期中复习5大类型39个考点（期中专项训练）-九年级数学上学期（苏科版）原卷版

期中复习5大类型39个考点（前4章）

【苏科版】

飕题型归纳

【基础概念易错篇】..............................................................................2

【考点1判断是否是一元二次方程】.............................................................2

【考点2一元二次方程的一般形式】.............................................................2

【考点3一元二次方程的解】...................................................................2

【考点4解一元二次方程一直接开平方法】......................................................3

【考点5解一元二次方程一配方法】.............................................................3

【考点6配方法的应用】.......................................................................3

【考点7一元二次方程根的判别式】.............................................................3

【考点8解一元二次方程一公式法】.............................................................4

【考点9解一元二次方程一因式分解法】.........................................................1

【考点10一元二次方程根与系数的关系】.........................................................5

【考点II根据实际问题列一元二次方程】........................................................5

【考点12圆的相关概念】.......................................................................6

【考点13垂径定理】...........................................................................6

【考点14圆心角、弧、弦的关系】..............................................................8

【考点15三角形的外接圆与外心】..............................................................9

【考点16圆周角定理】.......................................................................10

【考点17圆内接四边形】......................................................................II

【考点18直线与圆的位置关系】...............................................................12

【考点19切线的判定】.......................................................................13

【考点20切线的性质】........................................................................14

【考点21切线长定理】........................................................................16

【考点22正多边形与圆】......................................................................17

【考点23弧长】...............................................................................18

【考点24扇形的面积】........................................................................19

【考点25圆锥的侧面积】.....................................................................20

【考点26数据的集中趋势】...................................................................21

【考点27数据的离散程度】...................................................................22

【考点28等可能条件下的概率】...............................................................23

【计算篇】.....................................................................................23

【考点29一元二次方程的解法】..............................................................23

【实际应用篇】.................................................................................24

【考点30一元二次方程的应用】..............................................................24

【几何计算与证明篇】...........................................................................25

【考点31利用圆中的相关性质求角度】.........................................................25

【考点32利用圆中的相关性质求线段长度】.....................................................27

【考点33利用圆中的相关性质进行证明】.......................................................28

【考点34求圆中的弧长或扇形面积】............................................................29

【压轴篇】.....................................................................................31

【考点35换元法解一元二次方程】.............................................................31

【考点36一元二次方程根的判别式与根与系数关系的综合】......................................31

【考点37由点与圆的位置关系求最值】.........................................................33

【考点38动点的运动轨迹长度计算】...........................................................34

【考点39动态图形的扫过的面枳的计算】.......................................................36

举一反三

【基础概念易错篇】

【考点1判断是否是一元二次方程】

1.（25-26九年级上•全国•阶段练习）若方程（。一3）%同-1+6%-2=0是关于1的一元二次方程，则〃的

值为（）

A.3B.-3C.3或一3D.0

2.（25-26九年级上•河南商丘•阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（）

A.3x2-44x+1B.ax2+dx+c=0

C.2（x+2）（x-l）-x2=0D.X2-^-5=0

3.（24-25九年级上•云南昆明•期末）已知关于x的一元二次方程（小一1）%2+2%-3=0有实数根，则〃？

的取值范围是—.

【考点2一元二次方程的一般形式】

1.将一元二次方程£%（%-2）=5化为二次项系数为"1"的一般形式，其中二次项系数是,一一次

项系数是,常数项是.

2.把方程4（2x-1）=1化成a/+取+c=0的形式，贝lj。、力、c的一组值是（）

A.2、-1、-1B.2、-1C.2、1、-1D.2、1、1

【考点3一元二次方程的解】

1.（25・26九年级上•广东广州•阶段练习）已知一元二次方程。口+b%+卜=0（。R0）,若9a-3b+c=0,

则该方程一定有一个根为（）

A.-3B.3C.±3D.不能确定

2.下列一元二次方程中，有一个根为％=1的是（)

A.x2=3x-4B.x2=2x-lC.x2-2x=1D.x2+2x=1

3.（25-26九年级上•山东青岛•阶段练习）若m是一元二次方程/+2%-7=0的一个根，则2025-一

2m=____

【考点4解一元二次方程一直接开平方法】

1.方程100/-1=0的解为.

