一元二次方程（讲义）-北师大版九年级数学上册

专题2.1一元二次方程（举一反三讲义）

【北师大版】

题型归纳

【题型1识别一元二次方程】.....................................................................2

【题型2根据一元二次方程的定义求值】..........................................................3

【题型3根据一元二次方程的一般形式求系数】....................................................5

【题型4根据一元二次方程各系数的值求字母的值】................................................6

【题型5根据一元二次方程的解代入求值】........................................................8

【题型6根据一元二次方程的解降次求值】........................................................9

【题型7由实际问题抽象出一元二次方程】........................................................11

【题型8根据一元二次方程的解求另一方程的解】.................................................13

■

知识点1一元二次方程的定义

1.定义：等号两边都是整式，只含有二个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做

一元二次方程.

2•一元二次方程必须同时满足三个条件；是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.

例如：妥+%=2,x*2+1,x2+y-3=0,%3-3x4-8=0,Q—1）。-2）=/—1均不是一元二次方程.

知识点2一元二次方程的一般形式

1.一元二次方程的一般形式是Q/+bx+c=0（aH0）,其中屋是二次项，鱼是二次项系数;m是一次项，b

是一次项系数：C是常数项.

2.•1）MQ是一元二次方程一般形式的重要条件,但是）「可以为0：（2）任何一个一元二次方程都可

以化成一般形式;（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号.

3•一元二次方程的特殊形式.

(I)当b=0时,得a/+。=O(Q工0)；

(2)当c=0时，得Q/+bx=0(aCO)；

(3)当(=0且c=0时，得ax?=o(a*0).

知识点3一元二次方程的解(根)

1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次

方程的根.

2•一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若心，外是一元

二次方程+板+c=o(a00)的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数:

2

ax^+bx1+c=0(czH0)»ax2+bx2+c=0(aH0).

【题型1识别一元二次方程】

【例1】(2425九年级上•山东潍坊•期末)下列四个方程①x2-9=0；②(2x+l)(2x-1)=0：③x2=0；

@V/-2x+l=l中，不是一元二次方程的是()

A.①B.②C.③D.©

【答案】D

【详解】试题分析：根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；

含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.

解：①X?-9=0是一元二次方程；

②(2x+l)(2x-I)=0是一元二次方程；

③x2=0是一元二次方程；

@\^2-2x4-1=1不是一元二次方程；

故选D.

【变式11】(2425九年级上•四川南充•阶段练习)下列方程中，一定是关于汇的一元二次方程的是()

A./+以=0B.a/+w+c=0

C.x2+x-2=0D.3x-2xy+Sy2=0

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个

未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

【详解】解：A.分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意；

B.a=0时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

C.是一元二次方程，故该选项符合题意：

D.含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意;

故选:c.

【变式12】(2425八年级下•广西梧州•期中)下列各式中，不是一元二次方程的是()

A.2x2+1=0B.x-2y-3=0C.2x2=0D.y2-3y+4=0

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可.

【详解】解：A.2/+1=0是一元二次方程，故选项不符合题意；

B.%-2y-3=0是二元一次方程，故选项符合题意；

C.2/=0是一元二次方程，故选项不符合题意；

D.好一3丫+4=0是一元二次方程，故选项不符合题意.

故选:B.

【点睛】此题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次

方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

【变式13】(2425八年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习)下列方程是一元二次方程的有()

22

①3--x=0；②a/+bx+c=Q.③3%+1=0；®2x-1=(x-1)(%-2)；⑤(5x-2)(3x-7)=15x

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个

未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.根据一元二次方程的定义即可解

答.

【详解】解：①3/-%=0是一元二次方程；

②a%2+bx+c=0,当Q=0,b亍0时是一元一次方程，不是一元二次方程；

③3%+工=0是分式方程，不是一元二次方程；

X

®2x2—1=(x-l)(x-2),整理得：x2+3x-3=0是一元一次方程；

⑤(5%-2)(3%-7)=157,整理得：-41%+14=0是一元一次方程，不是一元二次方程；

则共有2个，

故选:B.

【题型2根据一元二次方程的定义求值】

【例2】(2425九年级上•江苏无锡・期中)已知关于x的方程(m+1)/的|-2+27mx+5=0是一元二次方程,

则加=.

【答案】1

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出7九+1=0且|4m|-2=2,再求出

答案即可.

【详解】解：•・・关于%的方程（血+1）%1向-2+27皿+5=0是一元二次方程,

An+1工。且14nli-2=2,

解得：m=1,

故答案为：1.

【变式21】（2425八年级下•江苏盐城•期中）若方程a/-％+5=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范

围为（）

A.a^OB.a>3C.a=0D.a>0

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次

方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形

式为a/+.+c=0（aw0）.

