山东省青岛市2024-2025学年高二年级下册期末考试数学试卷（含答案解析）

山东省青岛市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合八二{』0.1.3},fi={.x.r>1],则柏（）

A.（7）B.{3}C.{1,3}D.{0,1,3}

2,函数二闹的定义域是（）

A.（0,+8）B.[。,+2C.（L+8）D.[1.+0°）

3.二项式（I+x）’展开式的第3项的系数为（）

A.21B.35C.42D.70

4.为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下2x2列联表:

性别晚上白天总计

女30

男30

总计409（）

则"的值最接近（利人两端篇西.

A.18B.IlC.8D.6

212'4，

5.收J二则〃，h,c的大小关系正确的是（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

6.已知随机变量X=B（6,p）,随机变量丫=2X+1,且E（Y）=5,则〃=（）

II23

A.-B._C.-D.

1214

5。♦4

7.已知若I咚=则1―的最小值为（）

2b

A.1B.2C.3D.4

8.已知变量X,），线性相关，其一组样本数据（右），,）（，=1,2,...6）满足gx,二30,用最小二

乘法得到的经验回归方程为y=x-i,若增加一个数据（一2,4）后，得到新的经验回归方程

y=2x+i，则此时数据（3,4）的残差为（）

A.-2B.TC.1D.2

二、多选题

9.已知随机变量X-NQ,。2）,若P（XW0）=0.1,则（）

A.P（X<2）=0.5B.P（X<4）=0.9

C.P（2<X<4）=0.3D.D（2X+2）=4CT

10.某学校有A,区两家餐厅,王同学第1天午安时随机地选择一家安厅用餐.如果第1天

去4餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为［：如果第1天去8餐厅，那么第2天去A餐厅的

概率为《，则（）

A.他第2天去a餐厅的概率为《

B.他连续两天都去月餐厅的概率为1

41

C.他连续两天都不去A餐厅的概率为‘

D.若他第2天去A餐厅，则他第1天去A餐厅的概率为:

11.已知函数/（X）的定义域为R,且，若/（X+y）+/（v）/（y）=4x）-，则（）

/加2

A.B.

・函数/；X•I是减函数

C.函数是偶函数D

三、填空题

Hj）,则”——'

12.已知关于才的不等式ar2—x+3>0的解集为

bg/jr-l）,X>1,

13.若函数/3=,O,1=1,则/

JT<L

试卷第2页，共4页

14.函数/(1)是定义在R上的奇函数，设函数仪1)二(’的最大值为M,最小

值为机，则M+m=

四、解答题

15.已知函数/(Q=xQ——a)2.

(1)若〃=1,求曲线)，=/(A)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若x=2是/(x)的极值点但不是零点，求/(.r)的单调区间.

16.某企业调研后，得到研发投入x(万元)与产品收益,，(万元)的数据如下:

X12345

y912172126

(1)若)，与x线性相关，请杈据样本相关系数〃推断它们的相关程度：岩0.3<Ir<0.75,则

相关程度一般：若卜之0.75,则相关程度很强)

(2)求出)，关于x的经验回归方程，:版+工，并预测当研发投入6万元时的产品收益.

参考数据：.、|g/j|»431

参考公式［r~•h"•a=y-b%

泛（x-讨£（号-0

17.已知函数信)=lav+.t2—1,g(x)=eA—ax—/.

(1)求/U)的零点；

(2)若g(x)有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

18.系统中每个元件正常工作的概率均为p(0<〃<1),各个元件正常工作的事件相互独立.

如果系统中多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作.记入表示“系统中共有/攵£N')

个元件时，系统正常工作的概率”.

(1毋。;;,求21

试卷第3页，共4页

《山东省青岛市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案CDABCAI)DABDAD

题号11

答案ABD

1.C

【分析】由交集的概念即可求解.

【详解】已知集合A二{7&1,3},B={xx>l|},则『8二{1,3}.

故选：C.

2.D

【解析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.

【详解】由题意,函数〃])=陶有意义，则满足，？解得工21，

即函数。=的定义域为[1,+8)

故选：D.

3.A

【分析】由二项式定理即可求解.

【详解】一项式(I+G'展开式的第3项的系数为C；xP=21.

故选:A.

4.B

【分析】完善2x2列联表，计算*得解.

