矩形存在性问题巩固练习（提优）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

中考撤号

矩形存在性问题巩固练习

1.如图，口ABCD中,ABLAC,AB=l,BC=®对角线/C、8。相交于点。将直线4c绕点。顺时

针旋转a0,分别交直线4C、力。于点£\F.

(1)当。=90°时,四边形力4石尸是平行四边形；

(2)在旋转的过程中，四边形8£7)尸口J能是菱形吗？如果能，求出此时a的值；如果不能，说明埋山；

(3)在旋转过程中，是否存在以力、B、C、D、E、产中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，

直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由.

【分析】(1)由得/比1C=9()°,在RtZ\/4C中，根据勾股定理计算出力。=2,再根据平行四

边形的性质得CU=OC=%C=1,AD//BC,于是可判断△408为等腰直角三角形，则408=45°,

根据平行四边形的判定当打〃4?时，四边形4?"是平行四边形，则"L1C,根据旋转的性质得a=

90°；

(2)由于四边形48CO的对称中心为点O,则08=0。，OE=OF,可判断四边形BE。尸为平行四边形，

根据菱形的判定，当£7口_8。0寸，四边形8EZ)/为菱形而//。8=45°,根据互余得到NCOE=45°,

所以此时a为45°；

(3)根据平行四边形的性质有勿=OC,08=。。，OE=OF,再根据矩形的判定，当£/=4。时，四

边形AECF为矩形，易得此时矩形AECF的对角线长为2；当EF=BD时，四边形BEDF为矩形，由△〃如

为等腰直角三角形得=则40=2(用=2”，所以此时矩形夕£7"的对角线长为2也.

【解答】解：⑴*：ABLAC,

：,ZBAC=90°,

在RtZL45C中,AB=\,BC=5

/.AC=\!BC2—AB^=2,

•・•四边形ABCD为平行四边形，

：.OA=OC=^AC=\,AD//BC,

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・•・△408为等腰直角三角形，

AZAOB=45°,

♦：AF〃BE,

・•・当石/〃48时，四边形48"是平行四边形,

:.EFLAC,

Aa=90u；

故答案为90。；

（2）在旋转的过程中，四边形4EO尸可能是菱形.

如图1,

•・•四边形ABCD为平行四边形，

，四边形力8CQ的对称中心为点O,

：.OB=OD,OE=OF,

・•・四边形4EQ产为平行四边形：

・•・当EFLBD时，四边形BEDF为菱形,

VZAOB=45°,

：,ZCOE=45°,

如此时a为45°：

（3）在旋转过程中，存在以/、B、C、D、E、产中的4个点为顶点的四边形是矩形,

•・・O4=0C,OB=OD,OE=OF,

.•.当E尸=力。时，四边形/1ECE为矩形，如图2,矩形力EC尸的对角线长为2；

中考撤号

F

D

♦：AAOB为等腰直角三角形,

/.OB=72AB=72»

•••80=208=242,

・•・矩形BEDF的对角线长为2<2.

【点评】本题考查了四边形的琮合题：熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质：理解旋转

的性质：会运用等腰直角三角形的性质和勾股定理进行几何计算.

2.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=分别与x轴、》轴交于点片、B,且点力的坐标为（4,

。），点。为线段45的中点.

（I）求点%的坐标；

（2）点尸为直线力8上的一个动点，过点。作x轴的垂线，与直线交于点Q,设点尸的横坐标为

M,△OP。的面积为S,求S与机的函数解析式：

（3）当点尸在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点M使得以O,B,P,N为顶点的

四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）用待定系数法即可求解；

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综上，点N的坐标为（4,3）或（啜

【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到二次函数的性质、矩形的性质、面积的计算等，其中

（2）、（3）,要注意分类求解，避免遗漏.

3.如图，在矩形/4CQ中，48=8,BC=6,点£、F、G、〃分别从点小B、C、。同时出发，动点E从

点A开始沿边AB向点4以每秒2个单位长度的速度运动，动点/从点8开始沿边5c向点。以每秒1

个单位长度的速度运动，动点G从点C开始沿边C。向点。以每秒2个单位长度的速度运动，动点，

从点。开始沿边。力向点力以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一点到达终点时，其余点也随之停

止运动，设运动时间人

（1）证明：四边形EFG”始终是平行四边形：

（2）是否存在某一时刻使得四边形EFG〃是矩形？若存在，求,的值；

（3）证明：三条直线4C,EG,经过同一点.

