“互联网+”时代的出租车资源配置-数学建模

“互联网+”时代的出租车资源配置

摘要

本文围绕互联网时代出租车资源配置问题，对不同时空出租车资源供需平衡程度、

打车公司补贴措施对打车难的影响、设计新补贴方案等问题分别建立了模型，并对结

果进行了详细的分析。

针对问题一，首先分析了不同时段出租车空驶过程次数和空驶等候时间统计数据,

建立出租车空驶模型，计算出不同时间段的空驶率，并给予建议：在早高峰期应当适

当增加出租车的数量。然后又研究了城市出租车网络的运营特性与载客和空载阶段的

出租车路径选择行为特征，分析了固定需求条件下出租车运营网络的供需平衡关系，

建立了城市出租车网络供求匹配平衡模型，以客观地反映驾驶员的搜客行为规律，并

针对模型结构特征设计了模型求解的迭代求解算法。最后通过简单的算例分析，证实

了算法的有效性。

针对问题二，建立顾客满意度模型，分析了影响顾客满意度的几个主要因素，首

先介绍了出租车司机占比和顾客占比的变化规律，重点讨论了司机积极度对满意度的

影响，并根据现阶段各打车公司的补贴措施分析了“算结果，并得出结论：各公司的

补贴措施对打车难确实有帮助。

针对问题三，在第二问的基础上建立优化模型，同时控制出租车空载率保捋恒定,

并利用MATLAB编程，得到最佳的补贴方案。然后对模型检验，论证了模型的合理性。

最后，对模型进行了评价，分析了模型的优缺点，并针对解决打车难问题给出了

合理的建议。

关键词：空驶率供求匹配平衡迭代算法满意度

一、问题重述

1.1问题背景

随着经济的快速发展，人们对出行的要求也变得越来越高，出租车是逐渐成为出

行的必备工具，然而“打车难”却发展成为一个社会的热点问题。伴随着“互联网+”

