2025年概率统计与组合数学核心技巧解析

高考数学概念措施题型易误点技巧总结（十）

排列、组合和二项式定理

1.排列数A：中a>m>1,〃、ineN、组合数C：中〃之n>1,m>0,小meN.

（1）排列数公式

A"'=n（n-\）［n-2）（n-m+1）=—————（m<n）；=u!=n（n-l）（n-2）«•21o如

（1）1!+2!+3!+…+n!（〃24,〃wN，）的个位数字为（答：3）：（2）满足忿<6黑二

的工=（答：8）

（2）组合数公式

冬="（"?）”一：〃「）二J〒（小）；规定5=1，G；=i•如已知

凿♦….21加（〃-m）!"

C：+C3+A："=6,求n,m的值（答：m=n=2）

⑶排列数、组合数的性质：①c：=c;r；②C：=M+C%：③圮：=〃仁，

④C；+C—..+C：=C：；：：⑤〃•加=（〃+1）!-〃!；=

（〃+1）!〃！（77+1）!

2.解排列组合问题的根据是：分类相加（每类措施都能独立地完毕这件事，它是互相独

立的，一次的且每次得出的是最终的成果，只需一种措施就能完中这件事），分步相乘（-

步得出的成果都不是最终的成果，任何一步都不能独立地完毕这件事，只有各个环节都完毕

了，才能完毕这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合.如（1）将5封信投入3个邮

筒，不一样的投法共有种（答：35）：（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取

出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不一样的取法共有一种（答：70）：（3）

从集合｛1,2,3｝和｛145,6｝中各取一种元素作为点的坐标,则在直角坐标系中能确定不一样

点的个数是一（答：23）：（4）72的正约数（包括1和72）共有个（答：12）：（5）ZA

的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同NA的顶点共10个点，以这些点为

顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；（6）用六种不一样颜色把

右图中A、B、C、D四块区域分开，容许同一颜色涂不一样区域，但/QASX

相邻区域不能是同一-种颜色，则共有种不--样涂法（答：480）：//\

（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张他人送出的贺CB

年卡，则4张贺年卡不一样的分派方式有______种（答：9）：（8）f\L->y

是集合M=｛a,〃,c｝到集合N=｛T,0,l｝的映射，且/（〃）+/S）XCDJ/

=/（c），则不一样的映射共有个（答：7）；（9）满足/1U5UC=｛12,3,4｝的集合

A、B、C共有组（答：74）

3.解排列组合问题的措施有：

（1）特殊元素、特殊位置优先法（元索优先法：先考虑有限制条件的元素的规定，再

考虑其他元素：位置优先法：先考虑有限制条件的位置的规定，再考虑其他位置）。如（D

某单位准备用不一样花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的

外墙，映行编号为1到6的6种不一样花色的石材可诜择，其中1号石材有微量的放射性,

不可用于办公室内，则不一样的装饰效果有____种（答：300）：（2）某银行储蓄卡的密码

是一种4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如2816）的

措施设计密码，当积为一位数时，十位上数字选。千位、百位上都能取0.这样设计出来的

密码共有种（答：100）；（3）用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以构成无反复数

字的四位偶数______个（答：156）：（4）某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育

不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不一样排课方案种数为_____（答：6）；（5）

四个不一样的小球所有放入编号为1、2、3、4的四个盒中，①恰有两个空盒的放法有

一种：②甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不一样放法有

一种（答：84：96）；（6）设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、

4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相似的盖法

有_________种（答：31）

（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有状况去掉））。

如在平面直角坐标系中,由六个点（0,0）,（1,2）,（2,4）,（6,3）,（-1,一2）,可以确定

三角形的个数为（答：15）。

（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一种大元素，然后再与其

他“一般元素”全排列，最终再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。如（1）把4

名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不一样的排法种数为（答：2880）；（2）

某人射击8枪，命中4枪，4枪命中中恰好有3枪连任一起的状况的不一样种数为（答：

20）；（3）把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票所有分给4个人，每人至少

分I张，至多分2张，且这两张票具有持续的编号，那么不一样的分法种数是（答：

144）

（4）不相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采

用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按规定插入排好

的元素之间）。如（1）3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边均有空位，则不一样的坐

