2026年高考数学复习难题速递之一、二次函数及方程、不等式（2025年11月）

第45页（共45页）2026年高考数学复习难题速递之一、二次函数及方程、不等式（2025年11月）一．选择题（共8小题）1．对于区间（m，n），我们将n﹣m的值称为该区间的长度．若关于x的不等式x2+ax+a＜0有解，且解集的区间长度不超过5，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]∪[4，+∞） B．[﹣1，0）∪（4，5] C．[﹣1，0]∪[4，5] D．[﹣1，5]2．已知集合A＝{x|ax2+bx+c＞0}，B＝{x|bx2+cx+a＞0}，C＝{x|cx2+ax+b＞0}，其中a，b，c为实数，现有两个结论：①若A∩B∩C＝（p，+∞），则p＝0；②存在实数q，使得A∩B∩C＝（﹣∞，q），则下列判断中正确的是（）A．①和②都正确 B．①和②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确3．已知x1，x2是函数f（x）＝（x﹣2）（3x﹣2﹣1）﹣3（3x﹣2+1）的两个零点，则3xA．1 B．3 C．9 D．814．不等式x2+ax﹣2＜0的解集为（﹣1，2），则实数a的值是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣35．已知M＝{（x，y）|y＝tx2+（1﹣t）x，1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集．设d是M中两点间距离的最大值，S是M中所有点构成的图形的面积，则（）A．d＝3，S＜1 B．d＝3，S＞1 C．d=10，S＜1 D．d=106．已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝x﹣1，若∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是（）A．（﹣4，0） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣2，0） D．（﹣3，﹣2）7．已知0＜b＜a+1，集合A＝{x|（a2﹣1）x2﹣2abx+b2＞0}，若集合A中有且仅有两个整数，则a，b取值可以是下面的（）A．a＝0.51，b＝0.3 B．a＝0.8，b＝0.2 C．a＝1.24，b＝1 D．a＝0.41，b＝1.18．已知二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a），甲同学：y＞0的解集为{x|x＜a或x＞1a}；乙同学：y＜0的解集为{x|x＜a或x＞1a}，丙同学：函数y＝（ax﹣A．a＜﹣1 B．﹣1≤a＜0 C．0＜a≤1 D．a＞1二．多选题（共4小题）（多选）9．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤﹣2或x≥1}，则（）A．b＞0且c＜0 B．4a+2b+c＝0 C．不等式bx+c＞0的解集为{x|x＞2} D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为{（多选）10．已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|﹣3≤x≤4}，则（）A．a＜0 B．a+b+c＜0 C．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为{xD．83b（多选）11．已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为M，则下列说法错误的是（）A．M＝∅，则a＜0，Δ＜0 B．若M＝（﹣1，3），则关于x的不等式﹣cx2﹣bx﹣b＞cx+4a的解集为(-∞，-C．若M＝{x|x≠x0，x0为常数}，且a＜b，则a+4cbD．若a＜0，ax2+bx+c＜0的解集M一定不为∅（多选）12．下列命题中，正确的是（）A．若a＜b，则a2＜b2 B．若b＞a＞0，m＞0，则baC．若实数x，y满足2x+9﹣y＜3﹣x+4y，则x﹣2y＜0 D．关于x的方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数a的取值范围是（-12，三．填空题（共4小题）13．函数y＝[x]在数学上称为“高斯函数”，也叫“取整函数”，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3，[3]＝3．设不等式ax2+bx+2＜[x]（﹣1≤x＜3）的解集为A，若A＝（p，q）∪[2，r），其中p，q，r∈R，且0＜p＜1＜q＜2，则2a+3b的取值范围是．14．关于x的不等式（ax﹣1）2＜x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是．15．若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤1（a＞0）的解集为{x|﹣1≤x≤2}，则3a+2b+c的取值范围是．16．已知二次函数y＝x2+（a﹣7）x+6，反比例函数y=ax．若这两个函数的图象的所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数a有四．解答题（共4小题）17．已知函数f（x）＝ax2﹣（2a+4）x+8（a≠0）．（Ⅰ）若不等式f（x）＜0的解集为（2，4），求实数a的值；（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＞0；（Ⅲ）若f（x）在区间[1，2]上的最小值为﹣1，求实数a的值．18．已知关于x的方程Ω：ax2﹣（2a+8）x+16＝0（a为常数且a＞0）．（1）证明：Ω必有实数根．（2）设x1，x2是Ω的两个根，证明2（x1+x2）﹣x1x2为定值．（3）求关于x的不等式ax2﹣（2a+8）x+16≤0的解集．19．设函数f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2（a∈R）．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（x）≥﹣2对于任意实数x都恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）解关于x的不等式：f（x）＜a﹣1．20．已知函数f（x）＝mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧．（1）求实数m的取值范围：（2）令t＝﹣m+2，求[1（其中[t]表示不超过t的最大整数，例如：[1]＝1，[2.5]＝2，[﹣2.5]＝﹣3）（3）对（2）中的t，求函数g(

