2025高考假期提升专项练习数学解密之复数含答案及解析

2025年高考数学解密之复数

一,多选题（共15小题）

1.（2024•南通模拟）已知复数4，z2,满足|z/・|z2伊0,下列说法正确的是（）

若[则

A.Z1|=|z?|,zj=zjB.[Z]+z21„|z,|+1z21

C.若2仔2wR，则幺£RD.|2,2,1=12,11^|

Z2

2.（2024•南通模拟）已知z「z,都是复数.下列正确的是（）

A.若Z]=z2,则Z[z?cRB.若Z]Z2eR,则4=z2

C.若IzJNzJ,则z；=z；D.若z；+z；=0,则I4RZ2I

则下列说法中正确的有（）

3.（2024•贵港模拟）己知复数4，z2,z3,

A.若z}z2=zlzi,则4=0或无=z3

B.若Z|=—g+半i,贝ijz『24

C.若z；+z；=0,则Z]=z2=0

D.若Z[Z]=Z2Z2，则|Z]|=|Z2

4.（2024•阳江模拟）设复数z在复平面内对应的点为Z,则下列说法正确的有（）

A.若|z|=l,则2=±1或z=±i

B.若|z-（2+i）|=l,则|z|的最小值为6-1

C.若2二6一2i,则|z|=7

D.若掇J|z|V2,则点Z的集合所构成图形的面积为万

5.（2024•潍坊二模）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，〃z）=z2就是一个多项式复变函数.给

定多项式复变函数之后，对任意一个复数z0,通过计算公式z.x=/（z“），〃eN可以得到一列值z0,

z,,z2,...»z„,....如果存在一个正数使得对任意〃eN都成立，则称Z。为/（z）的收敛

点；否则，称为/（z）的发散点.则下列选项中是/（z）=z2的收敛点的是（）

A.x/2B.-/C.1-zD./

22

6.（2024•辽宁模拟）已知z满足5（1—i）=z+2-,则（）

2-i

A.

B.复平面内彳对应的点在第一象限

C.zz=17

D.z的实部与虚部之积为T

7.（2024•安徽模拟）己知i为虚数单位，复数z==下列说法正确的是（）

/（3+r）

B.复数z在复平面内对应的点位丁第四象限

3

C.-i-z＜0

5

D.z+1为纯虚数

5

8.（2024•重庆模拟）已知复数z,卬均不为0,贝I"）

2

A.z2=\zfB.—=-^-C.z-w=z-wD.|三哈

Z|Z『w|wI

9.（2024•延边州模拟）已知z、Z2都是复数，下列正确的是（)

A.若IZJRZZI，则Z1=±ZzB.|ZjZ21=|z1||z2

C.若IZ]+z?|=|4-z?|,则Z]Z2=0D.z,-z2=zI­z2

10.（2024•湖南模拟）己知i为虚数单位,下列说法正确的是（

A.若复数z=3,则*=-1

1-/

B.若|马|＞匕|,则z；＞z；

C.若Z2/0,则|五|二R

4匕|

D.复数z在复平面内对应的点为Z,若|z+i|+|z-4=2,则点Z的轨迹是一个椭圆

11.（2024•琼海模拟）设4，z?为复数，则下列结论中正确的是（）

A.若■!•为虚数，则4也为虚数

B.若m+“=i,则匕।的最大值为应

C.|Z,Z2|=|2,2,1

D.|z（-z2|„|z（|+|z21

12.（2024•安徽模拟）若复数ziz?是方程V—6x+12=0的两根，则（）

A.Zj,z2实部不同

B.4,z2虚部不同

C.Iz,|=2x/3

D.攵卫在复平面内所对应的点位于第三象限

2-i

13.（2024•遵义二模）关于复数z,下列结论正确的是（）

B.若|z|=2,则z=l+Gi

C.若z=（l+i）i°=a+阳则〃=品,又〃=10

D.若z+5=l,则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线

14.（2024•河池模拟）已知i为虚数单位，复数4，Z2为方程幺-2l+5=0的两个根，则下列选项中正确

的有（）

A.|21|=|221

B.Z|Z|=|Z|F

C.复数马在复平面上对应的点在第二象限

D.2・（幺）=1

Z2Z2

15.（2024•莆田三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（）

A.若z+5=0,则三=iB.若z•彳=2|z|,贝U|z|=2

Z

C.若Z[=5,则z=zD.若|z+zj=（）,则Z|-5+|z『=0

二,填空题（共5小题）

16.（2024•红桥区一模）i是虚数单位，复数生3=.

