几何变换之翻折（轴对称）巩固练习（提优）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

中考撤号

几何变换之翻折（轴对称）巩固练习

1.已知，在10X10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△力比是格点三角形（三角形的顶点是网格线

的交点）.

（1）面出△力比、关于），轴对称的△小曲Q

（2）画出△4片《向下平移5个单位长度得到的△力2层Q；若点/，的坐标为（4,2）,请直接写出用的坐

【分析】（1）分别作出4,B,。的对应点4,B\,6；即可.

（2）分别作出点4,B\,G的对应点42,反，0即可.

【解答】解：（1）如图，瓦G即为所求.

（2）如图，△42伤G即为所求.为（-4,-3）.

【点评】本题考查作图-轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题.

2.如图，直线胆是△45C中8c边的垂直平分线，点尸是直线〃।上的一动点，若49=6,AC=4,BC=7,

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(1)求处+加的最小值，并说明理由;

(2)求△/1用周长的最小值.

【分析】(1)根据线段的性质即可得到结论；

(2)根据题意知点。关于直线〃?的对称点为点8故当点尸与点〃重合时，力网”值的最小，求出49长度

即可得到结论.

【解答】解：(1)为+加=/出=6；

原因：两点之间，线段最短；

(2)•，〃是8。的垂直平分线，点〃在加上，

工点。关于直线m的对称点是点8且PB=PC,

•「CZB(=ARPC*AC,

V/C=4,

要使△力;T周长最小，

即，仍7r最小，

当点尸是机与/步的交点时，加+阳最小，

即以+阳=AB,此时以做=AB^AC=6+4=10.

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出户的位置.

3.如图，在△力勿中，已知4?=优"的垂直平分线交相于点M交"于点J/,连接J吸

(1)若NA8c=70°,则/网力的度数是-50°.

(2)若4片8cm,△制先.的周长是14cm.

①求为。的长度；

②若点尸为直线期F上一点，请你直接写出△物周长的最小值.

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【分析】(1)依据△月回星等腰三角形，即可得到N1%的度数以及//的度数，再根据助V是垂直平分线,

即可得到N4W的度数，进而得出/加介的度数；

(2)①依据垂直平分线的性质，即可得至IJ4U8M进而得出△8CV的周长=力3为4再根据.奶="=8"〃,

△毗、的周长是14cm,即可得到比、的长；

②依据PMPC=PA”C,PA+PC^AC,即可得到当户与加重合时，用+必三力此时P阶PC最A、,进而得出△取'

的周长最小值.

【解答】解：(1)'：AB=AC,

：./C=NABC=7G,

・•・/力=40°,

•••一的垂直平分线交AB于点、A；

，/4WU9()°,

工乙W%=50°,

故答案为：50°；

(2)①二时是/历的垂直平分线，

・・.止则

:.LBCM的周长=B蚣C9BC=A跟MC+BC=AOBC,

*：XB=AC=8cm,△物笫的周长是14s〃，

：.BC=\A-8=6(cw)；

②当产与必重合时，△以:的周长最小.

理由：'：PB^PC=PA+PC,PA+PgC,

・•.当产与J/重合时，PA+PC=AC,此时月为T最小值等于4C的长，

•••△加C的周长最小值=438。=8+6=14(cm).

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硼=/烟=60°=/BPF,

"PFB=60°.

••・△物'是等边三角形，

:.PB=PF,AFP=\2^=4PBQ.

,:£BP54QPF=60°,/APR/QPF=60°,

・•・(BPQ=/APF,

在△/%©和中，

(ZBPQ=ZAPF

\PB=PF，

UPBQ=乙PFA

:.APBgAPFA(力SI),

：.PQ=PA,

丁/加铝=60°,

・••△/〃铝是等边三角形.

(2)解：补全图形，如图2所示：

图2

②解：结论：BQ=I/AB.

理由：如图3中，在劭上取一点E使得处、二",连接

♦:乙FBP=30°,BF=BP,

••.△的是等边三角形，

"BPF=/APQ=6Q°,

・•・£APB=zm,

'：PB=PF,PA=PQ,

:.\BPA二△FPQ(SAS),

:』B=QF,

JBgBRFgBRAB.

