锐角的三角比（期中复习讲义）（知识+10大题型+分层检测）-沪教版（五四制）九年级数学上学期【含答案】

专题03锐角的三角比（期中复习讲义）

.明•期中考情.

核心

复习目标考情规律

考点

三角能结合直角三角形的边角关系，

基础必考点，在小题和解答题中均有涉及，包

比的准确写出任意一个锐角的三种三

括直接默写、代入计算以及结合其他数学知识

基本角比表达式.熟记特殊锐角的三

进行化简计算.

概念角比数值.

锐角掌握锐角三角比随角度变化的规

三角律，能根据这一性质比较两个锐重点考查根据同角三角比的关系求值以及解直

比的角三角比的大小.明确同角三角角三角形中简单的边长或角度计算.

性质比的基本关系.

热门考点，以实际生活中的测量、航海、建筑

解直熟练掌握解直角三角形的基本类

等问题为背景，考查学生的数学建模能力和知

角三型及解法.能将实际问题转化为

识应用能力.题H难度有逐渐提升的趋势，常

角形解直角三角形的数学问题.

与其他几何图形结合考查.

.记•必备知识.

知识点01锐角的三角比

一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.

定义表达式取值范围相互关系

tanJ>0,1

tanA=tantantanA=——

正切（NA为锐cot

ft）

试卷第1页，共22页

cotJ>0

cotA=cotcot

余切(N4为锐

第)

0<sin<1

sinA=sinsin

正弦（//为锐

sin/=cos-

角）

cosJ=sin《

0<cos4<1

cosJ=coscos

余弦（ZA为锐

角）

知识点02特殊锐角的三角比的值

a=30。a=60。a=45°

也

tanor1

T

cota■1

6~T

石V2

sina

~2V2

cosaV3旦

22

知识点03锐角的三角比性质

①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小;

②若N4+N8=90°,则tan力=cot4;sinA=cosB-

(3)tanJ•cot=1.

知识点04解直角三角形的基本类型

在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在中，如果/C=90。，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系：

(1)三边之间的关系：a2+b2=c2

(2)锐角之间的关系：4+4=90。

试卷第2页，共22页

(3)边角之间的关系：sinJ=cos5=—,cosA=sinB=-

cc

tanJ=cot5=—,cotJ=tan5=—

ha

知识点05解直角三角形的应用

1.仰角与俯角

在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角.如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的

角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.

2.方向角

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的角叫做方向角.

如图：北偏东30。，北偏西70。,南偏东50。，南偏西45-

在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度.

如图，坡面的铅垂高度A和水平宽度/的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作八即

坡度通常写成1：〃［的形式，如，=1:1.5.

坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a.

坡度i与坡角a之间的关系：i=3=tana.

试卷第3页，共22页

h

・破•重难题型.

3题型一角的正弦值及其应用

【典例1]（24-25九年级上•上海黄浦期中）

1.如图，在ZU4C中，8是边/出上的高，已知4cB=90。，8C=1.下列线段中，其长

为siM的是（）

A

A.BDB.ACC.BCD.AD

【典例2]（24-25九年级上•上海静安•期中）

2.如果口是边长为10的菱形的一个锐角，Sina=4（,那么这个菱形的面积是.

【典例3]（24-25九年级上•上海杨浦•期中）

2

3.已知点P位于第一象限内，OP=6,且。尸与x轴正半轴夹角的正弦值为：，那么点P

的坐标是

【典例4】（24-25九年级上•上海•期中）

4.以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，46、C、。均在格点上.

试卷第4页，共22页

8

MH

图1图2

（1）如图1,仅利用网格和无刻度的直尺作图，在MN上找一点P,使MP=3.小明作出线段

GH（点、G、〃均在格点上），得到G〃、MN的交点就是点P,请证明小明的画法是正确

的：

（2）利用小明的方法，仅利用网格和无刻度的直尺作图，请在图2的线段48上画点E,使

BE=2AE,保留作图痕迹，并求/4OE的正弦值.

【变式1］（24-25九年级上上海浦东新・期中）

5.已知直角三角形两直角边长分别为9和40,那么较小锐角的正弦值是.

