稳昇高教育2025-2026学年（上）高2026届12月联考数学试题及答案

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20252026学年(上)高2026届12月联考

数学试题

稳昇高教育高2026届12月联合质量检测

数学参考答案及解析

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知A={a−3,a2}，B={−2,−1,1,2}，若−2∈A，则AB=()

A．{−1,2}B．{−2,1}C．{−1,1}D．{−2,2}

【答案】B

【详解】由题意可得−2=a−3，解得a=1，则A={−2,1}，故AB={−2,1}.故选：B.

2．已知直线m，平面α,β,m丈α,α丄β,则“m丄β”是“m//α”的()

A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】由已知m丈α,α丄β,则m丄β可以证明m//α

D1C1

而m丈α,α丄β,m//α不一定能够得到m丄β,如图：在长方体中，平面

A1B1

ABCD为平面β,平面AA1D1D为平面α,则m可以是BB1,BC1，CC1等

DC

所以在已知直线m，平面α,β,m丈α,α丄β条件下，“m丄β”是“m//α”的充

分不必要条件.故选：BAB

3．已知复数z−1=(2−z).i（i为虚数单位），则z=()

1−3i1+3i3−i3+i

A．B．C．D．

2222

【答案】D

1+2i(1+2i)(1−i)1+2i−i−2i23+i

【详解】由题意z====故选：D

1+i(1+i)(1−i)22

4．已知sinα=2cos，则tan(α+π)=()

A．−2B．2C．−D．

66

【答案】D

()

【详解】sinα=2cosα+=cosα−sinα,则2sinα=cosα,故tan

(|,

则tan(α+π)=tanα=.故选：D

6

5．已知定义在R上的奇函数f，则f(ax−1)<f(a−x2)的解集为()

A．{x|−3<x<1}B．{x|−1<x<3}C．{x|−3<x<−1}D．{x|1<x<3}

【答案】A

试卷解答第1页，共10页

【详解】∵函数f(x)=是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，即

∴a2x=4x，即a=2，∴f为R上单调递增的函数

∴f(2x−1)<f(2−x2)，则2x−1<2−x2→x2+2x−3<0，解得−3<x<1，故选：A．

6．已知正项等差数列{an}中，a1+a4=8，a2.a3=a8，若a5+a6+a7++am=200，则m=()

A．10B．13C．15D．17

【答案】C

【详解】设等差数列的首项为a1，公差为d，则由，得{

〔a=1〔a=40

112

解得{，或{(舍):an=1+(n−1)×2=2n−1，设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=n

ld=2ld=−24

22

故a5+a6+a7++am=m−5=200解得m=15，故选：C．

7．已知函数f(x)=1+3sin2x−2cos2x，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度可得到函数g(x)的

图象，当x∈(0,π)时，f(x)与g(x)的图像交于A,B两点，则|xA−xB|=()

A．B．C．D．

【答案】C

(τ)

【详解】由题意得f(x)=sin2x−(2cos2x−1)=sin2x−cos2x=2sin|2x−,

(6,

∴g=2sinsin两个函数的周期均为T==π

∴f(x)与g(x)的图像交于A,B两点，则2sinsin

ττττ5τkπ

∴2x−=2x++2kπ或2x−=[π−(2x+)]+2kπ,解得x=+,

6363242

∴取k=0,1，|xA−xB故选：C．

8．过点A(0，−1)作y=x2的切线l，切点为B，以AB为直径的圆与y轴交于另一点C，则C到l的距离

为()

A．B．C．1D．

【答案】B

试卷解答第2页，共10页

【详解】由题意知，设切点为2，所以切线方程为2，代入

y=2xB(x0，x0)y−x0=2x0(x−x0)

A(0，−1)，解得：B为(1，1)，或(−1，1)，两点关于y轴对称，则|AB|=

或12251225

∴切线为l1:y=2x−1l2:y=−2x−1，则以AB为直径的圆为(x−)+y=或(x+)+y=

2424

|1+2.0+1|2

均交y轴于C(0，1)，∴d==故选：B.

