圆的方程（讲义）-2026年高考数学一轮复习解析版

专题8.3圆的方程（举一反三讲义）

【全国通用】

题型归纳

【题型1求圆的标准方程和一般方程】..................................................................3

【题型2由圆的方程确定圆心和半径】..................................................................5

【题型3二元二次方程表示圆的条件】..................................................................7

【题型4圆过定点问题】................................................................................8

【题型5判断点与圆的位置关系】......................................................................10

【题型6与圆有关的轨迹问题】........................................................................11

【题型7圆系方程】....................................................................................13

【题型8定点到圆上点的最值（范闱）］...............................................................15

1、圆的方程

考点要求真题统计考情分析

2023年全国乙卷（文数）：第

11题，5分从近几年的高考情况来看，高考对

（1）理解确定圆的几何要素，在

2023年上海卷：第7题，5分圆的方程的考查比较稳定，多以选择题、

平面直角坐标系中，掌握圆的

2024年北京卷：第3题，4分填空题的形式考查，难度不大；有时也

标准方程与一般方程

2024年天津卷：第12题，5会与距离公式、圆锥曲线等结合考查，

（2）能根据圆的方程解决一些简

分复习时应熟练掌握圆的标准方程与一般

单的数学问题与实际问题

2025年全国一卷：第7题，5方程的求法，学会灵活求解.

分

知识梳理

知识点1圆的定义和圆的方程

1.圆的定义

圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆（定点为圆心，定长为半径）.

圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

2.圆的标准方程

（1）圆的标准方程:方程（X—4）2+”一切2=,2（/.＞（））叫作以点（〃力）为圆心，厂为半径的圆的标准方程.

（2）圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.

（3）圆的标准方程的适用条性：从方程的形式可以知道.一个圆的标准方程中含有三个字母（待定）.因此在一

1/29

般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.

3.圆的一般方程

(1)方程/+俨+6+为=0(。2+-4尸>0)叫做圆的一般方程.

(2)圆的一般方程的适用条件:从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在

一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.

下列情况比较适用圆的一般方程：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数Z),E,F；

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入园的方程，将圆心(一条-匀代人圆心所在的直线方程,

求待定系数。，E,F.

4.二元二次方程与圆的方程

(1)二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程4Y2+8xy+Cy2+Dr+£>+Q=0,对比圆的一般方程/十/十必.+切+尸=0

(h+6―4尸>0),我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的

方程.

(2)二元二次方程表示圆的条件：

(A=C^0

二元二次方程力/+反、+6>2+31+&+/=()表示圆的条件是飞.

[(7)+闱-哈)>。

5.圆的参数方程

圆G—。)2+。，一〃)2=/(/>0)的参数方程为，其中。为参数.

6.求圆的方程的常用方法

(I)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(。⑼和半径，•有关，则设圆的标准方程，求出"，爪〃的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,产的方程组，进而求出。，E,产的值.

知识点2点与圆的位置关系

1.点与圆的位置关系

(I)如图所示，点M与圆力有三种位置关系：点在圆上,点在圆内,点在圆外.

(2)圆力的标准方程为(X—4)2+3—份2=,.2,圆心为力(a,b),半径为厂(厂>0)；圆4的一般方程为

/+/+6+切+尸=0(。2+6―4“>0).平面内一点"(<0,则).

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判断方法

位置关系

几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)

点在圆上\MA\=r(xo-a)2+(yo-b)2=f2

及+痴+DXQ+Ey。+尸=0

点在圆内|M4|<r(xo-a)2+(yo-8)2〈户就+於+D工o+Ey()+F<0

点在圆处(xo-6f)2+(yo-b)就+褶+。曲>+坳o+F>0

知识点3轨迹方程

1.轨迹方程

求符合某种条件的动点的软迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量

xj之间的方程.

(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法:当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如

圆)时，常采用定义法:当动点随着另一个在己知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).

(2)求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”：二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.

