直角三角形存在性问题巩固练习（提优）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

中考撤号

直角三角形存在性问题巩固练习

1.如图，。为坐标原点，四边形为矩形，A(10,0),C(0,8),点尸在边8c上以每秒1个单位

长的速度由点C向点4运动，同时点。在边48上以每秒。个单位长的速度由点力向点8运动，运动时间

为/秒(/>0).

(1)若反比例函数图象经过尸点、。点，求。的值；

(2)若。。垂直平分力P,求“的值；

(3)当。点运动到48中点时，是否存在。使△OP。为直角三角形？若存在，求出。的值，若不存在请说

(2)先根据O0垂直平分4P得出0P=O4,求出,的值，再由P0=Qi即可得出。的值；

(3)分NOPQ=90°与NPO0=9O°两种情况进行分类讨论.

【解答】解：(1)VJ(10,0),C(0,8),点〃在边8c上以每秒1个单位长的速度由点C向点8运动,

同时点Q在边48上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，

:.P(/,8),Q(1(),at),

•・•反比例函数y=?图象经过尸点、。点，

4

/.8/=10ar,解得Q=E；

(2):。。垂直平分力P,

：.OP=OA,PQ=QA,

.\^t2+82=10,解得f=6,

:・Q(10,6a),P(6,8),

•：PQ=QA,

:.(10-6)2+(6。-8)2=(6a)2,解得

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(3)如图,

•••。为48的中点，

：,Q(1(),4),P(/,8).

222

当NOPQ=90°时，OP2+PQ2=OQ2,即产+8?+(io-r)2+4=10+4,整理得，户-io什32=0,

•/△=(-10)2-4X32=100-128=-28<0,

，此方程无解，即此种情况不存在；

当NP0O=9O°时，OQ2+PQ2=OP2,即IO2+42+(]o-)2+42=/+82,整理得，・20%=・168,解得“

42

T，

•・70=4,

【点评】本题考杳的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、直角三角形的判定与

性质等知识，在解答(3)时要注意进行分类讨论.

2.如图，抛物线y=ad十公・4(〃#0)与《轴交丁力(4,0)、5(7,0)两点，过点月的直线y=・x十4

交抛物线于点C.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在直线4C上有一动点E,当点E在某个位置时，使△8OE的周长最小，求此时E点坐标；

(3)当动点石在直线力。与抛物线围成的封闭线力fC—Bf。一力上运动时，是否存在使△8DE为直角三

角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由.

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【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式；

(2)先判断出周长最小时即作点8关于直线4。的对称点八连接。R交AC于点E,联立方

程组即可；

(3)三角形EQE是直角三角形时，由于〃7)>8G,因此只有NO8E=90°或N8/)E=90°,两种情况，利

用直线垂直求出点月坐标.

【解答】解：(1)•・•抛物线y=aK，+b"4(〃W0)与x轴交于4(4,0)、8(-1,0)两点，

.[16a+4b-4=0

,,la-b-4=0'

.fa=1

**lb=-3,

，抛物线解析式为y=/-3x-4,

作点8关于直线力。的对称点凡连接DF交4c于点、E,

由(1)得，抛物线解析式为_)，=/-3x-4①，

,。(0,-4),

丁点C是直线y=-x+4②与抛物线的交点，

・•.联立①②解得，(舍)或｛；：二,

AC(-2,6),

*：A(4,0),

・•・直线/C解析式为y=-x+4,

•••直线A/M/C,且4(-1,()),

・•・直线8/解析式为y=x+l,

设点产(7M,加+1),

(m—17n+1

：.G),

22

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关键是求函数图象的交点坐标.

3.如图，平面直角坐标系中，点彳是反比例函数刃=§(x>0)的图象上一点，一次函数以=-x+2的图

象经过点儿交y轴于点8,△408的面积是3.

(I)求点力的坐标及反比例函数解析式；

(2)观察图象，当乃,_及时，直接写出x的取值范围；

(3)在y轴上是否存在点P,使△/8P为直角三角形？若存在，请直接写出点。的坐标，若不存在请说明

理由.