2.（25-26九年级上•四川宜宾•阶段练习）已知关于k的一元二次方程（。-1及2+》+。2=1的常数项是0,

则〃的值为（）

A.1B.-1C.1或一1D.0

3.（2025・上海徐汇•二模）若一元二次方程3/+（加一1）为一4=0中的82-4就=73,则m的值为.

【考点5解一元二次方程一配方法】

1.（25-26九年级.匕河北唐山•阶段练习）用配方法解关于”的一元二次方程/-4%-11=0时，配方结果

正确的是（）

A.（%-2）2=7B.（%—2）2=15C.（%-4）2=7D.（%-4）2=15

2.（25-26九年级上•新疆伊犁•阶段练习）如果一元二次方程,一6%+上=0经配方后，得（％-3）2=4,

那么k=.

【考点6配方法的应用】

1.（25-26九年级上•江苏宿迁•阶段练习）已知多项式A=M-x+（3-2k）,若无论工取何实数，A的值

都不是负数，则&的取值范围是.

2.（24-25九年级下•山东烟台•期末）已知％y,z为实数，满足£学二2：二g，那么/+/+z?的最小值

为.

3.（24-25九年级上•江苏宿迁,期末）已知a,b满足（M+4a+7）（^2-6b+11）=6,贝足a+b=（）

A.-6B.-1C.2D.3

4.已知：a、b、c是A/BC的三边，且a2-2a+b-2痴T+|c-V5|+l=0,A48C的形状是.

【考点7一元二次方程根的判别式】

1.（25-26九年级上•山东滨州•阶段练习）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）

A.X2-4%=0B.%2-4=0

C.x2-4x+4=0D.x2-4x+16=0

2.（24-25八年级下•上海金III•期末）若kVO,关于％的一元二次方程依2-％+1=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

3.（25-26九年级上•江苏南京•阶段练习）已知关于汇的一元二次方程（k-l）x2-2x-3=。有实数根，则k

的取值范围是.

4.已知m、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于％的一元二次方程/一4%+

k+2=0的两个根，贝味的值是.

【考点8解一元二次方程一公式法】

1.（24-25八年级下•浙江丽水・期中）已知关于x的方程M一（爪+2）x+3m+3=0,若方程的根都是整数,

则满足条件的正整数m的值为.

2.（24-25八年级下•山东烟台・期中）已知关于x的-元二次方程/一（k+5）x+6+2k=0恰有一个根小

于-1,则氏的取值范围为.

3.（25-26九年级上•安徽宿州•阶段练习）关于工的方程直%-1）=3（%-1）,下列解法完全正确的是（）

甲乙丙T

整理得/-4x=-3,

两边同时整理得-4X=-3配方得移项得

2

除以a-1,b——4,c~—3,b—x2-4x+2=-1,x(x—1)—3(x—1)=0,:.

（%-1）得4ac=28,x==2±(x—2尸=—1,x—(x—3)(x—1)=0,x-3=

2

x=32-i1,Xj-1,%2=0或x—1=0,=1,x2=3

夕，=2+\[7,x2=2—y/7

3

A.甲B.乙C.丙D.T

4.（24-25九年级上•天津蓟州•阶段练习）方程2M+3x-2=0的两个根为（）

=

A.%1=­2,x21B.=2»x2=7

11

c.Xi=-2,x2=--D.xx=2,x2=--

【考点9解一元二次方程一因式分解法】

1.（25-26九年级上•陕西汉中•阶段练习）若△/BC的三边长都是方程/-53+6=0的根，则△ABC的周

长是（）

A.7B.8C.7或8D.13

2.（25-26九年级上•江苏无锡•阶段练习）己知关于工的一元二次方程（A+1）/+3x+k2-2k-3=0的常

数项为0,则k的值为（）

A.-1B.3C.-1或3D.1或一3

3.已知关于％的方程m/+x+-1=o的一个根是1,则7n=.

