抛物线（讲义）-2026年高考数学一轮复习解析版

专题8.7抛物线（举一反三讲义）

【全国通用】

题型归纳

【题型1抛物线的定义及其应用】.......................................................................3

【题型2抛物线的标准方程】...........................................................................5

【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】................................................................7

【题型4抛物线的轨迹方程】...........................................................................8

【题型5抛物线上的点到定点的距离及最值】..........................................................10

【题型6抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................12

【题型7抛物线的焦半径公式】........................................................................15

【题型8抛物线的几何性质】..........................................................................17

【题型9抛物线中的三角形（四边形）面积问题】.....................................................19

［题型10抛物线的实际应用】.........................................................................22

1、抛物线

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考II卷：第10题,5

分

2023年全国乙卷（文数）：第抛物线的方程及其性质是圆锥曲线

13题,5分中的重要内容，抛物线及其性质是高考

（1）掌握抛物线的定义、几何2023年北京卷：第6题，4分数学的热点问题.从近几年的高考情况

图形、标准方程2024年新高考H卷：第10题，6来看，主要考查抛物线的定义、标准方

（2）掌握抛物线的简单几何性分程、几何性质、面积问题等内容，在选

质（范围、对称性、顶点、离2024年北京卷：第11题，5分择、填空、解答题都可能出现，解题思

心率）2025年全国一卷：第10题，6路和解题步骤相对固定，强调通性通法，

（3）了解抛物线的简单应用分选择、填空题中难度不大，解答题中难

2025年全国二卷：第6题，5度偏大，一般以第一小问考查抛物线的

分方程或轨迹问题，需要灵活求解.

2025年北京卷：第11题，5分

2025年天津卷：第9题，5分

知识梳理

知识点1抛物线的方程及其性质

1.抛物线的定义

（1）定义：平面内与一个定点尸和一条定直线/（/不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛

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物线的焦点，直线/叫作抛物线的准线.

(2)集合语言表示

设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点〃到直线/的距离为d,则抛物线就是点的集合P={M\\MF\=d}.

2.抛物线的标准方程与几何性质

标准方程产2Pxs>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

图形

7

顶点(0,0)(0,0)

轴对称轴产0对称轴x=0

F(-2>°)尸(d1

焦点1偈。)。阊3--2)

--PPp

aaTX-2x=2y=2

离心率e=1e=l

开口向右开口向左开口向上开口向下

焦半径尸1=%。+名=-④o+号1〃尸1=珈+与

\MF\=-2/0-F

范围x>0烂0>'>0j<0

3.抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异

抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：

①它们都是轴对称图形,但椭圆和双曲线乂是中心对称图形；

②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有I个顶点；

③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；

④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是双曲线的离心率范围是e>l,抛物线的离心率是e=l；

⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；

⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.

知识点2抛物线标准方程的求解方法

1.抛物线标准方程的求解

待定系数法:求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的

类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

知识点3抛物线的焦半径公式

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1.焦半径公式

设抛物线上一点P的坐标为(*),乂)，焦点为足

⑴抛物线：y2=2px[p>0),|，|=x0+f=见+会

2

(2)抛物线：y=-2px(p>0),\PF\=xQ-^=-x0+^；

(3)抛物线：./=2勿(〃>0),\PF\=yo+^=y0+^；

(4)抛物线：/=-2勿(〃>0),|「川=%一§=一乂>+

注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公

式.

知识点4与抛物线有关的最值问题的解题策略

I.与抛物线有关的最值问题的两个转化策略

(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短"''三

角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.

(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线

段最短”原理解决.

2.与抛物线有关的最值问题的求解策略

求解此类问题一般有以下两种思路：

(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何

法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.

(2)代数法:由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值

的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.

【方法技巧与总结】

1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.

2.抛物线必=2/求(〃>0)上一点P(x。,火)到焦点/(§,0)的距离|尸网=凡+刍，也称为抛物线的焦半径.

