【数学】全国卷Ⅱ高考压轴卷（理）（解析版）

全国卷n高考压轴卷

数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

I.己知A={x|lgx>。},B={.r||x-l|<2},则AU8=()

A.1}B.{x|l<x<3}C.{小>3}D.{x|x>-l)

2.下列命题中正确的是()

A.若〃v。为真命题，贝!〃八夕为真命题

B.若x>0,则x>sinx恒成立

C.命题“训«0,+oo),心飞=%-1”的否定是“7.%/(0,+8),C"&一1"

D.命题“若f=2,则户拉或］=_&”的逆否命题是“若"近或工=_挺，则32”

3.设曲线。是双曲线，则“C的方程为f-5=1”是“。的渐近线方程为)，=±2尸的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知函数y=Asin(④V+Q)+〃的最大值为3,最小值为-1.两条对称轴间最短距离为］,

直线xj是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式为()

y=4sin2x+—B.y=-2sin(2x4--^j+I

A.I6J

D.y=2sinl2x+|j+l

C.y=-2smlx+—

6.设。=logoi0.2,b=log,10.2,C=1.2°2,4=1.产则(

A.a>b>d>cB.c>a>d>bC.d>c>a>bD.c>d>a>b

7.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()

167r16兀

A.BD.

-T-fc-T~9~

8.已知向量〃=力:(0,-2),则。与b的夹角为()

it2兀

AB.cD.

-I3?T

9.在AAAC中,a,b,c分别是角A，B,。的对选，(a+b+c)(a+c-b)=3ac,则角

B=()

27r7T

A.yB.cD

3-?-I

10.执行如图所示程序框图，输出的S=()

A.25B.9C.17D.20

H.已知过点A(〃,0)作曲线C：y=x.e*的切线有且仅有两条，则实数”的取值范围是()

A.(-ao,-4)U(O,+Q0)B.(0,-KC)

C.(-co,-l)U(h-H»)D.(-<o,-l)

|ln.v|,0<x<e

12.已知函数〃,若Ovavbvc且满足足(a)=f®=/(c),则岩®

+"(c)+炉(a)的取值范围是(

A.(l,+8)B.(e,+co)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知直线/、机与平面a、…ua,mu。,则下列命题中正确的是(填写

正确命题对应的序号).

①若/〃小，则a〃/；②若则。_16：

③若/_!_〃，则a_L/?；④若a1/3,则〃?JLa,

x-2y-2<0

14.若/,y满足约束条件T-y+li。，则z=2x+y的最小值为.

>'<0

15.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于

120。时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边

的张角相等均为120。.根据以上性质，函数

/⑺='(.1)2+/+J(x+])2+y2+4+(),-2)2的最小值为・

16.己知△ABC中，的=AC,点。是AC边的中点，线段AO=x,△ABC的面积S=2,

则-V的取值范围是.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)在△ABC中，角4、B、C所对的边分别是。、〃、。，角A、8、

C成等差数列，b=.

(1)若3sinC=4sinA,求。的值；

(2)求。+c•的最大值.

18.(本小题满分12分)

2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北

京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随

机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：

收看没收看

男生6020

女生2020

(1)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？

(2)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人

参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.

(i)问男、女学生各选取了多少人？

(ii)若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的

3人中女生人数为X,写出X的分布列，并求E(X).

-be)'

其中n=a+b+c+d.

(a+〃)(c+d)(a+c)(〃+d)

2

P(K>k0)0.100.050.0250.010.005

k。2.7063.8415.0246.6357.879

19.(本小题满分12分)

在四棱锥P—中，APJL平面尸DC，底面AA8是梯形，AB//DC,

AB=AD=PD=\,CD=2.

（1）求证：平面尸8C_L平面月切；

（2）设Q为棱PC上一点，P0=2PC,试确定义的值使得二面角Q—8O—P为60。.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆。:9/+），2=小2（〃,0）,直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与。交于人、B

两点，线段的中点为M.