I-/---

17.（2024•普陀区校级模拟）设复数z满足z+6=3彳+1&,则|z|=.

18.（2024•松江区二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2）,则i.z=—.

19,（2024•金溪县校级模拟）复数z=1一'的实部为

---

20.（2024•天津）已知i是虚数单位，复数（逐+i）•（百-2i）=—.

三,解答题（共5小题）

21.(2024•贵阳模拟)在复数集中有这样一类复数：z=a+bi与乞=a-bi(a,bwR),我们把它们互称为共

挽复数，。工0时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共规复数的特点.它们还有如下性质：

(I)z+z=2CIER

(2)z—5=»i(当。声0时，为纯虚数)

(3)z=z<=>ZG7?

(4)©=z

(5)z-z=a2+b2^zf=\zf.

(6)两个复数和、差、积、商(分母非零)的共粗复数，分别等于两个复数的共规复数的和、差、积、

商.

请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：

(I)设zwi,|z|=1.求证：一J■是实数；

1+Z-

(2)已知|z,|=3,匕|=5,|4-々|=7,求五的值；

⑶设z=x+yi,其中x,y是实数，当|z|=l时，求Iz?-z+11的最大值和最小值.

22.(2024•西山区模拟)我们把g+%x+/Y+…+%r"=0(其中凡工0，〃cM)称为一元n次多项式方

程.

代数基本定理：任何复系数一元〃(〃eM)次多项式方程(即为，“，生，…，明为实数)在复数集内至

少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元〃(〃eN*)次多项式方程在复数集内有且仅有〃个复数根(重

根按重数计算).

那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元〃(〃eN‘)次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为

〃个一元一次多项式的积.

2n

即4+%%+a2x+...+anx=an(x-ax)*'(x-a2卢...(x-aQ',其中Z,〃?eN*,仁+&+…+(”=〃，4,

a2»...>%”为方程4+。]]+出工2+…+a"x"=0的根.

进一步可以推出：在实系数范围内(即a。,q,生,…，勺为实数),方程/+平+%>+…+"=0的

有实数根，则多项式4+qx+/…必可分解因式.例如：观察可知，x=l是方程P-l=0的一

个根，则(x-1)一定是多项式9-1的一个因式，即父-l=a-l)(ad+-+c),由待定系数法可知,

(I)解方程：V-2.r+l=0；

(2)设/*)=4+41+。2工2+。3、3，其中。0，4，。2，/£*，且％+4+/+/=L

23

⑺分解因式：x-(4+qx+a2x+a3x)；

(")记点P(x",%)是y=/(x)的图象与直线y=x在第一象限内离原点最近的交点.求证：当

q+2a2+3a3，,1时，玉=1•

23.(2022*卜海模拟)设复数Z1=1—i,z,=cos^+/sin0.其中〃e[0,乃].

(l)若复数z=或z为实数，求夕的值；

(2)求I34+Z2I的取值范围.

24.(2021•株洲模拟)已知复数Z〃=4+/"(4、bnGR),满足4=1,Z,川二卫+1+2i(〃eN*),其中i为

虚数单位，Z表示Z”的共桅复数

(I)求|乙|的值；

(II)求Z*

25.(2024•大祥区校级模拟)高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数z="+/»对应复平面内的点Z,

设NXOZ=d,|OZ|=r,则任何一个系数z=a+6都可以表示成：z=r(cos，+isine)的形式，这种形式

叫做及数三角形式，其中r是复数z的模，夕称为复数z的辐隹，若0,,0<2万,则。称为复数z的福角主

值，记为argz.复数有以下三角形式的运算法则：若z,=/;(cosa+isine),/=1,2,…〃，则：

Z]々2•…・z”=7；弓..J；」cos(a+4+...+a)+isin(a+q+…+4)]，特别地，如果

4=z,=...zzl=r(cos^+/sin^),那么|>(cos0+jsin。)]"=r"(cos，Z+isin〃。)，这个结论叫做棣莫弗定理.请

运用上述知识和结论解答下面的问题：

(I)求复数z=l+cosg+isin，，。£(乃,2乃)的模|z|和辐角主值argz(用8表示);

(2)设42024,〃eN,若存在夕eR满足(sin0+icos0)”=sin〃0+icos〃0,那么这样的〃有多少个?

