三角形的重心与应用-2026高考数学复习

高考照学复灯专题

三角形的重心与应用

一.基本原理

1.重心：三角形三条中线的交点.

2.重心是三角形中线上靠近底边的三等分点.

3.重心的向量形式

（1）重心为

证明：G是A/48C所在平面内一点，必+筋+及』=点G是△胸的重心.

证明：作图如右，图中面+京=漉，连结用和第则份金BE=GCoBGCE为平行四边

形=>〃是比的中点,47为无边上的中线.将而+近=至代入苏+而+&X）,得由小B

=0^>GA=-GE=-2Gi）f故G是△3'的重心.（反之亦然（证略））

（2）〃是△3?所在平面内任一点.G是△胸的重心u>PG=-（PA+P8+PC）.

证明：记=厉+於=丽+诟=丽+力=>3方=（而+而+及）+（方+而+冏

・・・6是△胸的重心・,・9+筋+^W）=>A（；+B（；+CG=Of

即3拓二用+而+1，由此可得而=；（兀5+而+而）.（反之亦然（证略））

4.重心的坐标形式（凌晨讲数学）

假设三角形三个顶点坐标分别为：（菁,必）,（、2，%），（七。3），那么该三角形的重心坐标为:

（X,+X24-X3乂+%+必）

A3,3J

证明：设重心G（见〃），由G/+G月+Gd=\可得

（占一加,乂一〃）+（々一皿必一〃）+（七一加,必一〃）=（°，°），故

菁+Z+玉一3用=0,必+必+必一3〃=0,所以重心G*+与+*3，乂+%+必

5.重心的一个重要特征

如图，已知点G是A48C的重心，过G作直线与48,力。两

BC

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边分别交于必，N两点，且力〃=AN=yAC»则1I[二：%

证明：点G是A48C的重心，知G/+G8+GC=O，

得一力。+（/8—/G）+（/C—AG）=O,有/匕=；（43+46）.又.“，N,G三点共线（力

不在直线"N上），于是存在4〃，使得力。=;MA/+〃力N（且;1+〃=1），

———1______『+〃=]J1

有4G=Ax4B+〃y4c=±（4B+AC）,得4i，于是得上十上二学

3Ux=^y=-xj

6.重心的距离最值：

在V/8C中，设点力（％，H）,8Q8，%）,C（XCJC）,到¥/l?C的3个顶点距离的平方和最小的

点为Y幺直号勺重心.

证明：设点P（xj）,其中XJGR,

则附2+|阳2+附|2=小乜）2+。-”y+（xf）2+0_城2+—3）2+3_”）2

=3f-28+3%）1+6+¥+片）+3歹-28+为+钻+9+其+其）

当x=a苫-士士且」二以一节之女.时,|/切2+|"2+/『取得最小值，此时点/”））为

V/8C重心.

二.典例分析

例1.已知V初。的顶点都在抛物线"二©上，且V"。的重心为抛物线的焦点F,则

网+网+画二（）

A.3B.6C.9D.12

解析：由题意得乃二2〃（1,0）,设力（士,乂），^（x2,y2）,C（x3fy3）,

•.•尸点是VZ8C的重心，.•."（*+；+，,必，,+必）.•.玉+々+&=3,

根据抛物线的定义可得卜1+网+闭"+上+占+以天+七=玉+、2+玉+2=6.

2222

故选：B.