【详解】由题意可得2x2列联表：

性别晚上白天总计

女302050

男103040

总计405090

90(30x30-10x20/90x(?-2f“

-----------------------=u110251

40x50x50x4025x16

答案第1页，共11页

所以炉的值最接近11,

故选：B

5.C

【分析】由题意利用指数函数、哥函数的单调性，得出结论.

III

【详解】解：・・,。｛；）、=（|怖）『.一［2:

II

函数>,=）是增函数・・・”>6,且1>4>〃

I

又（二）？二;士：，।,即（?>1>〃>〃，

综上可得，c>a>b,

故选：C.

6.A

【分析】根据二项分布的期望公式及期望的性质求解.

【详解】因为X-B（6,p）,随机变量y=2X+l,

所以£（y）=E（2X+1）=2E（X）+1=\2p+1=5,

所以夕

故选：A

7.D

【分析】利用对数运算，络合因式分解，通过分析可得然后再利用基本不等式可

求得最小值.

【详解】由题意得：

lo-“log.a=?=2n21就.b-5k>g.“2=ON21喝b-Rlog.,6-f=,

21。&82

所以k噌/二|或log/=2,即/，二、/“或b=a2，

因为a>/?>1,所以/>二几,

,o*4厂4

即tBr~~>一l・、。%

bWyja

取等号条件为〃=4,此时〃=2,

答案第2页，共11页

故选：D

8.D

【分析】根据已知数据求原数据的样本中心，再确定新数据的样本中心，进而得出新的归

直线方程，再结合残差的定义计算即可.

—30_——

【详解】由题意可知，旧数据为二二-二5，则），=x-l=5-l=4,

增加数据（-2,4）后.-丫^L4.yJ,

将点（4,4）代入『二2（+》中得，4=8+》，即》=-4，则》二,

当x=3时，y=2x3-4=2,故残差为4-2=2.

故选：D

9.ABD

【分析】根据正态分布的对称性及方差的性质逐项判断即可得解.

【详解】由X-N（2,b）,则P（XW2）=0.5,故A正确；

因为P（X<0）=0.1,所以P（X>4）=0.1,

所以P（XS4）=1-P（X>4）=1-0.1=0.9,故B正确：

P（2<X<4）=P（2<X）-P（4<X）=0.5-0.1=0.4,故C错误；

由方差性质，O（2X+2）=4O（X）=4b,故D正确.

故选：ABD

10.AD

【分析】根据条件概率、全概率公式以及概率的加法公式，由题意设出事件，可得答案.

【详解】设事件C=｛第一天到餐厅4用餐）,则其对立事件^:「第一天到餐厅8用餐｝,

设事件。=（第二天到餐厅A用餐｝,则其对立事件力=｛第二天到餐厅“用餐｝,

由题意可得。（。-四7卜\P（DC）-\*/）/）=：,

对于A.P（D）=P（DC）P［（）-P（D|r）f（c）=故A正确：

对于B・P（（D）P（D\（故B错误；

对于।（f/>|/’（<［广|"（）/'（（）-尸（。身/（卜］，故c错误；

答案第3页，共11页

P（CD}3

对于D,尸=］肃=：.故D正确.

故选：AD.

11.ABD

【分析】对抽象函数采用赋值法，令x=g、y=0,结合题意可彻40）=T,对A：令K=g、

即可得函数■/；1'।

y=0,代入计算即可得；友B、c、D：令F二外出.

数/（."；）函数的性质，代人工二1,即可得/（;）.

及函

（讲］令人，厂明则有

/j（引昭卜/(0)・/&1.刖]・0.

又/占卜0,故1+/(0)=0,BP/(o)=-I,

令x=:、,=-：,贝有I/（P.4xJx

22厂2)22,

即।）（；）/信卜-1.以0）二-1,可得户,

又故/（一；

=0.故A正确;

令1则有/（1-；卜小）/；1|**（一?，

故函数；'是奇函数,

即/x[[-2x,/«

2）

百个.1-Q

是减函数,

令%=1,有/心

故B正确、C错误、D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得至"（（））=7,

再重新赋值，得到/'］=0,再得到/卜'-21.

12.-2

【分析】结合一元二次不等式的解法以及韦达定理即可求出.

【详解】由题意可知，是一元二次方程-尤+3=0的两根，且。＜0,

答案第4页，共11页

则由韦达定理可得，-==得4=-2.

a22

故答案为：-2

13.-1

【分析】根据分段函数的解析式直接计算即可.

【详解】唱=/（2号C竹=*卜7,

故答案为：-1

14.2

【分析】利用奇函数的性质，可证明函数g（.i）关于点（（），I）成中心对称图形，即可求得

M+m=2.

