2025年高中概率论与数系拓展随机变量及其分布解析大全

1.排列、组合

（-）排列、组合问题

1.（均匀分组问题）15名新生中有3名优秀生，随机将15名新生平均分派到3个班级中.

25

（1）每班级各分派一名优秀生的概率是多少？—

91

（2）3名优秀生分派到同一班级的概率是多少？—

91

（3）甲班至少分到一名优秀生的概率是多少？—

91

2.（放回、不放回问题）袋中有5个红球、6个白球,8个黄球，随机抽3次，每次抽1

个，颜色相似的事件记为事件A,颜色互不相似的事件记为事件5,在下列两种状况

下，求事件A和事件B的概率：

（1）抽后不放回；（2）推后放回.

3.两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜败为止，则所有也许出现的情形（各

人输赢局次的不一样视为不一样情形）共有种.20

4.某小区有排成一排的7个车位，既有3辆不一样型号的车需要停放，假如规定剩余的4

个车位连在一起，那么不一样的停放措施的种数为24

5.学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选

一种游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有种

6.从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的种数为48

7.有10件不一样的电子产品，其中有2件产品运行不稳定，技术人员对它们进行一一测

试，直到2件不稳定的产品所有找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的措施种数为

32

8.思索：（转化与化归思想）连接正方体8个顶点的直线中，成异面直线有多少对？

解：一种三棱锥可确定3对异面直线，故问题可转化成求在正方体中可构造多少个不一

样的三棱锥？3（C；・12）=174对

9.红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这六枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中,

均为红旗子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不一洋排列方式共有种.90

10.(斯坦福数学竞赛)

Wesaythatanumberisarithmeticallysequencedifthedigits,inorder,forman

arithmeticsequence.Computethenumberof4-digitpositiveintegerswhichare

arithmeticallysequenced.

3()

(二)排歹IJ、组合的证明

1.把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2'T

个正整数，设%表达位于这个数表中从上往下数第，行，从左往右第/个

数.

(I)若与=2013,求i和j的值;1

23

(11)记4=4|+。22+%3+,+。〃〃(〃%*),

£4567

89101112131415

求证：当〃24时，An>tr+C：.

解：(I)由于数表中前i—1行共有I+2+2?++2'2=2'T—1个数，

则第i行的第一种数是2'T,因此％=2'T+/—1,......................2分

yJ

由于21°<2013<2",%=2013,贝心-1=1(),即i=ll.

令21°+j-l=2013,贝i])=2013—2i°+l=990..................5分

(II)由于旬=则ann=+〃一1(〃eN*),

因此4=(l+2+2?++2'i)+[0+l+2++57)]—+"7).....8分

当时，4=(1+1)“-1+"(丁)>C"C；+C：+C：T+"；1)=/+c：.1()分

2.设s“=cm3-+(T)"O皿〃且〃?<〃，其中当〃为偶数时，

in=—;当〃为奇数时，m=--.

22

（1）证明：当〃wN,时，S2=Sz；

（2）记5=——以海赤3c2013-2012.2―而iGou+—C^,求S的值.

201420,41（X）7⑼'

解：（1）当〃为奇数时,〃+1为偶数，〃-1为偶数,

〃+1■+1〃T/T

••・s”+YY++（-D~cJ,s“=c；—cL++（-i）~cj,

〃一I

三

s,m++（-i）2c.ZJ-1»

--I〃+1]“-I〃+l〃+1

•••Se-s”=cm-ct,）++（-i）­（c,y-cj）+（-ipcj

---+1------

222

Jl-1

=-\-l

+（T）~Vcn~-1/）

当〃为奇数时，S“+]=Sn-Sn_t成立.

同理可证，当〃为偶数时，Se=s“-Si也成立.

1z-»2_1「3._101007jB

（2）由5=——C?0l4------H---2O-,-2-20,11007

20142014201320120n12-20H-1007,

2014.201420142014IM

2014s=。4-2013C20,3+2012Con+---

20111007KK）7

2。2）_（以ii+盛n。"_（G器黑）

C14—（Goi3+m&13）+（Ooi2d------

乙7112012

=©M-嬴3+圆2--C喀）-（CH。。一+C髅）

一§2014—§2012,

又由S“M=S”—S“T，得S“+6=S”,

1

因此S2014-S圜iz=-§2=—11S=

2014

2.随机变量及其概率分布

1.某地区举行科技创新大赛，有5()件科技作品参赛，大赛组委会对这5()件作品分别从

“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为

X,“实用性”得分为记录成果如下表：

作品数量'实用性

4

1分2分3分4分5分

创1分13101

2分10751

新3分21093

4分1b60a

性5分00113

(I)求”创新性为4分且实用性为3分”的概率；

(【【)若”实用性”得分的数学期望为喘，求。、匕的值.