举一反三

【题型1抛物线的定义及其应用】

【例1】(2025・重庆•三模)已知力为抛物线C：/=2py(p>0)上一点，点/到。的焦点的距离为4,到x

轴的距离为2,则0=()

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解题思路】根据抛物线的定义，即抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，先求出抛物线的准线方

程，冉结合点4到焦点和工釉的距离建立等式，进而求出p的值.

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【解答过程】对于抛物线x2=2py[p>0),其准线方程为y=

已知点A到C的焦点的距离为4,由抛物线的定义可知，点力到准线的距离也为4.

又因为点4到%轴的距离为2,所以点A到准线的距离为点4到工轴的距离加上枭即2+，=4.

对2+]=4进行求解，移项可得：=4一2=2,解得p=4.

故选：C.

【变式1-1】(2025•吉林•三模)已知抛物线C：V=8%的焦点为F,点P(m,4)在抛物线C上，则|P尸|=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解题思路】先根据点P在抛物线二求Him的值，再根据抛物线的定义求出仍用的值.

【解答过程】已知点P(m,4)在抛物线C:y2=8x匕可得4?=8m,解得m=2.

在抛物线C：y2=8万中，焦点厂的坐标为(2,0),准线方程为尤=-2.

由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.

所以点P到准线的距离为2-(-2)=4,即|PF|=4.

故选：B.

【变式1-2】(2025・陕西安康•三模)已知抛物线X2=16y上的点M到焦点F的距离为6,则点M到y轴的距离

为()

A.2V2B.4V2C.2D.4

【答案】B

【解题思路】由抛物线的定义确定M坐标，即可求解.

【解答过程】由抛物线方程可得：勉物线的准线方程为：y=-4,

由抛物线的定义可得：点M到准线y=-4的距离为6,

所以M点纵坐标为2,代入抛物线方程可得：为2=32,

得：x=±4V2,

所以点M到y轴的距离为4VL

故选：B.

【变式1-3](2025•湖南长沙•一模)已知抛物线C:y=?的焦点为用准线为1,P为C上一点，过P作，的垂线,

垂足为M.若|MF|=|PF|,则|PF|二()

A.2D.V3C.4D.2x/3

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【答案】C

【解题思路】由抛物线定义及已知条件知△PM"为等边三角形，进而可求|PF|.

【解答过程】由抛物线的定义知|PF|=|PM|,又|MF|=|PF|,

所以△PMF为等边三角形，KFMN=30°（N为准线与y轴的交点），

抛物线y=£的焦点”0,1）,准线p=2,

故1“尸1==2p=4,

sin£FMNsin30

故|PF|=4.

故选：C.

【题型2抛物线的标准方程】

【例2】（25-26高二上•全国・单元测试）己知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线x+2y-

6=0±,则抛物线C的标准方程为（）

A.y2=-12xB.x2=8y

C.x2=-12yD./=i2y

【答案】D

【解题思路】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程.

【解答过程】直线x+2y—6=0与y轴的交点为（0,3）,

所以抛物线。的焦点为（0,3）,故?=3,解得p=6,

所以抛物线C的标准方程为/=12y.

故选:D.

【变式2・1】（24-25高二上•天津河西•期末）准线方程为y=4的抛物线的标准方程是（）

A.x2=8yB.x2=—8yC.x2=16yD.x2=-16y

【答案】D

【解题思路】由准线方程求出抛物线的标准方程即可求解.

【解答过程】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为必=2py（p>0）.

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因为抛物线的准线方程为y=4,圻以々=4,即p=8,所以该抛物线的标准方程为%2=-16y.

故选：D.

【变式2-2】(2025•山西•二模)若点(2,2)在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则。的方程为()

A.y2=2xB.y2=x+2C.x2=2yD.x2=y+2

【答案】A

【解题思路】由抛物线的标准方程，代入(2,2)可得结果.

