平面向量基本定理及坐标表示-2026年高考数学一轮总复习课时检测训练（含解析）

平面向量基本定理及坐标表示

2026年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版）

一、单选题

1.平面内任一向量而都可以表示成2Z+4〃eR）的形式，下列关于向量的说法中正

确的是（）

A.向量的方向相同B.向量H中至少有一个是零向量

11

C.向量31的方向相反D.当且仅当a=〃=0时,4。+〃/)=0

2.已知向量4=(2,3),Z?=(3,-l),3=（—2,2）,若（2—防）〃口则左=)

5

A.3D.

c12

3.已知，=(5,-2),5=(-4,-3),若0—25+32=0,则2=

A笔)138C313/、

B.T，-3D.IF

（U）,^=（1,-1）.

4.已知向量。=若（而+方）〃（万+筋）,则（)

A.2+〃=1B.A+//=-1

C.初=1D.A;/=-l

5.已知矩形A8CD中，E为A8边中点，线段4C和OE交于点尸,则丽=（）

1—2—1—2—

A.--AB+-ADB.-■AB—AD

3333

2—1___2—1—

C.-AB——ADD.——AH+-AD

3333

已知£为丫43。所在平面内的点，且画+；4c=24瓦若在=加丽+〃/，贝lj"=（）

6.

m

D.-1

A.—3B.3

。53

二、多选题

7.（多选）如图，点。、E、尸分另U为V48C的边8C、。、AB的中点，且阮=3,CA=bf

则下列结论正确的是（）

A

B.BE=a+—b

2

ns]r

D.EF=-a

2

三、单选题

8.在等腰梯形ABC。中，而=-2万,M为8c的中点，则俞=()

A.—ABT—ADB.-AB+-AD

2242

3—1—1一3一

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

4424

四、填空题

9.在平行四边形ABC。中，点4(0,0),8(T,4),。(2,6).若AC与8。的交点为M,则

0M的中点E的坐标为,

10.已知向量〃=(〃?+4,阳)石=(3,1),且“〃〃，则〃尸,

II.如图，平行四边形48C。的对角线相交于点0,E,r分别为44,OC的中点，若

丽=x通+)，而(x,)，eR),则%+)'=.

12.如题图所示，点。是VABC的边上的点，且瓦):OC=1:2,AB=a,AC=b＞若

用力，B表示近，贝4而=.

试卷第2页，共4页

A

五、多选题

13.VA8C中，。为AC上一点且满足入。=；。。，若户为8。上一点，且满足

AP=AAB+JLIAC,2、4为正实数，则下列结论正确的是（）

A.加的最小值为16B.%的最大值为上

16

C.~T+~,-的最大值为16D.弓+丁的最小值为4

24〃A4//

六、单选题

14.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人

称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如

图所示.在“赵爽弦图”中，若理=4前，丽*BC+^BA,则实数4二（）

A.2B.3C.4D.5

七、填空题

15.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（o,l）和点8（-3,4）,若点C在/AO3的平分线上,

且匹卜3而，则向量元的坐标为.

16.在V48C中，AB=4,AC=3,A=],点。为VA8C的外心，若血=%而+〃正,

4,〃wR,则a=

试卷第4页，共4页

参考答案

题号123456781314

答案DCDCDAABCBBDB

1.D

【分析】根据平面向显的基本定理，若平面内任一向量帚都可以表示成4Z+〃伙4,〃eR)的

形式，［4构成一个基底，所以向量不共线.

［详解】因为任一向量机=2。+“员4〃€R)»

根据平面向理的基本定理得，

所以向量■出不共线，故A,。不正确.

£石是一个基底，所以不能为零向量，故8不正确.

因为G5不共线，且不能为零向量，所以若心+4》=(),当且仅当a="=0,故。正确.

故选：D

【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

2.C

【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算及共线向量的坐标表示，列式计算得解.

【详解】依撅意，a-kb=(2-3k,3+k),由R-癌)/不，得(2-3%卜2=(3+左卜(一2),

所以&="

2

故选：C

3.D

【分析】先由£—2Z；+3"=O,可得"=—：(£—2与，进而代入点的坐标进行计算即可.

【详解】解：..•％—»+3)=0，—办｝

•・•S-2^=(5,-2)-(-8,-61=(13,4).

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算能力，属于基础题.

4.C

答案第1页，共7页

【分析】先计算出+利用向量平行得到方程，求出办=1.

【详解】2«+^=2(1,1)+(1,-1)=(1+2,2-1),

因为(而+〃)//(4+〃〃)，

所以(1+2)(1_〃)_(/1_1乂〃+1)=0,化简得加=1.

故选：C.

