期中复习【6大类型38个考点】（原卷版）-2025-2026学年八年级数学上册（苏科版）

期中复习【6大类型38个考点】（前3章）

【苏科版2024]

■题型归纳

【基础概念易错篇】..............................................................................2

【考点1三角形的三边关系】...................................................................2

【考点2三角形的角平分线、中线和高】........................................................2

【考点3全等三角形的性质】...................................................................3

【考点4全等三角形的判定】...................................................................4

【考点5角平分线的性质与判定】...............................................................5

【考点6线段垂直平分线的性贵与判定】........................................................6

【考点7等腰三角形的判定】...................................................................7

【考点8等腰三角形的性质】...................................................................8

【考点9等边三角形的性质】...................................................................9

【考点10等边三角形的判定】..................................................................9

【考点11直角三角形斜边的中线】.............................................................10

【考点12平方根与算术平方根】................................................................11

【考点13立方根】............................................................................11

【考点14实数】...............................................................................12

【考点15判断勾股数】........................................................................12

【考点16利用勾股定理求线段长度】...........................................................12

【考点17以弦图为背景的计算】................................................................14

【考点18判断二边能否构成直角二角形】......................................................15

【考点19已知两点求构成直角三角形的点】.....................................................15

【计算篇】.....................................................................................15

【考点20实数的运算】........................................................................15

【几何计算与证明篇】...........................................................................16

【考点21与折叠有关的角度的计算问题】.......................................................16

【考点22角的平分线与线段的垂直平分线】.....................................................17

【考点23利用轴对称的性质判断线段之间的关系】...............................................18

【考点24等腰三角形的性质与判定的综合】.....................................................19

【考点25等边三角形的性质与判定的综合】.....................................................21

【考点26勾股定理的证明】....................................................................21

【考点27勾股定理与折叠问题】...............................................................23

【考点28利用勾股定理探究平方关系】.........................................................25

【考点29利用勾股定理的逆定理判断直角三角形】..............................................26

【实际应用篇】.................................................................................27

【考点30勾股定理的应用】....................................................................27

【作图篇】.....................................................................................29

【考点31尺规作角平分线、线段垂直平分线】...................................................29

【考点32利用勾股定理网格作图】.............................................................30

【压轴篇】.....................................................................................32

【考点33做辅助线构造全等三角形】...........................................................32

【考点34做辅助线构造等腰三角形】...........................................................33

【考点35三角形中的最值问题】...............................................................34

【考点36三角形中的分类讨论】...............................................................36

【考点37利用勾股定理求最短路径】...........................................................37

【考点38利用勾股定理构造图形解决问题】.....................................................39

举一反三

【基础概念易错篇】

【考点1三角形的三边关系】

1.（24-25七年级下•湖南衡阳•期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）

A.1cm,2cm,3cmB.2cm,3cm,6cm

C.4cm,4cm,4cmD.2cm,4cm,6cm

2.已知△ABC的三条边长分别为5、7和x,则x的取值范围是.

3.（24-25七年级下•山东烟台・期末）用一条长35cm细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是

另一边长的3倍，则底边的长为cm.

4.现有lcm、3cm、5cm、6cm长的四根木棒，任选其中三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数

是（）

A.1B.2C.3D.4

【考点2三角形的角平分线、中线和高】

1.如图，在△ABC中，利用三角板能表示8c边上的高的为（）

2.如图，在△力BC中，Z.C=90°,D,£是AC上两点，且4E=DE,BD平分乙EBC,那么下列说法中不正

确的是（）

c

D

E

B

A.BE是的中线B.8。是△BCE的角平分线

C.Z1=z2=Z3D.8c是△BCE的高

3.如图所示，在ZXABC中，AB=8?AC=6,AD是aABC的中线，则AABD与AADC的周长之差=

4.如图，已知△ABC中，点D,E分别是边力B,4c的中点.若△48C的面积等于12,则△BDE的面积等

C.4D.5

【考点3全等三角形的性质】

1.（24-25八年级上•山西忻州•期中）如图，△40B三△4DC,点B和点C是对应顶点，zO=zD=90°,记

^OAD=a,LABO=p,LABC=LACB,当8CII0A时，a与0之间的数量关系为（）

A.a=0B.a=2/?