【解答过程】由题意可知，抛物线C的方程为y2=2px,

将(2,2)代入y2=2px,可得p=l,故抛物线C的方程为y2=2工

故选:A.

【变式2・3】(2024•宁夏石嘴山•三模)如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点/的直线/交抛物线于两点4、

B，交其准线于C,力£与准线垂直且垂足为E,若|BC|二2|BF|,|/1E|=3,则此抛物线的方程为()

C.y2=yD.y2=3x

【答案】D

【解题思路】过点4B作准线的垂线，设|8F|二a,得到|4C|=3+3a,结合抛物线的定义，求得a=l,再

由BO〃尸G,列出方程求得p的值，即可求解.

【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D,

设|BF|=a,则出C|=2|BF|=2%

由抛物线的定义得|8。|=\BF\=a,

在直角△BCD中，可得sinzBCD=瞿=；,所以zBCD=30°,

在直角△ACE中，因为|AE|=3,可得|4C|=3+3a,

由|.4C|=2|4E|,所以3+3Q=6,解得Q=1,

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因为80〃%,所以;=品解得P=:，所以抛物线方程为y2=3x.

故选：D.

【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】

【例3】（2025•北京朝阳•二模）若抛物线C:/=my（771H0）的焦点坐标为（0,一1）,则抛物线。的准线方程

为（）

A.x=2B.x=1C.y=2D.y=1

【答案】D

【解题思路】由抛物线方程及焦点坐标直接求出准线方程.

【解答过程】因为抛物线=rny（mH0）的焦点坐标为（0,-1）,

所以抛物线方程为X2=-4y,

准线方程为y=1.

故选：D.

【变式3-1］（2025・安徽・模拟预测）抛物线y=J%2的焦点坐标是（）

O

A.（0,2）B.（0,-2）C.（-2,0）D.（2,0）

【答案】A

【解题思路】变形得d=8y即可判断焦点坐标.

【解答过程】、一!"2,即尤2-8人贝3=4,则共焦点坐标为（0；2）.

O

故选：A.

【变式3-2】（2025•安徽•模拟预测）己知抛物线C:2/+my=0恰好经过圆M:（x-I）2+（y+2）2=1的圆

心，则C的准线方程为（）

A.x=-B.x=--C.y=-D.y=--

22z8z8

【答案】C

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【解题思路】求出圆心坐标，将圆心坐标代入抛物线方程，将抛物线方程化为标准方程，即可得出抛物线C

的准线方程.

【解答过程】圆M的圆心为M（l,-2）,

将圆心M的坐标代入抛物线的方程得2x/-2m=0,解得m=1,

故抛物线C的方程为2/+y=o,标准方程为%2=_^y，

则2P=%所以，§故抛物线C的准线方程为y=5

故选：C.

【变式3-3]（2025•安徽合肥•三模）已知抛物线。:％2=22）/@>0）的焦点为尸，第一象限的点

「（々,月）,（?（如丫2）在抛物线上，且伊尸1=应产1+3,北（?|=3夜.若％1+外=6,则抛物线。的准线方程为

（）

A.y=-B.y=­3C.y=—1D.y=—2

【答案】A

【解题思路】根据题意结合抛物线的定义可得力-乃=3,再根据两点间距离公式可得（打-上）2=9,最后

代人方程作差可得p=3,即可得结果.

【解答过程】因为|PF|=|QF|+3,则%+々=%+孩+3,可得力一力=3，

2222

又因为|PQ|=J（%1-%2）+Q1-V2）=J（X1-X2）+9=3或，可得（％1-x2）=9,

且一父力，两式相减得好~xj=2p（yi-丫2），即（M+M）区一M）=2P（yi-月），

%=2py2

22

平方可得01+%2）2（打一x2）=4P2（%-y2）,

且勺+》2=6,可得36x9=4p2x9,即p2=9

且p>0,即p=3,

所以所求准线方程为y=-*

故选：A.