【详解】由函数g（x）,•/（、）=/一力：以/切・.-〃：/]），

r♦I♦1r♦1

因为函数/（X）是定义在R上的奇函数，所以有/（-x）=-/（x），

24

则g（x）.g（T）=]■—人[川■,..2.—=------T-\-----j

*♦I（-J）4-1X＞1

所以可得函数g（x）关于点（0,1）成中心对称图形，

因为函数g&）的最大值为M,最小值为加，

所以最大值点与最小值点关于点（0,I）成中心对称图形，

即M+m—2,

故答案为：2.

15.（1）切线方程:y=x.

⑵单调递增区间：（-8,2）,（6,+8）,单调递减区间：（2,6）.

【分析】（1）根据已知条件确定了（X）,求出/（（））和导数工（。，根据攵=/（（））求出切线斜

率，从而得到切线方程；

（2）求函数/（X）的导数工（工），结合x=2是/（X）的极值点但不是零点判断出a值，再根

据工（x）＞0函数单调递增，£（。＜0函数单调递减，解不等式求出相应单调区间.

【详解】（1）当a=1时，/（.v）=x（x-I）?,则/（（））=0x（（）-i）?=0.

答案第5页，共11页

求导：/；(x)=(%T)+x.2(x-1)=(x-1)(3x-1).

切线斜率及二工(0)=(-l).(-l)=1.

则切线过点(0,0),斜率为1,方程为：y=-'.

(2)已知f(x)=x(x-a》，导数为：

f,(x)=(x-a)'+2x(x-a\-[x-a)(3x-a).

已知x=2是极值点，则/(2)=0：

(2-a)(6-a)=0-*a=2或a=6.

又x=2不是零点：

若a=2,K0/(2)=2(2-2)?=0,矛盾，舍去；

若a=6,则/(2)=2(2・6『=32H0,符合条件.

所以工(x)=(x-6)(3x-6)=3(x-6)(x-2).

当^(x)>o,即a-6)a-2)>o时，函数递增：

解得：xG(-a>,2).J(6,+a).

却,(A)<0,即Cr・6)5・2)<0时，函数涕减：

解得：xG(2,6)

故函数f(x)的单调递增区间：(-8,2),(6,+8),单调递减区间：(2,6).

16.(1)变量y与元的相关程度很强

(2田=4.3x+4.1,约为29.9万元

【分析】(1)根据所给数据，求出相关系数「，即可判断：

(2)由公式求出内，得出线性回归方程，再由方程预测收益即可.

【详解】(1)由表格数据可得,刀=1(1.2,3'4・5)=八一1p+llh+l，％卜17,

所以之(儿7)85=(I-3)(9-17Wt(5-3)衿17卜43,

rrrr------------------------------------厂

^(x,-f)(x-y]=^(22+l2+02+l2+22)fl2+5J+02+92JQx186*43I、

答案第6页，共11页

_______________43

所以，=•0998>075

囱…)：£(»；->)43I.

可知变量)，与x的相关程度很强.

(2)由(1)可知，x=3,y=17.

I

£«-可=(>3『+(2-3>+(3-3)\(4-3)、(5-3)、此

所始盯上2洋”

10

贝=y-加=17-4.3x3=4.1,

可得)，关于x的经验回归方程为»=4.3上+4.1,

令x=6,可得巾=4.3x6+4.1=29.9,

即预测研发投入6万元时，产品收益约为29.9万元.

17.(1)1；

⑵(1，+8).

【分析】(1)确定函数以X)的单调性，再求出其零点.

(2)利用导数求出g(x)的极小值并建立不等式，再利用(1)的信息求出〃的取值范围即可.

【详解】(1)函数信)=hu+f-l的定义域为(0,+8),求导得八x)・！心”。，

X

函数/*)在(0,+8)上单谎递增，而八］):(),

所以JU)的零点是1.

(2)函数g(x)=el-ax-ay的定义域为R,求导得g,(x)=--〃，

当440时，g,(x)>0,函数g(x)在R上单调递增，无极值；

当。>0时，由g,(x)<0,得x<lna；由8,(幻>0,得x>ln〃，

函数g(x)在(-8,1na)上单调递减，在。na,+8)上单调递增，

当x=Ina时，g(x)取得极小值(glna)=a-a\na-cr,

依题意，g(lna)=a-aIna-a'<o,即储+-1>(),

由(1)知，加)=-+加〃・1在(0,+8)上单调递增,且小)=0,

因此不等式4+InaT>0的解集为(1,+°°),

答案第7页，共11页

所以a的取值范围为（1.+8）.

