吉林省长春市某中学2025-2026学年高二年级上册10月月考数学试卷+答案

吉林省长春市第二中学2025-2026学年高二上学期10月月考数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线-y-1=0的倾斜角为().

A.-B.-C.-D.-

12643

2.与椭圆三十t=1有相同焦点，且过点(0,场的椭圆方程为()

o4

A.m+g=1B.互+g=1C.^+^=1D.日+g=1

52736242

3.己知直线y=k(x-3)4-1与圆(x-l)2+(y-2)2=25交于A、8两点，则|AB|的最小值

为()

A.5B.10C.2A/5D.475

4.已知点P是直线/：3%-旷-6=0与不轴的交点，直线/绕点P逆时针方向旋转45。得到

直线则直线。与直线4T+2y+1=0之间的距离为()

Vs9病

A.B.第D.

10

5.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的

最小值为()

A.1B.4C.2D.8

6.己知两I员I。：G-4)2+/=]69,G：(x+4)2+)?=9.动圆M在圆G内部且和圆G相内切，

和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是()

A.^-^=1B.兰+廿=1

64484864

C.--^=1D.

4864644E

7.己知直线％+、一k=0(4>0)与圆/+丫2=4交于不同的两点48,。是坐标原点，且

^\OA+OB\>>/3[AB\,则实数k的取值范围是()

A.[V6,2V3)B.[V6,2V2)C.[V2,V6)D.[V3,V6)

8.设椭圆C：3+《=1的左、右焦点分别为Fi、尸2,点P在椭圆上，A为“PF2的平分线与

x轴的交点.若丽•而=0,则|P川=()

试卷第1页，共4页

2432

A.B.竽C.D.竿

77

二、多选题

9.以下四个命题为真命题的是()

A.过点(-10,10)且在;v轴上的截距是在)，轴上截距的4倍的直线的方程为y=-"+当

B.直线3x+y-2=0的一个方向向量为F=(1,-3)

C.当a=5时，两直线匕:3%+4y—14=0,%：(Q-2)x+4y+a=0相互垂直

D.直线(m-l)x+(2m-l)y=zn-3(mGR)恒过定点(5,-2)

10.已知圆C:/+y2-6》-4y+5=0,则下列说法正确的是()

A.y-x的最大值为3B.x+y的最大值为7

C.子的最大值为6+2«5D./+俨的最大值为21+4任

11.已知椭圆C：?+y2=i的左、右焦点分别是F],尸2,过坐标原点。的直线，与椭圆C交

于P、Q两点.则下列说法正确的是()

A.椭圆的焦距长为26

B.三角形PQF2面积的最大值是1

C.可♦雨的取值范围为[一1,2]

D.以椭圆的长轴为直径的圆与以线段PR为直径的国内切

三、填空题

12.若方程工+*=1表示椭圆，则实数上的取值范围为.

13.已知复数z满足|z—l|+|z+l|=4,则|z|的取值范围为.

2

14.已知尸为椭圆。:卷+于=1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：%2+(y_4)=1上一点,

则IPQI-|PF|的最小值为.

四、解答题

15.已知直线/经过点尸(-2,5),且斜率为一,

4

⑴求直线/的方程；

试卷第2页，共4页

⑵若直线〃?与直线/平行，且点〃到直线机的距离为3.求直线〃?的方程.

16.已知椭圆4圣+3=1(。＞5＞0)的左、右顶点分别为4B,且|川9|=4短，椭圆E的

焦距为4.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)已知点M(M不在入轴上)在椭圆£上，求直线力M,8M的斜率之积.

17.己知圆心为。的圆经过点4(3,-1)和8(2,6),口圆心C在直线4+y-1=0上.

⑴求圆。的标准方程；

(2)过点M(4,l)作圆的切线，求切线方程；

(3)求直线上y=2x-1被圆C所截得的弦长|MN|.

18.已知。为坐标原点，圆0：/+y2=1,直线/：y=%+6(0工瓶＜1),如图，直线/与圆。相

交于在工轴的上方)，8两点，圆0与“轴交于M,N两点(M在N的左侧)，将平面4Oy沿大轴折

叠，使y轴止半轴和％轴所确定的半平面(平面AMN)与y轴负半轴和x轴所确定的半平面(平

面8MN)互相垂直，再以。为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原工轴正半轴，原y轴正半轴

所在直线分别为％,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

⑴若m=0.