【考点10一元二次方程根与系数的关系】

1.（25-26九年级上•广东广州•阶段练习）设Q,b是方程次+〃-2036=0的两个实数根，则小+2a+b的

值为（）

A.2036B.2035C.2034D.2033

2.（25-26九年级上•湖南岳阳•阶段练习）已知是关于％的一元二次方程/一（2m+3）x+?n2=0的两个

不相等的实数根，且满足工+5=1,则m的值是（）

A.3B.-1C.3或1D.-3或1

3.（25-26九年级上•山东枣庄•阶段练习）己知a,。是方程M+2023%+1=0的两个根，则代数式

（1+2024a+a2）（l+2025£+/）的值是.

【考点11根据实际问题列一元二次方程】

1.（24-25九年级上•四川泸州•期末）学校的劳动实践基地是一块长30m、宽16m的矩形土地.为便于学生

参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到400m2,若设小道的

宽为xm,则根据题意，那么x满足的方程是（）

A.30X16—30%—16x+2x2=400B.30x16-30x—2x16x=400

C.（30-x）（16-2x）=400D.（30-2x）（16-x）=400

2.（25-26九年级上•内蒙古呼和浩特•阶段练习）某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他

同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36

人会做这个模型.若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（）

A.14-%+X2=36B.%+（x+I）2=36

C.x+（x4-l）x=36D.14-x+（x+l）x=36

3.（25-26九年级上•山东枣庄•阶段练习）某公司去年年底已累计投资200万元，今后两年计划继续增加投

资，若两年增加的百分比相同，巨使今后两年共投资750万元，设今后两年投资的年平均增长率为X,则可

列方程为（）

A.200（1+2x）=750B.200x2（1+%）=750

C.200（1+x）2=750D.200（1+x）+200（1+x）2=750

【考点12图的相关概念】

1.（24-25九年级上•陕西咸阳•期末）下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一

个圆；④圆的内接正六边形的中心角为60。.其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，已知A,B,C,。四点都在。。上，则回。中的弦的条数为（）

3.（25-26九年级上•陕西•期中）已知。。的直径为8cm,48是。。中最长的弦，则48的长为（）

A.10cmB.8cmC.4cmD.2cm

4.（2024•广东广州•模拟预测）如图，在。。中，弦4C与半径OB平行，若乙BOC=50°,贝此B的大小为（）

A.25°B.30°C.50°D.60°

【考点13垂径定理】

1.如图，已知O。的半径为5cm,弦A3的长为8cm,P是的延长线上一点,BP=2cm,则OP等于（)

A.2>/2cmB.3V2cmC.275cmD.3西cm

2.(2024•西藏拉萨•一模)如图，点A、C、B、。分别是。。上四点，。力18C,N/1OB=50。贝1叱力。。的

A.20°B.25°C.40°D.50°

3.如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过4(2,2),8(4,0),。三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图

4.(2025•重庆•二模)如图，△ABC内接于半径为等的O。，80，/1。于点。，延长80交O0于点E,M为

俯E的中点，连接OM交4C于点F,若力C=8,ZC=60°,AB>2BC,则DE=,OF=.

【考点14圆心角、弧、弦的关系】

1.（2025•浙江•模拟预测）如图，以等边△48C的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的

封闭图形就是“莱洛三角形"，而封闭图形力BCD（由演，胧，6,历1组成）是由两个“莱洛三角形〃交叠而成.若

AB=2,则封闭图形力8co的周长是.