【详解】解：方程Q/-无+5=0是关于文的一元二次方程，

G*0,

故选:A.

【变式22】（2425八年级下•山东东营•阶段练习）若方程Q+是关于％的一元二次方程，则

【答案】1

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得3a2—1=2且Q+1H0,解之即可求解，掌握一元二次

方程的定义是解题的关键.

【详解】解：•・•方程（。+1）/。2-1=0是关于％的一元二次方程，

：.3a2-1=2且Q+1H0,

••G—1,

故答案为：1.

【变式23】（2425八年级下•江苏南通•阶段练习）若关于x的一元二次方程（加一1）%2—2%+m2-1=0有

一个解是0，则巾=

【答案】-1

【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，正确求出机的值是关键，注意二次项系数不为():

把％=0代入原方程可得关于加的方程，解方程即可得解.，注意皿-1H0.

【详解】解：•关于x的一元二次方程(m-1)/一2%+瓶2-1=o有一个解是o,

Am2-1=0且m-100,

解得：m=-1；

故答案为：—1.

【题型3根据一元二次方程的一般形式求系数】

【例3】(2425九年级上河南商丘•期中)方程(3%+1)。-1)=5整理成一元二次方程的一般形式后，它的

二次项系数与一次项系数的比值是.

【答案】V

【分析】根据一元二次方程的一般形式为©2+8工+c=0(a=0),其中。叫做二次项系数，力叫做一次项系

数解答即可.

本题考查了一元二次方程的一般形式a/+以+c=0(Q00)及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键.

【详解】解：由(3X+1)(工-1)=5,

得37—2x—6=0»

二二次项系数为3,一次项系数为一2.

二次项系数与一次项系数的比值是-今

故答案为：一条

【变式31】(2425八年级下•黑龙江哈尔滨•期中)关于工的一元二次方程3/一5工+2=0的二次项系数，一

次项系数和常数项分别为()

A.3,—5,—2B.3,-Sx,2C.3,5x,-2D.3,—5,2

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是关键.

根据一元二次方程的概念及一般式“a/+力工+。=0伍。oy，判定即可.

【详解】解：关于工的一元二次方程3/一5%+2=0的二次项系数，一次项系数和常数项分别为3,-5,2,

故选：D.

【变式32](2425九年级上•贵州贵阳•期中)方程/一卜钛-l=xIS化为一般形式后，一次项系数和常数

项分别为（）

A.1和3B.1和一6C.3和一6D.3和4

【答案】C

【分析】本题考杳了一元二次方程的一般式，根据©2+"+c=0（。工0）进行判定即可求解.

【详解】解：根据题意，，+4%-1=%+5移项整理得，X2+3X-6=0,

•••一次项系数和常数项分别为3和一6.

故选:C.

【变式33】（2425九年级上•湖南林州•阶段练习）写出一个二次项系数为1,一次项系数为-3,常数项为-4

的一元二次方程是.（用一般形式表示）

【答案】%2-3%-4=0

【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式：a/+bx+c=0（QH0）,其中

二次项系数为一次项系数为常数项为c，进行作答即可.

【详解】解：由题意，可得方程为：X2-3X-4=0；

故答案为：x2-3x-4=0.

【题型4根据一元二次方程各系数的值求字母的值】

【伊|14]（2425八年级下•山东烟台•期中）关于x的一元二次方程m/+租%=3%+12中不含x的一次项，

则此方程的解为—.

【答案】=2,x2=-2

【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，理解一元二次方程的基本定义是解题关键.根据

一次项的定义先确定一次项，然后确定系数，解方程即可.

【详解】解：•・•一元二次方程m/+小%=3%+12中不含%的一次项，

即m/+（m-3）x=12不含x的一次项，

m—3=0,

工加=3,

・,•原方程为37=12,

解得：X]=2,X2=-2,

故答案为:必=2,X2=-2.

【变式41】（2425八年级下•北京西城•阶段练习）关于x的一元二次方程（爪-1）/+5%+血2-1=（）的常

数项为0,则小的值为（）

A.IB.-1C.2D.±1

【答案】B

【分析】本题考杳了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为0的值，利用一元二次方程的定

义判断即可.

【详解】解：由题意得：[血之一/"?，

解得m=-1,

故选:B.

【变式42](2425九年级上•河南洛阳・期中)若关于％的一元二次方程3/+%-2=ax(x-2)化成一般形式

后，其二次项系数为1,常数项为-2,则该方程中的一次项系数为.

