2023年数学竞赛专题讲座七年级跨越从算术到代数含答案

第一讲跨越一一从算术到代数

“加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作灵敏；数学

能使你的思想对的灵敏，有了对的的思想，你们才有也许爬上科学的大山.”华

罗庚。

华罗庚，我国现代有世界声誉的数学家，初中毕业后，靠自学成才，在数论、矩阵几何

等许多领域中做出过卓越奉献.

纵观历史，数学的发展发明了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展.

历史是这样一步一步走过米的，并将这样i步一步地继续走卜去，数学的每一个进步都必

须随着着新的数学符号的产生.在文明和科学的发展过程中，人类发明用符号代替语言、文

字的方法，这是由于符号比语言、文字更简练、更直观、更具i般性.

“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数

学符号化”.著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语

言.”

用字母表达数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展

史上的一个奔腾，也是代数与算术的最显著的区别.

字母表达数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数

式的值、形成公式等方面有广泛的应用.

例题讲解

【例1】观测下列等式9—1=8,16—4=12,25—9=16,36—16=20,……

这些等式反映出自然数间的某种规律，设表达自然数，用关于的等式表达出来：

.（河南省中考题）

思绪点拨在观测给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特性，发现一般规律.

链接：从个别事物中发现一般性规律.这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一

般的思维过程，是发明发明的基础.

［例2］某商品2023年比2023年涨价5%,2023年又比2023年涨价10%,2023年比2023

年降价12%,则2023年比2023年().

A.涨价3%B.涨价1.64%C涨价1.2%D.降价1.2%

思绪点拨设此商品2023年的价格为元，把相应年份的价格用的代数式表达，由计算作

出判断.

【例3】计算

(1------1-•••H-----------)(1H-------1------!-•••-!-----------)—(1H------F•••H-----------)(1-------!-•••-!----------)

23200223200122002232001

思绪点拨直接计算复杂而繁难,注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转

化为简朴的式的计算.

【例4】有一张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次

都把前面所得的其中一片分割成4片一，如此进行下去，试问:

(1)经5次分割后，共得到多少张纸片？

(2)经次分割后，共得到多少张纸片？

(3)能否经若干次分割后共得到2023张纸片?为什么"(江苏省竞赛题)

【例5】在右图中有9个方格，规定每个方格填入不同的的数，使得每行、每

思

列、每条对角线上三个数之和都相等，问：右图上角的数是多少？

绪

思绪点拨虽然规定的只是右上角的数，但是题目的条件还与其他的数有

点

关，因此，需恰本地引进不同的字母表达数，以便充足运用己知条件.

拨

【例6】如图，在图I中，互补重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠

从

的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，…，则在第

简

个图形中，互不重叠的三角形共有个（用含的代数式表

朴

达）.（重庆市中考题）

情

形

人

手,

发

现

思绪点拨从三角形个数规律或图形生成特点入手.

纸

【例7】（1）计算：片

数

的

（广西竞赛题）

特

（2）设=，求的整数部分.

点

（2023年北京市竞赛题）

是

思绪点拨对于（1）,直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入

解

字母，将复杂的数值计算转化为简朴的式的计算；对于（2）,从分析中第本

项的特性入手.例

【例8】有这样的两位数，互换该数的数码所得到的两位数与原数的和是一的

关

个完全平方数.例如,29就是这样的两位数，由于，请你找出所有这样的两

键.

位数.

?

（1）思绪点拨设原数为，则新数为，发现的特点是解本例的关键.

9

（2）【例9】现有根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成个正

19

13

方形，按如图2摆放时可摆成个正方形.

(3)用含〃的代数式表达〃?；

当这根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求的最小值.

思绪点拨设图3中有3个正方形(为什么这样设？)，无论如何摆放，火柴棒的总数

相同，这样可以建立含、、的等式.

链接：①用字母表达数，有助于运用代数式揭示问题中的数量关系，便于找到数量的相依

关系或相等不等关系，具有设元意识，会用代数式表达，是由算术习惯向代数过渡的重要

环节，是突破算术方法的定势的关键.②本例的3个小题，反映了我们结识事物、探究问

题的基本过程.第(1)小题是研究具体对象，第(2)小题是归纳出一般规律，第(3)小题是再

运用这些规律去分析、研究、解决问题.有些问题涉及的量比较多，关系复杂，我们就需

要引入不同的字母，便于把数量关系表达出来，在解题中我们不需(或不能)求出所有字母

的值，只需求出关键的字母的值，这种方法我们称之为“设而不求”.