2026年高考数学复习难题速递之一、二次函数及方程、不等式（2025年11月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCDACADC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACACDACBCD一．选择题（共8小题）1．对于区间（m，n），我们将n﹣m的值称为该区间的长度．若关于x的不等式x2+ax+a＜0有解，且解集的区间长度不超过5，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]∪[4，+∞） B．[﹣1，0）∪（4，5] C．[﹣1，0]∪[4，5] D．[﹣1，5]【考点】解一元二次不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解；新定义类．【答案】B【分析】由于关于x的不等式x2+ax+a＜0有解，可得Δ＝a2﹣4a＞0，解得a＞4或a＜0，由x2+ax+a＝0解得x1=-a-Δ2，x2=-a+Δ2，可得不等式解集为（x1，x2），已知解集的区间长度不超过5个【解答】解：∵关于x的不等式x2+ax+a＜0有解，可得Δ＝a2﹣4a＞0，解得a＞4或a＜0，由x2+ax+a＝0解得x1=-a-Δ2∵x1＜x2，∴不等式解集为（x1，x2），∵解集的区间长度不超过5个单位长x2﹣x1≤5解得﹣1≤a≤5，∵a＞4或a＜0，∴﹣1≤a＜0或4＜a≤5，则实数a的取值范围是[﹣1，0）∪（4，5]．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法及其新定义问题，是中档题．2．已知集合A＝{x|ax2+bx+c＞0}，B＝{x|bx2+cx+a＞0}，C＝{x|cx2+ax+b＞0}，其中a，b，c为实数，现有两个结论：①若A∩B∩C＝（p，+∞），则p＝0；②存在实数q，使得A∩B∩C＝（﹣∞，q），则下列判断中正确的是（）A．①和②都正确 B．①和②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确【考点】解一元二次不等式；求集合的交集．【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】C【分析】先利用反证法证得a≥0，b≥0，c≥0，再利用反证法证明a，b，c至少有一个为零，然后分类讨论a，b，c中的两个为0和a，b，c中的1个为0，结合不等式的解法分析即可．【解答】解：①由A∩B∩C＝（p，+∞），即不等式组ax2+bx+先证明a，b，c都不小于零：不妨假设a＜0，考虑不等式ax2+bx+c＞0，因为不等式组有解集，故不等式ax2+bx+c＞0必定有解，设方程ax2+bx+c＝0的两实数根为m，n（m＜n），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n}，由A∩B∩C＝（p，+∞），即不等式组ax2+bx+c＞0bx与解集为（p，+∞）矛盾，故假设错误，a≥0，同理可知，b≥0，c≥0，再证明a，b，c至少有一个为零：不妨设a，b，c均为正数，则y＝ax2+bx+c，y＝bx2+cx+a，y＝cx2+ax+b的图象均开口向上，不等式组的解集应该还有x＜q的部分，与已知矛盾，故假设错误，所以a，b，c中至少有一个为零，显然a，b，c不全为0，分类讨论如下：若a，b，c中的两个为0，不妨设a＝b＝0，c＞0，则不等式组为c＞0cx＞0cx2＞若a，b，c中的1个为0，不妨设a＝0，b，c＞0，则不等式组为bx+c＞0bx2+cx＞0cx2不等式bx2+cx＞0的解集为(-∞，-cb)∪(0，+∞)，不等式cx因为-cb＜0，故不等式组的解集为（0，+∞），此时p＝②假设存在实数q，使A∩B∩C＝（﹣∞，q），即不等式组ax2+先证明a，b，c都不小于零：不妨假设a＜0，考虑不等式ax2+bx+c＞0，因为不等式组有解集，故不等式ax2+bx+c＞0必定有解，设方程ax2+bx+c＝0的两实数根为m，n（m＜n），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n}，又不等式组ax2+bx+c＞0bx与解集为（﹣∞，q）矛盾，故假设错误，所以a≥0，同理可知，b≥0，c≥0，再证明a，b，c至少有一个为零：不妨设a，b，c均为正数，则y＝ax2+bx+c，y＝bx2+cx+a，y＝cx2+ax+b的图象均开口向上，不等式组的解集应该还有x＞p的部分，与已知矛盾，故假设错误，所以a，b，c中至少有一个为零，显然a，b，c不全为0，分类讨论如下：若a，b，c中的两个为0，不妨设a＝b＝0，c＞0，则不等式组为c＞0cx＞0cx若a，b，c中的1个为0，不妨设a＝0，b，c＞0，则不等式组为bx+其中不等式bx+c＞0的解集为{x|x＞-cb不等式bx2+cx＞0的解集为(-∞，-cb)∪(0，+∞)，不等式cx因为-cb＜0，故不等式组的解集为（0，所以不存在实数q，使得A∩B∩C＝（﹣∞，q），②错误．故选：C．【点评】本题考查了反证法和不等式的求解，属于难题．3．已知x1，x2是函数f（x）＝（x﹣2）（3x﹣2﹣1）﹣3（3x﹣2+1）的两个零点，则3xA．1 B．3 C．9 D．81【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；由函数零点所在区间求解函数或参数．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据函数零点转化为g(x)=x-【解答】解：当x≠2时，令（x﹣2）（3x﹣2﹣1）﹣3（3x﹣2+1）＝0，得x-令g(x)=则f（x）的零点转化为g（x）与h（x）图象的交点，h(4故h（x）的图象关于点（2，0）对称，g(4故g（x）的图象也关于点（2，0）对称，所以x1+x2＝4，则3x故选：D．【点评】本题考查函数对称性的应用，以及指数幂的化简求值，属于中档题．4．不等式x2+ax﹣2＜0的解集为（﹣1，2），则实数a的值是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用；数学抽象．【答案】A【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解．【解答】解：不等式x2+ax﹣2＜0的解集为（﹣1，2），则﹣1和2是方程x2+ax﹣2＝0的两根，有﹣1+2＝﹣a，解得a＝﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程相互转化关系的应用，属于中档题．5．已知M＝{（x，y）|y＝tx2+（1﹣t）x，1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集．设d是M中两点间距离的最大值，S是M中所有点构成的图形的面积，则（）A．d＝3，S＜1 B．d＝3，S＞1 C．d=10，S＜1 D．