【分析】(1)在及=-"2中，令x=0,则及=2,得到4(0,2),根据三角形的面积SA4OS=3，求得力

(3,-1),由点力是反比例函数y=：(x>0)的图象上，得到左=-3,于是得到结论：

(2)根据图象即可得到x的取值范围：

(3)设尸(0,a),①当4P8=90°,由力根据点力的坐标即可得到P\(0,-1),②当NP相

=90。，由勾股定理和两点间的距离得到方程32+Q+1)2+32+3』(2-a)2,于是得到结论.

【解答】解：(1)在J，2=-X+2中，令x=0,则)，2=2,

•••一次函数”=-x+2的图象与)，轴相交于点B,

：・B(0,2),又.：SAAOB=3,

设A(/»,〃),

・・，x2X〃?=3,

.*./»=3,将其代入及=~x+2中得干=-1,

：.A(3,-1),

•••点4是反比例函数为=：(x>0)的图象上，

・・・R=-3,J反比例函数解析式为：片三：

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(2)由图象知:当力>及时，x>3；

(3)存在,设尸(0,a),

①当//?〃=90°,则力尸JLP8,

•'•Pi(0,-1),

②当N48=9(T,

则,4P2+482=P82,

即32+(a+l)2+32+32=(2-a)S

；・。=-4,P2(0,-4),

综上所述：P(0,-I),(0,-4).

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数

的解析式，两点间的距离公式，弄清题意，正确的识别图形是解题的关键.

4.如图，二次函数y=*x—3)2—1的图象与x轴交于44两点(点力在点4左侧)，与y轴交于点C,顶

点为D.

(1)求点儿B,。的坐标：

(2)连接CQ,过原点。作OE_LCO,垂足为〃，OE与该图象的对称轴交于点E,连接4E,4),求ND4E

的大小：

(3)设点E关于点。的对称点为R分别以E,尸为圆心，1为半径作两个圆，该二次函数的图象上是否

存在一点P，使得过。向两个圆各作一条切线PM,PN(M,N为切点)，且。历，PN刚好可以作为一个斜

边为4的直角三角形的两条直角逅？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)令y=0,即可求出点4、8坐标，根据顶点式可以知道点。坐标.

(2)先求出直线。。解析式，根据OE_LCO求出直线OE解析式，再求出点七坐标，利用两点间距离公式

中考撤号

求出线段力尽，AD\DR,由勾股定理的逆定理证明△口。是直角三角形即可解决问题.

(3)存在.设点户为(加，〃)，求出尸“，P黑根据P.，M+PA?=42,列出方程即可解决问题.

【解答】解：(1)令y=0,贝6(x-3)2-1=0,解得X=3±M，

，点4坐标(3-\20),点8坐标(3+\,12,0),

令I=0则y=p

7

，点。坐标(0,-),顶点。坐标(3,-1).

(2)设直线。。解析式为卜=米+6,

'3k+b=-1(k=-4

则力_7解得2,

^~2(b=-7

直线CD解析式为y=

*：OE±CD,

・•・直线OE解析式为广为

，x=3时，y=2,

・••点E坐标(3,2),

・・/£2=(、也)2+22=6,AD2=(V2)2+12=3,。。=32=9,

，乂户十月。2=。七2,

・・・NE/IQ=90°.

(3)存在.

理由：由题意七(3,2),F(3,-4),设点尸为(加，〃)，

•••点尸在抛物线上，

/.M1(77?-3)2~1①

：,PM1=PEr-12=(w-3)2+(”-2)2-],PN^PC-R="？-3)2+(〃+4)2-1,

•・・P/+PM=42,

/.Cm-3)2+(〃-2)2-1+(w-3)斗(〃+4)2-1=42,

整理得到(〃L3)2+(/1)2=0②

由①②得到加=3,〃=-1，

工点尸坐标(3,-1).

中考教号

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数.两点间距离公式、勾股定理、非负数的性质等知识，解题

的关键是熟练掌握求抛物线与坐标轴的交点，学会理由参数解决问题，本题有一定的代数技巧，巧用非负

数的性质这个突破口，属于中考压轴题.

5.如图所示，抛物线JH/WX+C与直线y=x-1交于力、〃两点，点/的纵坐标为-4,点8在y釉上，

直线43与x轴交于点尸，点P是线段下方的抛物线上一动点，横坐标为〃?，过点尸作PC_Lx轴于C,

交直线48于。.