2.求轨迹方程的步骤：

(1)建立适当的直角坐标系，用(xj)表示轨迹(曲线)上任一点"的坐标：

(2)列出关于工铲的方程：

(3)把方程化为最简形式：

(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；

(5)作答.

【方法技巧与总结】

1.以8(x2必)为直径端点的圆的方程为(x—M)(x—通)+(y—y)(y—n)=0.

2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

3.圆心在任一弦的垂直平分线上.

举一反三

【题型1求圆的标准方程和一般方程】

【例1】(2025•海南•模拟预测)下列方程中表示圆心在直线y=%上，半径为V2,且过原点的圆的是()

A.(x—I)2+(y—I)2=V2B.(%—I)2+(y+I)2=V2

C.(x—l)2+(y+l)2=2D.(x-l)2+(y-I)2=2

【答案】D

【解题思路】假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可.

【解答过程】因为圆心在y=”上，所以设圆心为(a,a),

因为圆的半径为

3/29

所以设圆的标准方程为。-a)2+(y-a)2=2,

因为该圆过原点，

所以(一。)2+(一0)2=2,

解得Q=±1,

所以圆心为(1,1)或(-1,一1),

当圆心为(1,1)时,圆的标准方程为(％-1)2+⑶-1)2=2,D对;

当圆心为(一1，一1)时，圆的标准方程为(％++(y+I)2=2.

故选：D.

【变式1-11(24-25高二上•河南洛阳期中)已知0(0,0),1(4,3),8(1,-3),则△04B的外接圆方程为()

A.x2+y2-4%-3y=0B.%2+y2-x4-3y=0

C.x2+y2-5x-5y=0D.%2+y2-7x+y=0

【答案】D

【解题思路】设△。力B的外接圆方程为好+必+^^+^^+尸:。，代入三点坐标求出系数即可.

【解答过程】设^。48的外接圆方程为久2+y2+0%+Ey+F=o,

因为。(0,0),4(4,3),8(1,-3),

(F=0

所以42+32+4D+3F+F=0,解得。=-7/=1,r=0,

(l2+(-3)2+D-3E+F=D

所以△0A8的外接圆方程为%2+-7%+y=0.

故选：D.

【变式1-2](2025・吉林长春•三模)经过4(1,1),以一1,1),C(0.2)三个点的圆的方程为()

A.(x+l)2+(y-l)2=2B.(X-I)?+(y-1猿=2

C.x2+(y-I)2=1D./+°+i)2=1

【答案】C

【解题思路】设经过力，B,C三个点的圆的方程为X2+y2+D%+Ey+F=0(D2+E2__4F>0),代入三点

坐标可得答案.

【解答过程】设经过A,B,C三个点的圆的方程为

x2+y2+Dx+Ey+F=0(£)2+E2-4F>0),

1+1+D+E+/=0(D=0

由题意可得1+1-D+E+/=0,解得E=-2,

0+4+2E+F=0(F=0

4/29

且满足。2+£2-4/=4>0,

所以经过4B,C三个点的圆的方程为/+必-2丫=0,

即为/+3—1)2=1.

故选：C.

【变式1-3](2025•海南•模拟预测)如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点

到地面的距离为4米，门在地面处的宽度为4米.现将其截面图放置在直角坐标系xOy中，以地面所在的直

线为工轴，过圆心的竖直直线为y轴，则门的轮廓所在圆的方程为()

A.,+(1)2若B”+(y+

C./+@一)=,D.x2+(y+1)2=1

【答案】A

【解题思路】利用勾股定理可构造方程求得半径r,进而得到圆心坐标，由此可得圆的方程.

【解答过程】设该圆的半径为r,如图，

由勾股定理得：出四2一|0。产+即川一(4一r)2+4,解得：r-1,

...|0D|=4-r=1,即圆的圆心为(0,1),则圆的方程为好+6一|)’=今

故选：A.

【题型2由圆的方程确定圆心和半径】

【例2】(2025•浙江•一模)圆。:炉+产一2x+4y=0的圆心。坐标和半径r分别为()

A.C(l,-2),r=V5D.C(l,-2),r=5

5/29

C.C(-l,2),r=V5D.C(-l,2),r=5

【答案】A

【解题思路】将一般方程化为标准方程即可求解.