(3)求和：5=cos200+2cos400+3cos60°+...+2034cos2034x20°.

2025年高考数学解密之复数

参考答案与试题解析

一,多选题（共15小题）

1.（2024•南通模拟）已知复数4，22,满足|4卜匕快0,下列说法正确的是（）

A.若|马|=%|,则zjuz??B.|+z21„|z,|+|z21

C.若"2eR,则二6/?D.IZ]Z21=|Z|l|z21

Z2

【答案】BD

【考点】复数的运算；复数的模

【专题】数学运算：计算题；转化思想：综合法；数系的扩充和复数

【分析】对选项A,C,利用特殊值法即可判断A,C错误，对选项3,根据复数模长的性质即可判断3

正胸，对选项。，根据复数模长公式即可判断。正确.

【解答】解；对选项A,设4=]十切2=正"

2222

则|4|=匕|=应，Z,=（1+0=2/,Z2=（^/）=-2,不满足ZjuZ??,故A错误；

对选项设4，z2在复平面内表示的向量分别为.Z2,且卬z?：。，

当马/2方向相同时,IZ（+z2HZ|I+IZ2I»

当4/2方向不相同时，IZi+ZzKzJ+IZzI，

综上|马+&I”|Z]|+%I，故上正确;

对选项C,设Z1=l+i,z2=l-/,ZIZ2=(l+/)(l-/)=2e/?,

。+」

——---------------…Z€r\R>故C错误;

Z2I-/(l-Od+O

对选项。，设Z1=〃+/〃,，z2=c4-di,a>b>c,dkO,

z,z2=(a+bi){c+di)=(ac-bd)+{ad+bc)i♦

22222

则|z(z21=>j(ac-bd)+(ad+be)=\!(ac)+(bd)+(bc),

12222

I||z21=4a+//-J(r+d-=^(ac)+(bd)+(ad)+(be)=|z)z21,

故。正确.

故选：BD.

【点评】本题考杳了复数的运算，属于中档题.

2.（2024•南通模拟）已知4，z,都是复数，下列正确的是（）

A.若2]=?2，则卒2eRB.若Z[Z?wR,则马=z?

C.若|z"=|z2l，则z：=z；D.若z；+W=。，则I4RZ2I

【答案】AD

【考点】复数的运算；复数的模；共趣复数

【专题】数学运算；综合法；数系的扩充和复数；整体思想

【分析】结合复数的基本概念及复数的四则运算及复数的运算性质检验各选项即可判断.

【解答】解：若马=22,则z,=z?"2wR,A正确;

当4=2i,z?=i满足ZjZ?eR,B显然错误；

当4=1,Zj=i时,满足,但z；=1,z,2=-l,C显然错误；

设马=。+〃，，z,=c+di（a,b,c,d都为实数），

若z：+z；=。，则蜡二.?，

2

所以|z：|=|-z??Hz21,

所以|Z/2=|Z2『，BPIZ,HZ2|,D正确.

故选：AD.

【点评】木题主要考查了复数的基木概念，复数的运算性质的媒合应用，考查了分析问题的能力，属于中

档题.

3.（2024•贵港模拟）已知复数4，z2,Z3,则下列说法中正确的有（）

A.若Z[Z?=Z]Z3,贝Ij4=0或无=z3

B.若4」+曲i,则染3=_1_立j

122122

C.若z；+z；=。，则zt=z2=0

D.^ZjZj=z2z2,则Iz/Wzj

【答案】ABD

【考点】复数的运算：复数的模

【专题】数系的扩充和复数；转化思想；数学运算；计算题；综合法

【分析】对于4,由题意可得《（Z2-Z3）-0进而即可得解，

对于4,由题意可求z：以3为周期，进而可得马孙=z：⑹一弓〃即可得解；

对于C,取4=1,2,=/,即可判断得解；

对于。，利用复数的模的定义即可求解.

【解答】解：对于A，2122=Z]Z3<=>Zj(z2-z3)=0<=>Z,=0z2=Zy»故A正确；

对于3,z：=l,z：=」+^i,所以z；以3为周期，

2222

所以举24=z：x67N=2=-4-且匕故⑶正确：

22

对于C,取4=1,z2=i,

则z：+z；=O,此时z尸Z2，故C错误；

2

对于。，Z[Z]=1Z]F,z2z2=1z2I,

zz

所以Z[Z]=Z2z2o|i1=12I»故O正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查了复数的运算，考查了转化思想，属于中档题.