1k/T

EY\Z

【分析】（1）根据条件可以表示出“E=2/,BE=8-2l,BF=（,CF=6・l,CG=2（,GD=S-2（,HD=

3AH=6-t,就可以得出4E=CG,BE=GD,BF=DH,CF=AH,由矩形的性质就可以得出△〃力七丝4

FCG,XEBFWXGDH,就可以得出〃E=〃G,EF=HG,就可以得出结论；

（2）连接EG,FH,作FMA.AD于忆根据矩形的性质及勾股定理就可以得出E产=户+64-32/+4/2,FG2

=36-⑵+户+4凡进而得出月。=I00+10F-44/,加=100-24什4凡由矩形的性质建立方程就可以求

出f的值；

（3）连接七G,尸〃，使EG与/1C'相交于点O,七G与六”相交于点〃.由平行四边形的性质就可以得出

EP=GP,AP=CP,就有尸是EG的中点，由矩形的性质可以得出△4OE空△COG,就可以得出40=

CO,EO=GO,就有。是EG的中点，得出P、。重合，进而得出三条直线4C,EG,广〃经过同一

点.

【解答】（1）证明：•・•四边形力4CQ是矩形，

:・/B=NBCD=/D=NDAB=90°,AB=CD,BC=AD.

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*：AE=CG=2t,BF=DII=t,

:.BE=GD=8-2t,CF=A1I=6-t.

在△EA"和△G。，中，

BE=GD

乙B=Zd),

BF=DH

:.△EBF/4GDH(SAS),

:.EF=GH.

在和△PCG中，

AH=CF

Z.DAB=乙BCD,

AE=CG

:.AHAE安2FCG(SAS),

:・HE=FG.

..(EF=GH

,IHE=FG，

:.四边形EFGH是平行四边形；

(2)解：在某一时刻四边形£FG〃是矩形.理由如下:

连接EG,FIL作正于"，

:.NFMH=W.

•・•四边形E/G”是矩形，

:・EG=FH,/EFG=90°.

工EG-EC+FGL

.,.F/72=100-24/+4/2.

在.RtABEF,RtZXECG中，由勾股定理，得，

E产=尸+64-32什4凡FG2=36-12/+/2+4/2,

产+/;2=100+10/2,44/,

:.100+I0/2-44f=100-24什4凡

.*./|=0(舍去)，

.【二日时，四边形ER7”是矩形；

«3

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(3)证明：连接EG,FH,使七G与4C相交于点O,EG与"/相交于点P.

•・•四边形48。是矩形，

:.AB//CD,

：・/EAC=/DCA,ZAEO=ZCGO.

在△力和△COG中

ZEAC=ZDCA

AE=CG,

/-AEO=Z.CGO

:・AAOEgACOG(ASA\

:.EO=GO,AO=CO,

：・O是.EG、NC的中点.

■:四边形EFGH是平行四边形，

:,EP=GP,FP=HP,

•••P是EG、"/的中点,

。重合，

【点评】本题考查了平行四边形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运

用，矩形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.

4.如图，己知点力（7,8）、C（0,6）,44_Lx轴，垂足为点4,点。在线段08上，DE//AC,交/也于

点E,EF//CD,交力C于点尸.

（1）求经过力、。两点的直线的表达式；

（2）设O/）=r,BE=s,求s与/的函数关系式；

（3）是否存在点。，使四边形为矩形？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理

由.

【分析】（1）将点力、C的坐标代入一次函数表达式y=心出，即可求解；

2o

（2）设。。=z,BE=s,则点。（7,0）,点8（7,0）,直线的表达式为：y=?r--z

（3）证明NOCO=/8OE,则tan/OCQ=tan/8O£即：=土皂，即可求解.