【解答过程】圆C:%2+y2-2%+4y=0,即C:(%-I,+(y+2了=5,

它的圆心。坐标和半径r分别为C(l,一2),r=V5.

故选：A.

【变式2-1](2025・浙江台州•二模)已知圆M：(%—l)2+(y+2)2=4,则圆心坐标和半径分别为()

A.(1,-2),4B.(-1,2),4C.(-1,2),2D.(1,-2),2

【答案】D

【解题思路】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.

【解答过程】圆(％-I,+(y+2)2=4的圆心坐标为(1,-2),¥径为2.

故选：D.

【变式2-2](2025•山西晋中•三模)已知圆C的一般方程为d+产一6x+4y+12=0,则圆C的圆心坐

标为()

A.(3,2)B.(-3,2)C.(3,-2)D.(-3,-2)

【答案】C

【解题思路】由一般方程得到标准方程即M求解.

【解答过程】由d+y2-6%+4y+12=0,

得Q-3)2+(y+2)2=1,

可知圆C的圆心坐标为(3,-2).

故选：C.

【变式2-3](24-25高二下•云南昆明•期中)已知圆。的方程为%2+、2一2%-4=0,则圆。的圆心和半径分

别是()

A.C(l,0),r=5B.C(l,0),r=V5

C.C(2,0),r=5D.C(2,0),r=V5

【答案】B

【解题思路】化圆C的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径.

【解答过程】圆C：x2+y2-2x-4=0的标准方程为。一1产+y2=5,

所以圆C的圆心和半径分别是C(l,0),r=遥.

6/29

故选：B.

【题型3二元二次方程表示圆的条件】

【例3】（2025•贵州黔南•三模）“关于，y的方程：/+产+办+2丫+2=0表示圆”是忆>2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解题思路】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.

【解答过程】若关于％,y的方程：％2+y2+QX+2y+2=0表示圆，则+22-4x2>0,解得a>2或a<-

2,

因为（2,+8）真包含于（-8,-2）U（2,+co）,

所以“关于x，y的方程：必+丫2+。工+2丫+2=0表示圆”是">2”的必要不充分条件.

故选：B.

【变式3-1】（2025•吉林•三模）已知曲线C：d+y2+27MX-2y+2=0表示圆，则〃?的取值范围是（）

A.（-co,-1）B.（l,+oo）C.（-1,1）D.（-co,-1）U（1,+oo）

【答案】D

［解题思路】将一般方程转化为标准方程后可求参数的取值范围.

【解答过程】圆的标准方程为：（%+m）2+（丫-1）2=血2-1,

故抗2>1即m<—1或m>1,

故选：D.

【变式3-2］（2025・贵州贵阳•模拟预测）“a,0”是“方程%2+、2一2露-匕2=0表示圆，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】根据题意，化为圆的方程为标准方程Q-a）2+y2=02+62,结合圆的方程，以及充分条件、

必要条件的判定方法，即可求解.

【解答过程】由方程X2+/一2（1%-52=0,可得（％-a）2+y2=公+/，

若时，可得a2+b2>0,此时方程（X—a）2+y2=02+匕2表示圆，即充分性成立：

反之:方程Q-Q）2+y2=次+力2表示圆时，

例如：当a=0,b/0时，方程可化为/।y2=屋也可以表示圆，所以必要性不成立，

7/29

2

所以“Q*0”是“方程/+y2-2ax-b=0表示圆”的充分不必要条件.

故选：A.

【变式3-3](24-25高一下•重庆・期末)若方程C:%2+y2-2ax+2y+2a2-1=0表示圆，且圆心位于第

四象限，则实数a的取值范围是()

A.[-V2,V2]B.(V2,4-co)C.(0,V2)D.(0,V2]

【答案】C

【解题思路】将方程化成(X-Q)2+(y+l)2=2-Q2,再利用条件列不等式求解即可.