4.(2024•阳江模拟)设复数z在复平面内对应的点为Z,则下列说法正确的有()

A.若|z|=l,则2=±1或z=±i

B.若|z-(2+，)|=l,则|z|的最小值为世-1

C.若Z=J5-2"贝IJ|Z|=7

D.若啜J|z|V2,则点Z的集合所构成图形的面积为万

【答案】BD

【考点】当数对应复平面中的点

【专题】数学运算；转化思想；转化法；数系的扩充和复数

【分析】对于A,结合特殊值法，即可求解；对于8,结合复数的几何意义，即可求解；对于C,结合复

数模公式，即可求解；对于。，结合复数模公式，以及复数的凡何意义，即可求解.

【解答】解：对于A，令7='+且"满足|z|=l,但2=±1或z=±i不成立，故A错误；

22

对于|z-(2+i)|=l,

则点Z的轨迹为以(2,1)为圆心，1为半径的圆，

Iz|表示圆上的点到原点(0,0)的距离,

则|z|的最小值为，(2-1)2+(1-0)2-1=石-1,故4正确:

对于C，z=V3-2/,

则|z|=J(G)2+(-2)2=币,故C错误；

对于。，设z=a+沅，则|z|=yja2+b2

因为倒|z|\/25/2,

所以嘘MX+〃2丘,

所以点Z的集合所构成的图形的面积为兀(&)2-兀1=兀，所以。正确.

故选：BD.

【点评】本题主要考查复数的几何意义，复数模公式，属于基础题.

5.(2024•潍坊二模)定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，〃z)=z2就是一个多项式复变函数.给

定多项式复变函数/(z)之后，对任意一个复数z0,通过计算公式z.x=/(z“)，〃EN可以得到一列值z。，

4，z2....2„,....如果存在一个正数M,使得对任意〃cN都成立，则称z0为/(z)的收敛

点；否则，称为/(z)的发散点.则下列选项中是/⑶=z2的收敛点的是()

A.y/2B.-iC.1-/D.---/

22

【答案】BD

【考点】复数的代数表示法及其凡何意义；复数的乘法及乘方运算；复数的模

【专题】综合法；转化思想；数学运算：数系的扩充和复数

【分析】根据计算公式z.x=/(z〃)=z；结合收敛点的定义判断即可.

【解答】解：对A,由z““=z：可得数列忘，2,4,16…不合题意，故A错误；

对B,由z”+|=z：可得数列T,-1,1,1...

则存在一个正数例=2,使得|z“|vM对任意〃eN都成立，满足题意，故8正确；

对C，由z^=z；可得数列1一3-2/,-4,16…不满足题意，故C错误:

对。,由“z：可得数吗一条彳一争彳+争彳一争..

用心।IV5...1y/3..1,1

囚川丁不R一丁丁|=)+二"/■一二/|=1,

22222222

存在一个正数历=2,使得|z“|<M对任意〃cN都成立，满足题意，故。正确.

故选：BD.

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.

6.（2024•辽宁模拟）已知z满足六l-i）=z+3-,则（）

2-i

A.z=-4+Z

B.复平面内彳对应的点在第一象限

C.zz=17

D.z的实部与虚部之积为T

【答案】ACD

【考点】共扼复数；复数的运算

【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算

【分析】利用复数代数形式的运算法则进行运算，求出复数z,逐•判断各选项是否正确.

【蚱答】解：设z=x+）V（x,yeA），

则由已知得—>7）（1-/）=x+J7+,即x—y—（x+y）i=x-1+（y+2）z,

所以f-y=”T解得fl,

-x-y=y+2,=

所以z=-4+i,则5=T-i,其对应点为（-4,7）,在第三象限，故A项正确，4项错误;

ZZ=（^+/）（-4-/）=17,z的实部为-4,虚部为1,

所以z的实部与虚部之积为T,故C,。项正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查复数的运算，属于基础题.

7.（2024•安徽模拟）已知i为虚数单位，复数z=元2万，下列说法正确的是（）

A.1士平

B.复数z在复平面内对应的点位于第四象限

3

C.-/-z<0

5

D.z+,为纯虚数

5

【答案】ABC

【考点】复数的运算

【专题】数学运算；方程思想；数系的力,充和友数；定义法

【分析】化简复数Z,逐一核对选项检验即可.