时代的到来，许多家公司以移动互联网为基础建立了打车软件服务平台，方便了乘客

与出租车司机之间的信息互动，为了使人们更多的使用打车软件，打车公司同时推出

了多种出租车的补贴方案C

1.2需要解决的问题

(1)试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。

(2)分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助？

(3)如果要创建一个新的打车软件服务平台，将设计什么样的补贴方案，并说明其

合理性。

二、模型假设

假设1：在派遣运行过程中不存在路抛现象。

假设2：载客阶段出租车以乘客起点和终点间的最短路径完成运输。

假设3：所有可能搜索路径均不包含迂回线路。

假设4：软件公司为用户提高的生活服务质量日趋完善，出租车司机的占比每年

增长，但增长速度每年递减，最后使用打车软件的人数稳定在一定数量(即达到饱和

状态)。

假设5：出租车司机的占比、积极度的平方以及空驶率的平方与顾客的等待时间

d

成反比，即厚22；d为常系数。假设顾客的满意度跟等待时间成负相关，且满

足s=10(Wpf，其中t顾客等待打车的时间，h为常系数，顾客的满意度跟的士的占比

成正相关，可以这么理解，使用打车软件的出租车越多，乘客越容易在短时间内打到

车，即满意度越高。

假设6：顾客的占比率与满意度成正比。

假设7：的士司机因打车软件每月多赚取的收入Q为司机因降低空驶率而省下的

油费，并假设司机每月跑的路程与每公里油费的乘积1不变。

三、符号说明

搜索起点J

搜索起点区域集合J

搜索终点i

搜索终点区域集合I

出租车从交通区j至IJi的最短路径行驶时

间

出租车在i区的平均搜索时间

i区的出租车需求产生量

各交通区间的出租车出行0D

非负修正系数

搜索区域集合

最大搜索时间

乘客平均等待时间

交通区道路总里程公数

出租车辆到达率

出租车司机的占比pl

顾客的占比P2

常系数a,b,c,d,n,i,j,k

年份m

顾客的等待时间t

顾客的满意度s

出租车司机积极度y

打车软件租车费xl

软件补贴和每月司机省下的油费Q之和x2

使用软件前的空驶率wl

使用软件后的空驶率w

打车软件公司每天收取的费用U

打车软件每单补贴费用r

每月跑的路程与每公里油费的乘积1

四、问题分析

经济的快速发展和人民生活水平的日益提高，使得出租车这种能够根据乘客需求

而提供服务的交通工具越来越受到出行者的青睐，出租车的运输需求与供给是相互联

系，不可分割的C如果供给大干需求，则空驶率增加,如果需求大干供给，则会产牛

打车难的问题。目前国内许多大城市出租车的供求匹配并不是很理想，打车难这种现

象频繁出现。因此建立合理的模型，并且加以分析不同时空下的出租车资源匹配问题,

显得尤为重要。

问题一为确定城市出租车的合理发展规模，要求建立合理的指标，分析不同时空

条件下出租车资源的“供求匹配”程度，我们首先研究了在不同时空下出租车的空驶

率，通过空驶率与载客率的关系得出不同时间段的载客率，然后研究城市出租车网络

的运营特性。分析在固定需求条件下城市出租车运营网络的供求匹配关系，建立了城

市出租车供求匹配网络平衡模型，并对模型结构特征运用迭代算法进行数据的处理。

问题二我们查阅各打车公司历年来对出租年的补贴措施，除此之外，还需要了解

引起城市打车难的原因。关于打车难的原因，我们从出租车积极度（司机收入变化引

起的出勤度）以及空驶率两个方面考虑对打车难的影响，并建立模型计算出。

问题三是要我们建立新的打车方案，由于历年的空驶率都变化不大，因此我们找

出了比较合理的空驶率，并假设其在2015年以后的五年里恒定不变，这样影响顾客满

意度的因素就只有打车软件公司的补贴以及每天收取的费用两部分。对此可以使用问

题二的模型找出最佳的方案，同时将最佳方案运用到2012-2015年当中，得出优化后

的等待时间以及顾客满意度。

五、模型的建立与求解

5.1模型一：出租车空驶模型

出租车的需求和供应基于时空，那么网络平衡模型与道路结构、乘客0D分布相关,

乘客OD分布与出行时间有关。对某区从06:00至20:00空驶次数进行详细的统L分析,

最终得到区域内运营出租车的变化情况，如图1

图1不同时段出租车空驶（等候）可程次数统计

由图可知出租车运营主要集中在07:00-08:00之间，此时间段正是早高峰，此时

的交通情况不容乐观严重，鉴于时间和经济的因素，大多数出租车司机不愿意在该区

域内停留，区域内能够正常运营的出租车数量较少。待到早高峰期过去之后，出租车

又开始进入该区域。在下午13:00-16:00之间，区域内的出租车运营次数逐渐增加。

16:00运营的出租车数量开始慢慢减少。19:00以后，道路交通压力缓解，出租车开乂

始正常进出该区域。

对出租车空驶（等候）时间0-20分钟进行分析，得到不同时段出租车空驶等候时，

如图2

50.0

。

s000oOo。OOO0o

000oOo00OOO9o

一

0mN亩DZ

5寸6d

s1.ImIIII

000..Io..OIO1r

s000oOoo6OOO0o

、og-OOO0o

0olOOG

606INm寸No

lTIlnTI00I

T1图

3不同时段的出租车空驶率统计(K=30)