【解答过程】因为方程。:％2+y2_2ax+2y+2a2-1=0可变形为(x-a)2+(y4-l)2=2-a2,

由题知[2，解得0<Q<VL实数Q的取值范围是((),、£),

故选：C.

【题型4圆过定点问题】

【例J4](24-25高二上•湖北荆州•期末)圆C:%2+y2+QX-2"-5=0恒过的定点为()

A.(-2,1),(2,-1)B.(-1,-2),(2,1)

C.(-1,-2),(1,2)D.(-2,-1),(2,1)

【答案】D

【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.

22

【解答过程】圆C:/+y2+ax_2ay-5=0的方程化为a(x-2y)+(x+y-5)=0.

由得忧;或忧I：，

故圆C恒过定点(-2,-1),(2,1).

故选：D.

【变式4-1](24-25高二上•浙江温州•期中)点P(x,y)是直线2x+y-5=0上任意一点，。是坐标原点，则

以0P为直径的圆经过定点()

A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1)

【答案】D

【解题思路】设点PQ,5-2。，求出以0P为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.

【解答过程】设点P(t,5-2t),则线段OP的中点为M6,等)，

圆M的半径为|0M|==画亘叵，

\42

8/29

所以，以OP为直径为圆的方程为卜一丁+(y一瞪)2=正华生，

BPx2+y2-tx+(2t-5)y=0,BP(x2+y2-5y)+t(2y-x)=0,

噌沅■。，解得口或kI

因此，以。P为直径的圆经过定点坐标为(0,0)、(2,1).

故选：D.

【变式4-2](24-25高二下•上海徐汇・期中)对任意实数m,圆%2+产一3mx-6my+9m-2=0恒过定

点，则定点坐标为.

【答案】(1,1)或G，：)

【解题思路】由已知得》2+y2—2—(3x+6y_9)m=0,从而gjiXUL由此能求出定点的坐标・

【解答过程】解：x2+y2-3mx-6my+9m-2=0,即x2+必一2-(3x+6y-9)m=0,

令｛公媒U解得”1,y=l,或x/y=l,

所以定点的坐标是(L1)或C，J.

故答案为：(1/)或(W)

【变式4-3](24-25高三下•上海国行•期中)若抛物线y='2+Q工+b与坐标轴分别交于三个不同的点人夙

C,则△A8C的外接圆恒过的定点坐标为.

【答案】(0,1)

【解题思路】设抛物线1=%2+。。+5交)轴于点8(0,匕),交不轴于点4(右,0)、C(x2/0),根据题意设圆心为

求出t=等，写出圆尸的方程，可得出关于小y的方程组，即可得出圆P所过定点的坐标.

2

【解答过程】设抛物线y=x+QX+b交y轴于点8(0,b),交为轴于点4(打,0)、C(x2,0),

xx

由题意可知A=Q2—4b>0,由韦达定理可得勺+工2=-。，i2=

所以，线段4c的中点为(—/0),设圆心为

由|P4『=|PB『可得(勾+§2+*=9+Q-匕猿，解得t=普卢，

•••+ax+b=0,则£==宇，则£一b=F，

1-2/)22

所以，圆尸的方程为+G一殍)2=立密，

整理可得(7+y2-y)+ax+b(l-y)=0,

9/29

X2+y2-y=00

方程组1x=0的解为:二〉

i-y=o…

因此，△ABC的外接圆恒过的定点坐标为(0,1).

故答案为：(0,1).

【题型5判断点与圆的位置关系】

【例5】(24-25高二上•安徽•期中)若点(一2,1)布圆好+、2+%一丫+。=1)的外部，则实数a的取值范围是

()

A.(-2,+8)B.(-00,—2)

C.(-2,1)D.(一8,-2)1)&+8)

【答案】C

【解题思路】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解.

【解答过程】由于点(―2,1)在圆工2+旷2+%一丫+。=0的外部，故

(-2)2+l2-2-l+a>0

解得—2<a<-»

l+(-l)2-4a>0

故选：C.