2.（2025•河南洛阳•一模）如图，已知A,B,C,。是同一圆上的点，4C,BD相交于点凡和=6,则下

列结论不正确的是（）

A.4A=乙DB.ADHBCC.AD=BCD.AC=BD

3.（24-25九年级上•天津河西•期天）如图，AB,CD是G）。的两条弦，如果A8=CD,0E1A8于E,OF1CD

于F,则下面结论不•一•定•正•确•的是（）

A.CF=BEB.0E=OFC.Z.C=Z.CABD.CA=AB

4.（2025•湖南长沙•模拟预测）如图，已知半圆。的直径为MN,点A在半径0M上，B为弧MN的中点，点C在

弧BN上，以48,8C为邻边作矩形ABC。，边CD交MN于点E.若MN=12,AM=4,则8c的长为

1.（25-26九年级上•江苏宿迁•阶段练习）如图，△48C是。。的内接三角形.若4/WC=45。，AC=2,则

O。的半径是,

2.（25-26九年级上•黑龙江绥化•开学考试）如图点。为ZMBC论外心，点/为A/IBC的内心，/-BOC=160°,

则/8/C的度数为（）

C.130°D.140°

3.如图，。0是的外接圆，弦8。交4c于点E,AE=DE,BC=CE,过点。作OF1/IC于点R延

长F。交BE于点G,若DE=6,EG=4,则4B的长为（）

4.（24-25九年级上•江苏无锡,阶段练习）如图，线段48=6,C为线段A8上的一个动点，以AC、BC为边

作等边AACD和等边ABCE,。0外接于△CDE,则。0半径的最小值为（）

E

D

A.6C.2V3D.3

【考点16圆周角定理】

1.（24-25九年级下•广东•期中）如图，48是半圆O的直径，点C,D在半圆。上，若乙BDC=130°,则乙4"

的度数为（）

2.（25-26九年级上•广东深圳•期中）如图，△ABC内接于。。，AB=BC,Z-ABC=120°,4）为。0的直

A.3V3B.4C.2V3D.3

3.12025•重庆永川•模拟预测）如图，△力8c是圆。的内接三角形，A8是直径，4/18c=30。，AC=2,LBAC

与Z力C8的平分线A。，CE交于点P,力。与圆O交于点。，CE的延长线与圆O交于点F,连接BF,则BF的

长为:4P的长为.

4.如图，在△力8c中，AACB=90°,点。是Rt△力外接圆上的一点，且乙4cp=45。，连接BP,力P.点

M为弧AP上一点（不与A,P重合），过P作PDLBM于D点、.

（1）△人吕P的形状为；

（2）若力M=2,DM=遮,则BM=.

【考点17圆内接四边形】

1.如图，AB,AC是0。的两条弦，且为B=点0,P分别在弧8C,弧AC上，若乙BDC=140%则4APC的

度数为.

2.（2024•河北•模拟预测）如图，以一块含30。角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内△48C内接于。。,

^ABC=30°,BC是。。的直径，。是。0上的任意一点，且不与A,B,C重合，连接力。，BD,则心力DB的

度数是（）

A.60°B.120°

C.60。或120。D.随着点。的变化一直在变

3.如图，线段4c为。。的直径，BC=CD=DE.若484c=28。，8。与E。的延长线交于尸，则乙尸的度数

是（）

A

A.68”B.84uC.56uD.58v

4.（2025•河南商丘•二模）如图，△力BC内接于O。，BC为。。的直径，点。为。。上的点，且。。_L。氏

则竽的值为

AD

【考点18直线与圆的位置关系】

1.如图，在△48C中，4B=4C=5,8c=8,以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（）

A.点8在。力内B.直线8c与OA相离

C.点C在。4上D.直线BC与04相切

2.（24-25九年级下•甘肃武威・开学考试）如图，直线1与半径为r的。0相交，且点。到直线，的距离为7,

则r的值可以是（）

3.如图，在平面直角坐标系中，半径为2的OP的圆心。的坐标为（-3,0）,将OP沿x轴正方向平移，使OP

与v轴相交，则平移的距离d的取值范围是.

4.如图，在RtZiABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4,D、E分别是AC、BC上的一点，且OE=3,若以DE为

直径的圆与斜边48相交于M、N,则MN的最大值为.

【考点19切线的判定】

1.（24-25九年级上•甘肃张掖•期末）如图，点B在上，点C在04外，以下条件不能判定是。4切线

A.心力=50°,4C=40°B.乙B—乙C=乙4

C.AB2+BC2=AC2D.。A与AC的交点是AC中点

2.如图所示，△「。闻中，点加在0。上，点尸在0。外，0P交0。于点M以下条件不能判定PM是O。的

切线的是（）

B.4。+4P=Z.0MP

C.OM2+PM2=OP2D.点N是OP的中点

3.如图，A3是。。的弦，8c是过3点的直线，乙408=130。，当乙48。=时，8c是。0切线.