（1）求抛物线的解析式：

（2）当〃?为何值时，线段尸。的长度取得最大值，其最大值是多少？

（3）是否存在点P,使△P/Q是直角三角形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，说明理由.

%

【分析】（1）由直线方程得到点48的坐标，然后把点彳、8的坐标代入二次函数解析式列出关于系数的

方程组，通过解方程组来求系数的值即可；

（2）根据直线上点坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征得到:P（/«,m2+4m-1）,D（m,w1）.所

以内两点间的距离和二次函数的最值的求法进行解答即可；

（3）如图2,当//尸。=9（）°时，设出产点的坐标，就可以表示出。的坐标，由△力尸0s△尸CQ列出比例

式求解即可；如图3,当NE4O=90°时，作力轴于应根据比例式表示出力。，再由

列出比例式求解.

【解答】解：（1）•・，=x-1交于48两点,

・•・当x=0时，y=-1,即8（0,-1）.

当^=-4时,x=-3,即a（-3,-4）.

■:抛物线y=x2+bx+c与直线y=x-1交于力、4两点，

•,•[-4=9-3Z?+C,

解得

中考核等

则该抛物线的解析式为：y=x2+4x-l；

(2)•・•点。的横坐标是〃?，且点P在抛物线旷=r+4「1上，PCJ_X轴，

:、P(〃i,m2+4m-I),D(///,m-1).

•・•点P在线段的下方，

/.-3<w<0,

39

：.PD=\-4m-m2-\+m=-3m-而=-2+-.

・•・当机=T时，线段PD取得最大值，最大值是*

(3)如图1所示：当/力尸。=90'，设P(///,m2+4m-1),D(w,m-1).

.*.AP=ni+3,CD=1-m,OC=-m,CP=\-4〃L

:・PD=1-4m~m2-\+ni=-3m-m2.

在直线y=x-1中，当y=()时，i=l,

：,F(1,0),

：.OF=\,

：.CF=\-w,AF=4\l2.

••,PCJLx轴丁C,

/.ZPCF=/APD,

:.CF〃AP,

:.△APDs^FCD,

2

eAP_DPpj,Tn+3_—3m-m

,，CF=CD，叫==1—m，

解得m=-1或m=-3(舍去)，

:.P(-I,-4).

如图2所示：当NP/O=90°时，作轴于E,

/.ZJEF=90°,CE=w+3,EF=4,AF=4&,PD=m-\-(-l+4w+w2)=_3/„,,„2.

•・・/>C_Lx轴,

:./DCF=90°,

・•・ZDCF=NAEF,

中考撤号

：,AE//CD.

._4__4A/2

•C-，

♦3+mAD

：,AD=V'2(3+w).

:△PADsMEA,

,PD_AD”n-3m-m2_：(3+m)

**7A~।md

-2或〃?=-3(舍去)

：,P(-2,-5).

当N/PQ=90°时

J点力与点尸关于对称轴对称

•・7(-3,-4)

:.P(-1,-4)

【点评】本题考查了二次函数综合题.解题过程中，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数、

二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离以及相似三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大.解

题过程中，还有注意〃?的取值范围，才能正确求得点P的坐标.

6.如图1,一次函数y=-x+M）的图象交x轴于点4交歹轴于点工以P（l,0）为圆心的。尸与y轴相

切，若点P以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移，同时的半径以每秒增加1个单位的速度不断变大,

设运动时间为f（s）

（1）点4的坐标为（10,0）,点8的坐标为（0,10）,/OAB=45°:

（2）在运动过程中，点P的坐标为（1+2%0）,GP的半径为1+/（用含/的代数式表示）:

（3）当。尸与直线/也相交于点£、厂时

中考撤号

①如图2,求“泄,弦所的长；

②在运动过程中，是否存在以点P为直角顶点的RtZXPE凡若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理

(2)根据题意可得产(1+21,0),。。半径为1+1.

(3)①如图1中，作PKL/1B于K,连接尸£在Rt△力PK中，由NPK4=90°,ZPJK=45°,PA=4,

推出PK=*R4=2&,在Rt"EK中，根据EK=\,丽2二而2计算即可.