基础训练

1.给出下列算式：

观测上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表达这个规

律:

（福州市中考题）

2.已知：，，，……，若（为正整数），则=

（2023年武汉市中考题）

3.若人完毕一项工程需要天，则个人完毕这项工程需要天.

（假定每个人的工作效率相同）（江苏省竞赛题）

4.某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车.所有行程只需

30分钟，假如往返都步行，那么需要的时间是（河南省竞赛题）

5.一项工程，甲建筑队单独承包需要天完毕，乙建筑队单独承包需要天完毕，现两队联

合承包，完毕这项工程需要（）天.

A.B.C.D・

6.某专卖店在记录2023年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增长10%,三月份比

二月份减少10%,那么三月份比一月份（）.

A.增长10%B.减少10%C.不增不减D.减少1%（河南省中考题）

7.如图.在长方形中，横向阴影部分是长方形,另一阴影部分是平行四边形，依照图中标

注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（）.

A.B.

C.D.（河北省中考题）

8.为了绿化环境、美化城市，在某居民社区铺设了正方形和圆形两块草坪，假如两块草坪的

周长相同，那么它们的面积S1.S2的大小关系是（）.

A.S1>S2B.SKS2C.S1=S2D.无法比较

9.从开始，连续的奇数相加，和的情况如下：

1=12；

1+3=4=22；

1+3+5=9=32；

1+3+5+7=16=4、

1+3+5+7+9=25=52；

(1)请你推测出，从1开始，个连续的奇数相加，它们的和的公式是什么？

(2)计算:

①1+3+5+7+9+11+13+15+17+19；

②.

(3)已知，求整数的值.

10.从小明的家到学校，是一段长度为的上坡路接着一段长度为的下坡路(两段路的长度

不等但坡度相同).已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%,走下坡

路时的速度比走平路时的速度快20%,又知小明上学途中花1()分钟，放学途中花12分钟.

(1)判断。与力的大小;

(2)求与的的比值.(江苏省竞赛题)

11.观测下列各正方形图案，每条边上有()个圆点，每个图案中圆点的总数是S.

n=2,S=4n=3,5=8n=4,5=12

按此规律推断出S与n的关系式是(2023年广西中考题)

12.如图，将面积为的小正方形与面积为的大正方形放在一起(>>0),用表达的面

积为.(天津市竞赛题)

13.已知17个连续整数的和是306,那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为

14.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律.拼成若干个图案:

第1个第2个第3个

（1）第4个图案中有白色地面砖块；

⑵第个图案中有白色地面砖块.（2023年南昌市中考题）

15.下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）.

A.B.C.D.

（江苏省竞赛题）

16.给出两列数:1,3,5,7,9,…,2023和1,6,II,16,21,2023,同时出现在两列数中的数

的个数为（）.

A.199B.200C.201D.202（重庆市竞赛题）

17.一种商品每件进价为元，按进价增长25肾定出售价，后因库存积压降价，按售价的九

折出售，每件还能赚钱（）.

A.0.125B.0.15C.0.25D.1.25（山东泰安市中考题）

18.假如用名同学在小时内搬运块砖，那么名同学以同样的速度搬运块砖所需的小

时数是（）.

A.B.C.D.

19.已知（=1,2,3,…2023）.

求当时，的值.

20.在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司的赞助款购买一批奖品，若以1台NS计算器

和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品.则可买10（）份奖品；若以1台NS计算器和5

本《数学竞赛讲座》书为一份奖品.则可买80份奖品.问这笔钱所有用来购买计算器

或《数学竞赛讲座》书，可各买多少？（湖北省黄冈市竞赛题）

21.将

1~16这16

个整数填贫困温饱小康富裕最富裕

入方格

中，使每

行、每列、

每条对角

线上四个

数之和都

相等，如

图所示，

恰有8个

小方格中

填的数被

一个调皮

的小朋友

擦掉了,

请你将这

擦掉的8

个数设法

恢复出来.