（1）证明：直线的斜率与/的斜率的乘积为定值；

（2）若/过点加），延长线段OM与。交于点P,四边形04依能否为平行四边形？若

能，求/的斜率；若不能，说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数/&）=血葬.

（1）求函数/（力的单调区间;

⑵设函数就冲亡;益—「£的，若方可守灼时，式，力。恒成立，求实数。的取值

范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

平面直角坐标系中，直线！的参数方程为［；1,：+］（，为参数），以原点为极点，x轴正半轴

2ccs0

为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为2=,二.

1-cos-0

（1）写出直线/的普通方程与曲线。的直角坐标方程；

（2）已知与直线/平行的直线/'过点M（2,0）,且与曲线。交于A,B两点，试求|滋卜|“用.

23.（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数/'（"=|2》+1|一卜一1|.

(1)解不等式,〃x)<2；

(2)若不等式|〃?-1|"“"+卜-1|+|2~3］有解，求实数〃7的取值范围.

【参考答案】

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.【答案】D

【解析】/4={x|lgx>0}={x|x>l},8=卜卜一1|v2}=3一1vxv3},

则AU8={X|X>7}.故选D.

2.【答案】B

【解析】令/(x)=x—sinx,r(x)=l—cosx之。恒成立，/(x)=x—sinx在(0,M)单调递

增，.•・/(x)>/'(0)=。，.•・/>sinx,B为真命题或者排除A、C、D.故选B.

3.【答案】A

【解析】若。的方程为丁-5=1,则々=1,〃=2,渐近线方程为y=±\x,

即为尸±2「充分性成立，若渐近线方程为尸±2x,则双曲线方程为V-q=4六0),

・・・”。的方程为A-2-^--1”是“C的渐近线方程为)，-12户的充分而不必要条件，故选A.

4

4.【答案】C

【解析】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B,

当x=l时，y=；<l，排除A；

4

pH

当KT+8时，Jf+8，排除D.故选C.

4x

5.【答案】B

A+b=3(A=2Tjr

【解析】由〈.,.>.[,又二=二，，7=兀，,3=2,

-A+b=-\(Z>=122

工y=2sin(2x+°)+l,又2?+0=二十%兀，kwZ,：.(p=—+kn,keZ,

626

工y=2sin(2x+办+1=-2sin2x+—1+1,故选B.

I6JV6J

6.【答案】D

【解析】Ovavl,b<0,ol,d>l,由y=x°2在R上为增函数，故选D.

7.【答案】D

【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为2九的扇

3

形，高是4的圆锥体.容易算得底面面积S='x4="，所以其体积V=Wx4x4=%,

33339

应选答案D.

8.【答案】A

【解析】设向量。与向量方的夹角为夕(。4。，可)，则.・・e=m.故选A.

回回26

9.【答案】B

【解析】由(a+b+c)(a+c-6)=3ac,可得/+1？=比，

根据余弦定理得cosB="+*-'=」,・・・8£(0,兀)，=故选B.

2ac23

10.【答案】C

【解析】按照程序框图依次执行为5=1,〃=0,7=0；5=9,〃=2,T=0+4=4；

5=17,〃=4,7'=4+16=20>5,退出循环，输出S=17.故选C.

11.【答案】A

【解析】设切点为(小,玉6),了=(x+l)e'),1户与=%+1・峭，

则切线方程为：y-工打汽与+力留口-小),切线过点A(a,0)代入得：

2

t,>Xo

-v0e=(x0+l)-e(a-x0),二”=一^,即方程婷-叫-。=。有两个解，则有

.%+1

』=/+4。>0=。>0或"-4.故选人.