d=10【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】C【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域y≤【解答】解：对任意给定x∈[1，2]，则x2﹣x＝x（x﹣1）≥0，且t∈[0，1]，可知x≤x+t（x2﹣x）≤x+x2﹣x＝x2，即x≤y≤x2，所求集合表示的图形即为平面区域y≤如图阴影部分所示，其中A（1，1）、B（2，2）、C（2，4），d是M中两点间距离的最大值，则dmax=|ACS是M中所有点构成的图形的面积，则S＜故选：C．【点评】本题主要考查二元一次不等式的应用，属于难题．6．已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝x﹣1，若∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是（）A．（﹣4，0） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣2，0） D．（﹣3，﹣2）【考点】二次函数的性质与图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】A【分析】由x＜1得g（x）＜0，将问题转化为∀x≥1，f（x）＜0恒成立求解，再按x＝1，x＞1分类探讨即可得解．【解答】解：f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝x﹣1，若∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，当x＜1时，g（x）＜0，满足f（x）＜0或g（x）＜0；而当x≥1时，g（x）≥0，由∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，得∀x≥1，f（x）＜0恒成立，由f（1）＝m（1﹣2m）（4+m）＜0，即1-2m＜0m(4+m)＞0当x＞1时，f（x）＜0恒成立，由二次函数性质知函数f（x）的图象开口向下，则m＜0，而f（x）＝0的2个根为x1＝2m，x2＝﹣m﹣3，有2m≤1-m-3≤1，解得-所以m的取值范围是（﹣4，0）．故选：A．【点评】本题主要考查一元二次函数的性质以及不等式的求解，属于中档题．7．已知0＜b＜a+1，集合A＝{x|（a2﹣1）x2﹣2abx+b2＞0}，若集合A中有且仅有两个整数，则a，b取值可以是下面的（）A．a＝0.51，b＝0.3 B．a＝0.8，b＝0.2 C．a＝1.24，b＝1 D．a＝0.41，b＝1.1【考点】解一元二次不等式；元素与集合的属于关系的应用．【专题】对应思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】D【分析】因式分解得到[（a+1）x﹣b][（a﹣1）x﹣b]＞0，结合0＜b＜a+1，分﹣1＜a＜1和a＞1两种情况，结合不等式的解集得到不等式，求出a，b满足的关系式，得到答案．【解答】解：由已知0＜b＜a+1，可得a＞﹣1，因为（a2﹣1）x2﹣2abx+b2＞0，整理得[（a+1）x﹣b][（a﹣1）x﹣b]＞0，若﹣1＜a＜1，此时a﹣1＜0，baA={x|ba要想A中有且仅有两个整数，则-2解得2a+b≤2且a+b＞1，A选项，a+b＝0.51+0.3＝0.81＜1，不合要求，错误；B选项，a+b＝0.8+0.2＝1，不合要求，舍去，D选项，a+b＝0.41+1.1＝1.51＞1，2a+b＝0.82+1.1＝1.92≤2满足要求，D正确；C选项，若a＞1，此时a﹣1＞0，0＜A={x|x＞故选：D．【点评】本题考查一元二次不等式的求解，对于系数含参问题，可以先对参数取值范围分类讨论，再求解，属于中档题．8．已知二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a），甲同学：y＞0的解集为{x|x＜a或x＞1a}；乙同学：y＜0的解集为{x|x＜a或x＞1a}，丙同学：函数y＝（ax﹣A．a＜﹣1 B．﹣1≤a＜0 C．0＜a≤1 D．a＞1【考点】解一元二次不等式；二次函数的图象及其对称性．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】C【分析】先由三人各自的论述入手分别化简求解a的范围，再按范围分类判断即可得．【解答】解：由题意，a≠0，若甲正确，则a＞0且1a≥a，即a2≤1，则0＜a≤若乙正确，则a＜0且1a≤a，即a2≥1，则a≤﹣若丙正确，则二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a）＝ax2﹣（a2+1）x+a，对称轴方程a2+12a＞0因为只有一个同学的论述为假命题，所以只能乙的论述错误，故0＜a≤1．故选：C．【点评】本题主要考查解一元二次不等式，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤﹣2或x≥1}，则（）A．b＞0且c＜0 B．4a+2b+c＝0 C．不等式bx+c＞0的解集为{x|x＞2} D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为{【考点】由一元二次不等式的解求参数．【专题】方程思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】AC【分析】利用一元二次不等式、二次函数、一元二次的关系求参数一一判定选项即可．【解答】解：由题意可知a＞所以b＞0且c＜0，4a+2b+c＝4a+2a﹣2a＝4a＞0，故A正确，B错误；不等式bx+c＞0⇔ax﹣2a＝a（x﹣2）＞0⇒x＞2，故C正确；不等式cx2﹣bx+a＜0⇔﹣2ax2﹣ax+a＝﹣a（2x﹣1）（x+1）＜0，即（2x﹣1）（x+1）＞0，所以x＞12或x＜﹣1故选：AC．【点评】本题考查二次不等式的解法，属于中档题．（多选）10．已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|﹣3≤x≤4}，则（）A．a＜0 B．a+b+c＜0 C．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为{xD．83b【考点】由一元二次不等式的解求参数；解一元二次不等式．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；不等式；运算求解．