解：(I)从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件，

“创新性为4分且实用性为3分”的概率为互=0.12.

50

(II)由表可知“实用性”得分y有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级

分别有5件，人+4件，15件，15件，。+8件.“实用性”得分)，的分布列为：

y12345

5一+41515

p

5050505050

“实用性”得分的数学期望为"，ix皂+2乂任4+3、n"+4＞至+5乂豆隹=坨.

50505050505050

作品数量共有50件，4+6=3,解得。=1,b=2.

2.设J为随机变量，从棱长为1的正方体ABCD-AiB.CiDi的八个顶点中任取四个点,

当四点共面时，＜=0,当四点不共面时，彳的值为四点构成的四面体的体积.

(1)求概率P(4=0);

(2)求J的分布列，并求其数学期望石出).

23,解：⑴从正方体的八个顶点中任取四个点，共有。=70种不同取法

其中共面的情况共有12种(6个侧面，6个对角而).

则户(^=0)=1£=-1

7035•.3分

,任取四个点，当四点不共面时，四面体的体积只有以下两种情况：

①四点在相对面且异面的对角线上，体积为]-4x，二

这样的取法共有2种...........g34

f.5

2四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，体积为L

这样的取法共有70_12_2=56种..........r46

・•・€的分布列为.....7分

1J=0

g

—汨

色♦

p1~^8

3535

8分

数学期望

10分

变式1：如图，从A,(1,0,0),A2(2,0,0),B](0,2,0),B2(0,2,0),C)

(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选用3个点，将这3个点及原点O两两相连构成

一种“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(假如选用的3个点与原点在同一种

平面内，此时“立体”的体积V=0)

(1)求V=0的概率；

(2)求V的分布列及数学期望.

变式2：(江苏高考22题)设J为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，

当两条棱相交时，J=0;当两条棱平行时，J的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面

E寸，4=1.

(I)求概率=0);(2)求J的分布列，并求其数学期望E(J).

(1)考虑到图形的对称性，不妨先取定第一条，然后再考虑其他的边，故

4

%=0)=打；

(-46l1

(2)g的也许取值为0,1,72,其中P©=0)=H；PC=1)=\；PC=J2)=打

则=卑1

思索：(转化与化归思想)连接正方体8个顶点的直线中，成异面直线有多少对？

解：一种三棱锥可确定3对异面直线，故问题可转化成求在正方体中可构造多少个不一

样的三棱锥？3(。•⑵=174对

变式3：从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不一样2点，设随机变量C是这两点间的

距离.

(1)求概率

(2)求4的分布列，并求其数学期望E(<).

【解】(1)从正方体的8个顶点中任取不一样2点，共有C；=28种.

由于正方体的棱长为1,因此其面对角线长为四，

正方体每个面上均有两条对角线，因此共有2x6=12条.

因此P(4码啜V........................................3分

(2)随机变量J的取值共有1,血，g三种状况.

正方体的棱长为1,而正方体共有12条棱，于是P©=1)=另=9........5分

从而p（s=g）=l_p©=l）-/q=物=1_尹尹:.................7分

因此随机变量4的分布列是

自10V3

尸（。）331

777

............................8分

因此E(J)=lx/正x'+gx＞岂苦逋.....................10分

2

3.（南京市、盐都市高三期末）某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为耳乙

的命中率为巴，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完毕一次检测,在一次检测中.若两

人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为，'先进友好组”.

（1）若g=g,求该小组在一次检测中荣获“先进友好组”的概率；

（2）计划在每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进友好组”的次数为4，假

如25,求匕的取值范围.