【题型4抛物线的轨迹方程】

【例4】（2025•湖南衡阳•三模）已知点F（2,0）,动圆P过点凡且与％=-2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲

线「，则曲线「的方程为（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=12x

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【答案】C

【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.

【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线％=-2的距离相等，

所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以r的方程为y2=8x,故C正确.

故选：C.

【变式4-1](2025•辽宁沈阳•一模)已知平面直角坐标系中不同的三点4(0,5),B(x,0)((0.V)，圆心在.”轴

上的圆E经过儿B，C三点，设点M的坐标为(％y)，则〃点(1勺轨迹方程为()

A.x2=5y(y*0)B.y2=5x(x*0)

C.y2=—5x(x*0)D.%2=-5y(y*0)

【答案】D

【解题思路】根据给定条件可得4818a再利用数量积的坐标表示求出方程.

【解答过程】由圆心在)，轴上的圆£经过点4(0,5),3(x,0),C(0,y),得线段力。为圆C的直径，

而点8在%轴上，则AB1BC,又屈=(%—5),而=(%—y),

于是而•而=x2+5y=o,而民C不重合，即yHO,

所以M点的轨迹方程为d=-5y8+0).

故选：D.

【变式4-2](2025•河北邯郸•模拟预测)在平面内，到定点(2,0)的距离比到定直线％=-1的距离大1的动

点M的轨迹方程是.

【答案】y2=8x

【解题思路】先根据已知条件将动点M到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹

方程.

【解答过程】由已知可得动点M满足到定点(2,0)的距离等于到定直线工=-2的距离，

由抛物线定义知动点M的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为(2,0),贝吟=2,p=4.因此轨迹方程

为：y2=8x.

故答案为：y2=8x.

【变式4-3](2024•宁夏石嘴山•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(l,0),P为动点，以线段MP

为直径的圆与、轴相切.动点P的轨迹r的方程为.

【答案】y2=4x

【解题思路】设P(x,y),求得以线段MP为直径的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件可得所求轨迹方程.

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【解答过程】设P（3），可得以线段MP为直径的圆的圆心为空•，），

半径为“府而，

由以线段MP为直径的圆与y轴相切，

可得I等I=+整理得产=4%.

故答案为:y2=4x.

【题型5抛物线上的点到定点的距离及最值】

【例5】（2025•全国•模拟预测）已知力是抛物线C：y2=4不上的点，N（4,0）,则|4N|的最小值为（）

A.2B.2V2C.4D.273

【答案】D

【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值

【解答过程】设4G,£），

则MM=J（y-4）2+伐=点—£2+16=27+12N26，

当且仅当£=±2近时，等号成立.

故选：D.

【变式5-1]（24-25高二下•河南洛阳•阶段练习）设。为坐标原点，尸为抛物线C：产=8%的焦点，点％在抛

物线C上.若|4目=5,则|。川=（）

A.6V6B.9C.3D.V33

【答案】D

【解题思路】设力（%,小），先由抛物线定义和历尸1=5解出与，得到A点坐标，再由两点间距离公式求出|。川

即可.

【解答过程】因为抛物线C：/=8%,所以焦点F（2,0）,准线方程为％=-2.

设4（%o，yo），因为|4?|=5,所以由抛物线定义可知邕+2=5,解得&=3,

因为点力在抛物线C上，所以羽="o=8x3=24,所以4（3,±2遥），

所以I。川=J/+羽=V9T24=V33.

故选：D.

【变式5-2]（2025•甘肃甘南•模拟预测）已知直线2:%=-5,点P（3,0）,点4（4,1）,动点Q到点P的距离比到

直线1的距离小2,则|Q*+|QP|的最小值为（）

10/39

A.4B.6C.7D.8

【答案】C

【解题思路】利用定义法可求抛物线方程，也可以利用几何关系代入坐标公式求出抛物线方程，再利用抛物

线的几何性质转化线段可求和的最小值.