【答案】ACD【分析】由一元二次不等式和一元二次函数的关系分析A，由根与系数的关系分析B，由不等式的解法分析C，结合基本不等式的性质分析D，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|﹣3≤x≤4}，对应二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，则a＜0，故A正确；对于B，若﹣3和4是ax2+bx+c＝0的两个根，则9a整理得b＝﹣a，c＝﹣12a，则有a+b+c＝a﹣b﹣12a＝﹣12a＞0，故B错误；对于C，不等式cx2﹣bx+a＜0为﹣12ax2+ax+a＜0，又由a＜0，则12x2﹣x﹣1＜0，解得-1∴不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为{x|-对于D，83b+1+c2=81-3a-6a=81-3a+当且仅当1﹣3a＝2时，等号成立，即83b+1+c故选：ACD．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，涉及一元二次不等式和一元二次函数的关系，属于中档题．（多选）11．已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为M，则下列说法错误的是（）A．M＝∅，则a＜0，Δ＜0 B．若M＝（﹣1，3），则关于x的不等式﹣cx2﹣bx﹣b＞cx+4a的解集为(-∞，-C．若M＝{x|x≠x0，x0为常数}，且a＜b，则a+4cbD．若a＜0，ax2+bx+c＜0的解集M一定不为∅【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】AC【分析】选项A中，由二次函数的性质得到a＞0，Δ≤0，可判定A错误；选项B中，转化为﹣1和3是方程的两个实根，求得b＝﹣2a，c＝﹣3a，把不等式化简得到a（x+2）（3x﹣1）＞0，求得的解集，可判定B正确；选项C中，结合二次函数的性质，求得c=b24a，化简得到a+4cb-a=1+b2a2ba-1，令b【解答】解：由题意，关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为M，对于A中，若M＝∅，即不等式ax2+bx+c＜0的解集为空集，根据二次函数的性质，则满足a＞0，Δ＝b2﹣4ac≤0，所以A错误；对于B中，若M＝（﹣1，3），可得﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0两个实根，且a＞0，可得-1+3=-ba-1×3=ca，解得b＝﹣则不等式﹣cx2﹣bx﹣b＞cx+4a，可化为3ax2+5ax﹣2a＞0，即a（x+2）（3x﹣1）＞0，解得x＜﹣2或x＞即不等式的解集为(-∞，-2)∪对于C中，若M＝{x|x≠x0，x0为常数}，可得x0是ax2+bx+c＝0唯一的实根，且a＜0，则满足a＜0Δ所以a+4令ba-1=t，因为a＜b且a＜0，可得t＜则a+4当且仅当t=2t时，即t所以a+4cb-a对于D中，当a＜0时，函数y＝ax2+bx+c表示开口向下的抛物线，所以当a＜0，ax2+bx+c＜0的解集M一定不为∅，所以D正确．故选：AC．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题．（多选）12．下列命题中，正确的是（）A．若a＜b，则a2＜b2 B．若b＞a＞0，m＞0，则baC．若实数x，y满足2x+9﹣y＜3﹣x+4y，则x﹣2y＜0 D．关于x的方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数a的取值范围是（-12，【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；命题的真假判断与应用；等式与不等式的性质．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；运算求解．【答案】BCD【分析】结合不等式性质检验选项AB，结合函数单调性检验选项C；结合二次方程根的分布检验选项D．【解答】解：对于A，当a＜b＜0，不成立，故A不正确；对于B，当b＞a＞0，m＞0，则ba-b对于C．令f(x)=2x因为2x+9﹣y＜3﹣x+4y，所以f（x）＝2x﹣3﹣x＜22y﹣3﹣2y＝f（2y），即x＜2y，可得x﹣2y＜0，故C正确；对于D，令f（x）＝x2+（a2﹣1）x+a﹣2，方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一个根比2大，另一个根比2小，等价于f（2）＝2a2+a＜0，可得-12＜故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式性质，函数单调性的应用，二次方程根的分布，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．函数y＝[x]在数学上称为“高斯函数”，也叫“取整函数”，其中[x]表示不大于x的最大整数，如[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3，[3]＝3．设不等式ax2+bx+2＜[x]（﹣1≤x＜3）的解集为A，若A＝（p，q）∪[2，r），其中p，q，r∈R，且0＜p＜1＜q＜2，则2a+3b的取值范围是（﹣∞，﹣7）．【考点】解一元二次不等式；等式与不等式的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解；新定义类．【答案】（﹣∞，﹣7）．【分析】分别讨论﹣1≤x＜0、0≤x＜1、1≤x＜2和2≤x＜3几种情况，分别求出[x]的值，代入不等式中，结合解集，分析讨论，可得关于a，b的不等式组，根据线性规划的处理方法，即可求出答案．【解答】解：当﹣1≤x＜0时，[x]＝﹣1，不等式为ax2+bx+2＜﹣1，即ax2+bx+3＜0，由于解集A中无﹣1≤x＜0上的解，所以ax2+bx+3≥0在[﹣1，0）上恒成立，所以当x＝﹣1时，a﹣b+3≥0，当x＝0时，3≥0恒成立；当0≤x＜1时，[x]＝0，不等式为ax2+bx+2＜0A中解集为（p，q），且0＜p＜1＜q＜2，则a＞0，所以ax2+bx+2＜0的解集包含（p，1），其中p为ax2+bx+2＝0的正根，所以当x＝1时，a+b+2＜0；当1≤x＜2时，[x]＝1，不等式为ax2+bx+2＜1，即ax2+bx+1＜0，A中解集为（p，q），且0＜p＜1＜q＜2，则a＞0，所以ax2+bx+1＜0的解集包含（1，q），其中q为ax2+bx+1＝0的正根，所以当x＝1时，a+b+1＜0；当2≤x＜3时，[x]＝2，不等式为ax2+bx+2＜2，即ax2+bx＜0A中解集为[2，r），且2≤r＜3，则a＞0，所以ax2+bx＜0的解集包含[2，r），2＜-即3a+b≥0，2a+b＜0，综上，a＞设目标函数z＝2a+3b，即b=-联立3a+b=0a+b当b=-23a+zz＝2a+3b有最大值，且为﹣7，所以2a+3b的取值范围是（﹣∞，﹣7）．故答案为：（﹣∞，﹣7）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，线性规划问题，新定义问题，是难题．14．关于x的不等式（ax﹣1）2＜x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（-32，-43]∪[43【考点】一元二次不等式及其应用．