早、晚高峰出租车空驶率较小，其中早高峰达到最小值28.4%。基于空驶率和载

客率的关系，早高峰期载客率最大可达到71.6%,这是由于早高峰时段区域内出租车

供求不平衡，出租车数量不能满足出行者的需求。因此在早高峰期应当适当增加出租

车的数量。

5.2模型二：网络供求匹配平衡模型

当出租车在i区完成载客任务后，出租车的运行状态便转入空驶状态，出租车司

机将会进行新客源的搜索,出租车的空驶搜客过程一般为:设定初始的搜索方向；当按

照原先设定的搜索方向没有搜索到乘客，驾驶员将会重新确定新的搜索方向，直至搜

索到乘客为止。另外由于出行者需求的随机性，搜索到新乘客的地点可能在本区也可

能在其他区域内。另外，出租车的搜索行为也因驾驶员个体差异而表现不同，使得从

本区i出发在j区搜索到乘客的出租车的行驶路线也不能够完全相同。如图1显示了

从本区j出发在i区搜索到乘客的出租车2条可能的空载行驶轨迹

图1租车搜索路径的选择

注：圆代表不同的交通区，各圆间的连线和附带权值分别表示两两交通区之间的邻接

关系及最短时距。

在固定需求条件下，出租车司机的选择意向决定了空驶搜索行驶路径的选择特点。

一方面，对于每个出租车司机而言，总是希望尽快地接到生意，因此他们会首先考虑

自己认为乘客出现率较高并且距离较近的区域作为搜索目标的区域，由于司机自身特

征的不同，对搜索目标区域的选择具有一定的随机性;另一方面，虽然出租车对乘客的

搜索行为存在一定的随机成分，但是客观上搜索到乘客的概率还是随着搜索时间的增

加而提高。因此，对出租车司机的空驶搜索过程作更进一步的补充描述：出租车司机仅

在相邻交通区集内选择目标区域作为新的搜索方向。

假设驾驶员选择行为的随机性满足二重指数分布⑵，则从j区出发的空驶出租车

选择i区作为搜索方向的概率为

—0(5j+Wi)Qi

(Ze/7.,yeJ)

之尸"Sk+WQQk

kelj

注：。值反映了驾驶员对乘客需求分布、行驶时间及其他出租车运行状态等信息的不

确定性。

照着这样的搜索规律,理论上讲，总会有少许的车辆永无止境搜索下去，但是这种

情况在现实中是不可能存在的。结合出租车空驶搜客过程的特征,假设搜索不成功概率

与搜索时间却之间满足线性分布可建立如下关系

Pm=7*d=乙卜=Vmax)

"o(Gn>Tmax)(2)

对图1中的两条行驶轨迹的选择概率可表示为：

Pji=Pe/jp'lPd/eP2Pi/d(3)

P夕=Pc/jPlpe/cP2Ph/eP3Pi/h(4)

当邛为。时，意味着从j区出发的空驶出租车在到达i区之前就载到了乘客,所以

可根据距窗关系决定j区的空驶出租车在i区载客的可能路径集，从j区出发而在i

区搜索到乘客的出租车数量比例为

Pji=\”岑⑸

式中，斗为可能搜索路径集。

出租车运行时间包括载客时间和空驶时间。总载客时间7；为完成所有需求所耗费的时

间，即

7。=Z6W6pjUij(6)

总空驶时间包括从小区到小区的空驶时间与在小区内的搜索时间，即

Tv=4eE/七/{%e2及w(珞+卬济}(7)

出租车总载客时间与总空驶时间之和为出租车的总的运行时间，以lh作为统计时间，

则

7。+7V=ZGG产幽+工GG/[2e]。猥〃eaJP%(4+w[]]=N⑻

式中，N为出租车总运营车辆数。

5.2.3供求匹配平衡关系

在所研究的时间段内，如果各交通区的出租车出行需求0D能够全部被满足,那么

称该交通网络达到了出租车运营供求匹配平衡状态。在供求匹配平衡的状态下，从省

租车的运行过程来看,载客的出租车从各小区i到达小区j,来满足目的地小区j的茕

租车需求,即)

E"ij=Qj(9)

当所有的车辆完成运输后变为空车,再从小区j以概率P〃.驶向小区i搜索乘客,那么出

租车从小区j到小区i的空驶交通量2”.为

Qvji=QjPji(io)

在供求匹配平衡状态下,存在以下平衡关系

£/ejQvji=Ze/工口DjPji=Qi(11)