、22+15

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9．已知正实数a，b，满足a+b=2，则()

A．+≤2B．2a+2b≥4C．|a|−|b|≤1D．a2+2b≥3

【答案】ABD

2

【详解】(a+b)=a+b+2=2+2ab≤2+a+b=4，当且仅当a=b=1时取等号，故A正确；

ab2，当且仅当时取等号，故正确；

2+2≥2=2.2=2=4a=b=1B

由a+b=2，则|a|−|b|≤|a+b|=2，故C错误；

由b=2−a，∴a2+2(2−a)=a2−2a+4=(a−1)2+3≥3，故D成立；

10．已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，各棱长均为1，上BAD=上A1AB=上A1AD，则()

．．

AAC1丄BDBVA1−BC1D=VA1AD−B1BC

C．若AC1=2，则cos上BAD=D．若B1D丄BD1，则V

A−C1BD

【答案】AC

【详解】由题意，四棱柱ABCD−A1B1C1D1底面为菱形，则AC丄BD，AC为上BAD平分线

上A1AB=上A1AD=θ,则A1在平面ABCD的射影H在直线AC上，故A1H丄平面ABCD，

∴A1H丄BD，∴BD丄面A1ACC1，AC1丄BD，故A正确；

D1

D1

C1

C1

A1

/B1A··

1B1

D

D

C

C

-一一H

B

AAB

1

由ABCD−A1B1C1D1为平行六面体，则V−=V−

A1ADB1BC2A1B1C1D1ABCD

1

而VA−BCD=VABCD−ABCD−VA−ABD−VC−BCD−VB−ABC−VD−ACD=VABCD−ABCD，故B错误；

1111111111111131111

AC1=AB+AD+AA1，设上BAD=上A1AB=上A1AD=θ,则

试卷解答第3页，共10页

22222，解得=故正确；

AC1=AB+AD+AA1+2AB.AD+2AB.AA1+2AD.AA1=3+6cosθ=2cosθC

由B1D丄BD1，则BDD1B1为菱形，则BD=1，∴上BAD=60O=上BAA1，上BAC=30O，

∴上=上.上，得1

cosBAA1cosA1ACcosBAC=cos上A1AC.→cos上A1AC=→sin上A1AC=

2233

∴=..O.=，

A1HVA1B1C1D1−ABCDABADsin60A1H

由B选项：，故D错误．

VA1−BC1DVA1B1C1D1−ABCD

11．已知三次函数f(x)=ax3+bx2+x+1，则下列说法正确的是()

A．若b=0时，则f(x)为增函数

B．若b2>3a时，则f(x)有两个极值点

C．若b=−a时，当f(x)在x0取极大值，则f(x0)>1

D．若b=3a时，则f(x)图像关于(−1，a)中心对称

【答案】BC

【详解】由三次函数f(x)，则a≠0

当b=0时，则f’(x)=3ax2+1，若a>0，f’(x)≥1，即f(x)为增函数成立；若a<0，f’(x)=0，

存在两个不等实数根，即f(x)有三个单调区间；故A错误

由f’(x)=3ax2+2bx+1，由b2>3a，则Δ=4b2−12a>0，即f’(x)=0有两个不等实数根，故f(x)

有两个极值点，故B正确

由b=−a，则f’(x)=3ax2−2ax+1，由f(0)=1，f’(0)=1，则x=0位于递增区间，

当a<0，则f’(x)=0得两根为x1，x2，且x1<0<x2，f(x)在(x1，x2)单调递增，则

0∈(x1，x2)，f(x0)=f(x2)>f(0)=1

当a>0时，若有极大值，则f’(x)=0得两根为x1，x2，且a>3，0<x1<x2，则0∈(−∞,x1)，

为f(x)增区间，则f(x0)=f(x1)>f(0)=1，故C成立

若b=3a时，则f(x)=ax3+3ax2+x+1，f’(x)=3ax2+6ax+1，f’’(x)=6ax+6a=0得x=−1，

∴f(1+x)+f(1−x)=4a，则图像关于(−1，2a)中心对称，故D错误

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12．已知a=(1,),b=(2,2)，则|a+b|=.