C.a+0=90。D.a+2/7=180。

2.在△ABC中，乙4:zBzC=4:5:9,且△ABC三△DEF,则ND的度数为（）

A.90°B.50°C.40°D.80°

3.（24-25七年级下•四川巴中•期末）如图，点4,C,。在同一直线上，若△4BC空△CQE,AB=7,

BD=10,则BC等于（）

A

E

BCD

A.4B.3C.2D.1

【考点4全等三角形的判定】

1.（25-26八年级上•江苏宿迁•期中）如图，AB=DB,乙1=匕2,添加下列条件，不能判定凤

A.BC=BEB.AC=DE

C.Z-A=Z.DD.Z.ACB=乙DEB

2.（25-26八年级上•全国•期中）小华家梳妆台上的一块三角形波璃不小心摔成了如图所示的四块，需要去

玻璃装饰品店再配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，可以选择的方法是（）

A.带（1）和（3）去B.带（3）和（4）去

C.带（1）和（4）去D.带（1）和（2）去

3.（24-25八年级上•江苏无锡•期中）根据下列条件，能判定△ABC三△A8C的是（）

A.AB=A'B'fBC=B'C,4力=乙4’

B.乙AC=B'C

C.乙Z.C=ZC

D.AB=A'B',BC=B'C,△4BC与△ABC的周长相等

4.（24-25七年级上•山东东营•阶段练习）如图，己知△力8C的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、

乙、丙三个三角形中某些元素，则与△力8C一定全等的三角形是（）

A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙

【考点5角平分线的性质与判定】

1.如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等,

这个货物中转站可选的位置有（)

A.3个B.4个C.5个D.6个

2.如图，。是△ABC内一点，且。到三边48、AC、BC的距离。9=0E=。。，若乙84c=70。，则480C=

)

115°C.120°D.125°

3.如图，中，4。是角平分线,BE是△480的中线,若的面积是2.5,AB=5,AC=3,则

△ARC的面积是（）

A.5B.6.8C.7.5D.8

4.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的

平分线.如图，要画乙4。8的角平分线，让一把直尺的一边与0B重合，让另一把直尺的一边与CM重合，并

且两把直尺交于点P,小明说：“射线0P就是乙4。8的角平分线.”他这样做的依据是（）

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||1|||||||||||||||||||||||||||||||

0123456789K）

A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C.二角形二条角平分线的交由到二条边的距离相等

D.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

【考点6线段垂直平分线的性质与判定】

1.如图，在△力8c中，ADLBC,垂足为点D,E"垂直平分4C,交8c于点E,交AC于点乩连接4E,若

BD=DE,△4BC的周长为16,AF=3,则DC的长为（）

A.4B.5C.6D.7

2.（24-25八年级上•河北邢台•期中）如图，△A8C中，AB=AC,4M是BC边上的中线，点N在AM上，则

NR与NC的关系是（）

A.NB>NCB.NB<NCC.NB=NCD.不能确定

3.（25-26八年级上•全国•期末）如图，在△4BC中，AB=AC.284c=24。，延长8c到点。，连接

AD.若通过尺规作图所得直线恰好经过点C,则乙34。的度数为（）

A

C.61°D.60°

【考点7等腰三角形的判定】

1.如图，4MAN=30。，点8是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△P4?为等腰三角形，则

2.如图，在△力夙:中，乙B=^C=36。,D,E分别是线段BC、47上的一点，根据下列条件之一，不能确

定△力OE是等腰三角形的是（）

A.zl=2z2B.Z1+Z2=72°C.Z14-2z2=90°D.2zl=z2+72°

3.如图,"BC为等边三角形/ABC、ziACB的平分线相交于点0,OE||AB交BC于点E,OF||AC交BC于点F,图中

等腰三角形共有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

4.（24-25七年级下•全国•课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知4和4是两

个格点，如果。也是图中的格点，且使得△48C为等腰三角形，则点。的个数为.