②分两种情形人如图2中，当点尸在点月左侧时，点”与点/4重合时，NEPF=90"；b、如图3中，当

点P在点力右侧时，点尸与点力重合时，NEPF=90；分别列出方程求解即可，

【解答】解：(1)•・？=-x+10的图象交x轴于点力，交股轴于点8,

：.A(10,0),B(0,10),

：.OA=OB=10,

VZAOB=90°,

：./OAB=NOBA=45°,

故答案分别为(10,0),(0,10),45°.

(2)由题意P(1+230),OO半径为1+f,

故答案分别为(l+2f,0),1+r.

(3)①如图1中，作PK_L4?于K,连接PE.

中考撤号

在RtZ\4PK中，・；NPK4=90'：NPAK=45°,21=4,

:・PK=^PA=2晚,

在Rt^PEK中，EK="E2-PK2=4,

：,EF=2EK=\V7.

②存在.

a、如图2中，当点尸在点力左侧时，点厂与点力重合时，NEPF=90°

,：OP+PA=OA,

l+2/+l+Z=10,

:.t=

b、如图3中，当点P在点力右侧.时，点歹与点力重合时，NEPF=90：

中考撤号

图

3\、

由OP-PF=OA,

：.1+2/-（1+Z）=10,

，/=10,

综二所述，/=5或10s时，存在以点夕为直角顶点的RtZ\P£E

【点评】本题考查圆的综合题、垂径定理、等腰直角三角形的性质、一次函数等知识，解题的关键是灵活

运用所学知识解决问题，学会分类讨论，学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型.

7.如图，A,8是直线y=x+4与坐标轴的交点，直线），=-2"5过点8,与x轴交于点C.

（1）求儿B,C三点的坐标：

（2）点。是折线月・6・。上一动点.

①当点。是43的中点时，在x轴上找一点反使EO+E3的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置（保留

作图痕迹，不要求写作法和证明），并求月点的坐标.

②是否存在点。，使△/CO为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点A8的坐标：然后把8点坐标代入y=-2x+b求

出力的值，确定此函数解析式，然后再求。点坐标；

中考撤号

（2）①根据轴对称-最短路径问题求得点£的位置，由待定系数法确定直线。名的解析式为y=-3x-4,

易得点£的坐标：

②存在.分两种情况：当点。在48上时，当点。在4c上时.当点。在48上时，不难得/员4。=45°,

由等腰直角三角形求得。点的坐标为（-1,3）；

当点。在8c上时，设力。交y轴于点E证△力与△BOC全等，得。/=2,点尸的坐标为（0,2）,求

得直线力。的解析式为y=、+2,与产-2r+4组成方程组，求得交点。的坐标为&乡.

【解答】解：（1）在y=x+4中，

令I=0,得y=4,

令y=0,得x=・4,

：.A（-4,0）,B（0,4）.

把B（0,4）代入y=-2x+b,

得方=4

・•・直线4c为：y=-2x+4.

在y=-2x+4中，

令y=0，得x=2,

••・C点的坐标为（2,0）；

（2）①如图

•・•点。是的中点，J（-4,0）,B（0,4）.

：.D（-2,2）.

点B关于x轴的对称点用的坐标为（0,-4）.

设直线。后的解析式为歹=仙+瓦

中考撤号

把D(-2,2),历(0,-4)代入，得弓色±4''=

解得k=-3,b=-4.

故该直线方程为：y=-3.r-4.

令y=0,得七点的坐标为(~p0).

②存在，O点的坐标为(-1,3)或《，Y).

附：当点。在力8上时，由。/=。8=4得到：NBAC=45°,由等腰直角三角形求得。点的坐标为(・1,

3);

当点。在AC上时，如图，设交y轴于点立

在也力。尸与△8OC中，

(ZFA0=ZCB0

\A0=B0

UAOF=Z-BOC

:,AAOFqABOC(.ASA).

：,OF=OC=2,

・•・点尸的坐标为(0,2),

易得直线AD的解析式为y=、+2,与y=-2什4组成方程组'=5：+2

2(y=-2x+4

_4

解得二52.

(y=T

417

••・交点。的坐标为q,T).

【点评】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最

短路径问题、直角三角形问题，第(2)②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，列比例式可解决

问题.