【答案】3

试卷解答第4页，共10页

【详解】

13．已知f(x)是定义在R上的奇函数，对于任意的正实数x都有f,已知f(−1)=4,那么

f(6)=.

【答案】1

2

【详解】∵f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，∴f(−1)=−f(1)=4，

−2−2

f(x+2)===f(x)

又f,∴f(x+1)−2，

f(x)

1

∴故x>0时，f(x)周期为2，则f(6)=f==故答案为：.

2

P

14．如图，已知圆锥PO，用平行于底面的截面，将圆锥PO分切成小圆锥PO1和圆

台O1O，此时圆锥PO1的顶点P和圆O1上所有点均在球O2上，圆台O1O存在和上下

O2

●

底面及侧面均相切的球O3，若球O2和O3的半径均为R，则圆锥PO1和圆台O1O的

O1

高之比为.

O3

【答案】、3

2

O

【详解】由题意，在轴截面等腰三角形PAB中，上APB=θ,平行于底面的截面与

P

轴截面形成了交线A1B1，将△PAB分为△PA1B1和梯形AA1B1B，圆O2和圆O3分别

为两部分的外接圆和内切圆，半径均为R，则有△PA1B1高PO1=h，梯形高

O2

/

A

O1O=2R，∴上O1O2A=上A1PB1，∴O2A1=O3M=R，1B1

O1

M

O3

2x(x+2)

,令=x，则x=解得x=，所以AB

(x+1)2O

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．已知圆C的圆心在y轴，经过A(3,3)，B(4,10)，过直线l：x−2y−6=0上的动点P作圆C的切

线，切点分别为M，N．

(1)求圆C的标准方程；

(2)若弦MN=4,求P点坐标.

试卷解答第5页，共10页

【详解】（1）由题意，设圆心C(0,b)，半径为r（r>0），标准方程为：x2+(y−b)2=r2

〔32+(3−b)2=r2〔b=7

代入，，∴，分

A(3,3)B(4,10){222→{4

l4+(10−b)=rlr=5

∴圆C的标准方程为x2+(y−7)2=256分

(2)弦MN交CP于Q，则MQ=2，∴CM2=CQ2+MQ2→CQ=

B

M

∴由直角三角形射影定理：CM2=CQ.CP→CP=510分

/

C/

Q、、〔x2+(y−7)2=(5)2〔x=10〔x=−2

∴P点满足：{→{或{

A

lx−2y−6=0ly=2ly=−4

NP

即P点为(10,2)或(−2,−4)．13分

16．在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sin.

(1)求角B；

(2)若△ABC是锐角三角形，且c=4，D为AC边中点，求BD的取值范围.

a2ππ

【详解】（1）∵=sin(C+)，∴a=2bsin(C+)=bsinC+bcosC

b333

由正弦定理可得(sinA−cosCsinB)=sinBsinC=cosBsinC，

∵C∈(0,τ)，则sinC>0，∴sinB=cosB，则有tanB=，故B=.6分

〔τ

0<C<

2ττ

（2）∵ABC为锐角三角形，则{，∴<C<,

2ττ62

0<A=−C<

l32

∴，则1，

tanC>0<<8分

3tanC

由正弦定理可得10分

∵D为AC边中点，∴BD=(BA+BC)

2122111

∴BD=(BA+BC+2BA.BC)=(c2+a2+ac)=(a2+4a+16)=(a+2)2+313分

4444

2

∴BD∈(7,28)，即BD∈(,2)15分

*

17.数列{an}满足a1=，an−2an+1+3an.an+1=0(n∈N)．

试卷解答第6页，共10页

(1)求证：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

设bn，数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn．

【详解】（1）因为an−2an+1+3an.an+1=0，所以2分

所以，而−3=2≠0，

所以是以2为首项，2为公比的等比数列；

所以，则an6分

nn分

（3）由(1)可知an，则bn=(2n−1)(2+3)=(2n−1).2+3.(2n−1)，7

23n−1n

:Sn=2+3+3.2+3.3+5.2+3.5++(2n−3).2+3.(2n−3)+(2n−1).2+3.(2n−1)