【变式5-1](2025•四川绵阳・模拟预测)"k>2或k<一3”是“定点4(1,2)在圆了十丫2+收+2、+H一15=0

的外部”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解题思路】由定点力(1,2)在圆的外部得Lfjj比求得〃的取值范围，结合充分，必要

条件的意义可得结论.

【解答过程】；定点力(1,2)在圆*+y2+依+2y+炉-15=0的外部，

「2+4-4(好-15)>0,化简得fk2Vg，卜苧vkv竽

(1+44-/C+4+/C-15>0+/c-6>0k>2或kV-3

M的取值范围：一苧Vk<-3或2VkV苧，

所以k>2或AV-3”是“定点力(1,2)在圆A2+y2++2y+i—15=0的外部”的必要不充分条件.

故选：B.

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【变式5-2](24-25高二上•山东青岛•阶段练习)已知点P(0,-1)关于直线x-y+l=O对称的点Q在圆C:/+

y24-mx+5=0±,则加=()

A.4B.5C.-4D.-5

【答案】B

【解题思路】先求出点尸的对称点，代入圆的方程求解即可.

b+1q

--=—1

【解答过程】设Q(a,b)，则上ana=-2

_^ll=Ob=1

2+

所以Q(-2,1)

由题可知，(-2)2+#一2m+5=0=m=5

故选:B.

【变式5-3](2025•贵州黔南•二模)已知直线y=x+2k与直线y=—x的交点在圆N2+/=4的内部，则实

数〃的取值范围是()

A.-Kk<lB.-2<k<2C.-3<k<3D.-V2</c<V2

【答案】D

【解题思路】联立直线可得其交点坐标，由该点在圆的内部计算即可得.

【解答过程】联立解得｛：2)，即点(—k,k)在圆/+y2=4的内部,

即有(一k)2+F<4,解得一y[2<k<\[2.

故选：D.

【题型6与圆有关的轨迹问题】

【例6】(2025•江苏连云港•模拟预测)已知线段4B的端点B的坐标是(5,3),端点力在圆好+y2=4上运动,

则线段48的中点M的轨迹方程为()

A-(x-1)2+(y-1)2=1B-卜-3+(丫-丁=1

c-1-丁+卜+丁=1D.(x-1)2+(y-1)2=i

【答案】D

【解题思路】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案.

_5+a

(;京'即二葭

由点4在圆k2+y2=4上，则小十川=4,即(2%—5)2+(2、-3)2=4,

11/29

化简可得(x-|)2+(y_|)2=l.

故选：D.

【变式6-1](2025•内蒙古赤峰•一模)在平面内,两定点A、B之间的距离为4,动点M满足|M4|=

则点M轨迹的长度为()

A.3nB.6TCC.9nD.12n

t答案】A

【解题思路】建立平面直角坐标系，设点M(X,y),根据|M川二3|M8|求出点M的轨迹方程，结合圆的周长公

式可求得结果.

【解答过程】以线段力8的中点；0为坐标原点，力B所在直线为工轴建立平面直角坐标系，

则点A(—2,0)、8(2,0),

22

设点M(x,y),由|M川=31MB|可得J(x++y2=sj(x-2)+y,

整理可得/+产一5%+4=0,亿为标准方程得[一|)2+,2=£如下图所示：

所以，点M的轨迹是以点C(|,0)为圆心，半径为|的圆，

因此，点M轨迹的长度为2irx1=3n.

故选:A.

【变式6-2](25-26高二上•重庆•开学考试)点P在圆=36上运动，它与点Q(4,0)所连线段中点为M,

则点M轨迹方程为()

A.(x-2)2+y2=9B.(x+2)2+y2=9

C.x2+(y-2)2=9D./+⑶+2)2=9

【答案】A

【解题思路】设点M(%y),结合中点坐标公式可得P(2x-4,2y),进而代入d+产=36即可求解.

【解答过程】设点PQo，%)，

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因为M为PQ的中点，

_Xo+4

'IT’则"1?2丁‘即尸(2"4,2y),

!y2

又因为动点P在圆上，所以(2%-4)2+(2y)2=36,

则，-4x+y2-5=0,即(x-2)2+y2=9,

则点M轨迹方程为(x-2)2+y2=9.