法种数有种（答：24）；（2）某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演

前又增长了两个新节目。假如将这两个节目插入原节目单中，那么不一样的插法种数为

（答：42）0

（5）多排问题单排法。如若2n个学生排成一排的排法数为x,这2n个学生排成前后

两排，每排各n个学生的排法数为y,则x,y的大小关系为（答：相等）：

（6）多元问题分类法。如（1）某化工厂试验生产中需依次投入2种化工原料，既有5

种原料可用，但甲、乙两种原料不能同步使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先

投放.那么不一样的试验方案共有种（答：15）：（2）某企业新招聘进8名员工，平

均分给下属的甲、乙两个部匚.其中两名英语翻译人员不能同给一种部门：另三名电脑编程

人员也不能同给一种部门，则不一样的分派方案有种（答：36）；（3）9名翻译中，6

个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参与外事活动，规定其中3人担任英语翻译，选拨的

措施有种（答：90）；

（7）有序问题组合法。如（1）书架上有3本不一样的书，假如保持这些书的相对次序

不便，再放上2本不一样的书，有种不一样的放法（答：20）：（2）百米决赛有6名运

动A、B、C、D、E、F参赛，每个运动员的速度都不一样，则运动员A比运动员F先到终

点的比赛成果共有种（答：360）；（3）学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩

王€{89,90,91,92,93}0=1,2,3,4）且满足内＜$4当＜%,则这四位同学考试成绩的所

有也许状况有种（答：15）；（4）设集合A={1,Z3,4,5,6,7,8},对任意XWA,有

/（1）＜/（2）＜/（3）,则映射的个数是（答：C；8l；（5）假如一种三位

正整数形如“卬廿3”满足《＜电且内〈电，则称这样的三位数为凸数（如120、363、

374等），那么所有凸数个数为（答：240）；（6）离心率等于log,"（其中

1工〃＜9,1〈乡＜9且的不一样形状的的双曲线的个数为（答：26）0

（8）选用问题先选后排法。如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相似且

可辨别，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最终一只次品恰好在第五次测

试时，被发现的不一样状况种数是（答：576）。

（9）至多至少问题间接法。如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女

同学当选的选法有______种（答：596）

（10）相似元素分组可采用隔板法,如（1）10个相似的球各分给3个人，每人至少一

种，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36：15）：（2）某运送企业有7个车队，每个

车队的车都多于4辆且型号相似，要从这7个车队中抽出10辆车构成一运送车队，每个车

队至少抽1辆车，则不一样的抽法有多少种？（答：84）

4、分组问题：要注意辨别是平均分组还是非平均分组，平均提成n组问题别忘除以n!0

如4名医生和6名护士构成•种医疗小组，若把他们分派到4所学校去为学生体检，每所学

校需要一名医生和至少一名护士的不一样选派措施有种（答：37440）：

5.二项式定理：（a+b）n=+…+C；cT'b'+…+C»”,其中组合数C；

叫做第，41项的二项式系数：展开式共有〃+1项，其中第户］项7；+1=C；/-，'（r=0,l,2,

,〃）称为二项展开式的通项，二项展开式通项的重要用途是求指定的项.尤其提醒：（1）

项的系数与二项式系数是不一样的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就

是二项式系数。如在（ax+份”的展开式中，第r+】项的二项式系数为第r+1项的

系数为CH"-'"；而CY+'）”的展开式中的系数就是一项式系数；（2）当n的数值不大时

X

往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数：（3）审题时要注意辨别所求的是项还是第几

项？求的是系数还是二项式系数？如（1）（2d-七Y的展开式中常数项是一（答：14）：

（2）（1+4+（1+"+…+{1+W°的展开式中的/的系数为（答：330）；

（3）数-l的末尾持续出现零的个数是一（答：3）；（4）（缶+次严展开后所得的

x的多项式中，系数为有理数的项共有一项（答：7）；（5）若

1一6%+15%2—20/+15/一6%5+%6（入£%且工421）的值能被5整除，则x的可取值的

个数有一个（答：5）：⑹若知＜。，且x+y=L二项式按X降恭展开后，其第

二项不不小于第三项，则x的取值范围是（答：（1,+8））；⑺函数

/（幻=（1-《!1外|°+（1+5由刀产的最大值是_______（答：1024）.

6、二项式系数的性质：

（I）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即

（2）增减性与最大值：当等时，二项式系数C：的值逐渐增大，当「2等时.C：

的值逐渐减小，且在中间获得最大值。当n为偶数时，中间一项（第，+1项）的二项式系

2

数获得最大值。当n为奇数时，中间两项（第"1和"1+1项）的二项式系数

"22

n-lM+I

c,F=♦相等并同步取最大值。如（1）在二项式“一1）”的展开式中，系数最小的项的

系数为（答：-426）：（2）在（1+x）”的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，

则〃=（答：17,18或19）。

（3）二项式系数的和：C：+C：++C：+…+C：=2"：C：+C：+…=C：+C；+

…=2"二如（1）假如l+2C：+22C；+.・・+2"C二=2187,则C+C：+C；+：♦+£；=

（答：128）；（2）化简C：+2C：+3C；+…+5+1）。（答：（〃+2）-2"7）

7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为了⑴、“奇数（偶次）项”

系数和为匕/⑴一/（一1）］,以及“偶数（奇次）项“系数和为,"⑴+如（1）日

22

9

知（1—3x）9_4++生厂+----F，则+%|+14|等于（答：4