【变式2】（24-25九年级上•上海青浦•期中）

4

6.在中，ZC=90°,J5=10,sinJ=-,那么8C=.

【变式3】（24-25九年级上•上海虹口•期中）

7.己知：如图，。中，Z5JC-900,点后是边4。上的一点，口=

月8=3,AC=4.

⑴求BE的长：

（2）作EO18C于。，求NE8C的正弦值.

但题型二角的余弦值及其应用

【典例I】（24-25九年级上•上海•期中）

8.如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,CD是斜边上的高，下列线段的比值不等于cos/

的值的是（）

试卷第5页，共22页

ADAC厂BD「CD

C.---D.---

ABBCBC

【典例2】（24-25九年级上•上海杨浦•期中）

9.已知在中，ZC=90°,AB=n,那么下列关系式正确的是（）

A.AC-,7sinAB.AC=ncosA

C.AC=/?tanAD.AC=ncotA

【典例3】（24-25九年级上•上海宝山•期中）

10.如图，在菱形44co中，对角线/C、4。交于点。，点E是力。的中点，联结OE.如

果/出=3,AC=4,那么cos//。£=.

【变式1］（23-24九年级上•上海闵行期中）

11.在Rt△48。中，ZC=90°,cos8=3，如果48=14,那么.

【变式2］（24-25九年级上•上海•期中）

12.如图，△48。中，ZC=90°,将△力8C沿图中的虚线翻折，使点C落在边8c上的点。

jn5

处，如果一=-,那么COS/"C=.

DB8

色题型三角的正切（余切）值及其应用

【典例1】（24-25九年级上•上海普陀•期中）

13.已知在平面直角坐标系xQy内有一点42,5）,那么。力与x轴正半轴的夹角。的正切值

试卷第6页，共22页

是（）

【典例2】（24-25九年级上•上海松江•期中）

14.已知，在中，ZC=90°,tan=—,BC=4,则4C=_____.

2

【典例3】（24-25九年级上•上海松江•期中）

15.已知：如图，在平行四边形N8CO中，力8=6,8C=8,/8=60。，点£在。力的延长线

上，连接E。，交力B于点、F.

EdD

七

iiC

（1）当4E=3时，求）尸的长:

（2）当弟=:时，求/£的正切值・

CF2

【典例4］（24-25九年级上•上海•期中）

已知在平面直角坐标系xQy中，反比例函数），=一的图像与正比例函数

y=%k00）的图象相交于横坐标为2的点力,平移直线0力，使它经过点8（3,0）,与），轴

交于点C.

K

（1）求平移后直线的表达式；

（2）求NO5C的余切值.

【变式1］（24-25九年级上•上海虹口•期中）

17.如图，在RtA/lAC中，ZC=90°,BC=,4,4c=2,则tan/1等于（）

A

c^-——^^2?

试卷第7页，共22页

A.YB.2C.正D.V5

25

【变式2]（23-24九年级上•上海黄浦・期中）

18.如图已知在△力8c中，ZC=90°,AB=5,cot8=:，正方形OEFG的顶点G、尸分别

在边/C、BCE点、D、E在斜边力8上，那么正方形QE/G的边长为.

「题型四特殊角三角比的混合运算

【典例1】（24-25九年级上•上海嘉定•期中）

ic、,有nc。3cot60'+tan45-^

19.计算：cos60+--------------cos-24a3

2sin30°

【典例2】（24-25九年级上•上海黄浦•期中）

20.计算：V6cot60°-|l-2cos45°|+4sin230°.

【典例3]（24-25九年级上•上海•期中）

21.计算：2sin60+--------------J(sin45-1)

tan450-tan60巾f

【变式1】（24-25九年级上•上海静安•期中）

lc；245°

22.3tan2600-V3cos30°+n\

cot230°

【变式2】（24-25九年级上•上海•期中）

win30°

23.计算：|tan30°-l|+———......sin2600-cos2600

1cot450-sin60°

r题型五解直角三角形的相关计算

【典例1]（24-25九年级上•上海•期中）

24.在锐角△力4c中，tan/=4,那么sin/=

【典例2]（24-25九年级上上海崇明期中）

25.如图，在RtZ\48。中，ZC=90°,AC=2,tanB=-.