67-C

k2

解得-

【解答】解：（1）将点力、。的坐标代入一次函数表达式歹=依坨得：｛^6=8,b7

6

故直线4c的表达式为：>,=26；

（2）设。£>=/,BE=s,则点。（/,0）,点、B（7,0）,

同理可得：直线的表达式为：y=

2

当x=7时，，s=y=2--t（0<r<7）；

（3）存在，理由：

由（2）知：点。（/,0）,5E=-v--z,

四边形COM为矩形，则NCZ）E=90°,

•；NEDB+NCDO=90°,NCDO+NOCD=90°,：・4OCD=4BDE,

：.tanZOCD=tanZBDE,即；=上言

67-t

解得：1=生或7（舍去7）,

12

故点。的坐标为（亍，0）.

【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到矩形的性质、解直角三角形等，其中（3）,解题的关

迹是确定OCD=NBDE.

5.如果一条抛物线歹="2+儿什。（a#0）与X轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的

中考撤号

三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.

（1）“抛物线三角形”一定是等腰三角形:

（2）若抛物线^=~x2+bx（^＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求匕的值；

（3）如图，△O"是抛物线y=-小+6,%⑷，＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点。为对称中

心的矩形/8C。？若存在，求出过0、。、。三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.

（4）若抛物线y=-炉+4〃M・8加+4与直线y=3交点的横坐标均为整数，是否存在整数用的值使这条抛

物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出机的值；若不存在,

【分析】（1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”

一定是等腰三角形.

（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于。＞0,那么其顶点在第一象限，而这个“抛

物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解

出b的值.

（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点。为对称中心的矩形48CZ）,那么必须满足

OA=OB,结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用表示出力从OE的

长，通过△04?这个等边三角形来列等量关系求出力'的值，进而确定力、8的坐标，即可确定C、。的

坐标，利用待定系数即可求出过。、C、。的抛物线的解析式.

（4）联立两个函数的解析式，通过所得方程先求出这个方程的两个根，然后通过这两个根都是整数确定

冽的整数值.

【解答】解：（1）如图；

根据抛物线的对称性，抛物线的顶点力必在。、8的垂直平分线匕所以。即：“抛物线三角形”

必为等腰三角形.

故答案为：等腰.

中考核等

(2)当抛物线y=-N+&(Z)>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，

该抛物线的顶点(今，满足39(b>0).

则/)=2.

(3)存在.

如图，作△OCO与△0/8关于原点。中心对称，则四边形为平行四边形.

当。4=04时，平行四边形ABCD是矩形，

又・：A0=AB,

工AOAB为等边三角形.

AZAOB=60°,

作力垂足为E,

：,AE=OEtan^AOB=串OE.

—=\'3x—(b>0).

42

：,b'=2®

：.A(小,3),B(2书，0).

AC(一\氏-3),D(-280).

设过点O、C、。的抛物线为贝I］

p2m-2y3n=0

13m—x'3n=-3'

解得［：：2>

故所求抛物线的表达式为y=/+2$x.

(4)由-炉+4/〃工-8m+4=3,X=4m土二8m+1,

当x为整数时，须4加2・8m+1为完全平方数,设4〃产-8〃汁1=〃2(〃是整数)整理得：

(2〃？-2)2■序=3,即(2m-2+n)(2m-2-n)=3

两个整数的积为3,••・｛盥3,；二3,或或二或｛方马］；二

解得：｛。：匕或｛；：/或卷：］0或

综上，得：〃?=2或机=0；

根据题意，抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中级长恰好等于这边的长,

中考核等

当机=2时，抛物线方程为y=-N+8x-12=・（x-4）2+4,满足抛物线三角形的底边长等于这边的中

线长；

当〃?=0时，抛物线方程为y=-F+%满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；

・•・抛物线与直线y=3交点的横坐标均为整数时m=2或〃?=（）.

【点评】本二次函数综合题融入了新定义的形式，涉及到：二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角

形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，重在考查基础知识的掌握情况，解题的思路并不复杂，但

计算过程较为复杂，间接增大了题目的难度.

6.如图，二次函数2=・〃*+4〃］的顶点坐标为（0,2）,矩形X8CZ）的顶点8、。在x轴上，A.。在抛物

线上，矩形48CZ）在抛物线与x轴所围成的图形内.

（1）求二次函数的解析式；

（2）设点力的坐标为（x,y）,试求矩形力比'。的周长尸关于自变最x的函数解析式，并求出自变最x

的取值范围；

（3）是否存在这样的矩形力5CQ,使它的周长为9?试证明你的结论.