4.（24-25九年级上•河北廊坊•期末）己知P是。。上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与。。相

切于点P.以下是甲、乙二人的作法.下列判断正确的是（）

甲：如图1,①连接。尸，以点夕为圆心，。。长为半径画弧交。。丁点人，连接04并延长；②在。4上截取

图1

乙：如图2,①作射线。P；②在直线0P外任取一点4以点4为圆心，4P长为半径作与射线0P交

于另一点以③连接84并延长与04交于点C,直线PC即为所求.

图2

A.甲、乙都正确B.甲、乙都不正确

C.甲正确，乙不正确D.甲不正确，乙正确

【考点20切线的性质】

1.（2024・广东•模拟预测）如图所示，48是。。的直径，点C是。。上一点，过点C作。。的切线与84的延

长线交于点0.若乙BCD=117。,则乙0=（）

c

DB

A.18°B.36°C.54°D.72°

2.（2024・湖北•模拟预测）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1

所示的工件槽，其两个底角均为90。.将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的44,E三个

接触点，该球的大小就符合要求.图2是过球心及A,B,E三点的截面示意图，已知。。的直径就是铁球

的直径，48是。0的弦，切。0于点E,ACLCD,BD1CD,若CD=8cm,AC=BD=2cm，则这

种铁球的宜.径为（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

3.（2025•山东枣庄•二模）如图，己知点M在），轴正半轴上，OM与x轴相切于原点。，平行于），轴的直

线交0M于P、Q两点，点夕在点Q的下方，且点夕的坐标是（2,1）,则0M的半径为

4.如图，矩形48CD中,4D=6,4B=8,AB是回O的直径.将矩形绕点4顺时针旋转得到矩形ABCD',

且交团。于点E,力夕交（30于点凡D'O与团O相切于点M.下列说法正确的有.（只填写序号）

①AE=4；（2）AE=EM=/TO：③力尸=4百；@Z-DAD'=30°.

【考点21切线长定理】

1.（2025•青海西宁•中考真题）如图，四边形4BCD是。。的外切四边形,AB=9,CD=15.贝晒边形

的周长为.

2.如图，A/IBC中，LBAC=90°,M是8c的中点，aABM的内切圆与48,BM分别相切于点O,E,连

接。E.若DEII4M,则4C的大小为.

3.（24-25九年级」二•四川凉山•期末）如图，在△A8C中，/C=90。,8c=4,48=5,则△A8C的内切圆半

4.（2025•湖北武汉•三模）如图，在RtZkABC中，ABAC=90°,/1O为中线，若=10,AC=24,设△4B0

与△力C。的内切圆半径分别为q,上，则最的值为（）

BD

【考点22正多边形与圆】

1.（24-25九年级下•福建・期中）如图，将两个全等的正六边形一边里.合放置在一起，中心分别为。I，。2,

公共边为CD,其中一个正六边形的外接圆与01。2交于点A,若02A=2,则四边形0也。2。的面积是（）

「8百

c・VD.2V3

2.（2025•安徽合肥•模拟预测）如图,。。与正八边形"C0EFG”相切于点4,E,则肪的度数为（）

A.120°B.125°C.130°D.135°

3.（2025•江苏扬州•二模）如图，48是。0内接正十边形的一条边，直线1经过点8且与。0相切，则，1的

A.16°B.18°C.20°D,36°

4.（2025•山西长治•三模）如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（。。）的直

径为4cm,通光直径（正六边形最长的对角线长）为2cm,则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（）