2_2_2(1-3，)_1-3/

【解答】解:

；(3+/3)-Z(3--(1+3/)(1-3/)~

rnA]一i11+3i[Jl+9A/10丁*

选项A,zH-------=----------=——，正确;

555

选项4,复数z在复平面内对应的点为《，一|）,位于第四象限，正确;

选项C,-z--!^=--<0,正确；

555

选项—+1=不是纯虚数.错误.

5555

故选：ABC.

【点评】本题考杳复数的运算，属于基础题.

8.（2024♦重庆模拟）已知复数z,叩均不为0,贝lj（）

A.z2=lzl2B.：==C.D.|-|=j-^

【答案】BCD

【考点】共枕复数；复数的模；复数的运算

【专题】数系的扩充和复数；数学运算：转化思想；综合法

【分析】利用复数的运算性质对四个选项逐一判断可得答案.

【解答】解：复数Z,W均不为0,

对于A,不妨令z=i,则/=一1,|z「=|,z2z|2,A错误；

2

对于6,-=—=6正确；

zz-z|z|2

对于C,由复数的运算性质，可得事=5-记，C正确；

arc।Z,Z\Z-Z|Z|2

对卜£），I—|=（-）=-=--y»

wwww-w|>v|

故I三|=以,。正确.

M1|W\

故选：BCD.

【点评】本题考杳复数的运算，属「中档题.

9.（2024•延边州模拟）已知zrZ2都是复数，下列正确的是（）

A.若则Z1=±Z2B.\zlz2Hzi\\z2\

C.若IZ]+Z21=1Z]-z2|,则Z]Z2=0D.z（-z2=z1•z2

【答案】BD

【考点】复数的模：共挽复数；复数的运算

【专题】转化法；转化思想；数系的扩充和复数；数学运算

【分析】根据已知条件，结合特殊值法，复数模的性质，复数的概念，即可求解.

【解答】解：令4=1,z2=it满足|%|=|z?|,但4=±22不成立，故A错误;

由复数模的性质可知，Iz—|=|4||z?I，故8正确；

令4=1,z2=i,满足|Z[+z2|=|Z]-z2|,但"2=0不成立，故。错误；

设4=a+bi(a,bGR),z2=c+di(c,dGR),

Z1•Z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+\ad+bc)i,

z,1z2=(a-bi){c-di)=ac-bd+(ad+bc)i,故D正确.

故选：BD.

【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题.

10.(2024•湖南模拟)已知i为虚数单位，下列说法正确的是()

A.若复数z=W,则严=-1

1-/

B.若|Z]|＞|Z2l，则z；＞z；

C.若Z2HO,贝打五|=卬

4匕1

D.复数z在复平面内对应的点为Z,若|z+i|+|z-“=2,则点Z的轨迹是一个椭圆

【答案】AC

【考点】复数的运算；复数的模

【专题】数系的扩充和复数；综合法；转化思想；数学运算

【分析】根据复数的运算性质逐项判断即可.

【解答】解：对于A,因为z=W==冬=3所以产=严=尸=-1,故A正确；

1-z(1-/)(1+/)2

对于8,取4=2"工2=1满足但z：=Tz；=l,所以z；＞z；小成立，故8错误；

对于C,若z,w0,根据模的性质|五|=卬，故C正确；

Z2।Z2|

对于O,复数Z在复平面内对应的点为Z,若|z+i|+|z-i|=2,则点Z的轨迹是线段，故O错误.

故选：AC.

【点评】本题考查复数的运算性质，属于中档题.

II.(2024•琼海模拟)设马，Z2为复数，则下列结论中正确的是()

A.若,为虚数，则4也为虚数

B.若片++1,则|zj的最大值为友

C.Iz,z21=|ztz2\

D.|z(-z21„|z(|+|z21

【答案】ACD

【考点】复数的模；复数的运算

【专题】数学运算；定义法；数系的扩充和复数；对应思想

【分析】对于A,由，=一幺=为虚数，得l为虚数，从而可判断A,对于4,由4=-2，进行判断，对于

zizi-zi

C,设Z]=a+R,z2=c+di(a,b,c,dwR),然后分别求解Iz,I,I|进行判断，对于。，根据复

数的向量表示及向量的不等式分析判断.