【解答过程】方法一：设QQ,y).•••点P(3,0),直线，:％=-5,

动点Q到点P的距离比到直线，的距离小2,

:•我-3)2+。-0)2+2=1%-(-5)1,化简得产=12筋

即点Q的轨迹是以P(3,0)为焦点，以直线x=-3为准线的抛物线.

方法二：设Q(x,y)J•点P(3,0),直线1:%=-5,

动点Q至U点P的距离比至IJ直线，的距离小2,

•••动点Q到点P的距离等于到直线％=-3的距离，

•••点Q的例迹是以P(3,0)为焦点，以直线方=-3为准线的抛物线，

即抛物线方程为y2=12x.

如图，过点Q作准线的垂线，垂足为8,由抛物线的定义，得|QP|=|QB|,

贝IJIQAI+\QP\=\QA\+|QB|,当A,Q,8三点共线时,

\QA\+|QP|取得最小值，最小值为伊B|=4+3=7.

故选：C.

【变式5-3](24-25高三上•安徽•阶段练习)已知抛物线％2=22丫。＞0),点/(4,4)在抛物线上，点8(0,3),

若P点是抛物线上的动点，则上目的最小值为()

A.8B.2V2C.9D.3

【答案】B

【解题思路】把点力(4,4)代入抛物线中求出p=2,再设PC/Jo)利用两点间距离计算根据二次函数求最值即

可.

【解答过程】因为点力(4,4)在抛物线上，所以42=2p-4,解得p=2,

所以抛物线方程为d=4y,设PC"/。)，

11/39

22

则|PB『=*+(y0-3)=琢+%—6yo+9二羽-2yo+9=(y0-I)+8>8,

所以1PBm勺最小值为2VI

故选：B.

【题型6抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】

[例6](2025•海南饴州•模拟预测：己知4(13)，8(0,4),P为抛物线y=x2-2x+2上一动点，则|P川+\PB\

的最小值为()

A.|B.?C.D.5

444

【答案】C

【解题思路】根据图象的平移和抛物线的几何性质，得到曲线Q-1)2=y-l的焦点坐标为力(1尚)，准线方

程为="过点P作PN_L1,根据抛物线的定义，得到|P川=|PN|,结合|P川+|PB|=|PN|+|P8|,即

可求解.

【解答过程】由抛物线〉=/一2%+2=。-1)2+1,即Q—l)2=y—l,

又由抛物线%2=y表示开口向上，且焦点为(0,：),准线方程为

44

将抛物线d二、向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到I)?=y-1,

所以抛物线(x-1)2=y-1的焦点坐标为力(1卷)，准线方程为，:y=

因为点P是抛物线。一1)2=y-1上任意点，则点P到焦点F的距离等于点P到I的距离，

如图所示，过点P作PN11,可得|/M|=|PN|,

所以|P川+|P6|=|PN|+|PB|Z4-：==,当且仅当P,B,N三点共线时，等号成立，

44

所以|P川+|PB|的最小值为*

故选：C.

12/39

【变式6-1］（2025・贵州贵阳•模拟预测）已知抛物线C:y2=4%的焦点为R例为。上的动点，N为直线，:％+

6？+3=0上的动点，设点M到y轴的距离为力则|MN|+d的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解题思路】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于到准线的距离，进行转化，当M,N,F三点共线时，可

求得最小值.

因为抛物线C:y2=4x,.•./（1,0）,过户点作尸片垂直直线/于点用，过〃作准线的垂线交准线于点”，如图

所示，则|MF|=|MH|,d=\MH\-l,

则|MN|+d=\MN\+\MH\-1=\MN\+\FM\-1>|FFJ-1=1=1,

当点N与点力重合，点M为线段尸Fi与抛物线的交点时，等号成立.

故选：A.