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；分类法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（-32，-43]∪[【分析】先将原不等式转化为[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]＜0，再对a分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数a的取值范围．【解答】解：不等式（ax﹣1）2＜x2可化为[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]＜0，①当a＝1时，原不等式等价于2x﹣1＞0，其解集为（12，+②当a＝﹣1时，原不等式等价于2x+1＜0，其解集为（﹣∞，-1③当a＞1时，原不等式等价于（x-1a+1）（x-1a-1∵其解集中恰有2个整数，∴2＜1a-1④当﹣1＜a＜1时，原不等式等价于（x-1a+1）（x-1a-1）＞0⑤当a＜﹣1时，原不等式等价于（x-1a+1）（x-1a-1∵其解集中恰有2个整数，∴1a+1＜-2综合以上，可得：a∈（-32，-43]∪[故答案为：（-32，-43]∪[【点评】本题主要考查含参不等式的解法及不等式解集中的整数解问题，属于有一定难度的题．15．若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤1（a＞0）的解集为{x|﹣1≤x≤2}，则3a+2b+c的取值范围是[59，1）【考点】一元二次不等式及其应用；简单线性规划．【专题】函数思想；判别式法；转化法；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】根据给定条件，确定不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）及ax2+bx+c﹣1≤0的解集，进而求出a，b，c的关系，结合a的范围即可得解．【解答】解：若不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集不是R，不妨设ax2+bx+c＝0的根为x3，x4（x3＜x4），则ax2+bx+c≥0的解集为（﹣∞，x3]∪[x4，+∞），依题意，不等式ax2+bx+c﹣1≤0的解集非空，且方程ax2+bx+c﹣1＝0有两不等实根x1，x2（x1＜x2），则ax2+bx+c﹣1≤0的解集为[x1，x2]，即有x1+x2=x3+x4=-从而x1，x2，x3，x4的大小关系只有两种：x3＜x1＜x2＜x4，此时原不等式组解集为空集，不符合题意；或者x1＜x3＜x4＜x2，此时不等式的解集为[x1，x3]∪[x4，x2]，不符合题意，因此ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集是R，ax2+bx+c﹣1≤0的解集是[﹣1，2]，于是Δ＝b2﹣4ac≤0，且-1+2=-b从而Δ＝（﹣a）2﹣4a•（﹣2a+1）≤0，即9a2﹣4a≤0，而a＞0，解得0＜所以3a+2b+c=3a+2(-a故答案为：[5【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．16．已知二次函数y＝x2+（a﹣7）x+6，反比例函数y=ax．若这两个函数的图象的所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数a有12【考点】二次函数的性质与图象．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】12．【分析】联立，得到x3+（a﹣7）x2+6x﹣a＝0，根据x＝1始终是方程的根，进而将方程整理为（x﹣1）（x2+（a﹣6）x+a）＝0，再确定方程x2+（a﹣6）x+a＝0提供的根，分析其根的情况，求a的值即可．【解答】解：联立这两个式子，得到x3+（a﹣7）x2+6x﹣a＝0，注意到x＝1始终是方程的根，所以可以将方程整理为（x﹣1）[x2+（a﹣6）x+a]＝0，若x＝1也是x2+（a﹣6）x+a＝0的根，则x2+（a﹣6）x+a＝（x﹣1）[x+（a﹣5）]+2a﹣5＝0，则2a﹣5＝0，只要a为正整数，2a﹣5一定不是0，所以方程x2+（a﹣6）x+a＝0提供的根一定不是x＝1；若x2+（a﹣6）x+a＝0无实根，则两个函数图象只有1个交点（1，a），此时Δ＝（a﹣6）2﹣4a＝a2﹣16a+36＜0，解得8-27＜a＜8+27，其中正整数有若x2+（a﹣6）x+a＝0有整数根，显然x≠﹣1，分离参数有a=这说明x+1|7，x+1可能是±1，±7，当x+1＝1，a＝0不符合题意；当x+1＝﹣1，a＝16；当x+1＝7，a＝0，不符合题意：当x+1＝﹣7，a＝16，此种情况下，a只能取16，综上，符合条件的正整数a有12个．故答案为：12．【点评】本题考查函数与方程的根的关系的应用，属于难题．四．解答题（共4小题）17．已知函数f（x）＝ax2﹣（2a+4）x+8（a≠0）．（Ⅰ）若不等式f（x）＜0的解集为（2，4），求实数a的值；（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＞0；（Ⅲ）若f（x）在区间[1，2]上的最小值为﹣1，求实数a的值．【考点】二次函数的最值；解一元二次不等式．【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（Ⅰ）a＝1；（Ⅱ）当a＞2时，解集为(-∞，当a＝2时，解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当0＜a＜2时，解集为(-∞，当a＜0时，解集为(4（Ⅲ）a＝4．【分析】（Ⅰ）结合二次不等式与二次方程的转化关系及方程的根与系数关系即可求解；（Ⅱ）结合二次不等式的求法对a的范围进行分类讨论即可求解；（Ⅲ）结合二次函数的单调性对a的范围进行分类讨论及已知函数的最值，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为不等式f（x）＜0的解集为（2，4），所以2和4是方程ax2﹣（2a+4）x+8＝0的两根，且a＞0，则2+4=6=2a+4a，解得a＝（Ⅱ）f（x）＝（ax﹣4）（x﹣2）＞0，当a＞2时，4a＜2当a＝2时，解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当0＜a＜2时，4a＞2当a＜0时，4a＜2（Ⅲ）因为f（1）＝﹣a+4，f（2）＝0，对称轴为x0=1+2当a＜0或0＜a≤2时，对称轴在区间外或端点，函数在[1，2]单调递减，最小值为f（2）＝0，不符合题意；当a＞2时，对称轴在区间内，开口向上，最小值为顶点值，令4-a-4a=-1，解得a＝验证a＝4时顶点在区间内，最小值为﹣1，符合条件，故a＝4．