2

试卷第8页，共22页

A

（1）求BC的长；

⑵求cos4的值.

【变式1]（24-25九年级上•上海宝山•期中）

26.已知RtZ\/18C中，ZC=90°,AC=3,8C=4,那么下列各式中，正确的是（）

C.cot8=3

D.sinB=—

4

【变式2】（24-25九年级上•上海•期中）

27.如果在等腰也力鸟。中，AB=AC=3,BC=2,那么底角的正弦值为.

「题型六解直角三角形中的翻折与旋转问题

【典例1]（24-25九年级上•上海宝山・期中）

3

28.如图，在△/18C中，.43=4C=4,8s8=一，D、E分别在/a8c上，点“沿OE翻

折后正好落在射线84的点/处，射线E/交射线。于点G,当4/=1时，则

AG:GC=____.

【典例2]（24-25九年级上•上海宝山・期中）

29.如图，已知在矩形/BC。中，连接力C,cotZJ5Z）=|,将矩形/4C。绕点C旋转,

使点8恰好落在对角线4c上的点9处，点儿。分别落在点力',。'处，边力⑻,4c分别与

边AD交于点、M、N,MN—AM=5,那么线段"N的长为.

【变式1]（22-23九年级上•上海嘉定•期中）

试卷第9页，共22页

30.如图所示，△/8c中，AC=5y/5,tanC=1,BC=22,且Q为BC上一点,将“C。

沿4。翻折，C落在C',边力C'与边8c交于F,若DC〃AB,则。尸=.

【变式2】（24-25九年级上•上海普陀•期中）

。2

31.如图，在中，Z^C5=90,J5=5,tan5=-.将△44C绕着点力顺时针旋转后,

点8恰好落在直线4C上的点。处，点C落在点E处，射线OE与直线48相交于点尸，那

1题型七仰角俯角问题

【典例1]（24-25九年级上•上海闵行・期中）

32.进博会期间，从一架离地200米的无人机力上，测得地面监测点8的俯角是60。，那么

此时无人机A与地面监测点B的距离是米.

【典例2】（24-25九年级上•上海普陀・期中）

33.如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间8点

垂直起飞到高度为60米的力处，测得1号楼顶部上的俯角为60°,测得2号楼顶部少的俯角

为45°.已知1号楼的高度为27米，则2号楼的高度为米（结果保留根号）.

【典例3]（24-25九年级上•上海静安•期中）

34.如图，小明身高（即48）为1.6米，通过地面上的一块平面镜（即点C）,刚好能看到

试卷第1（）页，共22页

前方大树（即。£）的树梢，此时他测得俯角为45。，然后他直接抬头观察树梢，测得仰角

为30。，求树的高度.（结果保留整数米，V2«1.4,V3«1.7）

【变式1】（24-25九年级上•上海宝山•期中）

35.如图所示，胡和CQ表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼间的间距不得小于楼的高

度，即图中力。大于等于CO.小明想测量一下他家所住48楼与前面。。楼是否符合规定,

于是他在力。间的点M处架了测角仪，测得C。楼顶。的仰角为45。，已知4M=4米，测角

仪距地面MN=1.5米.

（1）问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由；

（2）为了知道前面8楼的高度，小明乂到家里（点P处），用测角仪再次测得CO楼顶。的

仰角为。，如果4P=7.5米，sina=0.6,请你来计算一下。。楼的高度.

【变式2］（24-25九年级上•上海•期中）

36.根据背景素材，探索解决问题：

测算发射塔的高度

、、、

博雅小组在一幢楼房窗前测算远处小、、、、、

、、、

山坡上发射塔的高度（如图1）,、、、，激

背景

他们通过自制的测倾仪（如图2）在

素材■侪函）"1

一钳锤

力、B、。三个位置观测，测倾仪上的

P支架大拇指尖和中指尖

示数如图3所示.指尖的最大距离

图2

试卷第11页，共22页

于的3r3任2任1任

7【

北.典务务务

偏如例题

图

千东1型经测测测

6，]

米0在八讨得得得

。2（

（.方一4方论D44

结-

向条2，、、、

果5位

、东九只EC8

保角之之

在西年需之

留间间

码方级问换推获选间

根的

头向上题算理取择的的

号图

8笔•高计数其图图图

）的上上上上

直度算据中1

北的海两距距距

浦离

试偏沿个离离

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2/中位..；

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C通

2、算房算：接：接过

2=8发的发_写_写

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千两射实射_出_出L-.