【考点23弧长】

1.如图，。。是△力8c的外接圆，AB=3>/2,/.ACB=45°,则物的长是（）

B.-7TC.)D.|兀

4

2.（24-25九年级上•浙江衢州•期末）如图，将以点力为中心顺时针旋转得到△力DE,若点8的对应

点。恰为8c边的中点，AB=1,则糜的长为（）

A-CD.四

•3--6

3.（2025•河南郑州•二模）中国古代人信奉天圆地方，圆被赋予了吉祥、丰收的意义，圆形门又叫圆月门,

如十五满月一样给人柔和愉悦的感觉.小妹测量一个圆月门（如图），她测得门下矩形/BCD的边48高为0.3

米，4D的长为1米，小妹测得圆月门最宽的地方（圆的直径）为2米，由于年代久远，上面的砖容易脱落,

小妹想做一个等大的木质模具（不包含8。），固定支撑圆月门.圆月门的其他部分已测量，只有弧40的长

度未知，根据所测量的数据，计算出优弧AD的长为米.

图①图②

4.（2025•甘肃定西•三模）鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，乂名蛇纹石玉，因其结

构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具

的配套镶嵌和高级饰面之理想材料.如图，是一个半径为3cm的半圆形的鸳鸯玉石，力8是半圆。的直径，C,D

是弧上两点，Z/1DC=13O0,张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形

玉石的周长是

【考点24扇形的面积】

1.（25・26九年级上•全国•期中）如图,在菱形4BCD中=4/8=120。，点。是对角线”的中点,以

点。为圆心,04长为半径作圆心角为60。的扇形OEF,点Q在扇形OE尸内，则图中阴影部分的面积为

2.（2025・广东深圳•三模）如图，已知半径为1的。。上有三点4、B、C,0C与AB交于点D,LAD0=85°,

^CAB=20°,则阴影部分的扇形。力C面积是

3.（24-25七年级下江苏无锡期中）当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的

雨刷器.如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆0M与雨刷在M处固定连接（不能转动），若

测得力。=80cm,BO=20cm,当杆OM绕点。转动90。时，雨刷48扫过的面积是（）

A.1600ncm2B.1500ncm2C.900-rrcm2D.800ircm2

4.如图，在△48C中，AB=AC,BC分别交于点O,E,连接4E,若tBED=45。,AB=2,则阴影部分

【考点25圆锥的侧面积】

1.（2025・四川绵阳•二模）小月同学在手工课上用扇形卡纸制作的简易圆锥形漏斗如图所示，若漏斗的底

面圆的直径为6cm,高为4cm，则扇形卡纸的面积至少是（）

A.7.57rcm2B.97rcm2C.IS/rcm2D.SOzrcm2

2.（24-25九年级上•北京•期末）如图，在矩形为中，AB=4>/2,点E在边8C上，且8E=力氏连接力E,

以力为圆心，4E长为半径画弧，交4。边于点F,将扇形E4F剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（）

AR----------------T―|D

BC

A.1B.C.2D.

3.（24-25九年级上•四川德阳•期末）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120。，弧长为如的扇形，则此圆

锥的高为

4.（2024•宁夏银川•二模）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，48为底面圆的直径，SB=6,AB=4,

一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点,则蚂蚁爬行的最短路程为.

【考点26数据的集中趋势】

1.一组数据2、3、X、4的众数与平均数相等，则工=

2.（24-25八年级下•河南南阳•期末）某学校82班的数学兴趣小组有6名成员，身高（单位：cm）分别是

162、165、170、170、168、172,现增加一名身高为170cm的成员后，现在兴趣小组成员的身高与原来相

比，平均数,中位数，众数（从“变小〃、"变大"、"不变”中选择一项填空）.

3.（24-25八年级上•山西太原•期末）山西地处黄河中游，是中国面食文化的发祥地，被称为"世界面食之

根”.为弘扬山西面食文化，学校开展“面食制作大比拼〃活动.大面是甲、乙、丙、丁四个小组面食作品的

评分表（单位：分），若将色、形、味三项得分按1：2：2的比例确定各组的最终得分，则获得最高分的是

()

小组

甲乙丙T

项目

色7798

形8888

味8977

A.甲组B.乙组C.丙组D.丁组

4.小亮同学想知道自己的体重在班级中是否属于中等水平，则需了解全班同学体重的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.极差

