中考数学二次函数压轴题专项练习：实际应用之路径高度分析（解析版）

中考欲考二法函烈

二次函数实际应用之路径高度分析

例.（2024•裕华区模拟）如图，一小球打从斜坡如上的〃点处抛出，建立如图

所示的平面直角坐标系，球的抛出路线是抛物线£］：尸-上,2+力x的一部分

2

,斜坡可以看作直线幼：的一部分.若小球经过点（6,6）,解答下

2

列问题：

（1）求抛物线。的表达式，并直接写出抛物线4的对称轴；

（2）小球在斜坡上的落点为4求4点的坐标；

（3）在斜坡小上的8点有一棵树，8点的横坐标为2,树高为4,小球材能

否飞过这棵树？通过计算说明理由；

（4）直接写出小球"在飞行的过程中离斜坡力的最大高度.

【解答】解：（1）把点（6,6）代入L/y=-l2W：

2x+bx

19

6=2X6+6b，

解得：b=4,

・•・抛物线L、的解析式为y=」x2+4x，

2

••121/八2c

•y=—-x+44x="-（x-4）+8，

・•・抛物线的对称轴为直线x=4；

12.

y=»x+4x

（2）联立得：，

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解得：卜二°或7,

\y=0y=y

，力点的坐标为（7,工）：

2

（3）小球."能飞过这棵树，理由如下:

当x=2时，

对于L>y*x，y=L

2

对于L「y=--X+4X，y=6,6-1=5>4,

2

・•・小球"能飞过这棵树.：

（4）根据题意得：小球."在飞行的过程中离斜坡勿的距离为

・・・小球，犷在飞行的过程中离斜坡总的最大高度为尊.

8

对应练习.L（2024•宝鸡二模）如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以

地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似

满足函数解析式丫=/乂2号乂，无人机从西侧距坡底。为10米处的3点起飞

,沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线y='x2+bx+c・当无

50

人机飞越坡底上空时（即点〃），与地面的距离为20米.

（1）求无人机飞行轨迹的函数解析式；

（2）当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距

离出

（3）由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坂过近.当无人机与山坡的竖直

距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全,

并说明理由.

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【解答】解：（1）由题意可知，点6（-10,0）,D（0,20）,将区〃坐

标分别代入片―7J+bx+c，

bU

1（Q

得：为X（T°Al°b+c=0,解得：昨，

c=20c=20

・・・无人机飞行轨迹的函数表达式为y='x2*x+20，

y505

（2）当无人机飞行的水平距离距起点为30米札＞=3070=20,

・・・无人机与山坡的竖直距离

222

d=^^x-^-x+20-（-^x+^-x）=—^―x—^-x+20

0505'40420020

・•・当x=20时，X2。2々*20+20=13（米），

20020

答：当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，无人机与山坡的竖直距离d

为13米；

（3）安全，理由如下:

由（2）知，

d=200x2^x+20=200（J-90x）+20=200（x%0/45?-45?）+20嗡&-45）2号

•・.’〉0，

200

・・・x=45时，d有最小值金＞勺

8

・・・无人机此次飞行是安全的.

2.（2024•万山区一模）排球考试要求垫球后，球在运动中离地面的最大高度

至少为2米,某次模拟测试中，某生在。处将球垫偏，之后又在力、ZT两处先

后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线61、G、&在同一平面内）

,最终正好在。处垫住，〃处离地面的距离为1米.如图所示，以〃为坐标原

点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线加，已知点

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3）,点方的横坐标为工,抛物线G表达式为尸a#-2ax和抛物线6

82

表达式为y=2ax^+bx(a#0).

（1）求抛物线G的函数表达式；

（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理

由；

（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第

三次垫球处〃离地面的高度至少为多少米?

【解答】解：（1）♦・•抛物线G表达式为尸且经过点AC1,I"），

•••f=（f）2a-2ax1

解得：行,，

2

・・・抛物线G的函数表达式为：y=Ax2+x.

2

（2）最大高度未达到要求，理由如下：

由（1）得，抛物线G的函数表达式为y=二乂2+乂，

2

•y=-^-x2+x=-y（X2-2X）=-4"（X-1）

.•.抛物线G的顶点坐标为（1,1）,

2

・・・。处离地面的距离为1米，

・・・球在运动中离地面的最大高度为1卷卷〈2，

・••最大高度未达到要求；

（3）解：由（1）可知，_A,

a=2

•.•抛物线G表达式为y=・，*+",

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・・・对称轴为直线顶点坐标为（£,缶），

・・•球在运动中离地面的最大高度达到要求，

2

・,k1*

・・・622或。《-2,

・・•对称轴在刀轴负半轴,

・・・6V0,

:,b&-2,

・・•点8的横坐标为/■,

2

-93

,,yB=-7^Vb，

・••当6=・2时，%有最小值，最小值为_2_2、（-2）屈，

424

・・・点夕离地面的高度至少为1弓口.75（米）.

3.（2024•威县校级三模）某课外科技小组研制了一种航模飞机.通过实验，收

集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：而、飞行高度y（单位：m

）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如下表：

飞行时间t/s02468•••

•••

飞行水平距离x/m010203040

飞行周度y/加022405464•••

【探究发现】

通过表格可发现》与方满足一次函数关系，即x=5九而y与方之间的数量关

系也可以用我们已经学习过的函数来描述.