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米塔际塔_已_所处-

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么码际。上_且_置_两

码头高__个就N

£高_需_且和能

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度要;需点计

4观.._察3

1M的要_算处

、光2N线的_位。

8岛米._发处仰

段观_置

之屿，_射仰2角

请的测.：塔拧

间。图角角

的通的N

在上的2

距过高N

码距正N

禽头测度4

切

等力量.

北

【变式】（23-24九年级上上海闵行期中）

38.如图，海中有一小岛P,在以尸为圆心，半径为16、2海里的圆形海域内有暗礁.一轮

船自西向东航行，它在力处测得小岛Q位于北偏东60。方向上，且力，P之间的距离为32

海里.

r-梅

（1）若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？

（2）如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自力处开始改变航行方向，沿南偏东。变方

向航行确保安全通过这一海域，求。的取值范围.

「「题型九坡度坡比问题

【典例】（24-25九年级上•上海普陀•期中）

39.如果斜坡的坡比为1:6，那么斜坡的坡角等于（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

【变式1】（23-24九年级上•上海长宁•期中）

40.如图，土坡48CZ）是一个梯形，DC//AB,斜坡力。长130米，坡度是1:2.4,沿4。

走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台CQE尸顶部£尸，在点£观察坡底点力，俯角是45。,

则观景台的垂直高度为米.

试卷第13页，共22页

【变式2】（23-24九年级上•上海松江•期中）

41.如图，已知梯形相C。是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽">=6米，坝高米,

迎水坡8的坡度不=1：1,背水坡48的坡度/；二|，求坝底宽8C.

「题型十解直角三角形其它应用

【典例1】（24-25九年级上•上海•期中）

42.如图，为了测量河宽月8（假设河的两岸平行），测得4c8=30。，408=60。，CZ）=30

米，则河宽为米（结果保留根号）.

【典例2]（24-25九年级上上海・期中）

43.材料阅读:

光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折\法线；

>7:空气

射，我们把入射角。的正弦值和折射角0的正弦值之比称为折射率

/、rcsincz4

（力即"sin/T已知光线从空气进入水中时的折射率为§.1认水

问题解答：

如图，矩形48。。为盛满水的水槽、一束光线从点P射句水面上的点O,折射后照到水槽

底部的点。.测得“00=37。，NQ=12cm,若P,O,。三点在同一条直线上，请依据相

关材料回答以下问题：

试卷第14页，共22页

M

O

D

B

NQC

（1）求一尸。河的正弦值；

343

⑵求的长（结果精确到。」cm,参考数据：疝37。方网37。，丁337。7.

【变式1】（24-25九年级上•上海•期中）

44.根据以下素材,探索完成任务:sin28°«0.47,cos28°«0.88,tan28°«0.53,结果精确到

0.1cm)

素材1：如图1是上海地铁里常见的一组通道闸机，当乘客扫码或刷卡后，闸机两侧的圆弧

翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过.图2是两圆弧翼展开时的截面图，扇形

48c和扇形QE厂是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对,称，8c和石尸均垂直于地面,

/ABC=/DEF=28°,半径比1=瓦）=60cm,点力与点。在同一水平线上，且它们之间的

距离为10cm.

素材2：小磊同学要携带如图3的长方体行李箱进站.（单位：cm）

问题解决

任务1确定宽度求闸机通道的宽度，即AC与痔之间的距离.

若点B、E到地面的距离均为20cm,求点A到地

任务2确定高度

面的距离.

试卷第15页，共22页

小磊同学的行李箱是否可以通过闸机？请说明理

任务3能否通过

由.