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【点评】考杳等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加营用辅助线，

构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

5.国庆期间，广场上对一片花圃做了美化造型（如图所示），整个造型构成花的形状.造型工面呈轴对称,

其正中间“花蕊”部分（区域①）摆放红花，两边“花瓣”部分（区域②）摆放黄花.

（1）两边“花瓣”部分（区域②）的面积是」小土法一.（用含。的代数式表示）

（2）已知。=2米，红花价格为220元/平方米，黄花价格为180元/平方米，求整个造型的造价（冗取

【分析】（1）区域②的面积=三个正方形的面积+应该半圆的面积.

（2）分别求出区域①，②的面积，再乘以单价即可.

【解答】解：（1）区域②的面积=2次+?『42=2"+]・42.

故答案为：2*+]•标.

（2）整个造型的造价：220（2X22,fX22）+180（2X22+n*22）=2960（元）.

【点评】本题考查轴对称，正方形的性质，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运月所学知识解

决问题.

6.如图，在。40中，力〃的垂直平分线经过点况与勿的延长线交于点反力〃与以'相交于点。，连接力〃,

BD.

（1）求证：四边形/I坑心为菱形：

（2）若/。=8,问在回上是否存在点R使得用勿最小？若存在，求线段9的长：若不存在，请说明

理由.

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【分析】（1）根据题意得出40=〃。，ADVBE.根据平行四边形的性质得出/历〃切.即可得出/力/=/

BED.从而证得△月娱△〃龙34S）,得到仇HAZ即可证得四边形月肱是平行四边形.由前上BE,证得

四边形力睡是菱形；

（2）作点〃关于比的对称点〃，DD,交函于点G,延长阳过2/作〃归_跖于点机连接力交比'于点

P,此时物隹'最小；根据题意得到80=%.BM=GD.即可得到⑼=〃0=9g4.进一步得到加=周上

ppop2o

=

BM.通过证得△以76△J侬'，得至归MKD=7EUM3Q»进而证得BP=3

【解答】（1）证明：•・•筋垂直平分力〃

.：,A0=D0,ADLBE.

•・•四边形力成力是平行四边形，

：,AB//CD.

・•・乙ABE=/BED.

*：AA0B=ADOE,

又A0=DO,

:.\A0痛XDOE<AAS）,

：.B0=E0.

乂A0=DO,

；.四边形业仅是平行四边形.

■:ADIBE,

・•・四边形儿物'是菱形：

（2）解：如图所示：作点〃关于比的对称点〃，DD'交a'于点G,延长阳，过〃作〃归_旗于点M连

接"交8c于点只此时物阳最小；

■:土册1)=40BC=4BGD=90°,

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，四边形必能是矩形.

：,BO=DG,

同理冽/=①

・・・M=D0=*AD=A.

又50=EO,

：.BO=EO=mL

•:tEBP=4M=90°,4BEP=4MED,

:.△BEMMMED',

.BP_BE_2

••丽一前一

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，三角形求得的判定和性质，菱形的判定

和性质，轴对称-最短路线问题，熟练掌握性质定理是解题的关键.

7.如图，在长方形力题中，［4=8,49=1(),点足为优、上一点，将△力掰沿力/折叠，使点5落在长方形

内点尸处，连接外，且〃尸=6.

(1)求证：AFVDF.

(2)求跖的长.

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【分析】（1）由折替的性质和勾股定理的逆定理证出△月加是直角三角形即可：

（2）,设BE=x,则犷'=x,DE=6+x,£C=10-x,在R/△戊方中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】（1）证明：•・•将△四£沿四折叠，使点6落在长方形同点/处，

:JF=AB=8,

■:心1）户=62+82=I00=1。2=力也

・••△/”尸是直角三角形，N4叨=90°

:.AF,DF、

（2）解：由折叠的性质得：BE=FE,/B=/AFE=90：

又4叨=90°,

••・/力密/力朋=180°,

:,点、D,F,少在一条直线上，

•・•四边形力比〃是矩形，

：,BC=AD=^,CD=AB=6,Z6^90°,

设BE=x,则牙-x,DE=6+x,仇=10-x,

在R/△戊方中，由勾股定理得：/+笫=阳,

即（107）2+82=（6+x）2.