⑶尾

(2)1

（3）证明见解析

【分析】（I）当X=4时，有3个或4个元件正常工作时系统正常工作，利用独立重复试验

及互斥事件概率求和公式得解：

（2）记正常工作的元件个数为丫，根据二项分布的期望公式及期望的性质求解；

（3）由题意可得。2田，将尸.“表达式中部分式子可转化为匕I—

移项后由作差比较即判断二者大小，命题得证.

【详解】（1）因为&=4,/>=1,

（2）记正常工作的元件个数为y,则丫一川’3.；）

所以£（））卬2

又因为x=Y—(3-y)=2y—3,

所以£(X)=E(2Y—3)=2£<(y)—3=1.

3令q=I-*；，

则P,=HZV./+c黑./广(-，)+(4i-CL)，

所以七“二Pg—c，/W+51//丁，

所以尸坊+1=C*/",Sf）>o，

所以P2m*I>^2m—\•

注解：

n_/】】-I/Im2.rn/rr-lf21.f厂1/I州+12州+2，"T..I2/1\

P*=Gm-lPq.〃+C2,iPg2m7〃q+C2,n_}pq+**-+C2ni_tP)

=QV-W1+C工TP5(T)+®T-C工TP夕).

19.(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

答案第8页，共11页

⑶⑴2⑸5)26.

【分析】3)变形得儿耳=次2-.r)=-f(x-2),则+4)=f(x)；

(2)通过其周期性、对称性和单调性得负2)为/U)的最小值，再取攵=±t即可得1Ak)41A/)：

(3)G)求导得/二:|〃一1卜/(3、,ll］.>/10=0,再合理赋值即可得到其最值：

(ii)分8=。和8/()讨论，当今()时，转而证明总存在x,使得3/(X)-/13JT・9)32V，成

立.

【详解】(I)由题知：如x)=«r)JU)+彤7)=0,

所以八口=V(2-x)=-fix-2),

所以7U+4)=-Ax+2)=Ax),

所以/(%)是以4为周期的周期函数.

(2)^f(-x)=fW，'.\f(-x)\=\f(x)\,所以I/WI是偶函数,

•'fw+/(2-x)=0,：/(A)=-/(2-x)=-f(x-2)

：l/(x)1=1-Av2)|=|/(X-2)|①取x+2代入①得|於+2)|=|於:+2-2)|二|於)|,所以

|人口|是周期为2的周期函数，取x+1代入①得|人工+1)|=|人4+1-2)|二|儿"1)|二伏17)|,

所以l/U)I的图象关于直线x=1轴对称，

所以，丸外在［0,1］单调递减,在［1,2］单调递增，|加)|在02］的最小值为伏1)|=0,

根据周期性,不妨设。€［0,2］,

若a-14—，，即,2g,贝"£57,〃+力，所以取&=r,有伏外区伏。|,

@若0</<；£|.即〃T>/，贝”曰47,々+力

(i)若a+YI时，则0</<“7<“+/41,所以在［"/+〃单调递减，所以取攵:a+f,

有1/幻|4|70)|,

(ii)若1<a+r时，则i/u)i在+n上的最小值为m1)尸0,所以取氏二i,有

(iii)若a-/之1时，直线工=t关于直线x=1的对称直线为x=2-/>1,则2>2-t>a-1,

I於)|在［a・12•力上单调递增,且瓜Z)|二|八27)|,所以取八ar,有团《)闫加)|,

综上,对PaWR,存在「£37,°+4，使得|贝。区伏。|.

(3)G)因为产(x+4)=3/(x+4)-/(3x+12)=3/(x)-/l3x)=F(x),

且广(7)=3/(-J)-/(-3x)=3/(x)-f(3x)=F(x),

答案第9页，共11页

所以F(x)是周期为4的偶函数，不妨设x£[0,2],

因为k3=34xH/(3x)'=：[/("1)・/(3-1小

令尸,(x)=0,则4r+1)=43%+1),又因为x+l£[l,3],3_r+l£[l,7],

所以3工+l=.v+l+4jt,^ez或3x+1=-(x+1)+4kMeZ：

即x=2k,kGZ或「A；A/,

解得：x=0或■']或为-:或¥=2

因为人1)+12・1)=0,得式1)=0/0