\x/333II

故选：BD.

H.在空间直角坐标系。-个2中，经过点。（%）,为，4），且一个法向量为力=（a,〃,c）的

平面的方程为4（x—为）+匕（y-No）+c（z-Zo）=O.若平面a的方程为x-y-z=。，

平面。的方程为心:+2），—z=6.则（）

A.对任意々£R,a,4不平行

B.存在攵eR,使得a,月垂直

当仅夹角的余弦值为立时，k=2

C.

9

兀71

D.不存在A$R,使得a,4的夹角在区间内

6,4

【答案】ABD

【解析】由题意平面々的一个法向量沅二（1,一1,一1）,4的一个法向量为二（幺2,—1）,

?-1

因为—*—,所以比，万不平行，a,力不平行，故A壬确;

mn=k-\,当女=1时，成万=0,比_L”,a_L#,故B正确;

设a,月的夹角为凡当8S"点\邛时,平方化简得4公一%+2=0,

解得人2或故C错误;

当％=1时，m-n=0,所以夕=>,

2

cos0=_______________：________=___________________

当丘1时，.一0*7)2+2(2+6飞1］「+6

Vk-1

因为函数y=cos。在。上单调递减，所以故D正确.

L2」4

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.坐标原点。到直线工+），-加=0的距离为.

【答案】x/5

0+0—Jio|_

【解析】由点到直线的距离公式可得"=______-1=75.

故答案为：石.

13.如图，在正三棱锥A-8CQ中，以BC的中点E为原点，直线EC,£7）分别为x,y

轴，过点E与平面8CO垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系.若A（〃』,3）,则二面

角A—CD—5的正切值为,三楂锥A—3CO的体积为.

【答案】①.3②3百

【解析】在正三棱锥4一BC。中，连接A石，过点A作平面3CO的垂线，垂足为。"

则。在力七上，且=则a=0,40,1,3）,OE=l,OA=3,0（0,1,0）.

二面角A-CD-6大小等于二面角A—的平面用ZAEO,

tanZ^EO=—=3,由OE=1,得。E=3,8C=2、Q，

OE

所以三棱锥A—8CO的体积为Lx'-8C-OE・QA=!x2j5x3x3=3jL

326

故答案：3；3G.

14.已知直线4：2工+y-4=0,过点A（l,0）的直线与4及两坐标轴围成一个四边形,

且该四边形有外接圆，则4的一般方程为.

【答案】工-2），-1=0或冗+2），-1=0

【解析】设。为原点，直线（与坐标轴分别交于点B（2,0）,C（0,4）,

当《J.，2时，记44的交点为P，直线/与两坐标轴围成一个四边形。V"。，如图所示:

因为4OC=NAPC=,所以该四边形对角互补，有外接圆.

2

因为人的斜率为一2,所以，2的斜率为3，4的方程为y=；（x-l），即x-2y-l=0；

当4与）'轴的交点为。（。，〃）（0<8<4）时，直线44与两坐标轴围成一个四边形A3CQ,

如图所示：

若该四边形有外接圆,

贝|JNOAQ=；_/AQO=]_（兀_/AQC）=4QC_]=（:T_/ABC）_]=5_/A8C,

所以tan/OAQ=tan传一/ABC1=-^―-此时/,的斜率为」，

\2JtanZAfiC22

方程为y=_J（x-l）,即x+2y-l=0,此时力=一，符合题意.

综上得，直线"的方程为工一2），-1=0或1+2），-1=0.

故答案为：x-2y-l=0或x+2y-l=0.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知直线/经过点4（-1,2）,80,机）.

（1）若/'斜率2,且//〃，求〃z；

（2）若/'的一个方向向量的坐标为（—1,3）,且求”.

m-2m-2

解.：（I）因为直线/经过点A（-L2）,3（l,〃z）,所以直线/的斜率为

1-（-02

in—2

因为r的斜率为2,且////',所以——=2,解得旭=6.

2

3

（2）因为/'的一个方向向量的坐标为（-1,3）,所以/'的斜率为3=-3,

由（1）知直线/的斜率为竽,

>»1一2Q

因为所以”一•（-3）=-1,解得帆=*

16.已知空间三点4（1,0,—2）1（2,1,0）,。（一1,一1,1）.

