苏科版八年级数学上册 勾股定理的简单应用之蚂蚁爬行最短路径问题 同步练习

苏科版数学八年级上册3.3勾股定理的简单应用之蚂蚁爬行最短路径问题同步

练习

一、圆柱体

1.如图，一圆柱体的底面圆周长为高48为4cm,8c是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，

沿着圆柱的侧面爬行到点C,则爬行的最短路程是（）。血.

10

rrzr---+4

A.\41B•兀C.3D.9

2.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此

时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为

蚂蚁力

。（蜂蜜）

3.如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm,高为4

err,则吸管露在杯外面的最短长度为cm.

4.如图，动点P从点/出发，沿着圆柱的侧面移动到8C的中点S,若8C=8,点P移动的最短距离为

5,则圆柱的底面周长为.

5.如图，一个圆柱的高为12cm,底面圆的周长为18cm.在圆柱卜底面的点A处有一只蚂蚁，它想

吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?

B

二、长方体

6.如图，长方体的长为20cm,宽为15cm,高为10cm,点B离点C为6cm,一只蚂蚁如果要沿着长方

体的表面从点力爬到点〃去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）

A.5、129cmB.25cmc.2^194cmD.4Y141cm

7.如图，一个长方体形盒子的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B到点C的距离是5cm.一

只蚂蚁沿盒的外表面从点A处爬到点B处，那么它爬行的最短路程是多少？

8.如图所示是长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深AE=40cm.在水

面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG=60cm,一只小虫想从鱼缸外的A点沿

鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则小虫爬行的最短路线长为cm.

9.如图，在一个长方形草地上放着一根长方体木块，其UMB=6m,AD=5mf该木块较长的边和

场地宽力O平行，横截面是边长为2M的正方形，若点力处有一只蚂蚁，它从点”出发，爬过木块到达

点C处去吃面包伸，则它需要走的最短路程是小.

D

C

A一.....B

10.如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm,点A和B是这个台阶上两个

相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最

短路程为（）dm.

8

A.12R.10C.17D.25

三、多圈缠绕（圆柱体）

11.农民麦子大丰收，小彬用3。打印机制作了一个底面周长为15cm,高为10cm的圆柱粮仓模型

（如图所示）.现要在此模型的测面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达

柱顶正上方（从点A到点C8为4C的中点），则装饰带的长度最短为（)

C.20岫771D.10(10cm

12.国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子.为了美观，每根柱

子的彩灯带需要从月点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的3点，如图所示.若每根柱子的底面周长

均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（）

A.、万米B.、甲米C.g米D.5米

13.临汾是帝尧之都，有着尧都之称.尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河

壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志.如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不

断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C

8为4c的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为

B

四、多圈缠绕（长方体）

14.如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面

爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为<

15.解决下列几个问题，并说明它们与本节课问题的区别与联系.

（1）如图，圆柱的高为13cm,底面周长为10cm,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚊，它想吃

到离上底面1cm的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

（2）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm,8cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的点

A处沿盒的外表面爬到盒顶的点B处，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗?蚂蚁爬行的最短路程是

多少？

B

12

8

（3）为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带.已知大厅圆柱的高为6m,底面周长为

2m.如果希望彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带多少米？

五、解答题

16.如图，已知圆柱底面的周长为12,圆柱的高为8,在圆柱的侧面上，过点A,C嵌有一圈长度

最短的金属丝.

（1）现将圆柱侧面沿人8剪开，所得的圆柱侧面展开图是

（2）如图①，求该长度最短的金属丝的长.

（3）如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A,则所需金属丝最短长度是多少？

（4）如图③，圆柱形玻璃杯的高九小，底面周长为16c次,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴

蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到

内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）

六、实践探究题

17.（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如,“求代

数式&2+4+1（8—乃2+16的最小值”.小强同学发现&2+4•可看作两直角边分别为X和2的直角三

角形斜边长，麻彳工云可看作两直角边分别是8T和4的直角三角形的斜边长.于是构造出如图

所示，将问题转化为求线段48的长，进而求得Ji+4+《8-为2+16的最小值是

A

2

(2)类比计算：已知a,b均为正数，目.a+匕=15.求《融+9+(星+25的最小值.

(3)迁移问题：已知平面直角坐标系中，P(O，m),42,-3),B(3,5),直接写出P4+PB的最小

值.

18.(1)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如,“求代

数式&2+4+18-婷+16的最小值”.小强同学发现&2+4可看作两直角边分别为x和2的直角三

角形斜边长，河彳工至可看作两直角边分别是8-％和4的直角三角形的斜边长.于是构造出如图

所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得(公+4+Mr』+16的最小值是.

(2)类比迁移：已知a,b均为正数，且Q+b=12.求、％2+4+弋％2+9的最小值.

(3)方法应用：已知a,b均为正数，且,4/十片、以2十匕2,‘炉口接是三角形的三边长，求

这个三角形的面积(用含a,b的代数式表示).

19.综合与实践

【问题情境】

数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为5、

3、1,4和8是一个台阶两个相对的端点.