解得：x=4.

:・RE=4.

【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理的逆定理.、勾股定埋等知识；熟练掌握翻折

变换的性质和勾股定理以及逆定理是解题的关键.

8.如图，△4％中，/力390°.〃是边/应上一点，点〃关于直线力。的对称点为£,连接并延长笈

至点凡ACF=EC.连接力区BF.

（1）依题意补全图形：

（2）猜想线段18AE,法的数量关系并证明.

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【分析】(1)根据要求画出图形艮］可.

(2)结论：AB=AE^BF.想办法证明力力区劭=“即可.

(2)结论：AB=AE+BF.

理由：•・•〃，£关于力C对称，

：.DELAC,CE=CD,AE=ADt

'：EC=a,

：.CD=CE=CF,

:・£EDF=90°,

：.ED\FD,

：.AC//DF,

•・Z%=90°,

:JCLBC,

：,DFLBC.

♦：CD=CF,

・♦・/垂直平分线段/乃，

:・BD=BF,

•:AB=A/BD,AD=AE,BD=BF,

：,AB=AE+BF,

【点评】本题考查作图-轴对称变换，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意,

灵活运用所学知识解决问题.

中考核等

9.如图，在△/比中.AB=AC,点£在线段8C上，连接然并延长到G,使得用=月£,过点G作。〃砌分

别交比,4C于点RD.

(1)求证：△/应口△屋；

(2)若⑺=3,CD=1,求力〃的长度；

(3)过点〃作〃〃_1_a'于〃，〃是直线〃〃上的一个动点，连接"；AP,FP,若NU45°,在(2)的条件

【分析】(1)根据/MS证明三角形全等即可.

(2)求出的长，利用全等三角形的性质解决问题即可.

(3)证明点少与点。关于直线切对称，推出当点〃与〃重合时，△刈/，’的周长最小，最小值=△［如'的周

长.

【解答】(1)证明：如图1中，'：GD//AB.

：./B=/EFG,

在△力比'和△旌中，

(ZB=ZEFG

\z-AEB=Z.GEF,

(AE=EG

:ZBI注4GFE(AAS).

(2)解：如图1中,

中考撤号

'：AB=AC,

：・/B=NACB,

'：DF//AB,

:.(DFC=NB,

:.£DFC=4DCF,

：、DC=DF=k

•：DG=3,

:.FG=DG-DF=2,

<\AB3XGFE,

：/B=GF=2.

(3)解：如图2中，9：AB=AC=2,

G

图2

••・N4NC=45°,

，/阴C=9()°,

:・/FDC=/BAC=9G,BPFDLAC

*：AC=AB=2,CD=1,

：・RA=DC

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:・FA=FC,

：,ZC=ZFAC=45°,

，N"C=90°,

：.I)F=DA=DC=\,

：,AF=V'2,

■:DH1CF,

：,FH=CH,

，点尸与点。关于直线如对称，

・•・当点尸与〃重合时，△川厂的周长最小，最小值=Z\4F的周长=2+\泛.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识,

解题的关键是正确寻找全等一:角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型.

10.如图，在直角坐标系中，A(5,0),4(3,4),C(0,4),点〃在QJ上，/制=N1,BHtOA于

H.

(1)判断△"国的形状，并说明理由.

(2)求点〃的坐标.

(3)若夕是刚上的动点，当的周长最小时，求力的面积.

【分析】(1)依据勾股定理即可得到如的长，依据点力的坐标即可得到处的长，进而得出△，《仍是等腰三

角形；

(2)依据四边形〃&Y/是矩形，即可得到C〃=ZT=3,进而得出力仁力。-/川=2,再根据放是等腰三角

形，即可得到〃〃的长，进而得到点〃的坐标：

(3)连接/C,交BH于P,连接.叨，依据勿=为，可得叱P汾g叱PA+CD=A0CD,此时，△尸C力的周

长最小，求得分=£,再根据S△疝=S税彩Mx-S^COD-显利进行计算即可.