中考撤号

8.如图，抛物线j，=（X-加）2+〃的顶点。在直线y=2x上，该抛物线与直线的另一个交点为儿与y轴的

交点为。.

⑴当〃?=〃-1时，求〃7的值;

（2）当力0〃x轴时，试确定抛物线的解析式；

（3）随着顶点P在直线y=2x上的运动，是否存在直角△E4Q?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存

【分析】（1）由抛物线的顶点在j=2x上可知〃=2〃?，然后由川=〃-1可求得，〃的值；

（2）先求得点。、点彳的坐标（用含m的式子表示），然后根据平行与4轴的直线上所有点的纵坐标相等

列出关于m的方程，从而可求得小的值;

（3）先求得直线/。、P0的一次项系数“k”的值（用含加的式子表示），然后依据相互垂直的两条直线的

一次项系数的乘积是-1,分别列出关m的方程求解即可.

【解答】解：（1）・・•抛物线的解析式为y=（x-〃］）2+〃，

:.P（〃?，〃）.

•・•顶点P在直线y=2x上，

••?1—2w.

又**m—n-1»

：・ni=2m-1.

解得：机=1.

（2）*.*n=2m,

•••抛物线的解析式为＞=（X-w）2+2m.

:当x=0时、y=m2+2m,

••.点。的坐标为（0,帆2,2〃力.

中考撤号

2

由了=(x-w)2+2”？与y=2x得：2x=(x-m)+2m,解得：x}=m,x2=rn+2.

当工=〃？时，y=2m,即点。的坐标为("7,2/?:),

当工=〃?+2时，y=2/〃+4,即点力的坐标为(w+2,2m+4).

•・7Q〃x轴，

:.m2+2m=2w+4,解得：小=2或〃?=-2.

•・•当加=-2时，点力与点。与原点重合，与彳。〃工轴不符，

，用=-2不合题意.

••ni=2•

・•・抛物线的解析式为y=(X-2)2+4.

(3),•*Q(()»m2+2m),P(〃?，2m),A(m+2,2m+4),

・•・直线AO的一次项系数=2”弋1丁；2「=叶2,直线PQ的一次项系数二27A(:吸2m)=.

Jm+z-u-m—u

①当N/1Q尸=90°时，~m(-〃汁2)=-1,解得〃“=m2=1，则尸(1，2)；

②当/4尸0=90°时，・〃?X2=-1,解得〃？=＜，则1)：

乙Z

③当/产40=90°时，(-m+2)X2=-1,解得小=5,则P4，5).

综上所述，点P的坐标为(1,2)或(：，1)或P5).

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，依据平行与工轴的直线上所有点的纵坐标相等、相互垂

直的两条直线的一次项系数的乘积是-1列出关于〃7的方程是解题的关键.

9.如图，当x=2时，抛物线)，=江+云+。取得最小值-1,并且抛物线与y轴交于点C(0,3),与x轴交

于点力、B.

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)若点M(x,乂)，N(x+1,了2)都在该抛物线上，试比较乃与)，2的大小：

(3)O是线段4C的中点，E为线段月C上一动点(4、C两端点除外)，过点E作v轴的平行线所与抛物

线交于点F.

①没点E的横坐标为x,是否存在达使线段EF最长？若存在，求出最长值；若不存在，请说明理由；

②是否存在点E,使△QE户是宜角三角形？若存在，求出点石的坐标；若不存在，请说明理白.

中考撤号

【分析】(1)由当x=2时，抛物线卜=级2+云+。取得最小值・1,可得抛物线y=ar2+bx+c的顶点坐标为

(2,-1),即可得歹="2+加+。=〃(x-2)2-1,又由抛物线与y轴交于点C(0,3),即可求得抛物线的

解析式;

(2)由乃-"=<.v2-4.r+3)-[(x+1)2-4(x+l)+3]=3-2r,然后分别讨论当x为何值时，为与及的

大小；

(3)①首先求得点力与8的坐标，继而求得直线4C的解析式，再设点E的坐标为：(x,3-x),则点尸

的坐标为：(x,x2-4x+3),即可求得答案；

②由可得NOE歹=45°,则在△OEF中只能以点。，/为直角顶点，然后分别求解即可求得答

案.