平衡状态下的出租车网络运营模型为

Z6/IXe=Qi

工e/^/e产网+工w/%e/[%wA?，ke勺附（吊+wj]]=N（12）

从式（1）〜⑺所列出的变量之间的关系，可知在既定的区域关系及需求分布的条

件下，模型（12）中的变量仅为各交通区的平均搜索时间叱，并且所得的数量等于交通区

数量。从结构来分析，恰好有与交通区数目相等的独立方程式数,从数学辩证的角度得

出该模型具有唯一解。

乘客等待时间是衡量出租车服务水平的重要指标之一，是管理部门确定合理出租

车规模大小的重要考虑因素，等待时间受出租车拥有量、道路布局、城市布局、交通信

息的可获得性、道路交通状况等多种因素的综合影响。

建立交通区i内的出租车乘客平均等待时间叱与交通区的道路总里程公里数4、

出租车辆到达率％、出租车平均搜索行驶速度3和平均区内搜索时间叫之间的关系为

604

的=病（13）

上述模型式（12）建立起了出租车规模N与各交通区的搜索时间吗的关联，将其引

入到式（13）中，即可得到两者的对应关系，这将能够直观的表现出出租车资源的“供

求匹配〃程度。

5.3模型的求解

出租车网络供求匹配平衡模型实是一个典型的多元非线性方程组，基于计算的复

杂性设计有效的迭代求解算法。对于模型式（12）的结构：模型中式（H）所包含的部分

实际为％-1个独立方程式（〃,为交通区总数），可以唯一确定〃,7个未知变量，这就意

味着另一个未知变量必须通过式（8）来求解。提取某个子解，叼对式（8）进行形式变换,

得出下式

-

teljejleljeJkeAjtie{1^x）/e/fceA）t

由此求解算法设计如下。

Stepl:根据既定的区位和距离关系进行枚举判断，确定出各交通区间的可能搜索路径

集4。

Stcp2:对各交通区对间的每一条可能路径,计算搜索不成功概率值外〃o

Step3:设定初始值）尺，/€/

Step4:令n=lo

Step5:将卬；代入式（11）,求解卬个

Step6:将求解出的各卬7代入式（14）,得到卬丁。

Step7:验证收敛性。如果相对误差

迭代停止,取":为最终模型解,否则n=n+l,转向steplo

2

5.4模型检验

设计一个简单的算例来演示前述算法的收敛性特征。在图3的简单网络⑶中，带编

号的圆圈表示各交通区，其间的连接线表示邻接关系,箭头及权值表示区间不同方向上

的最短路径时间/min。表1列出了该网络的出租车出行需求0D矩阵。

图3简单网络

表10D矩阵

交通区1234567

10402020302010140

23001030202020130

32020030403020160

43010100201020100

54010203002040160

61020101030030110

72030202020300140

15013090140160130140940

设最大搜索时间z小为20min,可确定各交通区之间的可能搜索路径集，表2列举

了部分交通区之间的可能搜索路径集。取0为0.5,N为200,£为0.05,初始值，J为

1,i为广7,根据前述算法进行迭代计算过程见附件lo

表2可能搜索路杼集

交通区可能搜索路区间搜索时区间搜索时

交通区队可能搜索路径

队径间/min间/min

L256T7T312

L7T296fT2T315

L2L6T7T2196T5T4T319

L713T2126T7TL2T319

11714T3T2166T7T4T316

7T57L2G—7T2T316

7T6T5176fT7T315

7T4T5106-L7T2T319

7T5

7T3T4T5156TL7T4T319

7fT6T5196T5T7T320

7T2T3T4T5196T5T4T319

由附件1计算知，在经过4次迭代之后，各计算值已基本收敛至所要求的精度范

围内。并且，在迭代过程中各目标变量值的变化基本上都呈现逐步收敛的趋势，这就

保证了该迭代算法的求解有效性。对于上述算例，最终的计算结果为吗为1.06min,吗

为1.14min,w3为0.97minvv4为1.58minw5为0.97min,\v（y为1.28min,vv7为1.09mino

表31q司交通区的道路总:艮程公里数

1234567

Aj(km)70806590756080

由表3可知4:%为70km,4为80km,4为65km,4为90km,4为75km,4为

60km,4为80km,u取为30km/h。则按照式（13）计算出各交通区内乘客的平均等待时

间为：%为0.94min,明为L08min,吗为0.84min,明为L14min,w5为0.97min,vv6

为0.85min,必为1•05mino

5.3模型三顾客满意度分析模型

表12012-2015年中国累计使用打车软件的出租车数量

年份2012201320142015

人数(万)2190150200

图1

根据表1,图1及假设5,由于2012-2015年出租车的占比随年份的增长率不断下

降，且最后值趋于不变，这一数学函数我们联想到了指数函数，所以我们小组大胆假

设pl的变化规律满足以下关系式

p\=\cie^(ni-b)]+c(15)