12.【答案】D

【解析】画出/(工)的图象,

由0vav〃<c且/(a)=/(0)=/(c)得：()<«<1,1<b<e,c>c,-\na=\nb,ln/;=-,

/.ab=\,c\nb=e,af(^?)+bf(c)+(/(«)=(«+Z?+c)In/?=I-+/>IIn/?+e,

令g(〃)=(/>+:lnZ?+e

(1</?<e)

b-)[b)b

g'(b)=1+lnZ>+—(1-InZ?),

Vl<Z?<e,Al-lnZ?>0,lnZ?>0,・,・g"）>0,

则函数月（。）在区间（l,e）上单调递增，Jg⑴<g（））<g（e）,即ev（1+小nb+ev2e+g,

.・.4S）+/（c）+cf（。）的取值范围是（e,2e+j（以“为变量时，注意〃的取值范围为

-<a<\）.故选D.

e

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.【答案】③

【解析】①如图所示，设an〃=。，/〃c,"He、满足条件，但是。与万不平行，故①不正

确；

②假设a〃/,I'u。，17/1,/'_!.〃?，则满足条件，但是夕与夕不垂直，故②不正确;

③由面面垂直的判定定理，若/JL尸，则故③正确;

④若a_L尸，a[}P=n,由面面垂直的性质定理知，时，/〃_La,故④不正确.

综上可知：只有③正确.故答案为③.

14.【答案】—11

【解析】画出可行域如图所示,

可知目标函数过点A（Y-3）时取得最小值，zmin=2x（-4）+（-3）=-ll.

15.【答案】2+V3

【解析】由两点间的距离公式得7（%-i）2+r+&+1『+），2+Jd+（y_2）2为点（x，>'）到

点（1,0）、（-1,0）、（。,2）的距离之和，即求点（K），）到点（1,0）、（TO）、（0,2）的距离之和的

最小值，取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，容易求得最小值为

京+|6+24=2+6.

16.【答案】［6+8)

【解析】设N出C=a,BA=c,则5c2・sina=2,・，・,2.sma=4①

在AAB。中，80=-2c-£cosa,BD2=^c2-c2cosa@

由①得c?=——③，把③代入②得：A?D2=5-4C°Sa,BD2sina+4uosa=5,

sinasina

由辅助角公式得J/%)2+4sin(a+0)=5,，+42>5，

3

即BO4N9，A?D2>3,贝(sina=-时取等号）.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

【答案】（1）4；（2）2任.

【解析】（1）由角A,B,C成等差数列，得28=4+C,又A+8+C=7i,得5=].

3

又由正弦定理，3sinC=4sinA,得3c=而，•即a=-c,

4

由余弦定理，得b2=a2+c2-laccosB»

即13=（三）+c2-2x-cxcx—,

UJ42

解得c=4.

（2）由正弦定理得一X=吗，

sinAsinCsinB,3

〃邛sinA,c=^sinC,

资（si“+smc）=2j3[sinA+sin（A+B）]

a+c=

sinA+sin（A+]=2x/13sinA+-71\,

6

由0<A<@,知当4+2=2,即A=E时，（«4-c）nux=2x/i3.

3623

IX.（本小题满分12分）

【答案】（1）有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；（2）见解析.

120x（60x20-20x20）2

【解析】（1）因为K:------------------------------L=7.5>6.635，

80x40x80x4（）

所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关.

⑵⑴根据分层抽样方法得‘男生沁=9人，女生%2=3人,

所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人.

（ii）由题意可知，X的可能取值有0,I,2,3.

P（x=o）=警噎，P（E=警啮，

C1C277C°C?1

P（X=2）=冲,P（X=3）=岑='

CM2201f/220

:.X的分布列是:

X0123

84108271

p

220220220220

.・.E（X）=0x生+IX&+2X2L+3X-LJ

'f2202202202204

19.（本小题满分12分）

【答案】（1）见解析；（2）为=3-娓.