【解决问题】

（1）直接写出y关于方的函数解析式.（不要求马出自变量的取值范围）

（2）如图，活动小组在水平安全线上月处设置一个高度可以变化的发射平台

试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下面的问题：

①若发射平台相对于安全线的高度为0/〃，求飞机落到安全线时飞行的水平距

离；

②在安全线上设置回收区域，点〃的右侧为回收区域（包括端点给，125/77

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.若飞机落到回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度.

【解答】解：(1)根据探究发现：P与I是二次函数关系，

设夕与，的函数解析式为y=ag2+A,

由题意得：(4a+2b=22,

116a+4b=40

，」

解得a-石

b=12

・・・y与。的函数解析式为y=・』d+12£；

2

(2)①依题意得，令y=0,则」弋2+12『0，

2

解得人=0,22=24,

当£=24时，x=5£=120.

答：飞机落到安全线时飞行的水平距离120俄

②设发射平台相对于安全线的高度为〃/〃，飞机相对于安全线的飞行高度为

丫1;总产+121+0

•.32125,

A5125,

・•・/25,

在丫1=[t2+12t+n中，

当刚好落在"点时，即1=25,力=0时，〃=12.5,

工若飞机落到回收区域,则〃212.5,

答:发射平台相对于安全线的最低高度为12.5勿.

4.(2024•祥符区一模)跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一,如图，运动员

通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡战、上的点夕处，他在空

中飞行的路线可以看作抛物线的一部分.这里如表示起跳点力到地面例的

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距离，。。表示着陆坡欧的高度，如表示着附坡底端8到点〃的水平距高.

建立如图所示的平而直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高

度y（单位M与水平距离x（单位：加近似满足函数关系j，=-工乂2+6广。

,已知勿=70勿，比-60处落点〃的水平距离是40勿，竖直高度是30/.

（1）点力的坐标是（0,70）,点〃的坐标是（40,30）；

（2）求满足的函数关系尸-工乂2+。户。；

16*

（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡缈竖直方向上的距离达到最

(2)把力(0,70),P(40,30)代入y=-工产。得:

16*

rc=70

1»

-^TX1600+40b+c=30

lc=70

所以二次函数的表达式为尸-工f+8产70；

162

（3）如图，作的V〃y轴分别交抛物线和优于极N两点,

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"（0,60）,

设线段比的关系式为y=km,则卜=60,

I40k+m=30

解得：,4,

m=60

所以线段〃。的关系式为尸-3260,

4

设"（&-_±_浜+2卅70）,则N（a-2^-50）,

1624

贝|J国界70+旦w-60=-工4+且/10=--L（a-18）2+30.25,

162416416

V-A<0,

16

・•・当丑=18时，/V有最大值,最大值为30.25,

答：运动员到坡面"竖直方向上的最大距离时水平距离是18m.

5.（2024•确山县二模）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的

周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，

高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图

所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.

（1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；

（2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身

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高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形

状不变的前提下，把水池的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池

中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的

最大高度.

【解答】解：（1）'・'关于J轴对称,

・••第二象限抛物线的顶点坐标为（-3,5）,

设水柱所在抛物线［第二象限部分）的函数表达式为y=d（广3）2+5（aWO）

将（-8,0）代入y=a（e3）2+5,得：25/5=0,

解得：a=-l,

5

・••水柱所在抛物线［第二象限部分）的函数表达式为y=-2（户3）2+5（-

5

8<^<0）；

（2）当尸1.8时,有-工（户3）2+5=1.8,

5

解得：修=-7,彳2=1，

・••为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内；

（3）当x=0时，尸-』（欢3）2+5=」！，

55

设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为y=-工/+b世卫

55

・・,该函数图象过点（-12,0）,

・・・0=-lx（-12）2+（-12）〃也，

55

解得：6=-笆，

15

・,•改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为夕=■工/一丝广

515

卫二-A（户K）2+观,

5539

・・・扩建改造后喷水泡水柱的最大高度为毁米.

9

6.（2024•河南）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（〃?）满足关系式h

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=-5#+的，其中f（s）是物体运动的时间，心（加/$）是物体被发射时的速

度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.

（1）小球被发射后—需_s时离地面的高度最大（用含心的式子表示）.

（2）若小球离地面的最大高度为20根，求小球被发射时的速度.

（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度

相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已知实验楼高15〃?，请判断他

的说法是否正确，并说明理由.

【解答】解：（1）V-5<0,

・・・当，=-旦=幼时，离地面的高度最大.

2a10

故答案为：11；

10

（2）当尸至时，A=20.

10

V09V0

+

-5X%）v0X—=20.

解得：vo=2O（取正值）.

答：小球被发射时的速度是20〃而；

（3）小明的说法不正确.

理由如下：

由（2）得：h=-5t2+20t.

当力=15时，15=-5r2+20z.

解方程，得：Z]=l,<2=3.

V3-1=2（s）,

・•・小明的说法不正确.

7.（2024•江西）如图，一小球从斜坡。点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次

函数y=ad+bx（aVO）刻画，斜坡可以用一次函数丫公乂刻画，小球飞行的水平距离工（

米）与小球飞行的高度），（米）的变化规律如表：

X012m4567•••

y07.615815n7_•••

~2~2~2