【变式6-2］（2025•辽宁葫芦岛•一模）已知点P是抛物线y2=4工h的一个动点，则点P到点（0,2）的距离与点

P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）

A.2V2B.3C.V5D.1

【答案】C

【解题思路】利用抛物线定义将点P到准线的距离转化到与焦点的距离，再根据三点不共线时两边之和大于

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第三边且三点共线时能取得最值，即得结果.

【解答过程】依题意，抛物线y2=4%中，/(1,0),点P到准线的距离|PQ|=|PF「

故点P到点(0,2)的距离|P川与P到该抛物线准线的距离之和为：

\PA\+\PQ\=\PA\+\PF\>\AF\=Vl2+22=V5,

当且仅当4尸尸三点共线时等号成立.

所以|P川+|PQ|的最小值为6.

故选：C.

【变式6-3](2025•江西萍乡•一模)设抛物线C:%2=i6y的焦点为R斜率不为0的直线/过点4(3,4),过户

作i的垂线，垂足为P,。是。上的一个动点，则MQI+IPQI的最小值为()

A.yB.6C.yD.7

【答案】C

【解题思路】分析点P的轨迹，作出图形，结合抛物线定义可.得.

【解答过程】F(0,4),因为FP1Z,垂足为P,

所以点P的轨迹是以用为直径的圆(不包括E4两点)，

半径r=g尸川=|,圆心为8传,4),又因为Q在抛场线C:%2=16y±,

其在线为直线y=-4,过点Q作准线的垂线，垂足为R,

WFQ\+\PQ\=\QR\+\PQ\>\PR\.

当5,P,Q,R四点共钱且P在8点下方时取等号，

(\FQ\+\PQ\)min=\BR\-r=8-l=^.

故选：C.

14/39

【题型7抛物线的焦半径公式】

【例7】（2025•广东佛山•三模）已知抛物线「：y2=2p%（p＞o）上的点A的横坐标为%抛物线「的焦点为心若

IM=5,则P的值为（）

A.18B.9C.4D.2

【答案】D

【解题思路】由抛物线的焦半径公式，可直接得到答案.

【解答过程】由抛物线定义得芍,+1=4F=5,

又孙=4,解得p=2.

故选：D.

【变式7・1】（2025,北京海淀，一模）已知抛物线。:y=20神＞0）的焦点为凡点时（|/（））在（；上，眼尸|=2,

则从1=（）

A.1B.V2

C.V3D.2

【答案】C

【解题思路】根据抛物线焦半径公式列出方程，求出夕的值，可得出方程，点在曲线上，代入可得解.

【解答过程】由抛物线定义知：也"|=|+々=2,解出p=l,故抛物线C:y2=2x,

又点在C上,则C:y02=2x|=3,|yol=V3,

故选:C.

【变式7-2]（2025•安徽蚌埠•三模）设抛物线。:丫2=2口式口＞0）的焦点为£过。上一点力作其准线的垂

线，设垂足为从若cos"4F=，,|"|=10,则2=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

15/39

【解题思路】根据抛物线的定义得|明=/阴=10,由余弦定理可得呼|=4遥，则|明=打+户10,

在Rt^BEF中，由勾股定理即可求解.

【解答过程】由题意可知：抛物线C的焦点尸@0),准线为“一枭且|"|二|45|=10,

因为cosZ-BAF=

所以由余弦定理得2\AF\2-2\AF\2COS^.BAF=200x(1-1)=30=|PF|2,

即|BF|=475；

2

由|AF|=4+?=10,所以无A=10—y\-2pxA=20p-p；

设E为准线与4轴的交点，\EF\=p,

则|EF『+/=p2+20p-p2=\BF\2=80,则p=4.

【变式7-3](2025•四川成都•模拟预测)已知抛物线C:y=4/的焦点为F,p是抛物线C上的•点，。为坐标

原点，若|P0|=与则()

A.p=2B.\PF\=2

C.准线为y=-；D.\PF\=^

4lo

【答案】D

【解题思路】由已知根据抛物线方程即可判断A,C；设P(犯n),由|PO|=日得九=1,根据抛物线的定义即

可求解.