【解答】解：(1)•・•当x=2时，帼物线歹="2+加计右取得最小值-1,

・•・抛物线y=a*2+bx+c的顶点坐标为：(2,-I),

ax2+bx+c—a(x-2)2-1,

•・•抛物线与y轴交于点。(0,3),

••・4Q・1=3,

解得：4=1,

，抛物线的解析式为：y=G-2)2-i=R-4x+3；

2

(2)-y2=(x-4x+3)-[(x+l)2-4(x+1)+3]=3-2A,

，当3-2x>0,即x<5时，y\>yz；

当3-2r=0,即x=5时，刈=p2；

当3-2r<0,即时，yi<j2：

中考撤号

（3）①存在x=|,使线段E/最长.

令y=0,BPx2-4x+3=0,

解得:X]=1＞必=3,

・•・点力（3,0）,点8（1,0）,

设直线4C的解析式为：y=〃?x+〃，

则图\=0，

解得：忆31

，直线4C的解析式为：y=r+3,线段4C的中点。的坐标为：弓3，力3,

设点£的坐标为：（x,3・x）,则点尸的坐标为：（x,N-4X+3；,

Q9

:,EF=（3-x）-（x2-4x+3）=-x2+3x=-（x-^）2+

・••当x=a5时，E产最长,其值为9了

N4

@'：EF//OC,

••・NDEF=45°,则在△£）£尸中只能以点。，/为直角顶点，

若以点F为直角顶点,贝IJOELER此时△。由s△4co,

・•・"所在直线为：y=L

由/-4x+3=*解得：修=字，4=上留＞3（不符合题意，舍去）,

将工二七/代入y=・x+3,得点七的坐标为：（与四，立刊）：

若点。为直角顶点，则。尸J_/C,此时△。q

•••点。为线段4C的中点，

工。”所在直线过原点O,其关系式为y=x,

・"-4x+3=x,

解得：勺=三咨，M=安亘＞3（不符合题意，舍去），

将工=孑代入y=・x+3,得点£的坐标为：（上当，匕/）.

中考撤号

【点评】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质以及

二次函数的最值问题.注意方程思想与数形结合思想的应用.

10.如图，已知平行四边形48CZ),ADA.BD,AD=2P，BD=2AD,过。点作于E,以DE为

直角边作等腰直角三角形。EF点尸落在QC上，将在同一平面内沿直线OC翻折，所得的等腰直

角三角形记为△PQR点农与。重合，点。与厂重合，如图①，平行四边形力48保持不动，将△尸°及

沿折线。-8-C匀速平移，点/?的移动的速度为每秒4个单位，设运动时间为/,当R与C重合时停止运

动.

(1)当点。落在8c边上时，求/的值；

(2)记△尸0R与△QHC的重叠部分的面积为S,直接写出S与，之间的函数关系式，并写出相应的/的取

值范围；

<3)当△P0A移动到A与6重合时，如图②，再将绕R点汨顺时针方向旋转。(0°WuW360°),

得到△尸10田，若直线Pg与直线8C、直线。。分别相交于M、M问在旋转的过程中是否存在△CMN为

直角三角形，若存在，求出CN的长；若不存在，请说明理由.