【解答】解：对于A,因为上='=为虚数，4?为实数，所以马为虚数，所以4也为虚数，所以A正

Z]Z,•Z|

确，

对于8,当4=-万时，满足|马+“=1,此时|zj=2>夜，所以8错误，

对于C,设4=a+6，z2=c+di(a,b,c,dwR),则

z,1z2=(a+bi)•(c+di)={ac-bd}十(ad十bc)i>

Z[•z2=(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(be-ad)i,

所以|A•z2|=7(ac-bd)2+(ad+be)2=\](ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2,

22222

IZ]•z21=Q(ac+bdf+(be-ad)=y](ac)+(bd)+(ad)+(bc),

所以|乎?RNR?|,所以C正确，

对于O,设4，Z2确定的向量分别为,则由向量不等式得IOZI-OZZI,,IOZJ+IOZJ,

所以IZ[-z?I”IZ1|+|Zj|恒成立,所以O正确，

故选：ACD.

【点评】本题考查复数的运算，属于中档题.

12.(2024•安徽模拟)若复数3%是方程d—6x+12=0的两根，则()

A.4，z2实部不同

B.4,z2虚部不同

C.|zj=26

D.攵卫在复平面内所对应的点位于第三象限

2-i

【答案】BC

【考点】复数的除法运算；复数对应复平面中的点；复数的模

【专题】定义法；数系的扩充和复数；方程思想；数学运算

【分析】在复数集内解方程f-6x+12=0,求出x=3±Gi,再根据复数的模及其几何意义、共拢复数、

复数的代数表示及其几何意义、复数的除法运算，逐项判定，即可求出结果.

【解答】解：因为方程f-6x+12=0可化为（x-3）2=-3,所以x=3土后，

则4，均是共飘复数，实部相同，虚部互为相反数，所以A错误，〃正确；

因为|马|=|3±百”=2石，所以C正确；

所以受亭在复平面内所对应的点为（£、）,

位于第一象限，所以£＞错误.

故选；BC.

【点评】本题考查复数的运算，属于基础题.

13.（2024•遵义二模）关于复数z,下列结论正确的是（）

A-也

Z

B.若|z|=2,则z=l+J5i

C.若z=（l+=〃+〃（&〃£/?）.贝IJ〃=C：oxF=l（）

D.若z+乞=1,则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线

【答案】AD

【考点】复数的代数表示法及其凡何意义；复数的模；复数的运算

【专题】计算题；整体思想；综合法：数系的扩充和复数；数学运算

【分析】由复数的运算和几何意义运算可得结果.

【解答】解：对于A,设Z=4+4R）,则Izl'/+Z?"

所以乞=4一万，所以|ZF=z♦，=/+〃，故A正确；

对于8,若|z|=2,则/+从=4,所以Z不一定是1+6"故8错误；

对于C,因为z=（l+i尸=［（1+。呼=（2i）5=32i,所以《=32,故C错误；

对于£）,设z=a+bi（a、b£R）,则5二4一次，所以z+5=2a=l,所以。=L所以z在复平面内对应的点

2

的轨迹为一条直线，故。正确.

故选：AD.

【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题.

14.（2024•河池模拟）已知i为虚数单位，复数4，句为方程/-2%+5=0的两个根，则下列选项中正确

的有（）

A.I2,1=12,1

B.Z|Z|=|zJ

C.复数4在复平面上对应的点在第二象限

D.三.（五）二1

Z22,

【答案】ABD

【考点】复数的模；复数的运算

【专题】数学运算：综合法；计算题：转化思想；数系的扩充和复数

【分析】由题意可知：Z2=I，进而可判断A：结合z・5=|z|2可判断次）：根据复数的几何意义判断C.

2

【解答】解：对于选项A：由方程x-2工+5=0解得x=l±2i,可知：z2=z,>所以|马|=|4|=|z2|,故A

正确；

2

对于选项B：对于任意复数z=a+bi，则W=〃一次，可得z•彳=（a+bi）［a-bi）=a?+从=|zf,所以ztz,=|z（|>

故/?正确；

对于选项C：由方程V—2x+5=0解得x=l±2i,即z=l+2i或4=1—27,可知复数马在复平面上对应

的点在第一象限或第四象限，故C错误；

对于选项。：由选项A可知：=幺.（五）=|旬2=（lAl）2=（lilf=1.故。正确.

22422匕||可|

故选：ABD.

【点评】本题考查复数运算、复数模，考查数学运算能力，属于中档题.