【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，二次不等式的求法，二次函数的最值，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．18．已知关于x的方程Ω：ax2﹣（2a+8）x+16＝0（a为常数且a＞0）．（1）证明：Ω必有实数根．（2）设x1，x2是Ω的两个根，证明2（x1+x2）﹣x1x2为定值．（3）求关于x的不等式ax2﹣（2a+8）x+16≤0的解集．【考点】解一元二次不等式；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（1）证明：Δ＝[﹣（2a+8）]2﹣4a×16＝4（a﹣4）2≥0，故Ω必有实数根；（2）证明：x1，x2是Ω的两个根，可得x1+x2=2a+8a，x1故2（x1+x2）﹣x1x2＝2×2a+8a-16a=4，即2（x1+x2（3）当a＝4时，不等式的解集为{2}；当a＞4时，不等式的解集为{x|8a≤x≤当0＜a＜4时，不等式的解集为{x|2≤x≤8a【分析】（1）求解判别式即可求解结论；（2）根据韦达定理即可求解结论；（3）通过讨论两根的大小即可求解结论．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（2a+8）]2﹣4a×16＝4（a﹣4）2≥0，故Ω必有实数根；（2）证明：x1，x2是Ω的两个根，可得x1+x2=2a+8a，x1故2（x1+x2）﹣x1x2＝2×2a+8a-16a=4，即2（x1+x2（3）解：ax2﹣（2a+8）x+16≤0，即a（x-8a）（x﹣2）≤由a＞0，可得（x-8a）（x﹣2）≤0，当a＝4时，可得x＝当a＞4时，8a≤x≤当0＜a＜4时，2≤x≤8综上可得：当a＝4时，不等式的解集为{2}；当a＞4时，不等式的解集为{x|8a≤x≤当0＜a＜4时，不等式的解集为{x|2≤x≤8a【点评】本题主要考查韦达定理的定义域，考查计算能力，属于中档题．19．设函数f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2（a∈R）．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（x）≥﹣2对于任意实数x都恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）解关于x的不等式：f（x）＜a﹣1．【考点】一元二次不等式恒成立问题；解一元二次不等式．【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（I）a＝2，b=（II）[1（III）当a＝0时，解集为（﹣∞，1）；当a＞0时，解集为(-1a，1)；当a＝﹣1时，{x当a＜﹣1时，解集为(-∞，-1a)∪(1，+∞)；当﹣1＜【分析】（I）借助不等式解集与方程根的关联求解参数；（II）将恒成立问题转化为二次函数性质分析；（III）对参数a分多类讨论，逐一求解含参二次不等式．【解答】解：（I）由不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，得f（0）＝0，即a﹣2＝0，解得a＝2．此时f（x）＝2x2﹣x，解2x2﹣x≤0，得x（2x﹣1）≤0，故0≤x≤（II）不等式f（x）≥﹣2恒成立，即ax2+（1﹣a）x+a≥0对任意实数x恒成立．当a＝0时，x≥0，不满足条件；当a≠0时，需a＞0且Δ＝（1﹣a）2﹣4a2≤0，化简得3a2+2a﹣1≥0，解得a≥（III）解不等式f（x）＜a﹣1，即ax2+（1﹣a）x﹣1＜0．当a＝0时，x﹣1＜0，解得x＜1；当a＞0时，（ax+1）（x﹣1）＜0，解得-1当a＝﹣1时，﹣（x﹣1）2＜0，解得x≠1；当a＜﹣1时，(x+1a)(x-当﹣1＜a＜0时，(x+1a)(x-综上所述，当a＝0时，解集为（﹣∞，1）；当a＞0时，解集为(-1a，1)；当a＝﹣1时，{x当a＜﹣1时，解集为(-∞，-1a)∪(1，+∞)；当﹣1＜【点评】本题主要考查二次函数、二次不等式的综合应用，涉及解集与根的关系、恒成立问题、含参不等式分类求解，属于中档题．20．已知函数f（x）＝mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧．（1）求实数m的取值范围：（2）令t＝﹣m+2，求[1（其中[t]表示不超过t的最大整数，例如：[1]＝1，[2.5]＝2，[﹣2.5]＝﹣3）（3）对（2）中的t，求函数g(【考点】二次函数的性质与图象；函数与方程的综合运用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）（﹣∞，1]．（2）[1t]=（3）{12}∪[56，【分析】（1）分m＝0和m≠0两种情况讨论，在m＝0时进行验证即可；在m≠0时，由f（0）＝1可分二次函数y＝f（x）有且只有一个零点且为正零点、一个正零点和一个负零点、两个正零点三种情况进行分类讨论，由此能求出实数m的取值范围．（2）求出t≥1，可得1t∈[0，1]，然后分t＞1和t＝1两种情况讨论，根据定义得出[1t（3）分t＝1，1＜t＜2，t＞2三种情况讨论，在t＝1时代入函数y＝g（t）的解析式计算即可，在1＜t＜2时，利用函数y＝g（t）的单调性得出该函数的值域，在t≥2时，考查n≤t＜n+1（n≥2，n∈N*），结合函数的单调性不得出值域，由此能求出函数g(【解答】解：（1）①若m＝0，则f（x）＝1﹣3x，令f（x）＝0，得x=1此时函数y＝f（x）只有一个正零点，符合题意；②若m≠0，由于f（0）＝1＞1，（i）若函数f（x）有且只有一个零点且为正数，则Δ=m2-10（ii）若函数y＝f（x）有一个正零点和一个负零点，则1m＜0，解得m（iii）若函数y＝f（x）有两个正零点时，则Δ=解得0＜m＜1，综上所述，实数m的取值范围是（﹣∞，1]．（2）∵m≤1，∴t＝﹣m+2≥1，当t＞1时，0＜1此时，[1t]＝0，当t＝1时，1t=1，此时[1t∴[1t]=（3）∵g(①当t＝1时，g（1）=2②当1＜t＜2时，[t]＝1，[1t]＝0，则g（t）=12（t+1t∴1＜g（t）＜5③当t≥2时，设n≤t＜n+1（n≥2，n∈N*），则[t]＝n，[1t]＝0此时，g（t）=1n+1(t+1则1n设h（n）=1n+1（n+1n）=则h（n+1）﹣h（n）＝（1+1n+1-2n当n＝2时，h（2）＝h（3）；当n＞2且n∈N*时，n-2n(n+1)(n+2)＞0，则∴h（n）≥h（2）=5设φ（n）=(n+1当n≥2且n∈N*时，数列{φ（n）}单调递减，∴φ（n）≤φ（2）=10∴当t≥2时，函数y＝g（t）的值域为[56，10综上所述，函数g(t)=t+1t[t][【点评】本题考查函数中参数的取值范围、函数值、函数的单调性、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．