【解析】（1）证明，平面PDC,PDu平面PDC，OCu平面PDC,

AAD1PD,AO_LDC,

在梯形/WC。中，过点作8作于"，

p

在△8C〃中，BH=CH=1=NBCH=45。,

又在AZMB中，AD=AB=\^>ZADB=45°,

：・NBDC=45。=/DBC==BC工BD,①

VPD.LAD，PD±DC,ADC\DC=Dt40u平面ABC。，OCu平面ABC。，

・•・PD_L平面ABCD,♦:BCu平面ABCD,PD上BC,

由①②，・・・8。00。=。，BDu平面PBD,PDu平面PBD,工BC工平面PBD,

•・•8Cu平面PBC,J平面PBC_L平面PBD；

(2)以。为原点，/M,QC,/*所在直线为x,)，，z轴建立空间直角坐标系(如图)

则P(OQl),C(O,2,O),4(1,0,0),5(1,1,0),

?

令Q(-'o,为，z()),PQ=(.^],j0,z(>—1),PC=(0,2,—1),

=(司,%,?o—1)=2，Q=(0,22,l—4),

•・•BC上平面PBD,・•・〃=(7.1，。)是平面?皮)的一个法向量，

设平面QB。的法向量为》=(x,y,z),

x=-y

in-DB=0x+y=0

则」一,即22y-(T)z=()，即'22

mDQ=0z=gV

22

不妨令y=i,得利

•••二面角Q—3Q—。为6C%

2，解得九=3±#，

•丁。在棱尸。上，・・・0<2<1，故4=3-#为所求.

20.（本小题满分12分）

【答案】（1）见解析；（2）四边形OAP8能为平行四边形，当/的斜率为4-g或4+e时,

四边形OA相为平行四边形.

【解析】⑴设直线广质+b（（工0,bH0）,A&,y）,6（与,%）,“（均,加）,

将y=履+〃代入9寸+y2=in-,得（&2+9）x2+2kbx+b2-nr=0,

故%=宥=-3，％="“+〃=趋，于是直线。历的斜率的“=£■=-3，

即心〃山=-9,所是命题得证.

（2）四边形Q4P3能为平行四边形.

•・•直线/过点jg，〃?），・•・/不过原点且与C有两个交点的充要条件是&>0且Aw3.

IJ7

9

由（1）得OM的方程为>设点夕的横坐标为与.

K

9

V=-----Xk2m2±km

山lk»得其=,即*尸=

93+813a+9

9x2+y2=nr

将喏㈤的坐标代入直线I的方程得b=吆上也

mk（k-3）

因此/=3而+同，四边形。人蹬为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,

1km_mk（k3）

即为,=2.%.于是37二？乂^249）・解得用=4-万，k?=4+币.

4>0,&户3,/=1,2,

・•・当I的斜率为4-或4+夕时，四边形OAPB为平行四边形.

21.（本小题满分12分）

【答案】（I）当4W0时，/（力的增区间为（。，小）；当时，“X）的减区间为

(0,-1+J+2a),增区间为(-1+Jl+2a,+cc)；(2)(TO,,2).

【解析】u）“X）的定义域为（。,e），rf城「工-4#上=比姿色，

令尸:Q,则£#2品一展.二际发-4彳豳今怎时，

即以＞一:’方程两根为或，='雪*'舐”--氏一位/靓,然=—143,xt+x2=-2,

£A

%x2=-2a,

①当心-；时，m,尸㈤之。恒成立，/（X）的增区间为（O，y）；

②当一；＜aK0时，X1X2=-2a＞0,玉＜0,x,＜0,

xe（O,y）时，『L。,/（x）的增区间为（。,+8）；

③当时，百＜0,占＞0,当xe（O，W）时，/（“＜：0，/（”单调递减,

当xe（W，+8）时，单调递增；

综上,当44。时，/（X）的增区间为（0,内）；

当时，/W的减区间为（。,-1+川+%）,增区间为（-1+G+%,内）.

（2）黑间二产蜂；时，g（x）＞0恒成立，即工前的-际图一一■一―》•+，!［,肃就，

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