15.（2024•莆田三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（）

A.若z+乞=0,则三B.若z・5=2|z|,贝U|z|=2

Z

C.若Z[=彳,则z=zD.若|z+zJ=0,则Z|・N+|z『=0

【答案】BCD

【考点】狂数的乘法及乘方运算

【专题】数系的扩充和复数；定义法；方程思想；数学运算

【分析】利用共扼复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D.

【林答】解：由z+5=0,得马=-1,则A错误.

z

因为zN=|z『，所以|Z|2=2|Z|,解得|Z|=2或|Z|=0（舍去），则4正确.

设z=a+bi（a，bwR,且a。/0）,

则4=彳=〃一8i,所以Z[=a+优=z,则。正确.

由|z+Z||=0,得Z[=-z.

设z=a+〃（a,bwR,且，心工0）,则z1e二1七二一面十〃），

\zf=a2+b2,从而yK|z|2=0,则。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考杳复数的应用，属于基础题.

二.填空题（共5小题）

16.（2024•红桥区一模）i是虚数单位，复数句3=1+3/

1-i~

【答案】1+3/.

【考点】复数的运算

【专题】数学运算；综合法；数系的扩充和复数；整体思想

【分析】由已知结合复数的四则运算进行化简即可求解.

42/(42/)(lj)26/.

【解答】解:1=t1=1=1+3

1-i(1-/)(1+/)2

故答案为：l+3i.

【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.

17.（2024•普陀区校级模拟）设复数z满足z+6=3五+162,贝U|z|=5

【考点】复数的模：共挽复数

【专题】数学运算：转化思想；转化法；数系的扩充和复数

【分析】设2=〃+加，根据复数的共加狂数、复数相等列方程组解得〃，b,再根据模长公式求解即可得

答案.

a+6=3a

【解答】解：设z=a+bi(a,bwR),则〃+〃，+6=3«-3/加+16,，于是，

b=-3b+16'

解得,则Iz|=\la2+b2=5.

b=4

故答案为：5.

【点评】本题考查复数的共柜复数、复数相等，属于基础题.

18.（2024•松江区二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2）,则/•・z=_-2+i_.

【答案】—2+i.

【考点】复数的运算

【专题】对应思想：转化法：数系的扩充和复数：数学运算

【分析】根据复数的运算性质计算即可\

【解答】解：由题意得：z=l+2/,

故iz=i（l+2i）=-2+i,

故答案为：—2+i.

【点评】本题考查了复数的运算，是基础题.

19.（2024•金溪县校级模拟）复数2=上口的实部为叵1.

【答案】立二.

3

【考点】复数的运算

【专题】数学运算：转化思想；数系的扩充和复数；转化法

【分析】根据已知条件，先对z化简，再结合实部的定义，即可求解.

【解答】解：因为上=空小心二垦1一叵」，

H-/I+ZV24-/333

所以z=±L的实部为叵口.

ll-zl+z3

故答案为:a-T

3

【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题.

20.（2024•天津）已知i是虚数单位，复数（逐+）（\/5-2，）=_7-

【答案】7-6.

【考点】复数的运算

【专题】转化法：转化思想；数学运算；数系的扩充和复数

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

【解答】解：（逐+i）•（逐-2，）=5-2后+后+2=7-后.

故答案为：7-x/5/.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，是基础题.

三.解答题（共5小题）

21.（2024•贵阳模拟）在复数集中有这样一类复数：z=a+初与2-5（a,〃wR）,我们把它们互称为共

辄复数，。关0时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共扼复数的特点.它们还有如下性质：

（I）z+z=2CIGR

（2）z—N=2/M（当〃/0时，为纯虚数）

（3）Z=Z<=>ZG/?

（4）©=z

（5）z-z=a2+b2=\zf=\zf.

（6）两个复数和、差、积、商（分母非零）的共挽复数，分别等于两个复数的共规复数的和、差、积、

商.

请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：

（I）设zwi,|z|=l.求证：二是实数；

1+Z*

（2）已知|zj=3,|z"=5,|Z,-Z2|=7,求五的值;

22

（3）设z=x+yi,其中x,丁是实数，当|z|=l时，求|z?-z+l|的最大值和最小值.

【答案】（1）证明见解答:

（2）;木率

(3)|z2-z+k=3,l?-z+lLn=O.