【解答过程】抛物线C：y=4d,即％2=：y,所以p=/故A错误；

因为焦点为(0$),准线为y=-右故C错误；

设P(m,n),则n=4m2,

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由题意Vm?+九2=¥，且一>0,故九2+?_三=0,

244

解得九=-7(舍)或九=L

4

故|PF|=八+士=2，故D正确.

1616

故选：D.

【题型8抛物线的几何性质】

【例8】(2025•安徽•模拟预测)已知点P在抛物线/=©上，虹点P到点(4,0)的距离的最小值为()

A.2B.2&C.2V3D.4

【答案】C

【解题思路】记点M(4,0),PQo，%),则羽=4%,且均工0,利用二次函数的基本性质可求出|MP|的最小

值.

【解答过程】记点M(4,0),Pg,1),则%=4%o，

22

所以|MP『=(x0-4)+y1=XQ-8X0+16+4x0=(x0-2)+12,

由沏NO，所以|MP『'12=|MP|N2g,当且仅当々=2时，|MP|取最小值2K.

即点P到点(4,0)的距离的最小值为2V3.

故选：C.

【变式8-1](24-25高二下•重庆•阶段练习)己知工轴上一定点4(。,0)(。>0),和抛物线产=2px(p>0)上

的一动点M,若|AM|\Q恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(0尚B.(0,p]C.(0,朗D.(0,2p]

【答案】B

【解题思路】设也刈出)(&>0),表示出IAMI，依题意可得好-(2a-2p)x0>0恒成立,分/=0和n>0

两种情况讨论，当&>0时为o'2a-2P恒成立，即可得到2a-2pW0,从而求出Q的取值范围.

2

【解答过程】设M(&,yo)(&>0),则羽=2px0,所以14Ml=J(x0-a)+犬

2

=-a,+2pxQ=Jxg-(2a-2p)x0+a

2

=Jko-(a-p)]x0+a,

2

因为|4M|>a恒成立，所以就一(2a-2p)x0+a>a?恒成立，

所以焉-(2a-2p)x0>0恒成立，

17/39

当%o=0时显然恒成立，当％o>0时％o>2a-2P恒成立，

所以2a-2pW0,则aWp,又Q>0,所以0<QWp，即实数Q的取值范围为（0,p］.

故选:B.

【变式8・2】（24-25高三下•河南开封•阶段练习）在平面直角小标系xOy中，抛物线C：V=8%P为x轴正半

轴上一点，线段0P的垂直平分线咬C于4B两点，若匕。”=120。，则四边形04PB的周长为（）

A.64>/3B.64C.80>/3D.8（）

【答案】A

［解题思路】线段0P的垂直平分线，交C于48两点,结合抛物线的劝称性可得48与。。互相平分，则四边形

。力PB为菱形河设P点坐标，通过几何关系求出力点坐标，在代入抛物线方程即可求解.

【解答过程】因为线段0P的垂直平分线，交C于4B两点，

所以结合抛物线的对称性可得48与0P互相平分，则四边形CMPB为菱形.

设点P（2c,0）月工>0则线段。2的垂直平分线，方程为x=3

令/与x轴交于点，，又Z04P=120°,

则在直角三角形。4〃中4O/1H=^Z-OAP=60。

继而可得|/1即=甯=与，

所以4点坐标为（£,当），

代入抛物线。：y=8心可得?=83解得t=24,

宜角.三角形。4月中|。川=2\AH\=2xyx24=16疯

所以四边形04PB的周长为4|0川=64V3.

故选：A.

【变式8-3］（24-25高二下•云南•期中）已知抛物线C：V=8%,其中AC,8。是过抛物线焦点F的两条互相垂

直的弦，直线4C的倾斜角为。，当a=45。时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（）

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A.4B.8C.16D.32

【答案】D

【解题思路】依题写出直线4c的方程并与抛物线方程联立，求得4。的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对

称性求出相关线段长，即可求得答案.