【分析】（1）由顶点坐标（0,2）可直接代入歹=一心2+4川，求得而=今即可求得抛物线的解析式；

（2）由图及四边形力BCO为矩形可知力。〃五轴，长为2x的据对值，44的长为力点的总坐标，由x与歹

中考核等

的关系，可求得P关于自变量X的解析式，因为矩形在抛物线里面，所以x小于0,大于抛物线

与x负半轴的交点；

(3)由(2)得到的〃关于x的解析式，可令〃=9,求x的方程，看x是否有解，有解则存在，无解则

不存在，显然不存在这样的p.

【解答】解：⑴•・•二次函数y=-〃*+4机的顶点坐标为(0,2),

/•4w=2,

却m=

・•・抛物线的解析式为：y=-$2+2；

(2)・・7点在x轴的负方向上坐标为(x,y),四边形48CD为矩形，8c在x轴上，

二/。〃.¥轴，

又•・•抛物线关于y轴对称，

:・D、C点关于y轴分别与力、4对称.

的长为-2x,力8长为y,

・•・周长p=2尸4x=2(一$2+2)-4x=-(x+2)2+8.

•・・矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内，

；・-2<x<0,

:・p=-(x+2)2+8,其中-24Vo.

(3)不存在，

证明：假设存在这样的P，即：

9=-(x+2)2+8,

解此方程得：x无解，所以不存在这样的

【点评】本题考查的二次函数与几何矩形相结合的应用，比较综合，只要熟练二次函数的性质，数形结

合，此题算是中档题，考点还是比较基础的.

7.如图，一次函数y=x+3与坐标轴交于4、C两点，过4、C两点的抛物线-2r+c与上轴交于另一

点8,抛物线顶点为E,连接4E.

中考撤号

(1)求该抛物线的函数表达式及顶点E坐标；

(2)点尸是线段上的一动点，过点尸作尸尸平行于y轴交/C于点R连接E凡求△「£『面积的最

大值及此时点P的坐标；

(3)若点用为坐标轴上一点，点N为平面内任意一点，是否存在这样的点，使力、E、M、N为顶点的

四边形是以为对角线的矩形？如果存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)一次函数歹=x+3与坐标轴交于力、。两点，则点小C的坐标为(-3,0)、(0,3),将点

.4、。的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

(2)S4PEF=；PFX(XE-x)=1x(2t+6-x-3)(-l-x)=(x+3)(x+1),即可求解；

(3)分点M(〃?，0)在x轴上、点M在y轴上两种情况分别求解.

【解答】解：(1)一次函数y=x+3与坐标轴交于4、C两点，则点4、。的坐标为(・3,0)、(0,3),

将点4C的坐标代入二次函数表达式得：口：.菖+6+c,解得：

故抛物线的表达式为：y=-x2-2x+3,

顶点E(-1,4)；

(2)将点力、上的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线4E的表达式为：y=2x+6,

设点P(x,2,V+6),则点/(x.x+3),

S^PEF=|PFX(xE-x)=1x(2x+6-x-3)(-1-x)=(x+3)(x+1),

当x=・2时，S△电尸有最大值为

此时点/(-2,2)；

(3)点小E的坐标分别为(-3,0)、(-1,4),AE2=20.

①当点M(〃?，0)在x轴上时，

设点N(s,力，

中考撤号

则AE=MN,且力£中点坐标为MN中点坐标,

m4-s=-4ft=4

即：t=4,解得：s=-l或一3,

(m-s)2+t2=20(m=-3或一1

故点N(-3,4)；

②当点A1在)，轴上时，

同理用得：点N（-4,3）或（-4,1）；

综上，点N坐标为：N（・3,4）或（・4,3）或（・4,1）.

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形的性质、一次函数、面枳的计算等，其中（3）,

要注意分类求解，避免遗漏.

8.如图1,直线/1：＜），=\务+6与x轴，y轴分别交于8,4两点，过点力做4cL48交x轴于点C,将直

线沿着x轴正方向平移〃，个单位得到直线/2交直线力。于点。，交x轴于点E将沿直线6翻

折得到点F.