图①图②备用图

【分析】(1)根据同角的三角函数设未知数，利用勾股定理求力小。后的长度，由翻折和平移的性质得到夕。

=DF=4,PR=RQ=4,利用勾股定理求的长，从而得到RD的长，根据速度为《求出,；

(2)分四种情况分类讨论，①当0VY费时，如图2,重叠部分是四边形GRQH,根据面积公式求梯形GRQH

中考撤号

的面积就是S；②当昔VK4时，如图3,重叠部分是五边形GKNM",S=S^PRQ-S^PGff-S^MNQf代入面

积公式计算即可；③如图4,先t-算当尸。经过点。时/=?,当4V/K4时，如图5,重登部分为四边形

•5，

GRMH,根据S=S△/-S〃M0,代入求出；④当?V/W6时，如图6,重叠部分为三角形GHC,

代入面积公式计算即可；

(3)根据旋转的度数，分三种情况讨论①如图7,4CNM=90",CN=PN・PC=2&-2：②如图8,Z

CMV=90°,利用余弦求CN的长：③如图9,NCNM=90：CN=PC+PN=2+2也

【解答】解：(1)如图1,当点0落在4C边上时，点H运动的路程就等于HQ的长，

,：ADA.BD,DEA,AB,

・"ADB=NDEA=90°,

.,-fBDED

..tanZD^=-=-,

,;BD=2AD,

•丝一

-AE-2Zt

设,4E=x,则EO=2x,

由勾股定理得：x2+(2x)2=(2回2,

5W=20,

XI=2,x2=-2(舍),

：.AE=2,DE=4,

•••△OE/是等腰直角三角形，

：.DE=DF=4,

由翻折得：PD=DF=4,PR=RQ=4,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,

中考撤号

:,NDBC=NADB=90°,

由平移得：RQ//DC,

:・/BRQ=NBDC,

tanN=lanNBDC,

.BC_BQ_2x/5_1

••丽―而一乖-5'

设BQ=x,贝ljBR=2x,

由勾股定理得:/+⑵）2=42,

解得：X2=（舍），

:.BR=2x=雪,

:・RD=BD-BR=4般-华=塔，

花12

%=1■:

（2）分四种情况:

由勾股定理得：DC=AB=忒4\「5）2+Q\⑸2=10,

①当0WW装时，如图2,重叠部分是四边形GR0”,

图2

则DA=75，

在RtZkDGR中,tanZCDB=^=1,

Ub£

设RG=x,则。G=2x,

・2+⑵）2=（倔）2,

解得：x=±t,

:・RG=t,

：.GH=PG=4-/,

•••S=S梯形GM〃=：（G〃+R0）・GR=；（4-汁4）・/=~^t2+4/：

中考撤号

12

②当时，，如图3,重叠部分是五边形GRNM”,

:.RB=4册一书t,

4\后一\与

:.BN=

2

VRN//DC,

.RN_BR

,,正一~BDf

・・・m=5多

.・.N0=4-RN=4・5+%=%-1,

过M作MTA.RO于T,

MTRp

tan/MNQ=tan/RNB=—=—=2,

:.MT=2NT,

•••/。=45°,/历7。=90°,

:.MT=TQ,

・・・NT=,2=g(%-1)=卷耳,

S2

:,MT=2NT=RF

:・S=S5RQ-S&PGH~SdMNQ，

=1x4X4-1(4-1)2-g(^r-1)(|r+1),

=——49/-,+.―29/---1-

4863,

③如图4,当Q0经过点。时，过C作CNJ_P0于N,

中考撤号

图4

同理得：RN二:,NQ=CN

・MC=J百+甲=竽

:.BD+BR=BD+BC-/?C=4A/'5+2'5一竽=-^/5,

«5J

这时/=¥+&=?；

当时，如图5,重叠部分为四边形GRMH,

图5

■:BD+BR=\&,

:.BR=&-4^/5,RC=65&,

,…一RG4A/5

cosZG/?C=^=—>

・RG二M

••6\/5—\/5(10

A/?G=12-2t,

：.PG=4-(12-2Z)=2"8,

:・S=SAPRQ-S&PGH~S^RAfQ,

2

=14X4X4-74X(2r-8)--/x4Jx-,

c，88

=-2/2+16r—7；

④当?V/W6时，如图6,重叠部分为三角形GRC,

中考照考

图6

由③得RG=12・2/,则CG=6-/,

-*.5=5AG/?C=1CG*/?G=1(12-2/)(6-/)=t2-12/+36；

-1t2+4(0<t<y)

一学2+,常味〈”4)

综上所述：S=

-2t2+16t-j(4<t<y)

3

（3）存在，分三种情况:

:.NAGM=/CNM=90°，

:ZGP\是等腰直角三角形,

:・BG=爰=2\'明

由(1)得：CP=2,

•:PN=BG=2&,

:.CN=PN-PC=2^2-2：

②如图8,/CMN=90：

中考撤号

，：BC=2显BM=2&,

:・CM=2a+2下,

cos八ZN。CuM=-PC=—CM,

.三_2在+2收

-2&K-，

••・CN=拜（2也+2病=2710+10；

综上所述：CN的长为2、伤一2或2\''l0+10或2+2&.