2

例2.如图所示，已知点G是A45C的重心，过点6作直线分别交力/hAC两边于M,N

两点，且力M=x/Z，/押=）/。，则2x+y的最小值为（凌晨讲数学）

解析；根据条件：AC=-ANyAB=-AMf因为G是加8c的重心，AG=-AB^-ACf

yX33

:"（；=］疝+上前，又M,G,N三点共线，1上1占7.・・・%>0）>0,

3x3y爆期

.•.2x+y=（2x+yx*+；）=l+萨+（之l+=当且仅当考=（，即

3x3y3y3x\3y3x33y3x

"，底时取等号成立.，2x+y的最小值为史建，故答案为：巴会旦

33

例3.在“8C中，记G为“8C的重心，过G的直线分别交边。4c8于〃,N两点，设

CM=4C）,CW=〃C月，则下列说法正确的是（）

C.44+〃N3D.A2+p2>-

9

—1—-1―►

设。为48的中点，则。。=一。/+—。8,

22

-♦，■….1-»1.1'-♦19

又因为CG=—CD»所以CG——CAH■—CB——-CM+—CN,

3333a3〃

111）

因为三点共线，所以二十丁=1,所以白士士三张A错，

3X3〃A料

所以!+'=322,，-,所以；1〃2士,当且仅当a=〃=2时取等号；B对,

4M丫m93

所以44+〃=!—+—（42+//）=-5+—+—1>-5+2/—X—=3,

当且仅当2=工科=1时取等号：C对，

,2

Qo

Z2+//2>22A>|»当且仅当九二〃二（时取等号；D对，

3

故选：RCD

例4.如图，函数/（x）=2sin®x+°）®>O,O<0<7T）的图象与坐标轴交于点直线

8C交/（x）的图象于点0,伏坐标原点）为△"/）的重心（三条边中线的交点），其中

解析：根据题意可知，点。是/（x）的一个对称中心，又直线8。交/（x）的图象于点/）利

用对称性可知从。两点关于C点对称：不妨设B（4JH），C（4，M：），0（XQ,%），由重心坐标

公式可得士&士生=o.乂/+芍=2%,即可得遍尸歪；由最小正周期公式可得

32

g=解得s二|,即/（x）=2sin停x+。）将刈―吗。）代入/（x同得

2sin（一:冗+0）=0,又0<0<兀，所以。二至；即/（x）=2sin-X+-7T,所以

3133）

口叫-%-/（。）一2411（0+2兀）_石.故选：C（凌晨讲数学）

例5.已知抛物线C：/=4x，过焦点的直线/交抛物线于A，B两点,O为坐标原点，P

为平面上一点，〃为△力8P的重心，则△力8P的面积的取值范围为（）

A.同B.[3,+oo）C.[6,小）D.[阿，|蜜]

解析：由C：V=4x,则焦点坐标为（1,0）,设=A（xi,yD、B（x2,y2）»

y2=4x

联立»得/-4冲-4=0，A=I6/W2+16>0>则必+必=4加，为弘二=4,

x=my+i

由〃为△/肘）的重心，则有S“HP=3S“Q点日到直线48的距离为4=月匚=1^=，

yJm2+1x/m*+1

贝=3*，（必+%）2-4乂%=加2+16

=27^+1>2-故皿*6.故选：C.

4

例6.已知抛物线C：V=2px(p＞0)的焦点为F,过点的直线垂直x轴于Q,△P。"

为等腰直角三角形.

⑴求抛物线C的方程；

(2)若直线I交抛物线C于A,B两点，且F恰为的重心，求直线I的方程.

解析：(1)因为过点〃(-1,2)的直线垂直x轴于Q,△P0”为等腰直角三角形，

所以史即/二赞，所以抛物线C的方程为产;4代

(2)由题可设直线/:x=W+掰，由｛:］立:而，可得V-4W-4加=0,则

A=(-4/)2+4x4加＞0,即/+m＞0,设«凡必),8&,必),必+为二/乂%二-46,

又“(1,0),P(-1,2),F恰为的重心，•,•士+%2-1=3,乂+必+2=0,即

玉+*2=4,乂+必=一2,所以玉+、2=4乂+必)+2加=4,必+%=4/=-2,解得

1313

满足/十加＞0,所以直线I的方程为x=+即2x+y—3=0.

例7.在△Z8C中，角4B,C的对边分别为ab,c，已知

cos2/?-cos2^=2sin2C-2sin/?sinC

⑴求A；

(2)若6=2,c=3,P,0分别为边ab上的中点，G为V/BC的重心，求/PG。的余弦

值.

解析：(1)因为cos2B-cos2/=2sin2c-2sin8sinC,所以

(1-2加28)-(1-2sin24)=2sin2C'-2sin8sinC,即sir/=sii^+sirc-sinBsinC由正弦定理

得a2=c2+b，-be，由余弦定理得coM=g,因为/w(0,兀)，＜=：

(2)设AB=c,AC=b^$工=6•同cos/=2x3x；=3依题意可得

2

/户=1伍+=-所以

AP\=-\lb2+2b-c+c2=-b+2x3+3?=—

222

5

\BQ\==^|x4-3+9=y/l

AP-~BbQA=—1\(bL-k--c*\\(-b-c\=-1b口—1b£--c—1c-2--4---3---9=---1-7所以

2、2j4424424

APBQ17V133

cos/PG。=

研B。266

例8.已知过点也阳，的直线与抛物线必V=2px(p>0)交于两点，。为坐标原点，当

直线44垂直于x轴时，V4OB的面积为诋・

⑴求抛物线"的方程；

⑵过曲线“上一点/(；,%)(%>0)作两条互相垂直的直线，分别交曲线“于S,7'(异于点

P)两点，求证：直线S7'恒过定点；

⑶若却为V48c的重心，直线力。,8。分别交)轴于点",N,记△MC'MzUOB的面积分别

为岳,$2,求兴的取值范围.

解析：(1)当x=l时，'=2p,¥=然却,所以|力4二2m7，

由题意可知，S“Q8=1X1X2"5=JL

2

所以尹=’1,所以抛物线〃'的方程为/=2x

⑵根据题意P(g,l),设直线S7'方程为联立y=2x,得到旷-2呷7二0,所

以后+yT=2冽JsK=-2/，由于两条直线垂直,则即&•=-1.