（1）若机=2$,求点号

（2）若ABC/的面积等于4、瓦求/2的解析式；

（3）在（1）的条件下，将△,480绕点C旋转60°得到△小点〃是直线，2上一点，在直角坐标

系中是否存在点S,使得以点力、BI、R、S为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点S的坐标；若不存

在，请说明理由.

【分析】（1）平移％是相同的，得到平移后解析式歹二P（A-2A/3）+6=岳；

（2）直线NC的解析式），=-噂什6,设/点的纵坐标为儿利用面积求出爪在MCED中,CD=l,求

出C£=竽进而求解；

（3））△/8O绕点。旋转60°得到△小&得到ABC氏，△OOC都是等边三角形，当&RS4是矩

中考核等

形时，BiR上B/i，R在y=&k,R(2/，6)；当当H4s是矩形时，ByRLRA^R与01重合，R

(34，9)：

【解答】解：⑴尸、氏+6与x轴，y轴分别交于8,4两点，

・•・/(0,6),B(-2A/3,0),

,.,)，=，久+6向右平移2馅个单位，

=\，3(x-2/)+6=

:.E(0,0)；

(2)/2：y=(x-m)+6,

：・E(m-2A/3,0),

*：ACA-AB,

直线4C的解析式尸-争+6,

：,C(6\/3,0),

：,EC=S\l3一小，

设厂点的纵坐标为近

BC=8、行，

•・•ZX8C厂的面积等于幺花，

4、E=g*8-\/^人，

：.h=\,

VtanZ^=珠=小'

：.ZABO=GO°,

・•・/历1C=3O°,

:.CF=2,

在.RtCED中,CO=1,・,・"=乎，

«5

/.OE=^\巧，

.•・，〃=军

.♦.y=\'3x-16；

(3)AJ50绕点C旋转60°得到△小0Q,

中考撤号

:.△BCB、,△OOC都是等边三角形，

:,Bi（2®12）,.（3抬,9）,Ai（65/3,12）,

当SRS小是矩形时,SRJLBd，R在y=3上,

:・R（2疯6）；

・・・S（6^,6）

当名小AS是矩形时，上BiR,R在y=\'3x上，

:・R（课，18）,

：.S（2$,18）,

当81Kms是矩形时,BiRLR/11,H与01重合,

:・R（3布,9）,R（54，15）.

・・・S（5次,15）,S（35，9）,

故存在又使得以点小、B\、R、S为顶点的四边形是矩形，

S（673,6）,S（2\/3,18）,515小,15）,S（3、行，9）：

【点评】本题考查一次函数的性质，一次函数的平移，矩形的性质，直角三角形，直线的平行于垂直，

探索点的存在性；能够结合直角三角形知识解决点的问题是难点，数形结合是探究矩形存在的有效手段;

1A

9.如图，抛物线歹=工/+汗+1与y轴交于点儿对称轴交X轴于点8,连力8,点P在y轴上，点。在

抛物线上，是否存在点夕和。.使四边形48P。为矩形？若存在，求点0的坐标.

【分析】先令x=0,求出y的值得到，。的长度，根据对称轴解析式求出08的长度，根据矩形的四个

角都是直角可得N力研=90°,然后求出N54O=N尸40,从而得到△力（用和△8OP相似，利用相似三

角形对应边成比例求出。尸的长度，再根据矩形的对称性求出矩形的中心C的坐标，然后求出点。的坐

标，再根据二次函数图象上点的坐标特征把点0的坐标代入效物线解析式进行验证即可.

【解答】解：存在点尸（0,-4）,Q（-2,-3）,使四边形48P。为矩形.

理由如下：令x=0,则y=l,

：,AO=\,

中考撤号

•••抛物线对称轴为直线％=-—j-r-=2,

2x（一§）

：.OB=2,

•・•四边形力8P。为矩形，

・•・ZABO+ZPBO=ZABP=90°,

'：ZBAO+ZABO=90°,

；・/BAO=4PBO,

又•；N4O吐NBOP=90°,

・•・2AOBS/\BOP,

解得OP=4,

・••点P的坐标为(0,-4),

・・・力。的中点，即矩形的中心。的坐标是(0,-1.5),

设点。(x,»),则三上=0,匕受=一1.5,

解得x=-2,y=-3,

・••点。的坐标为(-2,-3),

1448

当工=-2时，y=_£X(-2)2+-X(-2)+1=---r+1=-4+1=-3,

・••点Q在抛物线y=-^x2+*+1上，

故存在点P(o，-4),0(-2,・3),使四边形48尸。为矩形.

