充要条件课后达标练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

.4.2充要条件一．选择题1．设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．{a|a≥3}B．{a|a≤－1}C．{a|－1≤a≤3}D．{a|a≤3}3．“ab＞4”是“a＞2且b＞2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.“a，b中至少有一个不为零”的充要条件是()A．ab＝0B．ab＞0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2＞05．“x＜y”是“|x|＜|y|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．(跨学科融合)(多选)已知p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充分不必要条件的电路图是()ABCD二．填空题7．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则实数a的取值集合为.8．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.9．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的_______三．解答题10．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，B＝{x|x≤－2，或x≥5}．(1)若a＝1，求A∪B；(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．11．已知a，b是正实数，求证：“a＋b＝1”是“eq\f(a＋1,b)＋eq\f(b＋1,a)＋2＝eq\f(2,ab)”的充要条件．12.证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边的边长．1.4.2充要条件一．选择题1．设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：由题意得甲⇒乙⇔丙⇒丁，但乙eq\o(⇒,/)甲，因此甲⇒丁，丁eq\o(⇒,/)甲，所以甲是丁的充分不必要条件．故选A．2．若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．{a|a≥3}B．{a|a≤－1}C．{a|－1≤a≤3}D．{a|a≤3}B解析：因为“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，所以{x|x<a}{x|x≥3，或x≤－1}，故a≤－1.3．“ab＞4”是“a＞2且b＞2”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.“a，b中至少有一个不为零”的充要条件是()A．ab＝0B．ab＞0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2＞0D解析：a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.5．“x＜y”是“|x|＜|y|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件D解析：当x＝－3，y＝1时，x<y，但|x|＞|y|，故x＜y推不出|x|＜|y|；反之，当x＝1，y＝－3时，|x|＜|y|，但x＞y，故|x|＜|y|推不出x＜y.由充分条件、必要条件的定义，知“x＜y”是“|x|＜|y|”的既不充分也不必要条件．6．(跨学科融合)(多选)已知p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充分不必要条件的电路图是()ABCDAD解析：对于A，开关S闭合，则灯泡L亮，反之，灯泡L亮，不一定有开关S闭合，所以p⇒q，但qeq\o(⇒,/)p，所以p是q的充分不必要条件；对于B，p⇔q，所以p是q的充要条件；对于C，开关S，S1与灯泡L串联，所以peq\o(⇒,/)q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，开关S闭合，则灯泡L亮，反之，灯泡L亮，不一定有开关S闭合，所以p⇒q，但qeq\o(⇒,/)p，所以p是q的充分不必要条件．二．填空题7．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则实数a的取值集合为.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5)))解析：因为x2－8x＋15＝0的两个根为3和5，所以A＝{3，5}．因为“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，所以B是A的真子集，所以B＝∅或B＝{3}或B＝{5}．当B＝∅时，a＝0；当B＝{3}时，3a－1＝0，所以a＝eq\f(1,3)；当B＝{5}时，5a－1＝0，所以a＝eq\f(1,5).所以a的值可以是0，eq\f(1,3)，eq\f(1,5).故实数a的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).8．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.{m|m>2}解析：因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以{x|x>m}是{x|x>2}的真子集，即m>2.9．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的_______充要条件【解析】a2＋b2＝c2⇔△ABC为直角三角形，三．解答题10．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，B＝{x|x≤－2，或x≥5}．(1)若a＝1，求A∪B；(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：(1)因为a＝1，A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，所以A＝{x|3≤x≤8}．因为B＝{x|x≤－2，或x≥5}，所以A∪B＝{x|3≤x≤8}∪{x|x≤－2，或x≥5}＝{x|x≤－2，或x≥3}．(2)因为“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，所以AB．①若A＝∅，则2a＋1>3a＋5，即a<－4，满足题意；②若A≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1≤3a＋5，,2a＋1≥5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1≤3a＋5，,3a＋5≤－2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－4，,a≥2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－4，,a≤－\f(7,3)，))所以a≥2或－4≤a≤－eq\f(7,3).综合①②知，实数a的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a≤－\f(7,3)，或a≥2)).11．已知a，b是正实数，求证：“a＋b＝1”是“eq\f(a＋1,b)＋eq\f(b＋1,a)＋2＝eq\f(2,ab)”的充要条件．证明：必要性：若eq\f(a＋1,b)＋eq\f(b＋1,a)＋2＝eq\f(2,ab)，则eq\f(aa＋1＋bb＋1＋2ab,ab)＝eq\f(2,ab)，所以a2＋a＋b2＋b＋2ab＝2，即(a＋b)2＋(a＋b)－2＝0，故(a＋b－1)(a＋b＋2)＝0.因为a，b是正实数，所以a＋b＋2＞0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.充分性：若a＋b＝1，则eq\f(a＋1,b)＋eq\f(b＋1,a)＋2＝eq\f(aa＋1＋bb＋1＋2ab,ab)＝eq\f(a2＋b2＋2ab＋a＋b,ab)＝eq\f(a＋b2＋a＋b,ab)＝eq\f(1＋1,ab)＝eq\f(2,ab).综上，“a＋b＝1”是“eq\f(a＋1,b)＋eq\f(b＋1,a)＋2＝eq\f(2,ab)”的充要条件．12.证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边的边长．【证明】(1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc⇒△ABC为等边三角形)：因为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2