故选：A.

【变式6-3](24-25高一下•浙江•期中)已知点4(1,0)、1(4,0),点P满足|BP|=2|AP|,记P的轨迹为C,下

列说法正确的是()

A.曲线C的方程为%2+y2=1B.曲线C的方程为d+y2=4

C.点P的轨迹所围成的面积为2KD.点P的轨迹所围成的面积为8TT

【答案】D

【解题思路】设点P(x,y),由|BP|=2|/1P|结合平面内两点间的距离公式化简可得曲线C的方程,确定曲线C

的形状，结合圆的相关知识求解即可.

【解答过程】设点P(x,y),由|BP|=2|AP|可得J(x-4)2+y2=2j(x—l)2+y2,

整理可得/+y2=4,故曲线C的方程为/+y2=4,

所以，曲线C是圆心为原点，半径为2的圆，故点P的轨迹所围成的面积为71X22=4m

B对,ACD错.

故选：B.

【题型7圆系方程】

【例7】(24-25高二上•江苏淮安•阶段练习)已知两直线x-2y=0和x+y—6=0的交点为则以点M

为圆心，半径长为1的圆的方程是()

A.(x+4)2+(y+2产=1口(%—的2+(y-2产=1

C.(x+4)2+(y+I)2=1D.(x-2)2+(y-l)2=1

【答案】B

【解题思路】由题“J得两直线交点，即可根据圆的标准方程性质求解圆的方程.

【解答过程】卜"纥;则M(4,2),乂半径长为I,

则圆M的方程为：(%-4)2+(y-2)2=1.

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故选：B.

【变式7・1】（24・25高二下•湖南长沙•阶段练习）过圆“2+y2-x+y__2=0和d+/=5的交点，且圆

心在直线3%+4y-1=0上的圆的方程为（）

A.x2+y2+2x-2y-11=0B.x2+y2-2x+2y-11=0.

C.x2+y2-2x-2y-11=0D.x2+y2+2x4-2y-11=0

【答案】A

【解题思路】设所求圆的方程为X2+y2-x4-y-2+A(x2+y2-5)=0,(A丰一1),求出圆心坐标代入直线

3x+4y-l=0,求得人即可求得答案.

【解答过程】由题意设所求圆的方程为好+y2_%+y-2+联炉+y2-5)=0,(A1),

nil2121il2+5A

R+yz----------xH---------y------------=0,

z1+A1+AZ1+A

圆心坐标为（益j,一就万），代入3x+4y-1=0中，

即凝一占T=°'解得％7,

将久=一||弋入，+y2--^—x+-^-y-=0中，即％2+y2+2x-2y-11=0,

21+41+/.1+X

满足22+（-2）2-4（-11）＞0,

故所求圆的方程为%2+y2+2x-2y-11=0,

故选:A.

【变式7-2]（2025高二•辽宁•学）1/考试）过圆+y2-2y-4=0与/+y2-4%+2y=0的交点，且圆

心在直线上2x+4y-1=0上的圆的方程是.

【答案】x2+y2-3x+y-1=0

【解题思路】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线，的方程,

从而求出圆的方程.

［解答过程1设圆的方程为x2+y2-4x+2y+A(x2+y2-2y-4)=0(10一1),

贝lj(l+A)%2-4x4-(1+A)y2+(2-2A)y-4A=0,

即K+V-备％+^yT所以圆心坐标为岛,3)，

把圆心坐标(匕,缶)代入2工+4)，-1二0,可得；l=g,

所以所求圆的方程为d+y2-3x+y-l=0.

故答案为：x2+y2-3x+y-1=0.

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【变式7-3](24-25高二上•安徽铜陵•期中)经过直线％-2y=0与圆％2+产一4%+2y-4=。的交点，且

过点(1,0)的圆的方程为.

【答案】工2+丫2+3%-12、-4=0

【解题思路】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点也标，可求出4的值，即可确定所求

圆的方程.