【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中心对称的点

的坐标求出以及二次函数图象上点的坐标特征，利用中心对称求出点。的坐标是解题的关键.

10.如图，抛物线y=4/+/jx+5经过点力(-1,0),B(2,5),抛物线与x轴的另一个交点为C点，点?

中考核等

为y轴上一动点，作平行四边形8PCZ）.

（1）求。点的坐标：

（2）是否存在尸点，使四边形8PCQ为矩形？若存在，求出。点坐标；若不存在，请说明理由;

（3）连结尸。，PQ的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；

（4）若E为力C中点，求抛物线上满足到E点的距离小于2的所有点的横坐标x的范围.

【分析】（1）将/、8两点的坐标代入》=加+笈+5,利用待定系数法求出函数解析式，再将y=0代入,

解一元二次方程即可求出C点的坐标；

（2）设抛物线旷=［「+2叶5与y轴交于点凡连结4金则N4"=90°,先证明刊7s△QC'O,

Jo

根据相似三角形对应边成比例列式求出0P,然后写出点尸的坐标即可；

（3）连接8C,设P。、8c相交于点〃，根据平行四边形的对角线互相平分可得尸。=2。〃，再求出点〃

¥J坐标，再根据垂线段最短可得々/_Ly轴时，PII最短,从而求出P〃，再求出夕。即可；

（4）先写出以点E为圆心，以.2为半径的圆的解析式，然后消掉x得到关于y的一元二次方程，求解得

到y的值，再代入抛物线解析式求出到点E的距离等于2的横坐标x的值，然后根据函数图象解答.

【解答】解：（1）•・•抛物线歹=办2+儿计5经过点力（-1,0）,B（2,5）,

.fa-b4-5=0

••14a+2b+5=5'

（a=二

解得八nA

lb=T

••y=+争+5,

JJ

当y=0时，一|汗2+yx+5=0,

解得力=-1,X2=3,

・・・C点的坐标为（3,0）；

中考核等

(2)如图，设抛物线卜=~1/+2什5与y轴交于点R则尸点坐标为(0,5),连结〃尸.

YB(2,5),

:・NBFP=90°,

•・•四边形4PCQ为矩形，/BPC=9&,

：.ZBPF+ZOPC=90°,

VZOPC+ZPCO=90°，

・•・NBPF=ZPCO.

在△8尸产与△PCO中，

[ZBPF=NPCO

lWP="OC=90。，

:NPFSAPCO,

,PF_BF

•・而一而‘

♦：B(2,5),F(0,5),C(3,0),

:.BF=2,OC=3,OF=5,

：.PF=5-OP,

,S-OP_2

*'3一而‘

整理得，OP2-5OP+6=0,

解得。尸=2或。尸=3,

・••点。的坐标为(0,2)或(0,3)；

(3)连接8C,设P。、BC相交于点H,

•・•四边形BPCD是平行四边形，

:・PD、8C互相平分，

:.PD=2PH,

又・.・。(3,0),B(2,5),

・・・点点的坐标为(2.5,2.5),

根据垂线段最短，轴时，777最短，

此时，777=2.5,

PD=2P//=2X2.5=5；

中考撤号

（4）抛物线解析式为了=-1炉+?+5=3（厂1）2+冬

OOO«3

•・・E为AC中点,

・••点E的坐标为（1,0）,

:,以E为圆心，以2为半径的圆为（x-I）2+产=%

与抛物线解析式联立消掉Cv-1）2得，（4-/）+g=），，

整理得，5/-3y=0,

解得M=0,以=£，

y二御,（x-1）2+^=7»

整理得，（X-1）2=3

解得占二寸，必=让善，

故当-I＜》＜三经或打鲁VxV3时，抛物线上的点到E点的距离小于2.