【点评】本题是几何变换的综合题，考查了平行四边形、等腰直角三角形的性质；同时还运月了同角的三

角函数列比例式求边的长，比利用三角形相似列比例式要简单；在求重舂部分图形的面积时，先确定特殊

位置时的/值，根据重叠图形分类讨论解决，利用面积差或和求解.

11.如图，在平面直角坐标系中，ZACB=90a,OC=2O8,tan//8C=2,点8的坐标为(1,0).抛物

线V=-x2+bx^-c经过A.B两点.

中考撤号

(1)求抛物线的解析式：

(2)点P是直线48上方抛物线上的一点，过点尸作PO垂直x轴于点。，交线段48于点E,使尸石=上

DE.

①求点P的坐标和△口，的面积：

②在直线P。上是否存在点例，使△力8M为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点M的坐标;

【分析】(1)先根据已知求点力的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；

(2)①先得48的解析式为：y=-2x+2,根据轴，设户(x,-x2-3x+4),则七(x,-2r+2),根

据PE=1)E,列方程可得P的坐标，先求出点E的坐标，从而得PE=2,根据=

x(XB-XA)计算可得；

②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得力4,AM,8V/的长，分三种情况：△力8”为直角三角形时,

分别以力、夙M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标.

【解答】解：(1),:B(1,0),

・・・08=1,

•••。。=2。8=2,

AC(-2,0),

RtZ\/〃。中，tanZABC=2,

.=2，

UC=6,

：.A(-2,6),

把4(・2,6)和8(1,0)代入y=-N+bx+c得：厂d)：f二、，

I-i十"十L二u

中考极号

解得：［：4一3，

，抛物线的解析式为：y=-x2-3A-+4；

(2)①*(-2,6),B(1,0),

易得AB的解析式为：j，=-Zv+2,

设P(x,~.v2-3x+4),则E(X,-2x+2),

■:PE=^DE,

/.-x2・3x+4-(-2x+2)=|(-2x+2),

x=l(舍)或-I,

:.P(-1,6)；

在_7=-2t+2中工=-1时，y=4,即E(-1,4),

贝i」PE=2,

•*,S»PAB=S5A时SLPBE

=gxPEX(xB-xA)

=:X2X(1+2)

4

=3：

②在直线PO上，且P(・l,6),

设A/(-1»y),

・•・/"=(-1+2)2+(y-6)2=1+(y-6)2,

BW=(1+1)2^2=4与工，

AB2=(1+2)2+62=45,

分二种情况：

i)当N4W8=90°时，有1册+8必=力82,

A1+(y・6)2+4+"=45,

解得：y=3±5/TT,

：.M(-1,3+、桁)或(-1，S-v'IT)：

ii)当N/18M=90°时，有力/+8必=力”，

中考核等

.・.45+4+)2=1+(y-6)2,

y=-1,

：.M(-1,-1),

Ui)当N54W=90°时，有力”+.4#=8必，

1+(y-6)2+45=4+^2,

13

蚱彳，

/.M(-1»£)；

综上所述，点"的坐标为：(-1,3+\而)或(・1,37TI)或(・1,・1)或(・1,y).

【点评】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用,

直角三角形的判定等知识.此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用.

12.如图1,点力坐标为(2,0),以0/为边在第一象限内作等边△。48,点C为x轴上一动点，且在点力

右侧，连接8G以8c为边在第一象限内作等边△8CQ,连接,4。交8c于£

(1)①直接回答：AOBC与AABD全等吗?

②状说明：无论点。如何移动，月。始终与。8平行；

(2)当点。运动到使力时，如图2,经过。、B、C三点的抛物线为y.试问：船上是否存在

动点P,使尸为直角三角形且8E为直角边？若存在，求出点夕坐标：若不存在，说明理由；

(3)在(2)的条件下，将刃沿x轴翻折得力，设刈与力组成的图形为〃，函数y=N区+、§»的图象/

与M有公共点.试写出：/与〃的公共点为3个时，”的取值.

【分析】(1)①利用等边三角形的性质证明

②证明/O84=N84Z)=60°,可得08〃力O：

(2)先证明OE_L3C,再求直线与抛物线的交点就是点P,所以分别求直线/£和抛物线"的解析式组

成方程组，求解即可；由得△O8E是直角三角形，所以「与。重合时，满足△8。为直角三角形

中考撤号

且8c为直角边；

(3)先画出如图3