1----------------1----------------1

L

♦------------■———————

11

11

11

L_______1

1

1

1

L______________'_________

【考点8等腰三角形的性质】

1.已知等腰二角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60。，那么这个等腰二角形的顶角等于（）

A.15°或75°B.30°C.150°D.150°或30°

2.如图4EAF=15。，AB=BC=CD=DE=EF,则乙.

ABDF

3.如图，在△/WC中，^ACB=90°,AC=AM,BC=BN、则4MCN=（）

A.60°B.30°C.45°D.不确定

4.（24-25八年级下•陕西西安・期中）如图,这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中=AC,立柱

AD1BC,且顶角NB4C=110。，则2048的度数为_____.

A

BDC

5.（24-25七年级下•重庆・期末）如图，在中，力=AC,4力DC=60°,AD=4,BD=1.5,则

CD=____.

A

BDC

【考点9等边三角形的性质】

1.如图，以等边△ABC的边AC为腰作△C4D,使=连接BC,若ND8C=40。，则乙&4。=

2.(24-25七年级下•四川成都・期末)如图，等边三角形纸片ABC的边长为4cm,点。，E分别在AC,8。上,

将aCDE沿直线DE折叠，点C落在点。处，且点。在△/1BC的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为

cm.

3.如图，M是等边△ABC的边AB的中点，且48=8,MNJLAJpN,EN上BC于E,则8E=

4.如图，△/1BC是等边三角形，力0是高，且40=7,E是边的中点，点夕是力。上一动点，则P8+PE

的最小值是.

【考点10等边三角形的判定】

1.已知a,b,c为AABC三边,且满足劭一/?2=做一儿，则△4BC是()

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.不能确定

2.满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（）

①有两个角是60。的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都

相等的三角形；④•边.上的高也是这边中线的等腰三角形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，"08=120。，OP平分乙4。8,且。尸=2.若点、M,N分别在。408上，且为等边三角形，

则满足上述条件的△自3“有（）

【考点11直角三角形斜边的中线】

1.（25-26八年级上•江苏连云港•阶段练习）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上

三个点4D,4对应的刻度分别为1,4,7（单位：cm）,则CD的长度为（）

2.（25-26八年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，在△力8C中，AB=AC=7,BC=6,”平分NBAC,BE1AC

于点E,。是48的中点，则4OEF的周长是（）

A.9B.10C.13D.20

3.（25-26八年级上•江苏扬州•阶段练习）如图所示，在四边形力BCD中，ABWCD,38=90。,AD=2AB,

P为力。的中点，连接CP,若41=72。，则NOCP的度数为°.

A

P

D

8t--------^C

【考点12平方根与算术平方根】

1.若V102.01=10.1,则1.0201的平方根是.

2.（25-26八年级上•福建泉州•阶段练习）代数式6—的值最大时，x的值为.

3.已知：与y满足关系'=则片的立方根是.

4.（25-26八年级上•江西九江•阶段练习）下列运算中，正确的是（）

A.V9=±3B.7（-3）2=3

C.1+：D.11—=1-^

<4923414412

5.已知％+2的算术平方根是3,y是后的整数部分，则x+y的值为（）

A.5B.7C.11D.12

6.（25-26八年级上•河南平顶山•阶段练习）若一个正数的两个不同的平方根分别是2a—1和-a+2,则这

个正数是（）

A.1B.3C.9D.25

7.（24-25七年级下•黑龙江牡丹江•期末）下列各式中，计算正确的是（）

A.7（-2）2=-2B.V4=±2C.V0?9=0.3D.-V25=-5

【考点13立方根】

1.（25・26八年级上•全国•课后作业）下列说法中，不正确的是（）

A.0.027的立方根是0.3B.一1的立方根是一1

C.0的立方根是0D.125的立方根是±5

2.（24-25八年级上•山东淄博•阶段练习）若近=229,痼=229,则分等于（）

A.1000000B.1000C.10D,10000

3.（25-26八年级上•湖南长沙•开学考试）已知V237«1.333,V237«2.872,则V2370«

（精确到百分位）

4.（24-25七年级下•江西赣州•期末）若》是25的算术平方根，y是一8的立方根，则xy的值为.