【点评】本题是二次函数综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数解析式，相似三

角形的判定与性质，平行四边形的对角线互相平分的性质等知以，综合性较强.利用圆的解析式求出抛

物线到点E的距离等于2的点的纵坐标是解题的关键，也是本题的难点.

II.如图，在平面直角坐标系中，Rt△48c的斜边力〃在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上，tan//4C=

工，点尸在线段0c上，且P。、PC的长（P0VPC）是x2・12x+27=0的两根.

（I）求P点坐标;

中考撤号

（2）若N4c8的平分线交x轴于点。，求直线。。的解析式；

（3）若〃是射线CQ上的点，在平面内是否存在点。，使以4、。、V、。为顶点的四边形是矩形？若

存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）由PO、PC的长（尸0〈尸C）是|2x+27=0的两根，解方程可得出R9=3,结合点尸在

线段OC上可得出尸点的坐标；

（2）由（1）可得出0C的长，结合tanN4?C=*在直角三角形C08中可求出08的长度，由NOB与

/48。互余可得出cot/A4C=tan/48C,在直角三角形40c中可求出力。的长度，从而得出8、4点

的坐标，设点。的坐标为（〃?，0）,根据先平分线的性质结合三角形的面积可得出关于〃，的一元一次方

程，解之即可得出结论；

（3）分四边形力C0M为矩形及四边形4"。为矩形两种情况考虑：①当四边形力CQW为矩形时，设

出点。的坐标，利用等腰直角三角形的性质可得出关于x的无理方程，解之即可得出点0的坐标②当

四边形力MC。为矩形时，设出点。的坐标，利用等腰直角一:角形的性质可得出关于x的无理方程，解之

却可得出点。的坐标.综上即可得出点。的坐标.

【解答】解：（1）,:PO、产C的长（P0<PC）是炉-12叶27=0的两根，

：.PO=3,PC=9.

又•・•点户在线段OC上，

・•・点尸的坐标为（0,-3）.

（2）VPO=3,PC=9,

：・OC=OP+PC=\2,

・••点C的坐标为（0,-12）

在RtZ\COB中，tan/48C=*OC=\2,

:QB=ta：；ABC=16,

・••点B的坐标为（0,16）.

中考撤号

.:丛ABC为直角三角形，

3

：.colZBAC=tanZABC=-,

在RtZ\/OC中，cotNQ4C=w，OC=\2,

••・CU=OC・cotNO4c=9,

，点/的坐标为(-9,0).

设点D的坐标为(〃?，0),

•・•点D为NACB的平分线上的点，

•m+916—m

**、/'92+122=J122+162'

解得：1=\,

故点。的坐标为(912，0),

设直线CD的解析式为^=履+4

将C(0,-12),D(y,0)代入尸氏也得：

yb/=c+-1d2=0,解得：｛ribz_=-712f

・,・直线CD的解析式为y=7x-12.

(3)假设存在，画出图形如下.

•・[(-9,0),B(16,0),C(0,-12),

/.直线BC的解析式为v=1x-12.

①当四边形力C。河为矩形时，

VZJC5=90°,

工点。在直线BC上,

'-'CD为/AC8的角平分线，

/.ZACM=45°,

：,AM=AC=CQ=MQ.

设点。的坐标为(x,孑-12).

VJC=\1122+92=15,CQ=Jx2+((x-i2+i2)2,

；・Jx2十（：x-12十12>=15,

中考撤号

解得：x=12,或工=-12（舍去），

・••点0的坐标为（12,-3）；

②当四边形AMCQ为矩形时，

•••直线CQ的解析式为y=7x-12,

；•直线C0的解析式为y=-12.

设点。的坐标为（x，-7x-12）.

''AC=412?+92=15,z!Q=<（x+9）2+（―y%—12）2,

・・.&・J（x+9）2+（一;％-12）2=15,

解得：x=~

；•点Q的坐标为-）.

综上所述：在平面内存在点。，使以力、C、M、。为顶点的四边形是矩形，点。的坐标为（12,-3）

【点评】本题考查了解一元二次方程、利用三角函数值解直角三角形、点到直线的距离以及正方形的判

定及性质，解题的关键：（1）解一元二次方程；（2）利用点到直线的距离找出关于用的一元一次方程;

（3）正方形的判定及性质.本题属于中档题，难度不大，（