考点卡片1．元素与集合的属于关系的应用【知识点的认识】元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．【命题方向】知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．2．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．3．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．4．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，且5．二次函数的性质与图象【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=-b2a；最值为：f（-b2a）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2=-ba，x1•x③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，p2），准线方程为y=-p④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命题方向】熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．6．二次函数的最值【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．二次函数的最值出现在顶点处．对于f（x）＝ax2+bx+c，最值为f(-b2a﹣计算顶点x坐标x=﹣计算顶点处的函数值f(﹣根据a的正负判断最值类型（最大值或最小值）．【命题方向】主要考查二次函数最值的计算与应用题．设a为实数，若函数y＝﹣x2﹣2x+3在区间[a，2]上的最大值为154，则a的值为_____解：函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，对称轴为x＝﹣1，当a≤﹣1时，则x＝﹣1时，函数取得最大值为4，不满足题意；当﹣1＜a≤2时，则x＝a时，函数y＝﹣x2﹣2x+3在区间[a，2]上的最大值为154即﹣a2﹣2a+3=154，解得a=-1综上，a的值为-1故选：C．7．二次函数的图象及其对称性【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=-b2a；最值为：f（-b2a）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x②平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；﹣确定对称轴x=﹣确定顶点坐标(-﹣根据a的正负确定开口方向．﹣绘制抛物线，标注对称轴与顶点．【命题方向】考查二次函数图象的绘制及其对称性的判断与应用题．如图为二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，则下列说法正确的是（）A．方程bx2﹣cx﹣1＝0的解集为{B．不等式bx2﹣cx﹣1≤0的解集为[C．不等式﹣x2+bx+c≥0解集为[1，4]D．函数y＝cx2﹣x+b的最大值为81解：由图可知，方程﹣x2+bx+c＝0的解为x1＝1，x2＝4，则b＝5，﹣c＝4，即b＝5，c＝﹣4，对于A，方程bx2﹣cx﹣1＝0即为5x2+4x﹣1＝0，解得x＝﹣1或15所以方程bx2﹣cx﹣1＝0的解集为{-1，对于B，不等式bx2﹣cx﹣1≤0即为5x2+4x﹣1≤0，由A选项知，不等式的解集为[-1，对于C，不等式﹣x2+bx+c≥0即为﹣x2+5x﹣4≥0，解得1≤x≤4，所以不等式﹣x2+bx+c≥0解集为[1，4]，故C正确；对于D，y＝cx2﹣x+b＝﹣4x2﹣x+5，当x=-18时，函数取得最大值故选：ACD．8．一元二次不等式及其应用【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】①一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．②分式不等式问题：f(x)g(x)＞0⇔f（f(x)g(x)＜0⇔f（f(x)gf(x)g9．解一元二次不等式【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0﹣将不等式转化为ax2+bx+c＝0形式，求出根．﹣根据根的位置，将数轴分为多个区间．﹣在各区间内选择测试点，确定不等式在每个区间内的取值情况．﹣综合各区间的解，写出最终解集．不等式x2﹣2x＞0的解集是（）解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，{x|x＜0或x＞2}10．由一元二次不等式的解求参数【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0，﹣设定一元二次不等式的解，并根据解的形式建立不等式．﹣求出根，结合数轴分析区间．﹣通过区间分析，确定参数的取值范围．设a，b，c为常数，若不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），则不等式ax2﹣bx+c＜0的解集是（）解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），可得﹣3，2是方程ax2+bx+c＝0的两根，且a＜0，则-3+2=-ba-3×2=c不等式ax2﹣bx+c＜0整理可得x2-bax+即x2﹣x﹣6＞0，解得x＞3或x＜﹣2，所以不等式ax2﹣bx+c＜0的解集为（3，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．11．一元二次不等式恒成立问题【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】﹣将不等式转化为ax2+bx+c≥0或ax2+bx+c≤0形式．﹣分析抛物线的开口方向和顶点位置．﹣结合不等式恒成立的条件，确定参数范围．【命题方向】恒成立问题的题目多涉及参数范围的求解，重点考查不等式在整个定义域内成立的条件．当1≤x≤3时，不等式x2﹣mx+4＞0恒成立，则实数m的取值范围为_____．解：当1≤x≤3时，x2因此，当1≤x≤3时，不等式x2﹣mx+4＞0恒成立，即m＜x而当1≤x≤3时，x+4x≥2x⋅4x=4，当且仅当x所以实数m的取值范围为m＜4．故答案为：{m|m＜4}．12．一元二次方程的根的分布与系数的关系【知识点的认识】一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2=-ba，x1•x【解题方法点拨】例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0两根的平方．