解:⑴可得P—（C；----）（C：-----）+（----）（---）=—

233~2233223

⑵该小组在一次检测中荣获“先进友好组”的概率为

912284

P=（C>GF）［C>B・（I-E）］+（Q・G）E2=6鸟一SB?，而4〜以12，尸），因此

QA4

〃二12户,由七25,知（；£一不只2）.1225,解得其己工1

9-9~4

评注：关键是辨识概型

4.设不等式x2+y2<4确定的平面区域为U,凶+|y|<1确定的平面区域为V

（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域。内任取三个整点，求这些整点中

恰有2个整点在区域V内的概率；

（2）在区域U内任取3个点，记这3个点在区域丫的个数为X,求X的分布列和数学

期望

C1C240

解答：(1)古典概型，解答为尸(4)=—二=二上

G；143

13

(2)几何概型X服从于伯努利分布8(3,」-),求得分布列和数学期望2X)=3

2乃2〃

5.(复旦大学自主招生试题)某大楼共5层，4个人从第一层上楼梯，假设每个人等也许

地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否是互相独立的，又知电梯只在有人下时才停止.

(1)求某乘客在第i层下电梯的概率；(i=2,3,4,5)；

(2)求电梯在第2层停下的概率；

(3)求电梯停下的次数J的数学期望；

1(3V175

解析：(1)-；(2)P(A)=1--=—；

4⑷256

(3)J的也许取值为123,4

八411.一、C；(24-2)21

P(&=})=—=—=—；=2)=--------=—;

'4443644464

93

P/=3)=尸…中

1632

175

因此E(J)=

6.(通州区热点难点检测)在公园游园活动中有这样一种游戏项目：甲箱子里装有3个白

球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相似；每次游戏

都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.(每次游

我结束后将球放回原箱)(1)在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概

率；(2)在两次游戏中，记获奖次数为X：①求X的分布列；②求X的数学期望.

解；⑴记“在一次游戏中摸出上个白球”为事件4(A=0,l,2,3).

①P(A)=CC_i...............2分

C；C；5

C；C；+C；C1C117

②P(44)=P(&)+尸(AJ=—:=--;—-_—+-=.............5分

C；C；510

33Q721……7749

(2)P(X=0)=—X—=—,P(X=1)=Cl-xA=—,P(X=2)=——x—=---.

1010100‘…1010501010100

①X的分布列为

X012

92149

P

Too50100

------8分

②X的数学期望&X)=0x"-+1x3+2xe=Z..............10分

100501005

777

【或：・・・XB(2,—),A£(X)=2x—=-]

7.(分类讨论思想在概率问题中的应用)甲，乙两队各有3名队员，投篮比赛时，每个队

员各投一次，命中率均为,，(1)设前n(n=l,2,3,4,5,6)个人的进球总数与n

2

之比为an,求满足条件06=1,且a/L(n=l,2,3,4,5)的概率；

22

(2)设甲，乙两队进球数分别为i,j(i,je{0,1,2,3}),记9求随机变量自

的分布列和数学期望

(1)a6=-,即6个人投篮进了3个球，又a„<-(n=l,2,3,4,5),则有两种状

22

况：

第一，第1人投篮没投进，第2人投篮投进了，第3人投篮没投进，第4、5人总共投进

了1个球，第6人投篮投进了，其概率为P尸,J_J_c；(-)2-=—;

222~2232

第二，第1人投篮没投进，第2人投篮没投进，第3、4、5人总共投进了2个球，第6人

投篮投进了，其概率为P2="C；从而，所求概率为p%+p2=E_

223226464

(2)P(;=0)表达两队进球数相似，即有

P(&=0)=(y)

P(&=1)=2[(-)3c!j(-)3+Cj(-)3C(-)3+c

2222

(j)3+C(-)

2

P(&=3)=2[(-)

2232

…八515c3cl15

E片Ox—+lx——+2x—+3x—=—

1632163216

8.（安徽理科高考题）（化归转化突破重难点）

工作人员需进入核电站完毕某项具有高辐射危险的任务，每次只派一种人进去，且

每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，假如有一种人10分钟内不能完毕任务则撤

出，再派下一种人。目前一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完毕任务的概率

分别〃假设/不〃”〃3互不相等，且假定各人能否完毕任务的事件互相独立.

（I）假如按甲最先，乙次之，丙最终的次序派人，求任务能被完毕的概率。若变化三

个人被派出的先后次序，任务能被完毕的概率与否发生变化？

（II）若按某指定次序派人，这三个人各自能完毕任务的概率依次为［,%,%，其中

4，%，%是由，〃2，〃3的一种排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）

EX；

（III）假定1＞月＞〃2＞〃3,试分析以怎样的先后次序派出人员，可使所需派出的人员

数目的均值（数字期望）到达最小

（本小题满分13分）本题考察互相独立事件的概率计算，考察离散型随机变量及其分布

列、均值等基本知识，考察在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理

与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.