【答案】5

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得(3-a)/+(1+2a)x-

2=0,然后根据题意可得3从而可得：a=2,再把。的值代入1+2a中，进行计算即可解答.

【详解】解：3x2+x-2=ax(x-2),

3x2+x—2=ax2—2ax,

3x2-ax2+x+lax-2=0,

(3-a)/+(1+2a)x—2=0,

由题意得：3-a=1,

解得:a=2,

:.该方程中的一次项系数=1+2。=1+2x2=5,

故答案为：5.

【变式43】(2425九年级上•四川广元•期中)若关于的一元二次方程2X2一(巾+1次=双％+1)化成一般形

式后二次项的系数为1,一次项的系数为-1,则?n的值为.

【答案】-1

【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程化成一般式，再根据题意解答即可求解，掌握一元二

次方程的一般式是解题的关键.

【详解】解：2/-(血+1)%="&+1),

2xz-(m+l)x-x(x+1)=0,

2xz-(m4-l)x-x2-x=0,

x2-(mI2)x=0»

•••化成一般形式后二次项的系数为1,一次项的系数为-1,

/.-(TH4-2)=-1,

771=-1,

故答案为：—1.

【题型5根据一元二次方程的解代入求值】

【例5】(2425八年级下•吉林•阶段练习)若X=4是关于x的方程。/一"二8的解，则2。25-8。+2匕的值

为.

【答案】2021

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数

的值，把％=4代入a/一bx=8得到8Q-2b=4,再整体代入求值.

【详解】解：,.”=4是关于x的方程a--b%=8的解，

16a—4b=8,

/.8a-2d=4,

•••2025-8a+2b=2025-(8a-2b)=2025-4=2021,

故答案为:2021.

【变式51】(2425八年级下•安徽六安•阶段练习)已知〃是方程d+3%-1=。的一个根，则(Q+4)(Q-1)

的值为()

A.1B.3C.-3D.-5

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据“是方程/+3%-1=0

的一个根，可得出M+3Q=1,再化简代数式，整体代入即可求解.

【详解】解：是方程/+3%-1=0的一个根，

/.a2+3Q=1

A(a+4)(a-l)=a2+4a-a-4=a2+3a-4=l-4=-3

故选:C.

【变式52】(2425九年级上•湖南长沙・期中)若/〃是方程产一3%-1=0的一个根，则一27*+6m+19的

值为.

【答案】17

【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，掌提一元二次方程的解的定义是解题的关键.

根据一元二次方程根的定义可得比2-3血一1=0,即m2-3m=1,整体代入代数式即可求解.

【详解】解：・・・m是方程/一3%-1=0的一个根，

/.m2—3m—1=0,BPm2-3m=1,

.*.-2TH2+6m+19

=-2(m2—3m)+19

=-2+19=17.

故答案为：17.

2

【变式53](2425九年级上•河南新乡•阶段练习)已知m是方程/+x_1=。的一个根，则代数式(m+I)+

(m+l)(m-1)的值为.

【答案】2

【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程的根、完全平方和公式、平方差公式等知识，先由一元二

次方程根的定义得到7n2+a=1,再由整式混合运算化简代数式得到2(m2+ni),将7n2十例=1代入求值

即可得到答案，热练掌握整式化简求值是解决问题的关键.

【详解】解：•••m是方程M+x—i=o的一个根，

?n2+m—1=0,则/+m=1,

•••(m+l)2+(m+l)(m-1)

=m2+2m4-1+m2-1

=2m2+2m

=2(m2+m)

=2,

故答案为：2.

【题型6根据一元二次方程的解降次求值】

2

【例6】(2025・重庆・一模)已知m为方程/+x-3=0的一个根，则代数式m?+2m-2m+6的值为.

【答案】9

【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解题.先将机代入方

程得7*+血=3,再将tn?+小=3代入加2(巾+2)-2(?n-3)变形后的式子进行化简求值即可.

【详解】解：根据题意得：m2+77i=3,

vm3+2m2-2m+6

=m3+m2+m2-2m+6

=n（m2+m）+m2-2m+6

=3m+TH2—2m+6

=m2+in+6

=3+6

=9.

故答案为：9.

【变式61】（2425九年级上•广东湛江•阶段练习）如果。是一元二次方程无2=3x-2的根，则代数式。2一3a+

2024的值为（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入法求代数式的值，准确熟练地进行计算是解题的关键.根

据一元二次方程的解的意义可得，=3。-2,从而可得。2-3。=-2,然后代入式子中进行计算，即可解

答.

【详解】解：・.・a是一元二次方程%2=3%一2的根，

/.a2=3a—2,

-3a=-2,

：.G2-3Q+2024=-2+2024=2022,

故选：B.