【解答过程】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：x2+y2-4x+2y-4+A(x-2y)=0,

•・•所求圆过点(1,0),

.•.-7+2=0,

解得a=7,

所以圆的方程为d+y2—4%+2>,-4+7(x—2y)=0,化简得d+y2+3x—12y—4=0.

故答案为:x2+y2+3x-12y-4=0.

【题型8定点到圆上点的最值(范围)】

【例8】(2025•陕西铜川•三模)已知圆C:(%—。)2+州一好2=1经过点4(3,4),则其圆心到原点的距离的

最大值为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解题思路】由题意及圆的定义得圆心所在的轨迹方程，然后利用点与圆的位置关系求解最大值即可.

【解答过程】由圆C:(X-a)2+(x-b)2=1经过点(3,4),可得(3-a)2+(4-d)2=1,

即(a—3>+(b—4)2=1,故圆心(a,b)的轨迹是以A(3,4)为圆心，1为半径的圆,

又|.40|=@T至=5,所以圆心到原点的距离的最大值为5+1=6.

故选：C.

【变式8-1](2025•河北秦皇岛•一模)已知圆。过点河1(一3,—2),“2(—2,—1),“3(-2,—3),点/在圆。上，

过点Ni(2,0)的直线。与过点Nz(0,2)的直线。互相垂直，且垂足为B,则|A8|的最大值为()

A.3V24-1B.3V2+2C.472+1D.4夜+2

【答案】C

【解题思路】根据圆的性质求出圆C的方程，再确定点8的轨迹方程，最后根据圆的性质求出|A8|的最大值.

【解答过程】设圆C的方程为(x—a)2+(y—b)2=r2

因为圆C过点Mi(-3,-2),M2(-2,-l),M3(-2,-3),将这三个点代入圆的方程可得:

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((-3—a)24-(—2—b)2=r2

j(-2—a)2+(—1—b)2=r2

1(-2-a)24-(-3-b)2=r2

22

由(-2—Q)2+(—1-b)2=(一2—a)2+(—3—6)2可得:(-1-/>)=(-3-d)

1+26+扶=9+6匕+川，即4力=-8,解得力=一2.

将七=-2代入(-3—Q)2+(—2—匕/=(-2—Q)2+(—1-bp可得：(-3—Q)2=(-2-a)2+1

2222

解得Q=-2.把Q=—2,b=-2代入(-3—a)?+(—2—b)=K可得：r=(—3+2)+(-2+2)=1.

所以圆C的方程为Q+2)2+(y+2)2=1,圆心c(一2,—2),半径r=l.

因为直线。过点Ni(2,0),直线％过点N2(0,2),且所以点8的轨迹是以NiN为直径的圆.

NM的中点坐标为(字，手)=(1』)，IMMI=J(2-0)2+(。-2/=2vL则半径为竽=&.

44La

所以点B的轨迹方程为(％-1)2+8—1)2=2,圆心D(l,l),半径R=&.

根据圆的性质，|4B|的最大值为圆心。与圆心D的距离加上两个圆的半径.

圆心。(-2,-2)与圆心0(1,1)的距离为|CD|=J(-2-1/+(-2-1)2=V9T9=372.

所以|加?|的最大值为|CD|+/?+r=3V2+V2+l=4V2+l.

则|A8|的最大值为4a+1.

故选：C.

【变式8-2](2025•辽宁•模拟预测)已知点M(0,2),/V(pO),过点M作直线交圆0：d+/=9于4？两

点，48的中点为Q,则|NQ|的最小值为()

A.gB.|C.1D,1

【答案】B

【解题思路】依题意可得MQ_LOQ,则点Q的轨迹是以0'(0,1)为圆心，1为半径的圆，从而求出|NQ|的最小

值.

【解答过程】因为Q为的中点，所以0QJ.4B,设Q(%y),因为MQ10Q,

所以点Q的轨迹是以。'(0,1)为圆心，1为半径的圆，

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故|NQ|的最小值为|0'N|_1=］针+12-1=|-1=|

故选：B.