解：（1）无论以怎样的次序派出人员，仟务不能被完毕的概率都是

(1-乃)(1-〃2)(1-〃3)，因此任务能被完毕的概率与三个被派出的先后次序无关，并等

于1一(1一〃1)(1一〃2)(1一，3)=乃+〃2+〃3一〃1〃2一〃2〃3一〃38+PyPlP^

(ID当依次派出的三个人各自完毕任务的概率分别为4,外，%时，随机变量X的分布

列为

X123

P(1-^1)%(1-%)(>%)

所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是

EX=q、+2(1—4)%+3(1-/)(1一％)=3—2%—%+%夕2,

(III)(措施一)由(II)的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最终的次序派人时，

EX=3-2/2j—+P'P?.

根据常理，优先派出完毕任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.

下面证明：对于〃],〃2，〃3的任意排列名，42，%，均有

3—25—^2+之3—2〃1-〃2+P]〃2，.......................(*)

实际上，八=©一2%-％+/%)-(3-2〃|一〃2+〃|〃2)

=2(P]-％)+(〃2-P1P2+夕闯2

=2(P|-4)+(〃2-%)一(〃1一名)〃2一%(〃2一%)

二(2-〃2)(〃|一4)+(1一名)((〃2-%)

之。一4)[(〃]+〃2)一(幺+/)1

>0.

即(*)成立.

(措施二)(i)可将(II)中所求的EX改写为3-(5+%)+/%—%,若互换前

两人的派出次序，则变为3-(0+%)+4%-4,.由此可见，当/〉小时，互换前两

人的派出次序可减小均值.

(ii)也可将(II)中所求的EX改写为3-24-私+4/，或互换后两人的派出次

序，则变为3-24-%+/%.由此可见，若保持第一种派出的人选不变，当%

时，互换后两人的派出次序也可减小均值.

综合（i）（ii）可知，当（％,%,%）=（〃|,以，〃3）时，EX到达最小.即完毕任务概

率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.

9.在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种成果，其中某明星判断

对的的概率为〃，判断错误的概率为处若判断对的则加1分，判断错误则减1分，现

记“该明星答完〃题后总得分为S“

（1）当〃=9=2时，记J=|S3l,求J的分布列及数学期望及方差;

1?

（2）当p=±,g=*时，求§8=2且Sy0（i=l,2,3,4）的概率.

（1）・・苦=|53］的取值为1,3,又p=q=g;

故PC=1)=2C](1).(1)2=q,=3)=(J"+g)3=1

413

因此&的分布列为：

31

3I3P

且EJ=1X-+3X1=-；44

-442

（2）当S8=2时，即答完8题后，回答对的的题数为5题，回答错误的题数是3题，

又已知*20（1=1,2,3,4）,若第一题和第二题回答对的，则其他6题可任意答对3

题；若第一题和第二题回答错误，第三题回答对的，则后5题可任意答对3题.

2,30x880-80、

此时的概率为p=C+C）•（，.母二丁手或用

10.（南通通州区查漏补缺专题）一位环境保护人士种植了〃棵树，已知每棵树与否成

活互不影响，成活率均为〃（（）<〃<1）,设J表达他所种植的树中成活的棵数，J的数学

期

望为EJ,方差为

（1）若〃=1,求的最大值；

（2）已知塔=3,原则差若二孝，求心〃的值并写出J的分布列.

解：（1）当〃=1,4=0,1,于是J的分布列为：

401

Pl-pp

EJ=0x(p)+\xp=p.

・・・。4=(0-〃)2.(1-。)+(1-，)2.〃=〃一〃2二一(，一；)2+：

即当〃=g时，有最大值

(2)4〜B(n,p),:.&=np,D占=np(\-p)

33

np=3,72/2(1-/?)=—,p=­,n=4

44

・・・P片=幻=媚(3(1_》一(攵=0,i,2,3,4),

即J的分布列为：

01234

13272781

p

2566412864256

11.甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为（2，且各次

投篮的成果互不影响.曰同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续

投下去，但投篮次数不超过5次.

（1）求甲同学至少有4次投中的概率；

（2）求乙同学投篮次数x的分布列和数学期望.