【解答】解：(1)△力神是等腰三角形，理由如下:

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图1

4),0(0,4),

：.BC//OA,OC=4,

••・义△8火、中，OB=^'32+42=5,

•:A(5,0),

・•・加=5,

：.QA=OB,即△/!如的等腰三角形;

(2)如图1,•:BHLAO,BC//OA,

:ZBHO=9。。=ACOH=ABCO.

・••四边形式是矩形，

：・0II=BC=3,

：.A/f=AO-//O=2,

•:NABg/1,

:./ABO=4CBD,

由BC//AO可得/3=/CBD,

由(1)可得N2=N/18。，

AZ3=Z2,

：/B=DB,

：.//f=D//=2,

：.()!)=OH-力/=3-2=1,

(1,0)；

(3)如图2,连接“，交刚于尸，连接做

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由(2)可得，PD=PA,

:.PC+PACD=POPA+CD=A&CD,

此时，△解的周长最小，

设4C的解析式为j，=G+8«#0),

把,4(5,0),6*(0,4)代入可得，

[0=5k+b

l4=b'

fk_4

解得

{b=4

直线AC的解析式为y=-1x+4,

当工=3时，y=

QO

：.P(3,即加=(

S梯形PHOC~S^COD~S*HD

=(^4)X3_1X4X1_1X82

2225

「28

--2-i

24

=T-

【点评】本题主要考查了勾股定理、二角形的面积以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要

考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

11.如图，为矩形/厉⑦的对角线，将边力6沿力£折叠，使点笈落在〃'上的点处处，将边修沿0r折叠,

使点〃落在月C上的点N处.

(1)求证：四边形力即'是平行囚边形；

(2)若力9=6,力。=10,求四边形底/的面积及力£与〃之间的距离.

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【分析】(1)首先由矩形的性质和折叠的性质证得月ADMBC,N4V尸=90°,Z6Mf=90°,易得4V

=CM，由平行四边形的判定定理可得结论；

(2)由/必=6,AC^IO,可得a=8,设)=x,MElf=8-x,0^10-6=4,在出△四V中，利用勾股定

理可解得x,由平行四边形的面积公式可得结果.

【解答】(1)证明：•••四边形四⑦是矩形，

：,AD//BC,AB//CD,

：.^CAB=Z.ACD.

由折叠的性质可得/川QN泌G4ACF=4FC1),

又■：4(:3/ACD,

："EAC=/ACF,

：,AE//CF,

・•・四边形力旗尸是平行四边形：

(2)解：在R/449C中，AB=6,於=10,

则根据勾股定理得，BC=8.

•:AM=AB-6,

：.Clf=AC-AJf=AC-45=4.

设"=x,则应一£48・x,

在R/△昂£中，利用勾股定理可得球F+OP=密,

即(8-x)2+42=x2,解得x=5,

故四边形形Z77的面积=力加Q?=6X5=30.

在R/ZM跖中，由勾股定理得AE=3^/5,

设仍与疗'之间的距离为力，

贝I」力£・〃=30,

即1向1=30,

・・.h=26

中考核等

【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定

理是解答此题的关键.

12.问题提出：

(1)如图①，在△力比、中，49是力比边仇?的高，点£是仇?上任意点，若49=3,则力L的最小值为3；

(2)如图②，在等腰△/1比中，Ali=AC,/创仁120°,〃少是力。的垂直平分线，分别交比'、力。于点〃、

E,DE=\cm,求△力物的周长；

问题解决：

(3)如图③，某公园管理员拟在园内规划一个回区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间

规划道路力8、比和力£满足/阴C=90°,点月到回的距离为2h〃.为了节约成本，要使得力乐BC、AC

之和最短，试求力8+%力C的最小值(路宽忽略不计).

【分析】(1)根据49是比边国的高，点£是8c上任意点，力ZH3,即可求力£的最小值；

(2)根据力8=",//C=120°,可得N8=/C=30°,根据配'是月。的垂直平分线，可得止CO,Z.DAC

=NC=30°,ZBAD=90°,根据勾股定理即可求出△/!劭的周长；

(3)延长办到点〃，使得加=应，延长a1到点反使得以=的连接妆AE,〃少的最小值即为月侪叱47

的最小值，以M为斜边向下作等腰直角三角形。/以点〃为圆心，勿为半径作圆〃，180。与D0E=

135°,可得点月在弦妙所对