【变式8-3】(2025・宁夏吴忠•二模)古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点48的距离的比值

为定值入(入。1)的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.若

平面内两定点48间的距离为2,动点尸满足鬻=百，则伊用2+俨阳2的最大值为()

A.16+8V3B.8+4V3C.7+473D.3+V3

【答案】A

【解题思路】以48的中点为原点，力8所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设PQ,y),力(一1,0),8(1,0),

由缁二百，可得点尸的轨迹方程为(X-2/+y2=3,数形结合得解.

【解答过程】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取4(一1,0)，5(1,0).

设P(xy)，财"?客=通,整理得(x-2)2+y2=3,

V(x-l)z+y^

所以点P的轨迹方程为(％-2)2+必=3.

则|PA『+|PB/=(%4-l)2+y24-(x—l)2+y2=2(x2+y2+1)

x2+V可看作圆(％-2)2+V=3上的点(%,y)到原点(0,0)的距离的平方，

所以(7+产)=(2+V3)2=7+4x/3,所以［2(7+必+。］=16+86，

即伊川2+|PB|2的最大值为16+8V3,

故选：A.

过关测试

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一、单选题

1.(2025•北京海淀•二模)圆心为(一1,2)且与x轴相切的圆的方程是()

A.(x-l)'+(y+2)2=2B.(x+iy+(y-2)z=2

C.(x—1乃+(y+2>=4D.(x+l)2+(y-2)2=4

【答案】D

【解题思路】首先得到半径，即可得到圆的方程.

【解答过程】因为圆心为(-1,2)且与x轴相切，所以半径r=2,

则圆的方程为Q+I)2+(y-2)2=4.

故选：D.

2.(2025•四川眉山•三模)方程/+/一2%+2/=。表示圆，则实数Q的取值范围是()

A.[2,+8)B.(2,+8)C.[-2,+8)D.(—2,+co)

【答案】D

【解题思路】根据圆的一般方程可得出关于实数。的不等式，解之即可.

【解答过程】若方程第2+y2-2%+2y-Q=0表示圆，则(-2)2+2?+4Q=8+4a>0,解得a>-2,

因此，实数Q的取值范围是(一2,+8).

故选:D.

3.《024•河南信阳•模拟预测)已知圆O：x2+y2=2,点A(m,n)和点B(p,q)在圆0上，满足mp+nq=-1,

则m+n+p+q最大值为()

A.V2B.2C.2V2D.4V2

【答案】B

【解题思路】将点48代入圆。中得7^+/=2,p2+q2=2并结合mp+nq=-l,可得如也竽过=1,

再使用重要不等式求解即可.

【解答过程】由题意可知，点B(p,q)在圆。:32+y2=2上，

所以7九2+九2=2,p2+q2=2,

因为771P+nq=-1,

所以m2+7?+p2+q2+2(mp+nq)=2,

所以(m+p"("+q)2=]

y由为(m+P)2+(”+q)2>zm+p+n+qy

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所以77i+n+p+q<2,当且仅当m4-p=n4-q取等号.

故选：B.

22

4.(2025•河北邯郸•一•模)“a6(-00,-3)U(2,+8)”是“点(-1,-2)在圆d+y-ax-2y+a-15=0

外部”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解题思路】由点在圆外结合二次方程表示圆的条件可将“点(一1,一2)在圆/+产一取-2y+/-15=0

外部”化为aW(-*-3)U(2,竽)，据此可得答案.

【解答过程】因点(一1,一2)在圆/+y2-ax-2y+a2-15=0外部，

则(-if+(―2)2—a-(—1)—2X(—2)4-a2—15>0即［*+a—6>0

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I(-a)+(-2)2-4(Q2-15)>0l-3a+64>0'

解得…«一唱_3)U(2,竽).

注意至11(—作—3)U(2,号3是(一8,—3)U(2,+8)的真子集,

则由“a€(一8,-3)U(2,+8)”不能得到“点(一1,一2)在圆工24-y2-ax-2y+a2-15=0外部