【考点14实数】

1.（24-25七年级上•浙江金华•期中）已知下列实数：①0,第，③在，④*⑤3.21,⑥今其中整

数有：，分数有：，无理数有：.（只需填写序号）

2.如图，已知数轴上的点4、B、C、。分别表示数一2、一1、1、2,则表示1-V7的点P应落在线段（）

AB0cD

I1i1I1Ii

-3-2-I01234

A.48上B.08上C.0C上D.CD上

3.（24-25七年级下•广东广州•期中）若6+通的整数部分是m,小数部分是九则|n—为］）

A.V5—10B.10—V5C.V5—6D.6—y/s

4.（24-25七年级下•河北邯郸・期末）对于一2+遍的叙述，下列说法正确的是（）

A.它不能用数轴.上的点表示出来B.它是一个无理数

C.它比。大D.它的相反数为2+百

5.（24-25七年级下•山东德州•期中）若a=V7,匕=遥，c=2,则a,b,c的大小关系为（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【考点15判断勾股数】

1.（25-26八年级上•陕西咸阳•阶段练习）有一组勾股数，若其中两个为10,8,则第三个数为

2.（25-26八年级上•四川成都•阶段练习）下列各组数是勾股数的是（）

c111

D・T9T

A.2,3,5B.V3,2,V5C.8,15,17346

3.（25-26八年级上•甘肃白银•阶段练习）勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅

五”.观察下列各组勾股数：6,8,10；8,15,17；10,24,26；12,35,37：14,48,50：……可发现当

一组勾股数的勾为27九（m>3,nt为正整数）时，它的股、径分别为m2-1和血2+i.若一组勾股数的勾为

26,则径为

【考点16利用勾股定理求线段长度】

1.（24-25八年级上•江西鹰潭♦阶段练习）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器4离地距离

AR=2m,当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.5m的学生CD刚走到离门间距

C8=1.2m的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度力。为（）

感应器A

A.ImB.1.2mC.1.3mD.2m

2.如图，RtZMBC中，2c=90"C=8,BC=6,D是斜边A8的中点,过点8作BE1CD于点E,则线段BE

的长度为（）

3.（24-25八年级上•广东深圳•期末）如图，在3x3的正方形网格中，A,B,C,D是格点，则下列线段长

度最长是（）

4.（24-25七年级下•山东济南•阶段练习）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表

示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点。表示的数是（）

一口口I

-10\1、234^/6

A.V5B.2V5C.3+V5D.2+V5

【考点17以弦图为背景的计算】

1.（25-26七年级上•江苏泰州•阶段练习）如图，《周髀算经》中的“弦图〃是由4个相同的直角三角形拼接

而戊的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1:2,小正方形的面积与大正方形面积比是（）

2.（24-25八年级下•山东济南•阶段练习）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图"的示意图，它是由四个全等

的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得

到图2所示的“数学风车〃，则这个风车的外围周长是（）

3.（24-25九年级下•北京海淀•阶段练习）将两个“赵爽弦图〃中的两个正方形和八个直角三角形按如图方式

摆放围成正方形空隙处增加四个正方形.记其中两个正方形EGH/,正方形GKLM的面积分别为Si，

S2,则下列四个判断：

①Si+S2=£四边形48co；②“=2/K；③若乙C/H=30°,则S1=4s2；④若GJ=JK,贝义工=9s2,其

A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④

【考点18判断三边能否构成直角三角形】

1.（25-26八年级上•陕西西安•阶段练习）下列哪个条件不能判定△力夙:为直角三角形（）

A.a.b,c=7:24:25B.z.A=Z.B-zC

C.a=32,b=42,c=52D.Z.A:Z.B:Z.C=1:1:2

2.（25-26八年级上•全国•课后作业）已知a,Ac是的三边长，若（c一7/十|b—24|+（a—25>=0,

则△力8c的形状是.

3.（25-26八年级上•陕西西安•阶段练习）如图，在长方形48CD中，AB=5,4。=3,点E,F分别是8C,

CD边上一点，且8E=1,CF=2.则图中的直角三角形有（;

【考点19已知两点求构成直角三角形的点】

1.如图，在4X4方格中作以48为一边的要求点。也在格点上，这样的能作出（）

A.2个B.4个C.6个D.7个

2.如图，在A48C中，A8=4C=20,8C=32,点。在线段8c上以每秒2个单位的速度从臼句C移动，连接

AD,当点。移动秒时，AO与的边垂直.