4-1乃-1-4-1»-1=2_____2=4二1

1

即x_xT-\及11y5+la+1%为+4+4+1

■22222

化简整理得到初L豺十5=0.所以/二m+3代入X=叼'+，得x-工=加(y+1),故直线豺

22

(3)如图,

设/($/),因为日为V/8C的重心，所以

6

x,+x+x=；因为既”=愕=目；，?"=像=^^

230,SsAOB=SAA0C=ShROC

3"oc|"C|菁一看“ocx2-x3

且3AM0C+S&NOC~S[,S6A0c=S&BOC=S?.；

所以且=F+F=4+*2+X+x?=3（x，X2）2=3（X,+X2）2；

2

S2X]—玉x2-x32X,+X2芭+2工2（2X1+X2）（X,+2X2）2（^+x2）+x,x2*

设/8:x=（y+l,与/=2x联立得：/-2/y-2=0»所以乂必二―2,所以

/\2*=3_____£43

&/=®口_=1，则再+Z22J四=2；所以S?.2+―L_3'24所以号的取值

4（Xl+X2）2

431

范围为

1_32）

三.习题演练

1.直线/:x-my-2=0（mcR）与x轴的交点F为抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点，若点。

为坐标原点,I与C交于A、B两点.则（）

A.郑=豫.

B.OAOB=-n

c.以线段48为直径的圆被y轴截得的弦长为定值

4

D.△。48重心横坐标的最小值为京

2V2

2,斜率为1的直线与双曲线机5x-《=1（。＞0力＞0）交于两点48点。是川上的一点,

ah

满足/C18CA0/CA08C的重心分别为P,0,△48C的外心为R.记直线。匕。0,（加的

斜率为人,为£•若堆2自=-27,则双曲线“的离心率为

3.已知o是V4?C的重心，/胡。二120°,48。的面积是』嘘，则+的最小值是

4.已知在YABC中，角4B,。的对边分别为a,b,c,2sin/l=acosC,c=2.若G为YABC的重心,

则G#+GB2-GC2的最小值为.

7

参考答案

1.解析：A：易知直线八x■吵-2=0与x轴交于点（2,0）,即“（2,0）,所以更二2解得

p=理，故A错误;

B：由选项A知抛物线0:y=8小设力（士,必），8优,月），

J=°，得V—8叼-16=0,所以•乂+必=8m

由

,叩2=T6

得中2=（"必）=4,所以。/•。月二玉毛+乂）2=一12，故B正确：

64

C：设48的中点为M（x。Jo），则与二土±三=4/+2,»8|二玉+乙+4=8/+8,所以以

2

忸用为直径的圆的方程为（x-x0）2+（y-盟）2=粤二

即1-4苏-2丫+（尸4加了=16加4+32加2+16，设该圆与y轴交〃（七,以），0（七，”），令

¥鼻0‘得/_8吵一12=0,所以外+乂=8m，%乂二-12,

所以回一M|二J仇+"Fl必乂=464m2+48=4/4m?+3，

所以以［网为直径的圆被y轴所截的弦长为4V初不，不是定值，故C错误.

D：由选项B知△。/8的重心的横坐标为处$上差;-（乂+必）+4-处於之士

3333

当且仅当胆=0时，等号成立，故D正确；故选：BD

8

，解析：不妨取乂仁痴:的中点〃,N.因为人。化的重心为〃,且〃在中线0A/上,

L2

=

所以4=k0p=kOM,k2=^=卜(尔.由中点弦结论知，2。/祀二^ON^BC/，

2

kikAC=k2kBC=kykACk2kBC=(^-)>因为4cIBC，所以3c&c=T，

aa

(h2丫

:彳,又由4C18C,可得V4?C的外心R为48的中点，于是由中点弦结论知

、a

*/>212

弧•七=±，又踌=1，所以G=彳，即收=多由堆2&二一27得，£丫-27,

aa7

L2

解得勺=3,所以双曲线*的离心率

a

3.解析：如图，取8C的中点。，连接4).设V/8C的内角4从。的对边分别为。山c.

因为。是V4?C的重心，所以日在线段力。上，且/0=2。/).因为/胡。=120°,“BC的面

积是186,所以;从sin/8/C=18G，解得儿二72.因为。是BC的中点，所以

口=近十衣，所以4而2=/毛+2/月・就+就2=从+。2—此之加.，即4/^272,

当且仅当》『方时，等号成立，则%力上315.因为。是8c的中点，所以

()B+0C=2()D=-AD,所以0B+0C=-AD22j2.

4.解析：由2sinJ=QCOSC及台=2可得csinA=acosC,由正弦定理可一得sinCsinJ=siivf