解：（1）设甲同学在5次投篮中，有x次投中，”至少有4次投中”的概率为尸，则

P=P（X=4）+P（X=5）

臼抑一|y+c；守”守嘿

（2）由题意x=1,2,3,4,5.

212211，M5）=团122

P(x=l)=-,P(x=2)=-x-=-,P(x=3)=-x-x^=x-=一

3339333381

x的分布表为

X12345

P22221

39278?81

x的团助数学X期乜口亡望自£Lx=lx—+2x2—qr-3x-2-r-4xr-5x—=-1-2-1.

3927818181

12.由数字1,2,3,4构成五位数3a〃5，从中任取一种

（1）求取出的五位数满足”对任意的正整数J（l4/W5）,至少存在另一种正整数

k（\<k<5yk^y）,使得勺=%”的概率；（变式：假如四个数字分别是0,123

呢？）

（2）记〈为构成五位数的相似数字的个数的最大值，求&得分布列和数学期望

13.（南通学科基地密卷5）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得（）

2

分，比赛进行到有一人比对方对2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为§,

乙在每局中获胜的概率为且每局胜败互相独立。

3

（1）求比赛进行两局恰好停止的概率；

（2）设4为比赛停止时已打的局数，求4的概率分布及数学期望石（4）.

（和南通四模的附加题措施一致）

（运用化归思绪研究第2问）

14.如图，一种小球从M处投入，通过管道自上而下落4或B或C.已知小球从每个叉口

落入左右两个管道的也许性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小

球

落到A、B、C,则分别设为1、2、3等奖.

（1）已知获得L2,3等奖的折扣率分别为50%,70%.90%.记随机变量J为获得

人代=1,2,3）等奖的折扣率，求随机变量J的分布列及期望玖9;

（2）若有3人次（投入1球为1人次）参与促销活动，记随机变量〃为获得1等奖或2等奖

的人次，求人（〃=2）.

3

P(专=0.5)=—

16

3

%=0.7)获1701

⑴8⑵P(z/=2)=

S9),40%

16

3

E0=Z

15.（南通四模数学试题）甲乙两人进行一场不超过10局的比赛.规定：每一局比赛均分

出胜败，且胜者得1分，负者得0分；每人得分按累加计分；比赛中一人的得分比另一

人高出2分则赢得比赛，比赛结束，否则10局后结束比赛；各局比赛的成果是互相独立

的.已知每局比赛甲获胜的概率为1）,比赛经4局结束.

（1）当〃号时，求概率P4=4）；

（2）求4的分布列，并求其数学期望艮。.

（1）4=4表达4局后比赛结束，即第1,2两局甲乙各胜一局，第3,4两局甲连胜或乙

22

连胜.因此当时，P（^=4）=2/Xl-p）rp+（l-p）]=2xjxix（4+l）=2Q.

（2）用P信=Z）表达攵局后比赛结束的概率.

若A为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数，因此。必为偶数.

考虑持续两局比赛成果：（记（7=1-〃）

（i）甲连胜或乙连胜两局（称为有胜败的两局），则此成果发生的概率为〃2+才；

（ii）甲乙各胜一局（称为无胜败的两局），有两种状况，则此成果发生的概率为2Pq.

由经2局比赛结束知，第1,2两局；第3,4两局；…；第％—3,&-2两局均未分胜

败.

若厚1（）,则第L1,攵两局为有胜败的两局，从而有P（4=Z）=（2p旅

若2=10,比赛必须结束,因此月仁=10）=（2/"）4.

则^的分布列为

246810

224/夕2。2+才）

P於十/2Pq(p+q)8洒3(p2+qb16p%4

4的数学期望为

E8=2(+q2)+8pq(p2+^2)+24p2q2(p2+^2)+64p3q3(p2+q2)+\60p'q'

=2(p2+q1)(1+4pg+12p2q2+32遍)+]6()p%",其中g=]_〃.

16.盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相

似.

（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球颜色相似的概率P；

（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为即，X2,尤3,随

机变量X表达心，心的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.

解:(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,

C3+Cj6+3+15

所以P=

C9-36—=1?

(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.

I>:4｝表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故〃(了用)二/

a=3|表示的随机切件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个

黄球和1个其他颜色的球”,故〃(X=3)二受学"二练皆=悬

C912003

于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-1^111