【计算篇】

【考点20实数的运算】

1.（25-26八年级上•河南平顶山•阶段练习）计算:

(1)V25-V^27-V(-0.03)2

⑵T+(-2尸-居

2.已知3a+2b+4的平方根为±遥，4是7a+1的立方根.

(1)求a,b的值；

⑵求a—匕+5的算术平方根.

3.计算：

(1)7-|-2|+V^27：

(2)-I4—|x[2—(-3)]2.

4.(25-26八年级上•辽宁沈阳•阶段练习)求满足下列各式的未知数》的值.

(1)2(%-2)2=V196

(2)(21+1尸+125=0

5.(24-25七年级下•北京•期中)如图是一个数值转换器(|无|<25)

1X7]~~H计算广2|审取算术平方根|:•经师明

是有理数

⑴当输入的x为一14时，输出的y值是；

(2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为：

⑶若输出的y是遍，求x的负整数值.

【几何计算与证明篇】

【考点21与折叠有关的角度的计算问题】

1.(24-25七年级下•吉林长春•期末)在△4BC中，4c=90。，AC=6,BC=8,将△力8C沿某条直线折

叠，使三角形的顶点4与3重合，折痕为

⑴试求△4CD的周长；

(2)^^CAD.ABAD=4:7,求的度数.

2.(24-25七年级下•江苏无锡•期末)如图，在中，48=20。，点。为边BC上一点，将△4DC沿直

线4。折叠后，点C落到点E处，LADC=100°.

⑴求证：ABWDE.

⑵若AE恰好平分乙笈4。，求乙E的度数.

3.（24-25七年级下•江苏淮安・期中）如图，将长方形纸片F8CD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子,

折痕角-1MN=NDPQ,点4。的对应点分别为点G,H,折叠言点8,C的对应点恰好都在点£

⑴若折痕角匕4MN=105°,求帽子顶角4NEQ的度数；

（2）设4GMO二%度，乙NEQ=y）笠.

①请用含第的代数式表示y,则丫=；

②当/MNE=24GMD时，帽子比较美观，求此时y的值.

【考点22角的平分线与线段的垂直平分线】

1.在RS/18。中，NB4C=90。，HE是斜边8C上的高，角平分线3。交力后于•点G,交4C于点。，DF1BC

于点F.

（1）求证：AB=BF；

⑵试判断力。与力G有怎样的数策关系？请说明理由.

2.（25-26八年级上•全国•期中）如图，C,。是的垂直平分线上两点，延长AC,08交于点E,4门I交

DE于点工

A

求证：

⑴/IB是4sF的角平分线：

（2）£FAD=LE.

3.（24-25八年级下•山东青岛•期末）探索新知：如图①，力。是△力BC的角平分线，黑与器之间有怎样的

/1C»L/O

关系呢？过点。作DE1AB,DF14C,垂足分别为七，F,过点4作4，_LBC,垂足为

^ABC.DE1AB.DF1AC

DE=DF

■:SAABD=-DE=\BD-AH,S^ADC=•DF=1DC-AH

.S&ABD_AB_BDAB_BD

==U|J

'''SAADC~ACDC7C=DC*

新知应用：

⑴如图②，力。是△ABC的角平分线，若48=5,AC=3,则黑=:

(2)如图②，AD是△ABC的角平分线，若产=今则崇=_________：

◊SADCu

⑶如图③，BD平分KABC,CE平分NACB,若力B:BC:4c=5:6:4,S。"=m，则S四边形人破。=

(用含〃，的式子表示).

【考点23利用轴对称的性质判断线段之间的关系】

1.（24-25八年级上•河北廊坊•期末）如图1,△4BC是等边三角形，点。为4c边上一点，连接8D,点C

关于80的对称点为点E,连接BE.

图1图2备用图

⑴若是"BE的平分线，求乙1B0的度数;

⑵如图2,连接£4并延长交6。的延长线于点£,乙F=60。，试探究比4,力尸和8尸三者之间满足的等量关系,

并说明理由.