(i)求三棱锥A-BMN的体积；

(ii)求二面角4—BN-M的余弦值.

(2)是否存在m,使得折叠后的长度与折叠前的长度之比为手？若存在，求m的值；若不

6

存在，请说明理由.

19.①a心C在直线E:2%-7y+8=0上，圆C过点8(1,5)；颔IC过直线，:3%+5y—8=0和

圆/+、2+6、-16=0的交点；在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行

求解.已知圆C经过点A[6,0),且

⑴求圆C的标准方程：

试卷第3页，共4页

(2)过点P(0,1)的直线I与圆。交于M，N两点

①求弦MN中点Q的轨迹方程；

②R证丽・丽为定值.

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

试卷第4页，共4页

《吉林省长春市第二中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案DCDDBDBBBDACD

题号11

答案ACD

1.D

【分析】先由百线方程求出直线的斜率,再由斜率与倾斜角可求得答案

【详解】依题意可知所求直线的斜率为百，

设直线的倾斜角为a,则tana=痘,

因为a€[0,;r),所以a=g

<5

即直线的倾斜角为g

故选：D.

2.C

【解析】设与椭圆9+9=1有相同焦点的椭圆方程为三+』=1,代入点(0,&)可求得

结果.

【详解】设与椭圆[+==1有相同焦点的椭圆方程为工+工=1,

848+k4+k

因为点(0,我)在所求椭圆上，

所以蓝+捻=1，解得八-2,

所以所求椭圆方程为9+9=L

故选：C

【点睛】关键点点睛：利用共焦点的椭圆方程求解是解题关键.

3.D

【分析】先求出直线所过的定点M,再根据直线2与CM垂直时，弦|/18|最小，结合圆的弦长

公式即可得解.

【详解】根据题意，圆(％-1尸+。-27=25,圆心C的坐标为(1,2),半径丁=5,

直线上y=k(x-3)+l,恒过定点M(3,l),且点M(3,l)在圆内，

当直线l与CM垂直时，弦|AB|最小，

止匕时|CM|=V4TT=V5,

答案第1页，共12页

则|4B|的最小值为2每二忑=475.

故选：D

4.D

【分析】设直线3x-y-6=0的倾斜角为。，可得tana=3和P(2,0),根据两角和的正切公

式，求得直线。的斜率为A=-2,结合点斜式方程以及距离公式，即可求解.

【详解】由直线3%-y-6=0,令y=0,解得无=2,即直线与x轴的交点为P(2,0),

设直线，的倾斜角为a,可得tana=3,

则tan(a+45°)=tana+tan45°_3+1

l-tanatan4501-3x1

即把，绕点P按逆时针方向旋转45。得到直线。的斜率为k=-2,

所以直线，i的方程为y=-2(%-2),即2x+”4=0.

直线4x+2y+1=0的斜率为-2,则直线。与直线4x+2y+1=0平行.

则直线。与直线4x+2y+1=0之间的距离为d=吧篙>=誓.

V16+410

故选：D

5.B

【分析】本题首先可以根据直线以+by=疑过点(1,1)得出3+3=1，再根据直线方程分

别求出在x轴的截距以及在、轴上的截距，最后通过基本不等式化简求得截距之和的最小值.

【详解】因为直线ax+by=ab过点(1,1)»

所以a+b=ab,-+-^=1>

ab

因为直线在％轴的截距为b,在y轴上的截距为a,

所以直线在%轴、y轴上的截距之和的最小值为Q+b,

,、/1baba

a+b=(a+b)(-+f)=2H---F-r>2+2---=4,

\ab)abJab

所以当a=b=2时取最小值，最小值为4,故选B.

【点睛】本题考查的是直线的相关性质以及基本不等式的相关性质，考查推理能力与计算能

力，考查化归思想，考查对“1”的灵活使用，是中档题.

6.D

【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径九消

去r,再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心”的轨迹，进一步求出其方程.

答案第2页，共12页

【详解】设动圆的圆心M(x,y),半径为r

I员|M与圆G：(x-4)2+y2=169内切，与Q：(x+4)?+y?=9外切.

所以|MCJ=13-rdMC2|=3+r.

=16>IGGI=8

\MCX\+\MC2\

由椭圆的定义，M的轨迹是以Ci，Q为焦点，长轴为16的椭圆.