【探究实践】

老师让同学们探究：如图①，若％点处有一只蚂蚁要到8点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶

爬到8点的最短路程是多少？

图①

（1）同学们经过思考得到如下解题方法；如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接力当经过

计算得到4B长度即为最短路程，则力口二;（直接写出答案）

图②

【变式探究】

（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点

4出发沿着玻璃杯的侧面到点氏求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米?

（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高1。厘米，底面周长为24厘米，在杯内壁离杯底2厘米的点4处

有一滴蜂蜜.此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1厘米，且与蜂蜜相对的点。处，则蛆蚁从外壁

B处到内壁4处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）

有•个圆柱，它的高为12cm,底面周长为18cm.在圆柱下底面的点力处

有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点力相对的点6处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

Di无盖Ci

AB

图2图4

【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定4B两

点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题.如图2,在圆柱的侧面展开

图中，点48对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求巴蚂蚁爬行的最短路程力8的长.

【方法应用】

(1)如图3,圆柱形玻璃容器的高为18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点S处有

一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点尸处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇

充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.

(2)如图4,长方体的棱长A8=8C=6cm,=14cm,假设昆虫甲从盒内顶点好处开始以1

cnVs的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点4处以相同的速度在盒内壁的

侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？

答案解析部分

L【答案】A

2.【答案】15

3.【答案】2

4.【答案】6

5.【答案】解：如图，圆柱体的展开图为长方形ACDE,

・"AEB=90°,

BE==9cm

由题意可知,AE=12cm；

在R/ABE中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2=122+92=225=152,

AAB=15cm,

・•・蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm.

6.【答案】D

7.【答案】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个

图：

•・•长方体的宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,

•••BD=CD+BC=10+5=15,AD=20,

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

•*-AB=、痴2+炉=^'152+202=25;

只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在

的平面形成一个长方形，如第2个图：

10

B5C20D

图2

•••长方体的宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,

BD=CD+BC=20+S=2S,AD=10,

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

・••AB=、痴2+=J©+252=5悟

AD2

只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图:

.——

_一

A20D10C

图3

;长方体的宽为10，高为20,点R离点「的距离是5,

・•・AC=CD+AD=20+10=30,

在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：

•••AB=.IAC2+BC2={3()2+52=5、由；

1••25<5729<5国,

・••蚂蚁爬行的最短距离是25.

8.【答案】100

9.【答案】54

10.【答案】C

1L【答案】D

12.【答案】D

13.【答案】20

14.【答案】5眄

15,【答案】(1)解：如图所示，将圆柱侧面从点A开始垂直向上剪开，展开侧面，连接AB,则AB

即为最短路程,

在RSABC中，由勾股定理得，AB』AC2+BC2=52+12?=169=132.

.-.AB=13cm,即蚂蚁沿圆柱侧面从点A到点B,最短路程为13cm.

(2)解：蚂蚁沿长方体的侧面爬行的两条路线如以下展开图所示:

图1

如图1,在RtAABC中,

AB

=、旋+0=20(cm)

如图2,在RSABD中,

=柯+2()2=甸国心tn)

,.・40>20,

・••图1所示的路程最短，且爬行的最短路程是20cm.

(3)解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长,

•・•圆柱高6米，底面周长2米,

x'=(2x4>+6>=64卜36=100,

・•・彩带长至少是10m.

16.【答案】(1)A

(2)20

(3)8用

(4)10

17.【答案】(1)10

(2)如图所示，AC=3,CD=a,DE=b,BE=S,

在△中，也

Rt4CDAD={AC?+CD2=2+±

22

在中R£ZiBDE,BD=^DE+BE=4-251

.・.杼+9+幅+25=A。+吗

・•・要想Id+9+的2+25=A0+80的值最小，则4。+80的值最小,

・••当A、D、B三点共线时，AD+80的值最小，最小值为力B,

过点B作研14「交力「延长线于F,

•：EC1AF,BF1ACtBELAC,

...由长方形的性质得B尸=CE=CD+DE=15,CF=BE=5,

・・..4F=4C+CF=8,

22

：AB=^AF+BF=17f

・•・J。？+9+好+25的最小值为17,

（3）过点A作y轴的对称点力‘，连接B4'，交y轴于点P,如图，

由对称性知，PA=PAf

/.PAIPB=PA+PR,

・•・当P、4B三点共线时，P4+PB=P/+P8的值最小，最小值为48的长,

-,-.4(2-3),

・・/(-2,-3),

又B⑶5),

...A‘8=^(-2-3)2+(-3-5)2=<89,

.・.PA+P8的最小值为、丽

3心

-ab

18.【答案】(1)10；(2)13；(3)2

19.【答案】解：(1)由题意得：BC=S,AC=(1+3)X3=12,

•••AB=^AC2+BC2=yil22+52=13,

故答案为：13；

A

CB

图②

（2）将圆柱体侧面展开，如下U：

AC=-x48=24C?K”.

由题意得：2,BC=7cm,

2222

AB=^AC4-BC=x'24+7=25c叫

••・该蚂蚁爬行的最短路程25座米；

（3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作8关于EF的对称点8：作B'DLAE,交4E延长线于点。，连接

DE