5.D

【分析】取C。中点G,可证得四边形8的为平行四边形，得到8G〃。已结合三角形中

位线性质可确定/为AC上靠近A的三等分点，从而根据向量线性运算推导得到结果.

【详解】取CO中点G,连接8G,交AC于点，，

BE=DG,四边形用刀G为平行四边形,

..BG//DE,又E为AB中点、，；.AF=FH,同理可得:CH=FH,

：.A^=；AC=；(A月+A万)，

：.BF=BA+AF=-AS+-(AS+AD}=--AB+-AD.

3Vf33

故选：D.

6.A

【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理将反,庵用而，而表示，求得〃?，〃,

即可得出答案.

【详解】

答案第2页，共7页

A

因为B^=BC+CE，

则加+34。=2的=2断+网，

所以2年=—A6—l8C=­A^—]（Ae—A^）=5A^—]AC,

i___3

所以CE二一丽一二/，

44

13

所以小="，/?=--,

44

故'=-3.

m

故选：A.

7.ABC

【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可.

【详解】在V48C中，Ab=AC+CD=-CA--BC=-b-^a,故A正确：

22

BE=BC+CE=a+^b,故B正确：

—1—1一1—1一11-

CF=-CB+-CA=--BC+-CA=--a+-b,故C正确；

222222

mn]mrIr

EF=-CB=--a,故D不正确.

故选:ABC.

8.B

Iq

【分析】根据梯形中位线得|，“h|=夕|4用+依。|）=才八人再利用向量线性运算即可.

【详解】取AD中点N,连接MN,

VAB=-2CD，：.AB//CD,\AB\=2\CD\.

答案第3页，共7页

i3

又M是BC的中点，・・・MV〃A8,且|MN|=5(|A8|+|CQ|)=jA8|,

^―.I3

AM=AN+NM=-AD+-AB,

24

故选:B.

【分析】利用平行四边形法则表示出向量通，利用坐标运算计算出向量初的坐标，由A为

坐标原点，所以即可得E的坐标

【详解】在平行四边形人BCD中，

因为AC与的交点为A7,且E为。例的中点，

所以4启=；（4方+人力）

=3［而+（（而+到卜押+那

1（2,6）+"<4）=（0

由A为坐标原点，所以向量冠的坐标即为E的坐标，

故点£的坐标为忤”）.

“公出生（1111

故答案为：I.

10.2

【分析】根据向量平行的坐标公式，代值计算即可.

【详解】因为£=（〃?+4,阳）石=（3,1）,a//h»

由(/〃+4)xl—3"?=0,得用=2.

故答案为：2.

11.1

【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算的求得.

【详解】EF=EA+AF=--Ali+-AC=--AB+-(Ali+AD\=-Ali+-AD,

2424tJ44

.13.।

..x=-,y=x+y=l,

44

故答案为：1

s2rIr

12.—a+-b

33

答案第4页，共7页

【分析】利用平面向量的线性运算法则解答即可.

【详解】解：由题得八万=4总+4力=/\后+—4乙=/1*+—（46;—月分）=一/14十—4^,

3333

所以—人。=：21+彳1人-.

33

故答案为：j2ar+^1br

13.BD

【分析】先证明结论：若A、B、C三点共线，点。为直线人B外一点，且OC=xO4+y0月,

则x+），=l,分析可得2+4〃=1,利用基本不等式可判断各选项的正误.

【详解】先证明结论：若人、B、C三点共线，点。为直线相外一点，且碇=ZX+y砺,

则x+y=l.

证明：因为A、B、C三点共线，可设而=/〃加，即祝一西=〃?（。月—西），

所以，OC=（\-m）OA+niOB=xOA+yOB,所以，x+y=\.

Q/l>〃为正实数，AD=^-DC,即而=；无=；（近-而5）,故而=4而，

'.•AP=AAB+4JLIAD,且。、B、。三点共线，.,'+4"=1,

•••4/=，/-44工，（且色丫=，当且仅当71=!，〃=:时取等号,

4412J1628

1+；=（义+4//>（!+；=2+华+金22+2/华・；=4,当且仅当4=:，〃=：时取

44〃4//J丸4〃y24u28

等号.

故选：BD.

14.B

【分析】依据题给条件利用（啊'+（丽）2=（町）列出关于2的方程，解之即可求得实数4的

值

一2一__|6—12—

【详解】由屁=4丽，可得B石尸，乂8尸=黑4。+弓B4

1+AZJ2〉

则丽=」_佟型+口砌=7配+了就

人」1+/2525）25（1+A）25（1+A）

答案第5页，共7页

又网=|四，阿『+麻卜河2,则（而丽），（西2

则W（时+—网得阿瑟网0

256A2I44A2256144,

即西西+西西+而+贰二】‘整理得7万-⑼-9=。

3

解之得，4=3或％=（舍）

故