其中a,b,c为常系数，m为年份

由表1所给的数据可以确定

a=l,b=2021,c=0.001

根据假设5和假设7,出租车司机的占比、积极度的平方以及空驶率的平方与顾

客的等待时间正相关，即/二,d一顾客的满意度跟等待时间负相关，且满足

y-p\•

s=100-〃“，由这两个式子得到

s=100—彳—■—2(16)

y•p\-w

且由假设6顾客占比p2与满意度s成正比，我们易得

p2=，“100-(17)

y-J.pj”.yv"J

可以确定

基于假设7,空驶率w与pl成正比，与p2成反比。

假定其满足下式

(18)

因此易得每月司机省卜.的油费为

由表2,表3的数据可以确定出：(19)

wl=0.45,i=0.02,j=0.4,k=0.036,1=90000

表22012-2015年空驶率

年份2012201320142015

空驶率（%）45433530

表32012-2015年石油价格平均值

90号汽油（元/升）93号汽油（元/升）97号汽油（元/升）0号汽油（元/升）

6.486.92(京92号)7.36(京95号)6.84

5.3.3司机积极度v分析

通过计算司机的积极度，分析其对顾客满意度的影响。首先分析影响司机积极度

的主要有以下几个方面：软件补贴、打车软件租车费、油费。从调查可知自从出租车

司机使用打车软件后，出租车的空驶率有了明显降低，因此本模型将从油费节省方面

入手,调查计算使用打车软件后节省的油费C从卜述二个方面可知只有打车软件和车

费X1为司机需要支出的，所以就将软件补贴和油费Q归为一类X2,便假定xl,x2满

足下面的等式

x2

y=x\+x2(20)

具了解，自从使用打车软件，司机将被扣除每天大约200元的“份儿

钱”，由此本模型将2012-2015年的司机积极度计算并记入下表4

表42012-2015年司机积极度数值表

年份2012201320142015

积极度0.410.490.620.50

从上表可以看出，2013,2014年积极度有所增加，但2014年增加变

缓，2015年积极度显着下降。其中的原因主要有以下几个方面：2014年7

月，软件补贴司机降为2元/单。2014年8月，滴滴打车取消对司机接单

补贴（具体补贴措施见附件3）。2015年2月上午“滴滴”“快的”两公司

联合宣布正式合并。同时出台新规定收取20Q30%的提成⑷。

将表1积极度代入（16）式可得顾客的满意度，如表5所示

表52012-2015年顾客满意度数值表

年份2012201320142015

顾客满意度73.8583.1388.8987.22

由上表可知，2014年的顾客满意度最高，其中的原因是2014年上半年补贴力度

比较大，相比2015年没有收取收入提成。因此，从上述的结果可知各公司的补贴对打

车难确实有帮助，调动了出租车司机的积极性，而且提高了顾客的满意程度。

5.4优化模型

打车难的原因主要有出租车占比小、出租车司机积极度、出租车空驶率三个方面,

对于占比，由于目前道路已经相当拥挤，出租车数量已接近饱和，各个城市无法再增

加过多的出租车数量，否则交通将更加拥堵；对于出租车司机积极度，我们将如问题

二的分析方法，分析各打车软件公司对出租车的补贴力度，找出最佳的补贴方案，充

分调动出租车司机的积极性；对于出租车空驶率，通过查阅资料以及最近的新闻报道,

我们得知空驶率越低，打车难问题就越严重，因此空驶率不宜过低。为此本模型假定

2015年以后的5年时间里空驶率维持在20%左右。

根据查阅的资料以及报道得知，2015年以后各个打车公司将取消订单补贴，然而

经过我们的计算，补贴不宜取消，应该适当地减小。除此之外还有一项就是各公司每

天将收取一定费用，在这方面我们也进行了讨论计算。假设每个出租车司机每天接单

10单，每单补贴的金额r为1-5元，每天收取的费用u为50-200,将r,u代入（20）,

（16）式得

1Or+45000

y=--------------------(21)

30〃+10r+45000

hd

s=l(X)-(22)

y2-p\-