2.如图（1）,已知等边△48C的边长为8,点尸是48边上的一个动点（与点儿8不重合）,直线/是经

过点P的一条直线，把△ABC沿直线/折叠，点8的对应点是点5,且当PB=4时，点⑶恰好在4c（不含

端点4C）边上.

图⑶

⑴在图（2）中画出当PB=4时的图形，并求出此时/夕的长度：

⑵在点P的运动过程中，探究点夕到点力，C之间的距离的关系.

3.（24-25七年级下•浙江•阶段练习）如图，将长方形纸片4BCD沿£尸折叠后，点8,C分别落在bC的位置,

BC交CD于点、P,再沿P/边将NC，折叠到4Q处，记乙=x度，匕CNP=y度.

⑴写出％,y的等量关系；

⑵若/BEF=2（EFQ,求x,y的值.

【考点24等腰三角形的性质与判定的综合】

1.（24-25八年级下•陕西西安・期中）如图，己知点D,£分别是△4BC的边84和8C延长线上的点，作“4C

的平分线AF,若力门IBC.

⑴求证：△ABC是等腰三角形；

(2)点G是人"上一点，连接CG,若48=40。，AG=ACt求4GCE的度数.

2.(24-25八年级下•陕西榆林•期末)如图，在中，48=为BC的中点，连接40.EF垂直平分

AB,分别交AB于点邑交AC于点F,交AD于点M,连接BM,CM.

⑴求证：△力MC是等腰三角形；

(2)若乙。4。=20°,求乙4FE的度数.

3.已知，在△ABC中，Z.BAC=a,/,B=^6,点。，E分别在8C/C边上(。不与8,C重合),

zBAD=ACDE.

⑴如图1,若a=40。,且力。恰分加C,则乙4DE的度数为_。.

(2)如图2,若a=70。，且点。是BC边上的任意一点，小亮发现乙4OE的度数为定值,

①求〃DE的度数；

②当DC=48时，求的度数.

⑶如图3,在点。的运动过程中，△ADE的形状也在改变，若Q=100。，请直接写出当NBD4等于多少度时,

△4OE是等腰三角形.

【考点25等边三角形的性质与判定的综合】

1.在等边△力^。中，点£是48上的动点，点E与点儿4不重合，点。在C8的延长线上，且EC=ED.

图1图2

(1)如图1,若点E是48的中点，求证：BD=AE.

⑵如图2,若E不是的中点，(1)中的结论"BZ)=4E〃能否成立？若不成立，请直接写出与AE的数

量关系，若成立，请说明理由.

2.(24-25八年级下•陕西咸阳・期末)如图，在△力BC中，AB=AC,ZF/1C=120°,ADLBC,垂足为E,

且HO=/IO,点G分别在边40、/4C」二，R^DDF=^ADG.求证：

⑴△48。是等边三角形：

(2)BF=AG.

3.(24-25七年级下•上海松江・期末)已知：在△4C0中，P是C0的中点，B是边4D延长线上的一点,

BD=AC,连接8C、AP.

(1)如图(1),如果力P1CD,证明:BD=AD；

(2)如图(2),过点。作DEII4C,交AP的延长线于点E,连接如果NC4Z)=60。，证明：BC=2AP.

【考点26勾股定理的证明】

1.教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证

公式，俗称"无字证明"，例如，著名的赵爽弦图(如①)，可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形

两条直角边长为诙b,斜边长为c,则a2+〃=c2.

⑴图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法"，请你利用图②推导勾股定理.

（2）如图③，在△ABC中，力。是8c边上的高，718=13,AC=15,BC=14,设8。=%,求i及力。的值.

2.（2025八年级上•全国•专题练习）如图①是边长分别为m△的两个正方形，经如图②所示的割补可以

得到边长为c的止方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和.利用这个方法可以验证勾股定理.

请根据上述信息，回答卜列问题:

⑴图②所示的割补过程为：割①补.割补⑥，割③补：

⑵将图②完成拼接后得到图③，己知小正方形的边长为2.大正方形的边长为10,试计算其中一个直角三

角形的周长.

3.（24-25八年级下•山西阳泉•期末）阅读与思考

请阅读下列材料，并完成相应的任务.

勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一.著名的

古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中给出了勾股定理的一种证明方法.

如图1,分别以RSABC的直角边A&BC及斜边48为边向外作正方形正方形8CGF

和正方形A8ED,连接作CKJLDE分别交于点7,K.由四边形4DEB是正方形,

^^Z.BAD=Z.ADE=Z.BED=Z.ABE=90°.再由CKJ.OE,可得

4KD=4KE=90。.易得四边形和四边形"EB是矩形（依据）.

思路梳理：

H

ABJAO+BC2

IT

S正方形/8£O=S正方形/(H/+S正方形8CGF

IT

S地形儿/m=S正方形/(？〃，S矩形JK£8=S正方形BCGF

=S正方形4C〃/,S矩形/KEB=S正方形BCG，'是关键，下面是"S矩形可KD=S正方形4G〃”的证明过

程:

由四边形4CH/和四边形力3E0是正方形，易得△ABI^△ADC(SAS).

VLACB=90。,:,点B,C,H在同一直线上,即BHWAI.

S^ABI=夕/•AC=公正方形4c/〃.......

同理可证S矩形/仍=S正方形BCG尸.从而可证明勾股定理.

任务:

⑴材料中的依据为.

⑵请你补全材料中的证明过程.

⑶当△力不是直角三角形时，其三边关系显然不满足勾股定理.如图2,当△A8C是锐角三角形时，请

直接写出4C2+BC2与482之间的关系，并利用勾股定理予以简单证明.(提示：过点8作BP_LAC于点P)

图2

【考点27勾股定理与折叠问题】

1.如图，小明同学将一个直角三角形A8C的纸片折叠，C与D重合，折痕为8E,若已知HC=8cm,

BC=6cm,你能求出CE的长吗？

2.（24-25八年级下•山东德州•期中）已知，如图折叠长方形的一边力。，使点。落在8c边上的点尸处，如

AB=8fBC=10.求EC的长.

3.（24-25八年级下•江苏宿迁•期中）如图①，在矩形纸片48CD中，AD=8cm,AB=12cm.

DC

AB

①

【实践操作】

第一步：如图②，将图①中的矩形纸片4RCD沿过点4的直线折登，使点。落在4®上的点E处.折痕为

AF.然后把纸片展平;

第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点。与点/重合，折痕为GH,然后展平，隐去力色

第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿力，折叠，得到△ADH,延长力）与EF交于点N,与。C交于点

M.

D

AEB

②

【问题解决】

⑴在图②中证明四边形力EF。是正方形；

⑵请在图④中判断NF与ND，的数口美系，并加以证明;

⑶请在图④中求NE的长度.

【考点28利用勾股定理探究平方关系】

1.（24-25八年级上•贵州贵阳•期中）对角线互相垂直的四边形叫做"垂美"四边形，现有如图所示的“垂美〃

四边形/BCD,对角线4C,B0交于点0.

C

⑴若40=2,B0=3,60=4,D0=5,请求出AB2,FC2,CD2,。炉的值.

（2）若=6,CD=10,求BC2+业的值

⑶请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美〃四边形关于边的一条结论.

2.如图，Rt△力庆?中，^ACB=90°,。为48中点，点E在BC边上（点E不与点3,。重合），连接OE,过

点D作。尸交AC于点F,连接EF.

（1）求证：AF2+BE2=EF2.

（2）若AC=7,BC=5,EC=1,直接写出线段力F的长.

3.（24-25八年级上•上海松江・期末）已知：在RtZ\/18C中，乙4c8=90。，&4=C8•点。、E在线段A8上.

⑴如图1,如果CD=CE,求证：AD=BE.

(2)如图2,如果NDCE=45。,求证：DE2=AD2+BE2.

【考点29利用勾股定理的逆定理判断直角三角形】

1.(24-25八年级下•贵州•阶段练习)已知△力BC的三边长分别为a,b,c,且/b,c满足(a—3尸+庇7

+|c-5|=0,

(1)自.接与出口=,b=,c=；

(2)判断△48C的形状，并说明理由.

2.(25・26八年级上•河南郑州•阶段练习)如图，在△4BC中