【变式62】（2425八年级下•重庆期末）若a是方程/+为一4=0的一个根，则M+2小一3Q+7的值为_

【答案】11

【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解的定义把x=Q代入方程得到

a2+a-4=0,然后根据等式的性质易得M+Q=4,代入原式即可解答.

【详解】解：・・Z是方程/+%-4=0的一个根，

+Q-4=0,

.*.G2+Q=4,

a。+2a2一3Q+7

=c（a2+Q）+Q?-3Q+7

=4a+a?-3Q+7

=G24-a+7

=4+7

=11,

故答案为：11.

[变式63](2425八年级.匕上海徐汇•阶段练习)已知a是关于A的一元二次方程/一％-11=0的一个根,

则07的值等于

72a3-3。2+11

【答案】1

【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的

值得到标一时11=0,进而得到M-a=11,再把所求式子转化为2as237)'据此

整体代入求解即可.

【详解】解：•・•〃是关于工的一元二次方程/一11=0的一个根,

/.a2—a—11=0>

G2—a=11,a2—11=a,

.a?一1]

**za3-3a2+ll

a

=(2a3-2a2)-(a2-11)

a

=za(a2-a)-(a2-ll)

a

22a—a

21

故答案为：

【题型7由实际问题抽象出一元二次方程】

【例7】(2425八年级下•浙江杭州•期中)某公司今年一月的营业额为200万元，按计划第一季度的总营业额

要达到950万元，求该公司二、三两个月营业额的月平均增长率.设该公司二、三两个月营业额的月平均增

长率为，则根据题意可列方程为()

2

A.200[1+(1+x)+(1+X)2]=950B.200(1-Fx)=950

C.200[(1+x)+(1+x)2]=950D.950(1+x)2=200

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为无，则二月

份公司的营业额为200(1+%)万元，三月份公司的营业额为200(1+%)2万元，根据第一季度的总营业额包

括一月、二月、三月的营业额总和，可列方程200[1+(1+%)+(1+X)2]=950.

【详解】解：设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为工,

则二月份公司的营业额为200(1+幻万元，

三月份公司的营业额为200(1+幻2万元，

•••第一季度的总营业额要达到950万元，

:.200+200(1+%)+200(1+%)2=950,

即200[1+(1+*)+(1+%)2]=950.

故选：A.

【变式71】(2425八年级下•上海崇明•期中)联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠

礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程.

【答案】x(x-1)=870

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设参加联欢会的同学有x人，则每人送出a-1)件礼

物，根据共送礼物870件可列出方程.

【详解】解：设参加联欢会的同学有x人，则每人送出(无-1)件礼物，

由题意得,x(x-1)=870.

故答案为：x(x-1)=870.

【变式72】(2425九年级上•贵州贵阳♦期中)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m,宽为40m

的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道.若通道所占面积是整个

矩形空地面积的[则此时通道的宽为一.

O

【答案】5m

【分析】本题主要考查了•■元二次方程的应用，

先设通道的宽为xm,再根据花圃面枳所占整个矩形空地面积的(1列出方程，求出解即可.

【详解】解：设通道的宽为xm,根据题意，得

(60-2%)(40-2%)=60x40x(1

解得%i=5,x2=45(舍去)，

所以通道的宽为5m.

故答案为：5m.

【变式73)(2425八年级下•重庆二匕暗•期中)哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮,

井以每个5。灵石售出，母日可售出8U个.据调查发现，母个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多

售出10个，若哪吒希望单日盈利达400()灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价工灵石，则列出方程为

()

A.(50-x)(80+^x10)=4000B.(50-x-30)(80+x10)=4000

C.(50-x-30)(80+10x)=4000D.(50-2x-30)(80+10%)=4000

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设降价x灵石，则每个迷你风火轮的利润为(50-工-30)

元，销售量为(80+；x10)个，再根据总利润为4000灵石列出方程即可.

【详解】解：由题意得，(50-x-30)(804-x10)=4000,

故选:B.

【题型8根据一元二次方程的解求另一方程的解】

[例8](2425九年级上•福建泉外•期中)若关于x的一元二次方程a/+bx+c=0(ac*0)有一根为X=

2024,则关于y的一元二次方程eV++Q=0(QC00)必有一根为()

A.2024B.-2024D」短

【答案】C

【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型.

因为％=2024满足方程Q/+'-c=0,所以20242。+2024b+c=0,两边同时除以20242即可确定所

求方程的一个根.

(详解］解：把x=2024代入一元二次方程a/+bx+c=0,得2024202024b+c=0,

两边除以20242,得Q+表门高-0,

蔡^是一元二次方程cy2+by+a