【解答过程】由题意知F（2,0）,直线AC的倾斜角Q=45。,则直线AC的方程为y=x-2,

联立y?=8x,消去y可得：7―12x+4=0,解得x=6±4A/^,

=6+4A2xc=6—4x/2,

由抛物线的定义可得|AF|=4+2=8+4VL\CF\=xc+2=8-4我,

根据抛物线的对称性结合4c,80是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，

可知|DF|=\AF\=8+4vL\BF\=\CF\=8-472,

故S4AFB=1MF|x|FF|=1（8+472）（8-472）=16,

故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为2x16=32.

故选：D.

【题型9抛物线中的三角形（四边形）面积问题】

【例9】（2025•甘肃白银•模拟预测）已知圆后（%-2）2+）/2=5与抛物线。：y2=2p》（p>D）交于4B

两点，且直线>18过。的焦点产，点K与点尸关于原点对称，M为C上一点,当△MFK为等腰三角形时，

△MFK面积的最大值为（）

A.1B.2C.V5D.2百

【答案】B

【解题思路】先根据条件求出抛物线的方程，再分情况讨论，求出三角形的面积.

【解答过程】由题得圆心E（2,0）,所以圆£关于x轴对称，因为抛物线。关于x轴对称，且直线力8过抛物

线C的焦点F©,0）,

19/39

所以直线力8垂直于x轴，不妨设点片在第一象限，则力色邛)，

7

所以自一2)+p2=5,即5P2-8p-4=0,解得p=2或p=-[(舍)，

所以抛物线C：y2=4x,F(1,O),

因为点K与点尸关于原点对称，所以K(—LO),所以在△M/K中，\FK\=2,

当田刈=尸河|=2时，FK1FM.S^MFK=^X2X2=2,

当|FK|=|MK|=2时，0。<4时丹；<90。，此时

S△MFK=I|F/<|-|MK|sinzMFK<||FK|.\MK\=2；

当|FM|=|MK|时，△MFK不存在.

综上，面积的最大值为2.

故透:B.

【变式9-1](2025・浙江嘉兴•三模)已知抛物线C:y2=4x,其准线为，，焦点为凡过M(3,0)的直线PQ与/

和C从左到右依次相交于4P,Q三点，且|FQ|=10,则△凡4P和△凡4Q的面积之比为()

AMB*|C.2D,1

【答案】B

【解题思路】根据题意求出Q(9,6),得出直线PQ:y=x-3,与抛物线联立得出P(l,-2),力(-1,一4),然

后求出两个三角形的底边，即可得出答案.

【解答过程】不妨设点Q在第一象限，如图所示，

由题可知，l:x=-1,F(l,0),

所以|FQ|=XQ+1=10=无Q=9,所以(¥Q)2=36,

又九＞0,所以%=6,故Q(9,6),

此时kpQ==瑟=1,所以直线PQ:y=x-3,

20/39

与抛物线联立得产一切-12=0,所以yp=-2,代入抛物线方程得4=4孙=孙=1,

所以P（l,-2）,易得力（-1,-4）,

所以ZQI="00+100=10V2,\AP\=V2T2=2V2,

SMAP=IM_1,

S&FAQ|AQI5'

故选：B.

【变式9-2]（2025・福建厦门•一模）过抛物线C:y2=4%的侏点卜的直线/交C于44两点，交直线％=-1

于点P,若耳？=而，则△。4户与408尸的面积之比为（）

A.-B.-C.-D.1

424

【答案】B

【解题思路】求出抛物线的准线，过点4B作出准线的垂线段，利用抛物线定义，结合几何图形求解.

【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点F（l,0）,准线方程为％=-1,

过,4,8分别作直线工二一1的垂线，垂足分别为M,N,\AM\=\AF\,\BN\=\BF\,

由诃=