则Q=8,C=4,所以/=82-42=48

动圆的圆心M的筑迹方程为：三+1=1

6448

故选：D

【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档

题.

7.B

【分析】取48中点为C,根据已知条件求得|民|的范围，利用点到直线距离公式将其转化为

关于k的不等式，求解得到k的取值范围.

【详解】如图，设48的中点为C,连接OC,则。C14S.

'：\OA^OB\>V3|^5|,：］2OC\>y/3\AB\,

^\AB\<^-\OC\.又I沆^广=4（弦心距d、半径，,和弦长|力8|的一半构成直角三

•5■

角形），

•中西2",即I西々3.

又；直线x+y—k=0（k>0）与圆/+y2=4交于不同的两点A,B,

.,.|OC|2<4,故34瓦（V4,则3W（詈?<4.

*：k>0,/.V6<k<2V2.

故选:B.

答案第3页，共12页

8.B

【分析】解法一：不妨设点P位于第一象限，设|PF1|=m,IPF2I=九，根据题意得出关于m、九

的方程组，解出这两个量的值，利用角平分线定理分析得出S“"2=^SAP&F2,结合三角形

的面积公式可求出出川的直；

解法二：不妨设点P位于第一象限，设|PFi|=zn,\PF2\=根据题意得出关于小、口的方

程组，解出这两个星的值：由5“4fl十SAPAF2=5”尸1下2结合二角形的面积公式可求出/"川的

值.

【详解】依题意，Q=7,c="49-24=5,

解法一：不妨设点尸位于第一象限，设|P&I=m,\PF2\=n,则m+九=14©且m>n>0.

因为丽•布=0,所以/EPF?=90°,所以m2+n2=4c2=10(Xg

由①@解得：m=8,n=6.

因为PA平分乙F1PF2,由角平分线定理可得禺=解=2=/故需=*

所以=5SAP&F2,口《田川•|PF2|sin45°="：|PF]|•|PF2|,

故9x6,|P4|=,xgx6x8,所以|P4|二竿.

解法二：不妨设点P位于第一象限，设|PFJ=m,\PF2\=n,则m+n=14①且m>n>0.

因为丽•丽=0,所以£F]PF2=90°,所以m2+n2=4c2=10(xa

rh(3§M得：m=8,n=6.

由S“AFI+S“AF2=S“F]F2，得如­|PA|sin45。+，•|P4|sin45°=|mn,

所以伊川=包=竺匹=弊.

m+n147

故选：B.

9.BD

【分析】A：需考虑过原点和不过原点两种情况；B：求出斜率，根据直线方向向量和斜率

关系即可判断：C：将。代入。方程化简，对比两直线方程，利用斜率关系即可判断两直线

答案第4页，共12页

位置关系：D：将方程中含用的项按〃?进行合并，令机的系数为零进行求解即可.

【详解】A：当直线过原点时，直线方程为y=-x；

当直线不过原点时，设直线方程为£+1=1,

4aa

把点(—10,10)代入，得解得a=去直线方程为y=—：%+£.

综上，该直线方程为y=-"Ey=—3+・故A错误；

*T/

B：3x+y-2=0=y=-3%+2,斜率k=-3,=(1,-3)为其一个方向向量，故B

正确；

C：当Q=5时，直线Z2：3x+4y+5=0,则匕II0，故C错误；

D：(TH-l)x+(2m—l)y=TH-3=>m(x+2y-1)+(-%—y+3)=0,

令解得(二斗故直线恒过定点(5-2),故D正确.

故选：BD.

10.ACD

[分析]可设%=2V2cos9+3,y=2或sin。+2,6W[0,2n),则结合辅助角公式计算可

得A、B；设(=3则可结合直线与圆的位置关系计算得C；/+y2可以看作是圆上某点p到

原点的距离的平方，则可借助原点到圆心的距离加半径的平方得D.

【详解】因为圆。:7+必一6%-4'+5=0,则—3>+(y—2¥=8,

设x=2&cos。+3,y=2夜sin。+2,0G[0,2n),

对A：y—x=2\/2s\n3—2A/2COS0-1=4sin(。一一1,

所以当8=?时，y—%的最大值为3,故A正确；

对B：x+y=2\/2cos0+2y/2s\n0+5=4sin(。+：)+5,

所以当。时.无+y的最大俏为9,故B错误：

对C：设?=k,则、=kx,圆+y2-6%-4y+5=0,

圆心C(3,2),半径为2后，则圆心到直线的距离小于等于半径，里或32VL

VAIrv

所以Ze2-12k-4W0,计算得6-2V10</c<6+2网，

所以1的最大值为6+2同，故C正确；

X

对D：r+y2可以看作是圆上呆点2到原点的距离的平方，

答案第5页，共12页

2

\0P\2<(|0C|+r)2=(V13+2V2)=21+4^/26，故D正确.