（1）若。为原点，求异面直线。4与所成角的余弦值;

（2）求以A8,AC为邻边的平行四边形的面积.

解：（1）因为0（0,0,0）,A（1,0,—2）,3（2,1,0）,C（—1,—1,1）,

所以9=（1,0,-2）,"=（-3,-21）,

设异面直线OA与BC所成的角为0,

则…匹巴凶上卫士L叵

'|ZM||BC|x7/55xxy7/114414

所以异面直线与8。所成角的余弦值为画

14

⑵解法一:因为A（1,O,-2）,3（2,1,O）,C（TT1）,

所以而=（1,1,2）,*=（一2,-1,3）,

ABAC

所以A万在彳亍上的投影向量的模为d=

V14

AC

所以点8到直线AC的距离〃=而『—d?=6一看=哈.

所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为力•“卜岩x=56.

解法二：因为A（l,0,-2）I（2,L0）,C（-l,Tl）,

所以通=(1,1,2),/=(—2,—1,3),

所以网二技时卜H可得COS，C=篇裔=而扁=

所以sinZBAC=yj\-cos2ZBAC=Jl35V7

28~~14~

所以以AAJC为邻边的平行四边形的面积为国||阳金447="，加入吟=56

解法三：0^A（1,O,-2）,B（2,1,O）,C（-1,-1,1）,所以而=（1/,2）,/=（一2,-1,3）,

所以以AB,AC为邻边的平行四边形的面积网|园sin"AC=，罔14或1-8§2/朋0

=,府］研一伊工丫='6X14-9=5"

17.如图，四棱柱ABCO—AqGA的所有棱长均为1,点E满足AE=§EB,设

AB=a,AD=b,A4(=c.

（1）用4,6,C表示AC.E；

（2）若AC=AA=JI"•函=，，求|2Z+q与的值.

解：（1）根据空间向量的线性运算法则，

可得承二/—丽=砺+而一丽=3+5—".

因为通=；丽=；（而一荏），所以A百=；A与，

44

（2）因为4c=例=也，所以|罔=,+同=&,

可得7+22•方+后=1+订5+1=2，解得£石=0，

同理可得几"=（）,

因为SC=++=歹+ab+a-c+b-c=\+ac=—,可得

——1

ac=——,

2

所以2a+c=74f+4a.c+J=44-2+1=6，

I1-2尸2-21-J-———尸—

则。E二屏卜-a-b-—a+b+c——a・b-a・c+2b+c

4162

—+1+1-0+^+0=

1644

18.如图，在长方体ABC。-A,与中，点七为A3的中点.

AELAiB；

(2)若以点A为坐标原点，A反45,44.的方向分别为MN*轴的正方向建立空间直角

坐标系，其中率=(4,QY),A力力=25.

(i)求点G的坐标;

(ii)求点G到平面的距离.

(1)证明：因为瓦・AA=O,所以OE，A3,

在长方体ABC。-A罔GQ中，由AOJ_平面ABBJA，且A/U平面ABB|A，

所以AO_LAf,

又因为ADcO石1=0，42。后(=平面八。£,所以AB_L平面

因为A£u平面AOE,所以

(2)(i)解：设A3=〃,A。=〃,/L4,=c,

则3(a,0,0),。(0/,0),A(0,0,c)C@b,c),

所以邓=(a,0,—c)=(4,0,T),可得a=4,c=4,

所以45=(0,反—c),而=(—4〃,0),

由丽•丽="=25,可得〃=5,所以G(4,5,4).

万,=4x-4z=0

(ii)解：设平面48。的法向量万=(x,y,z),则<

n-BD=-4x+5y=0

取x=5,可得)，=4,z=5,则万=(5,4,5),

又因为4cl=(4,5,0),

所以点G到平面ABD的距离为上牛=15X；+4X5+5X0]=竺叵.

|川V52+42+5233

7T

19.已知直线4：x-"-2=0与X轴交于点A,把4绕点A顺时针旋转一得直线

4

Z,:2x+y-4=0,4