解：方程x2﹣3x+1＝0中，∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，设方程两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝1，∴（x1+x2）2=x12+x22+2x∴x12+x22=7，又x12x22则所求方程为x2﹣7x+1＝0．这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2与x1•x2可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．【命题方向】首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．13．二元一次不等式（组）与平面区域【知识点的认识】二元一次不等式（组）与简单线性规划问题1、二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l：ax+by+c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＝0；②直线l一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＞0；③直线l另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＜0．所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0，y0），从ax0+by0+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．2、线性规划相关概念名称意义目标函数欲求最大值或最小值的函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组可行解满足约束条件的解（x，y）可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域的顶点处取得二元线性规划问题如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次函数的最大值或最小值问题叫作二元线性规划问题3、线性规划（1）不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．z＝Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数．由于z＝Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．（2）一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．（3）那么，满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域．其中可行解（x1，y1）和（x2，y2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行．4、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）．②设z＝0，画出直线l0．③观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的最大值及最小值．5、利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解．最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．【解题方法点拨】1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距【命题方向】题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+43分为面积相等的两部分，则k的值是A．73B．37C．43分析：画出平面区域，显然点（0，43）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，4解答：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx+43过定点（0，43）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（12，5当y＝kx+43过点（12，52）时，5答案：A．点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．题型二：求线性目标函数的最值典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．题型三：实际生活中的线性规划问题典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．解析设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知x求目标函数z＝x+0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．题型四：求非线性目标函数的最值典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为．（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|OA→+OM→|的最小值是分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．解答：（1）yx表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，3（2）依题意得，OA→+OM→=（x+1，y），|OA→+OM→|=(x+1)2+y2可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0故答案为：（1）32（2）3点评：常见代数式的几何意义有（1）x2+y2表示点（x，y）与原点（（2）(x-a)2+(y-b（3）yx表示点（x，y）与原点（0，0（4）y-bx-a表示点（x，y14．简单线性规划【知识点的认识】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【解题方法点拨】1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距【命题方向】例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件x+2（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S