【考点27数据的离散程度】

1.下列各组数据的波动程度最小的是（）

A.3,3,4,3,6,5B.1,2,3,3,4C.2,5,7,5D.3,4,5,3,1

2.（24-25八年级下•山西晋城•期末）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大.6月6日是“全

国爱眼日〃，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数

据绘制成如图所示的折线统计图，则S甲2s乙2.（填“>〃或"V"）

3.如果3,2,%,5的平均数是4,那么这组数据的方差为

4.（24-25八年级下•福建厦门・期木）2025年2月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代中小学

体育工作的若干措施》，明确要求中小学每天综合体育活动时间不低于2小时.某校从初二年级随机抽取

甲、乙、丙三名学生参加为期5天的专项训练，每日活动时长记录如下（单位：分钟）：

学生第一天第二天第三天第四天第五天

甲6458606059

乙6063606057

丙62605859P

对每一名学生计算5天活动时长的平均数和方差.规定平均数较大的学生排序靠前；若平均数相同，则方

差较小的学生排序靠前.若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这三名学生中排序最靠前的是:

表中〃（〃为整数）的值为

【考点28等可能条件下的概率】

1.从由1,2,3,4,5,6组成的三位渐升数（如123,145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整

除的概率为.

2.袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则（）

A.这个球一定是黑球B.摸到黑球、白球的可能性的大小一样

C.这个球可能是白球D.事先能确定摸到什么颜色的球

3.（2025•山东东营•三模）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E,尸分别是平行四

边形小的两边4。，上的点，E/qiAB,点M,N是E/上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分

的概率是（）

4.（2025・上海•二模）六张卡片上写着“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形".从六张

卡片中任选两张卡片（不重复），上面所写的四边形都既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（）

A-IB.2&看D.4

【计算篇】

【考点29一元二次方程的解法】

1.（25-26九年级上•山东青岛•阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程:

（1）3（%-I）2=12（直接开平方法）；

（2）x2+4x-3=0（配方法）；

（3）y2=y+：（配方法）.

2.(25-26九年级上•辽宁锦州•阶段练习)解方程:

(l)3x2+5x-l=0

(2)3(y-l)2=l-y

3.(25-26九年级上•四川成都•阶段练习)用适当的方法解下列关于x的方程:

(1)x(2%-5)=4%-10

⑵2--5x-1=0

(3)(x+8)(x-1)=-12

⑷(无2+2x)2-2(/+2x)-3=0

4.(25-26九年级上•广东江门•阶段练习)已知关于工的一元二次方程--(2m+l)x+m-1=0.

⑴求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；

⑵当m=2时，求此方程的解.

5.(25-26九年级上•山东枣庄•阶段练习)关于x的一元二次方程/+2、+3-攵=0有两个实数根.

⑴求人的取值范围；

(2)若方程的两个根为a,B，且/=a0+3k,求々的值.

【实际应用篇】

【考点3。一元二次方程的应用】

1.(25-26九年级上•陕西汉中•阶段练习)乒乓球作为陕西中考体育〃体质健康测试类”选考项目，因其对体

能要求相对较低且趣味性较高，成为同学们选考热点，乒乓球拍的销量也在持续增长.某体育用品店销售

一种乒乓球拍，进价为每副42元，按每副66元销售，平均每月能卖出200副，为了推广宣传，商家决定

降价促销，同时，在不亏本的情况下，尽量减少库存，经调研发现，售价每降低2元，平均每月可多卖出

20副.

⑴小明说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500副."请你判断小明的说法是否正确？并说

明理由；

⑵该体育用品店期望销售这种乒乓球拍，平均每月的销售利润为4830元，销售员甲说：“在原售价的基础

上降低1元，销售利润即可达到预期目标."销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适〃，如果你作

为老板，请用方程的思想说明应采纳谁的意见.

2.城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69银百高速公路(银川至百色)的一

段，线路全长129.3公里.，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分

别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米.因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所

需成本不一样.甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元：乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元.

⑴若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的会求甲最多施工多少米？

⑵实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每口完成量和成本都发生变化.甲每合格完成1米隧

道施工成本增