22.阅读下

列材料：十

六大提出

全面建设

小康社会，

国际上常

用恩格尔

系数（记作

）来衡量

一个国家

和地区人

民生活水

平的状况，

它的计算

公式为：

，各类家

庭的恩格

尔系数如

下表所示：

家庭类型

nn>60%5()%vnW6()%40%W50%30%<nW40%nW30%

根据卜.述材料，解答下列问题：某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查.

从1997年至2023年间，该乡每户家庭消费支出总额每仁平均增长500元，其中食品消费支

出总额每年平均增长200元，1997年该乡农民家庭平均刚达成温饱水平，已知该年每户家庭

消费支出总额平均为800（1元.

求:（1）1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元？

（2）设从1997年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数为（为正整数）.请

用的代数式表达该乡平均每户当年的恩格尔系数，并运用这个公式计算2023年该乡平

均每户的恩格尔系数（百分号前保存整数）.

（3）按这样的发展，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活?该乡农民能否实现十六大提出

的2023年我国全面进入小康社会的目的？（桂林市中考题）

答案:

l.n2+n=n(n+1)2.1093.4.150分钟5.C6.D7.B8.B

9.(l)S=n2⑵①100②132-52=144(3)n=15

10.(1)水b,⑵把骑车走平路时的速度作为“1”，则，^―+―=-(—+—

0.81.261.20.8b8

U.S=4n-412.-b213.59514.(1)18;(2)4n+2

2

15.A设自然数从a+1开始,这100个连续自然数的和为

(a+1)+(a+2)+,,,+(a+100)=100a+5050.

16.C第一列数可表达为2m+l,第二列数可表达为5n+l,

2

由2m+l=5n+l,得n=—m,m=0,5,10---1000

17.A

提醒:每一名同学每小时所搬砖头为£块,名同学按此速度每小时搬破头二块.

18.Dc

abab

19.提醒：ai=l,a2=',a3=l.......房产上，原式二2002

23n2003

20.设每台计算器x元，每本《数学竞赛讲座》书y元,则100（x+3y）=80（x+5y）,解得x=5y,

故可购买计算器幽2=3=16。（台），书也3=3=8。。（本）.

x5），y），

21.提醒:设所填表中每行、每列、每条对角线四数之和为S,则

16x17…

4s=1+2+3+・・・16=---------，得5=34.

2

再设左上角所擦的数为x,则左下角擦的数为14-x,右下角擦掉的数为15+x,其余各格

中擦掉的数都可以表达为x的代数式，再将主对角线上的数相加应得34,即30+4产34,

解得x=l.

于是可以依次算出被擦掉的各数,恢复后如图所示.

X16~x144115144

125+x8-x912679

81010+-X6-x810115

14-x3215+x133216

22.(l)8000X60%=4800元.

4800+200/zi....48+2m

(2)n=-----------------，即nm二-----------

m80()()+50()m80+5/n

48+2x6

当m=2023-1997=6时.n6=&()55=55%.

80+5x6

（3）取n=0.5,即48+2租」,解得皿二坨，

80+5机2

即1997+16=2023<2023年，所以,2023年该村进入小康生活，并能实现十六大提出的目

的.

提高训练

1.用同样大小的黑棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需

棋子枚（用含的代数式表达）.（2023年海南省中考题）

••・•••

•••••••••

••••••

图1图2图3

2.如图，一块拼图卡片的长度为，两块相同的拼图卡A拼接在一起的长度为，则块相

同的拼图卡片拼接在一起的长度为（用含的代数式表达）.

（2023年长春市中考题）

rFf...

^,FL<_7rLrL^±7

3.假如是一个三位数，现在把I放在它的右边得到一个四位数，这个四位数是（）.

A.B.C.D.（重庆市竞赛题）

4.图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的.设为第层（为正整数）三角

形的个数，则下列关系式中对的的是

（）.

A.B.C.D.（吉林省中考题）

5.某商场经销一批电视机，进价为每台元，原零售价比进价高，后根据市场变化，把

零售价调整为原零售价的，调整后的零售价为每台（）元.

A.B.

C.D.（2023年广东省竞赛题）

6.已知是整数，现有两个代数式：（1）,（2）.其中