5.2.1三角函数的概念课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

前面我们已经研究了函数的一般概念、幂函数、指数函数和对数函数，基本按照“背景——概念——图象与性质——应用”路径进行探究。

今天我们继续按照研究函数的一般套路来展开探究。我们知道，函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型。如：直线运动-----一次函数；抛物运动-----二次函数；

指数爆炸-----指数函数；对数增长-----对数函数；那么圆周运动-----用什么函数模型刻画呢？提出问题，引导探索生活中，处处可见实际生活中“周而复始’’现象.地球自转四季变化公转生活中的圆周运动日出日落，潮汐变化，转动的摩天轮上游客仓P、转动的时针针尖M，行驶中的汽车轮子上的辐条端点N的运动等，这些都是实际生活中“周而复始’’现象，怎样用数学的眼光来看待它们呢？PNMPO如何刻画点P的位置变化情况呢？

终边始边从几何角度看：随着角POA的变化，动点P在半径为r的圆上作圆周运动。那么如何从函数的角度来刻画它呢？5.2.1三角函数的概念学习目标1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义；2.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题；3.根据定义认识函数值的符号，理解诱导公式一；4.体验三角函数概念的产生、发展过程，领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验。根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究这个问题.如图，以单位圆的圆心O为原点，

以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则A(1,0)，P(x,y).

射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.

如图，单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，现在的任务是：建立一个数学函数模型，刻画点P的位置变化情况.在弧度制下，我们已经把角的范围扩展到全体实数.不失一般性，先研究单位圆上点的运动.

探究新知方法：过点P向x轴做垂线，得到直角三角形OPM，可以用锐角三角函数求点P；

P探究：1、已知，如何求角的终边与单位圆交点P的坐标？探究：2、计算：当∠α变化的时候，点P的坐标情况α0π.....P点横坐标x.......点P纵坐标y.......π6π4π32π37π611π4π2α0π......P点横坐标x1......点P纵坐标y010......π6π4π32π37π611π4π2

任意给定一个角，它的终边与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？当角∠α确定时，点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的点P的横坐标x、纵坐标y是关于∠α的函数吗？探究：2、计算：当∠α变化的时候，点P的坐标情况当角∠α确定时，点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的点P的横坐标x、纵坐标y都是关于∠α的函数怎样命名此类关于角∠α的函数呢？1、单位圆上一点的三角函数定义设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)（1）把点P的纵坐标y叫做∠α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα（2）把点P的横坐标x叫做∠α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα

学习新知1注意：无论角a是第几象限角，它的三角函数的定义都是一样。我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.

OabMPcxsinx=cosx=tanx=

应用新知1归纳：利用单位圆求任意角三角函数值的一般步骤①把角放在平面直角坐标系中②画出直角三角形③求出角的终边与单位圆的交点坐标④利用定义来确定三角函数的值练习（第179页）OPMxy练习（第179页）αsinαcosαtanα00000011-1-10不存在不存在α0πsinαcosαtanαπ2π6π4π32π33π45π6牢记常见的三角函数值，解决问题事半功倍！常见特殊角的三角函数值

无

π2

例2、如图，∠α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r；求证：证明设∠α的终边与单位圆交于点P0（x0，y0），分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则：由此可知,只要知道∠α终边上任意一点P的坐标,就可以求得∠α的三个三角函数值。α终边上任一点三角函数定义：归纳练习（第179页）解由题意可得习题5.2（第184页）练习（第179页）4．已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s．求2s时点P所在的位置．以坐标原点为圆心O，OP所在直线为轴正方向建立平面直角坐标系．2s时点P所在的位置记为Q．因为点P是在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s．

如图，以圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则A(r,0)，P(x,y).

射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，可以建立一个三角函数模型，刻画点P的位置变化情况.即:

xy学习新知2探究根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入表5.2-1，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图5.2-6中的括号.三角函数定义域值域RR学习了三角函数定义,接下来研究他们的一些性质。[-1,1]R[-1,1]既然我们是在直角坐标系内给三角函数下了定义，我们知道，点的坐标在每个象限内正负会发生变化，请思考，那么在每个象限内三角函数值的符号有什么变化？yxo()()()()yxo()()()()yxo()()()()学习新知2探究根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入表5.2-1，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图5.2-6中的括号.Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦应用新知2必要性:显然成立。

负负正0应用新知2判断三角函数值符号的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限.(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦”来判断.练习（第182页）练习（第182页）①③或①⑤或③⑤①④或①⑥或④⑥②④或②⑤或④⑤②③或②⑥或③⑥习题5.2（第185页）由三角函数的定义，可以知道：终