【考点】共视更数：亚数的模；更数的运算

【专题】数学运算：综合法；数系的扩充和复数；整体思想

【分析】(1)设z=4+Z>，(4,〃c火)，利用z•5=1,z+W=2aeR,可证得一J•是实数；

\+2~

<2)设幺=/)+qi(p,qwR)，结合题意，可得关于〃，夕的方程组，解之即可；

Z2

(3)设z=cos6+isin6,OwR,依题意,可得|z?-z+11=|2cos。-11,从而可求得|z?-z+l|的最大值

和最小值.

【解答】解：(1)证明：设z=〃+阳R),丁z",|z|=1,

/.z-z=1>z+z=e7?>

-7=-^是实数；

l+z~z-z+zz+z

(2)设幺=p+qi(p、qwR),

Z2

则Z[=(p+qi)z2,

•IZi1=3»Iz21=5,|z1-z21=7,

3=|Z]|=|(p+qi)||z2|=5&『+q，

：.p2+42=2①；

25

22

又7=|%-z?|=|(〃+qi)z2-z2Hz;ll(p-1)+51=5^)(p-1)+q，

.­.(p-l)2+g2=||(g)；

联立①解得〃=一得，夕=±百，

z13,35

z21010

(3),\z\=1,设z=cos®+isin。，O&R,

则Iz?-z+11=|z?-z+z•工|=|z(z-彳-1)|=|z||z+亍-1R2cos^-l|，

-Ixx'bos^1,

二.一3效也cosO-l1,

.・H-z+ll皿=3,心2—+(加=0.

【点评】本题考查复数的运算及其性质的应用，考杳转化与化归思想及方程思想的综合运用，属于中档题.

22.(2024•西山区模拟)我们把+…+//=0(其中凡H0,“cM)称为一元八次多项式方

程.

代数基本定理：任何复系数一元〃(〃eN,)次多项式方程(即4,%,%，…，勺为实数)在复数集内至

少有一个复数根：由此推得，任何复系数一元〃(〃eN*)次多项式方程在复数集内有且仅有〃个复数根(重

根按重数计算).

那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元〃5eN,)次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为

n个一元一次多项式的积.

即《)+。然+。2/+…=①。一%)“工一©”…(工一%”卢，其中女，mcN、，K+&2+,••+(”=〃，a\»

%，…，区”为方程《)+。1彳+。2/+…+，"x"=0的根.

进一步可以推出:在实系数范围内(即%,%,生，…，4为实数)，方程％+平+生―+…+%r"=0的

有实数根，则多项式++…+6］必可分解因式.例如：观察可知，x=l是方程父-1=0的一

个根，则3-1)一定是多项式父-1的一个因式，即V-1=3-1)(火2+瓜+c),由待定系数法可知，

a=b=c=\.

(I)解方程：Y-2x+l=0；

1

(2)设/(x)=〃o+41+生/+4/3,其中/，"，生，a3eR,且％+q+9+%=1.

23

⑴分解因式：x-(fl0+ayx+a2x+d3x)；

(")记点尸(%，%)是)，=/“)的图象与直线y=x在第一象限内离原点最近的交点.求证：当

4+2a2+3%,1时，=1.

【答案】(1)玉=1,乂=*在，5=上且；

■22

2

(2)(i)x-(《)++a2x+a/。)=一(x-+(a,+ay)x-%］；

(〃)证明过程见解析.

【考点】复数的代数形式与三角形式互化

【分析】(1)观察可知x=l是方程V-2x+l=0的一个根，所以设F-Zx+lua—Wad+^+c),对照

可得。=1,b=l,c=-\,得到(x-l)(Y+x_l)=0,即可求出方程的根；

23

(2)(i)x=1是方程x-(a0+a{x+a2x+a3x)=0的一个根，所以设

23232

x-(aQ+a}x+a2x+a3x)=(A;-\\ax+bx+c)=tir+(b-a)x+(c-b)x-c,对照可得a=-a,»

b-(a0+«))—1,c—CIQ,从而可得出答案；

(")令/(x)-x=O,故是方程(/+4%+42/+0/)7=0的最小正实根，由⑴知

222

(4+qx+a2x+)-X=(X-1)(675X+(a2+a^x-a0],设g(x)=a3x+(a2+%)x-a0,根据g(x)开口方

向，结合g(0)=-4vO,则g(x)一定有一正一负两个实根，设正实根为/,结合a+2%+3%,1时，g(1)

„0,故r..l,得到&=1.

【解答】解