=[2+3.22+5.23++(2n−3).2n−1+(2n−1).2n]+3[1+3+5++(2n−3)+(2n−1)]9分

令23n−1n；

An=2+3.2+5.2++(2n−3).2+(2n−1).2

∴234nn+1

2An=2+3.2+5.2++(2n−3).2+(2n−1).2

作差得：23nn+1

−An=2+2.2+2.2++2.2−.2−2

n

∴An=(4n−6)2+611分

令Bn=1+3+5++(2n−3)+(2n−1)

则2分

Bn=1+3+5+n13

n2

:Sn=An+3Bn=(4n−6)2+6+3n15分

18.如图，直角梯形ABCD，AB//CD，BC丄CD，AE丄CD，M为AD中点，将△ADE沿AE折起，使

D到P处.

(1)求证：PC//平面BEM；

(2)若平面AEP丄平面ABCE，AE=PE=4，AB=4，PN=λNB(λ>0)

（i）当时，求证：平面PBC丄平面EMN；

4

(ⅱ)当二面角P−EM−N的正弦值为时，求λ的值.

17

试卷解答第7页，共10页

P·

DECN

M

●

EC

AB

A——B

【详解】（1）连接AC交BE于点O，连接OM，由题意四边形ABCE是矩形，所以O为AC中点，

·又因为M为PA中点，所以在△PAC中，有OM∥PC，

P

因为OM平面BEM，PC丈平面BEM，

N

所以PC//平面BEM；4分

（）在矩形中，有，

M'h2ABCEEC丄AE

`、

又AE2+PE2=AP2，∴PE丄AE，

EC

〔面AEP丄面ABCE

---一一-O

AB面ABCE∩面AEP=AE

∴{→PE丄面ABCE，6分

PE面AEP

lPE丄AE

以E为原点，以EA，EC，EP方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：

则有E(0,0,0)，A(4,0,0)，C(0,4,0),P(0,0,4)，M(2,0,2),B(4,4,0)

z

所以EM=(2,0,2)，EB=(4,4,0)，EP=(0,0,4)，

P

分

N由PN=λNB(0<λ<1)8

M

（i）当λ=时，EN=(1,,3)，PB=(4,4,−4)

ECy

∴∴

xOEN.PB=4×1+4×−4×3=0，EN丄PB，

AB

EM.PB=2×4+0×4+2×(−4)=0，∴EM丄PB，

又∵EM∩EN=E，EN平面EMN，EM平面EMN，

∴PB丄平面EMN；

∵PB平面PBC，∴平面PBC丄平面EMN12分

（ii）取平面EMP的法向量m=(0,1,0)，设平面EMN的法向量为n=(x,y,z)，

则→，令x=1，则分

z=0z=0

因为二面角P−EM−N的正弦值为4，则余弦值为±,

1717

试卷解答第8页，共10页

1−λ

||

--m.n2λ

cos<m,n>===

∴m.n217，

(1−λ)2

1++(−1)

|(2λ,

化简得：3λ2−8λ+4=0解得λ=或λ=2.17分

19.已知函数f(x)=2sinx−x．

(πτ)

(1)求f(x)在|−,上的单调区间；

(22,

)

(2)当x∈0,时，f(x)>x−ax3，求a的范围

,

(3)令g(x)=f’(x)+ln(x+1)，证明：当x∈(0,1)时g(x)有极大值g(x0)，且g

【详解】（1）f(x)=2sinx−x，∴f’(x)=2cosx−1=0，得cosx=

当x时，f’(x)<0，f(x)单调递减，

)

当x∈−,时，f’(x)>0，f(x)单调递增，

,

)

当x∈,时，f’(x)<0，f(x)单调递减，

,

(ττ)(ττ)(ττ)(ττ)

:fx在−,上的单调增区间为−,，单调减区间为−，−，,．5分

|(22,|(33,|(23,|(32,

(2)令t(x)=f(x)−x+ax3=2sinx−2x+ax3，t(0)=0

∴t’(x)=2cosx−2+3ax2t’(0)=0∴t’’(x)=−2sinx+6axt’’(0)=0

(π)

∴t’’’(x)=−2cosx+6ax∈|0,时t’’’(x)为增函数，

(2,