【变式2】（24-25九年级上•上海青浦•期中）

45.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两

支脚0。=0。=10分米，展开角NCOQ=60。，晾衣臂。力=08=10分米，晾衣臂支架

HG=FE=6分米,且，。="。=4分米.（参考数据：石=1.73）

（I）当/力00=90。时，求点/离地的距离4W约为多少分米：（结果精确到0.1）

（2）当08从水平状态旋转到08'（在CO延长线上）时，点E绕点/随之旋转至OZT上的点

处，则8'£=.

.过•分层验收.

期中基础通关练（测试时间：10分钟）

（24-25九年级上•上海•期中）

46.在直角△/AC中，NC=90。，那么下列关系中，正确的是（）

A.c=a-sinAB.c=----C.c=a-tanAD.c=----

SinAcos/

（24-25九年级上•上海•期中）

47.若sina=；（0o<a<90。），则。是多少度（）

A.30°B.45°C.60°D.任意度数

（24-25九年级上,上海•期中）

试卷第16页，共22页

si©"

48.在△/出。中，NB、NC都是锐角，且-sinB=0,则/力的度数为

22

()

A.120°B.100C.90°D.60°

（24-25九年级上•上海普陀•期中）

49.如果cosa=g,那么锐角。=___度.

（24-25九年级上•上海静安•期中）

50.如果。是锐角，sina=i,那么cos（90。一a）=.

（24-25九年级上•上海闵行•期中）

51.在RtZ\/i8C中，ZC=90°,如果tan8=2,BC=2,那么4C=.

（24-25九年级上上海宝山•期中）

52.在Rt△/BC中，ZC=90°,NB=a,AB=2,那么4C=.（结果用。的锐角三

角函数表示）

（24-25九年级上•上海普陀•期中）

53.计算：COS45°rCOS450+2tan60°cos30°.

sin'30°

期中重难突破练（测试时间；10分钟）

（24-25九年级上•上海•期中）

54.如图，在RtzUAC中，乙4cB=90\4C=BC,将折叠，使点力落在8C边上的

点。处，即为折痕.若.4E=3CE,sinNBFD=.

（24-25九年级上•上海黄浦•期中）

55.如图，已知在四边形48CQ中，4C与8。相交于点O,AB1AC,CD1BD.若

s\nZ.ABO-q，SJOD=2,则S&BOC=-

试卷第17页，共22页

A

D

"°、

(24-25九年级上•上海•期中)

2

56.如图，已知在△力8c中，CDVAB,垂足为点。，力。=2,4。=6,tanN4=§,点E是

边8c的中点.

(1)求边4c的长；

⑵求co"E48的值.

(22-23九年级上•上海长宁•期中)

57.如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为

i=l：G的斜坡8前进26米到达点。，在点。处放置测角仪，测得旗杆顶部力的仰角为

37。，量得测角仪QE的高为1.5米./、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与

水平地面8c垂直.

(I)求点。的铅垂高度；

(2)求旗杆的高度.

(结果保留根号，参考数据：sin37°«0.60,cos37°»0.80,tan37°»0.75.)

(24-25九年级上•上海•期中)

58.小华家准备购买一•套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益,

缩短楼间距，以增加住宅搂栋数.某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普

通住宅层高宜为2.8()米.如果楼间距过小，将影响其他住户的采光(如图所示，窗户高1.()

试卷第18页，共22页

米).

窗

窗

第

第

第C8-4

〃

〃

〃

层

层

层

楼

楼

户

户

户

高

-篙

高

*分送阳高度角111

米

米

米

.永*霰.....

太阳高度角不影响采光稍微影响完全影响

(1)某市的太阳高度角(即上午太阳光线与水平面的夹角)：夏至日为8L4度，冬至日为34.88

度.为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？(保留到0.1米)

(2)小华一家决定在该小区8、。两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信

息：

1.B,C两栋楼中各套房子的面积均为100m，

2.4B、。三栋楼平行排列，4楼在8楼正南方且间距68米，8楼C楼的正南方且间

距76米.

3.8楼一层每平方米4万8,随着楼层增高单价也随之增高，每增