故选：ACD.

11.ACD

【分析】根据椭圆的几何性质，可得判定A正确；设P(%i，%)，得到SNQF2=2SAPOF2，可

判定B错误；由F2P.尸2(?=卜;。|-\OP\=3-\OP\,根据1工|办|式2,可判定C正

确；连接PF1，取PF1的中点M,连接。M,根据椭圆的定义得|0M|=^PF2|=Q—g|PFj

可判定D正确.

【详解】对于A中，由椭圆C：1+y2=i,可得a=2,b=l,则c==百，

所以椭圆的焦距长为2c=26，所以A正确；

对于B中，设P6,%),可得Q(-M，-%)，其中|y|WL

所以S”QF2=2SAPOF2=2xTx|OF2|x|yi|wV5，所以△PQF?最大面积为遮，所以B错

误；

对于C中，由F；P=F；0+6kF^Q=F^O+OQ,且加=一两，

则亏•碗.=励+OP)•(F^O+0Q)=质:+OP.OQ

二回。『-|四：

因为1<\OP\<2,可得1<|OP|2<4,则一1<3-|OP|2<2,

所以F2P-F2Q的取值范围为[-1,2],所以C正确；

对于D中，连接PR,取户&的中点连接。M,且|。八7|二：|PF2|,

以长轴为宜径的圆的圆心为。，半径为Q,以PF1为直径的圆的圆心为M,半径为：仍入|,

由椭圆的定义得|0M|=]PF2l=42。一上科|)=a-1PFi|,

所以以椭圆的长轴为直径的圆与以线段PFi为直径的圆内切，所以D正确.

故选：ACD.

答案第6页，共12页

12.(5,6)U(6,7)

【分析】根据椭圆标准方程列式运算.

(7-/c>0

【详解】根据题意得/c-5>0，解得5<k<7且AH6.

[7-k^k-5

故答案为：(5,6)U(6,7).

13.[75,2]

【分析】由题意确定复数z对应的点的轨迹，再结合椭圆的性质以及|z|的几何意义，即可求

得答案.

【详解】复数z满足|z—1|+怙+1|=4,

则复数z对应的点的轨迹为以(一1,0),(1,0)为焦点，长轴长2a=4的椭圆，

则椭圆短半轴长为b=后币=百，椭圆方程为。+《=1，

43

团表示椭圆上的点到原点的距离，

当点位于椭圆长轴上的顶点时，|z|取最大值2；

当点位于椭圆短轴上的顶点时，|z|取最小值百：

故|z|的取值范围为[6,2],

故答案为：[75,2]

14.2V6-7/-7+2x/6

【分析】根据点与圆的位置关系，及椭圆的定义可得|PQ|-|PH>\PM\-\PF\-1=

\PM\+\PF1\-7>\MF.\-7,即可得最小值.

【详解】

答案第7页，共12页

由圆M:一+(y-4)2=1,可知圆心M(0,4),半径r=l,

设椭圆C：9+y2=1的左焦点为尸1(一2式,0),且2a=6,

则|PQ|一|PF|>\PM\-r-\PF\=\PM\-\PF\-1,

再由椭圆定义可知|PF|=2a-|PK|=6-伊居|,

即IPQI-IPFI>\PM\-|PF|-1=\PM\+IPFJ-7>IMFJ-7,

当且仅当点P,Q在线段MF1上时，等号成立，

又|MFJ=J(2&)2+42=2A/6,

即|PQ|-|PF|的最小值为2遍-7,

故答案为：2V6-7.

15.(l)3x+4y-14=0

(2)3x+4y+1=0或3x+4y-29=0

【分析】(1)由点斜式直接求解即可；

(2)由题可设直线机的方程为3x+4.v+c=0,再利用点到直线的距离的公式即得.

【详解】(1)由直线的点斜式方程得、一5=-久3+2),

整理得直线I的方程为3x+4y—14=0.

(2)••直线/〃与/平行，可设直线机的方程为3x+4y+c=0,•产(双『一=3,

即|14+c|=15.

：£=1或c=—29.

故所求直线m的方程为31+4)，+1=0或3x+4y—29=0.

16.(喏+?=1

(2)心

答案第8页，共12页

【分析】(1)由椭圆的性质结合a,b,c关系求解可得；

(2)设M(%i，yi)(yi云0),由时(巧,月)在椭圆E上，得比=4一？，再利用斜率的定义代入

化简可得.

【详解】(1)由|48|=46，得2Q=4让,解得a=2夜，

设椭圆E的焦距为2c,由焦距为4,得2c=4,解得c=2.

又8二后==2,所以椭圆E的标准方程为9+?=1.

(2)由题意，得力(一2反0),8(2四,0),

设M3，yD(yiH0),由M%,%)在椭圆E上，得手+?=1,即疗=4一张

所以心

即直线力M,BM的斜率之积为一

17.(1)0+1)2+3-2)2=25

(2)%=4或12%-5、-43=0

(3)475

【分析】(1)设圆心C(a,-a+l),通过半径求得。二一1,进而可求解；

(2)通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可；

(3)由弦长公式即可求解.

【详解】⑴由题意设圆心C(Q,-a+l),

因为|AC=|BC|,

即J(a—3"+(一。+1+1)2=J(a-2尸+(-。+1—6)2,

解得。=一1,即C(一1,2),

半径r=\CA\=，(-1-3C+(1+1+13=5,

所以圆C的标准方程为(无+1)2+(y-2)2=25.

(2)当切线的斜率不存在时，则切线方程为x=4,

此时圆心。(-1,2)到直线无=4的距离为5=r,符合条件；

当切线的斜率存在时，设过M(4,l)的切线的方程为y-l=/c(x-4),

即kx-y—4k+1=0,

则圆心C(—1,2)到切线的距离d=:叫=5,

答案第9页，共12页

解得k=£，

此时切线的方程为：yx-y-4x^+l=0,

即12%-5y-43=0,

综上所述：过M的切线方程为x=4或12x-5y-43=0.

(3)圆心C(一1,2)到直线y=2%-1的距离为d=提淳=V5,

所以弦长|MN|=2Vr2-d2=2V25-5=4而.

18.⑴(i)：；(ii)”叱

6/

(2)存在，m=学

【分析】⑴(i)由已知，可得力(日,号)，B(-今一?)，即可求得求三棱锥4-BMN的

体积：

(ii)求出平面AN8的一个法向量元=(1+&,1,&-1)和平面8MN的一个法向量

沅=(0,0,1),

利用向量的坐标运算即可求得二面角力-BN-M的余弦值.

(2)分别求出48折叠前的长度与折叠后的长度，比为当时，求得利=3，可得答案.

【详解】(1)(i)若m=0,折叠前直线，的方程为,=%

/0/合

XX一

yX-一

(=u)停

22唉

得

解得

或

联立

<可V2

u2<9,一-

+-n它l2

y2y-yV2T

«2v

圆。：x2+y2=1,与x轴交于M,N两点，则MN=2,

折叠后三棱锥A-3MN的体积为；x；x2x^x^=i

32226

(ii)由(i)及已知，则A(0,亨,李),B(乎，一当,0)，M(0,—1,0),N(0,l,0),

AN=(0,1月M=(_苧,1+/,0).

设平面AN8的一个法向量为五=(x,y,z),

令y=l,Mx=1+V2,z=V2—1,所以元=(1+&,1,加-1).

易知沅=(0,0,1)为平面BMN的一个法向量，

答案第10页，共12页

设二面角力—BN—M的大小为6,由题可知。为锐角,

所以cos。=|cos（7n,n）|=|而而|

____________a-1____________企-1_V14-V7

227

J（l+V2）+12+（1-V2）夕

故二面角力-BN-M的余弦值为午

（2）设折叠前力（右,乃），8（孙力），圆心（0,0）到直线值勺距离d=瞿,

则|力8|=2V1-d2=2J1一学,

直线/与圆。方程联立［\,"上:；得2M+2mx+m2-1=0,

（X+y=i,

即与+x2=-m,xxx2—

设人B在新图形中的对应点分别为力'，夕，

4（0，/,、1），8'（一九，32,0），|48'|=，（一、2）2+