2025新高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系专项练习题课件教案

微专题20直线与圆锥曲线的位置关系

高考定位直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线

的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等.

【真题体验】

1.（2021.新高考II卷）抛物线）2=2pMp>0）的焦点到直线），=x+l的距离为啦，则

〃=（）

A.lB.2

C.2yf2D.4

答案B

解析抛物线的焦点坐标为g,（））,其到直线工一），+1=（）的距离

5-()+1

(T)2=®

解得：p=2（p=—6舍去）.

2.（2023.新高考II卷）已知椭圆C=1的左、右焦点分别为为，色,直线y

=x+〃?与C交于A,3两点，若面积是△尸洲8面积的2倍，则机=（）

B坐

c-范D-|

。3

答案C

解析由题意，Fi（一50）,尼（陋，0）,人区面积是△48面积的2倍，

所以点Fi到直线AB的距离是点Fi到直线AB的距离的2倍，

计1一也+〃"—?义1也+〃力

即啦一2Xg，

解得,〃=一孚或〃?=—3啦（此时直线与椭圆。不相交，舍去），故选C.

3.（2023•全国乙卷）设48为双曲线/一号=1上两点，下列四个点中，可为线段

A8中点的是()

A.(l,1)2)

C.(l,3)D.(—1,-4)

答案D

解析法一设A(xi,yi),B(X2,闻，AB的中点为M(xo,yo),由点A,3在双

曲线上,

-仃-5=］，■>_?

得3两式作差，得3一七="萨

与七=1，

(yi—")()4+")

即(XI—X2)(X|+★)=9

(yi—”)(yi+”)

化简得•(XI-X2)(XI+X2)

)'l+)'2

―户2VO

,"T=KAB'=9,

—X2XI+X2X()

2

因此ZAB=9•一.

州

由双曲线方程可得渐近方程为)，=±3x,如图.

对于A,因为匕H=9X；=9>3,所以直线A8与双曲线无交点，不符合题意；

一19

对于B,因为依8=9X±-=-gV—3,所以直线A8与双曲线无交点，不符合

题意；

对于C,—=9X；=3,此时直线AB与渐近线j=3x平行，与双曲线不可能有

两个交点，不符合题意；

—19

对于D,因为心B=9X—?=£<3,所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题

—4q

意.

法二选项中的点均位于双曲线两支之间，故A,8分别在双曲线的两支上且不

关于原点对称，设线48的中点坐标为（回，1yo）,

则1%=915V3,即伏|A3|xo|,

结合选项可知选D.

22

4.（2022•全国甲卷）记双曲线C：，一方=1（a>0,QO）的离心率为e,写出满足

条件“直线），=2'与。无公共点”的c的一个值.

答案2（（1,小］内的任意值均可）

解析双曲线C的渐近线方程为丁=±。，

若直线），=2r与双曲线C无公共点，

则2*,.・.狂4,"4=1+轴5,

又e>l,AeG（l,75］,

，填写（1,小］内的任意值均可.

o2

5.（2021.浙江卷）已知椭圆a+笈=1（〃>历>0）,焦点为Fi（-c,0）,尸2（c,0）（00）.

若过Fi的直线和圆（%一0+），2=02相切，与椭圆在第一象限交于点p,且PF2_LX

轴，则该直线的斜率是；椭圆的离心率是________.

答案半当

解析设过Fi的直线与圆的切点为M,圆心0）,则|AM|=c,|AFi|=|c,

所以|MFi尸坐c,

所以该直线的斜率左=调=言=乎・

2C

p

因为轴，所以『向=5，

又|F尸2|=2C,

b~

即WL2二44021-—

所以上—5-2c-2d—2e，

解得e=W(e=一小舍去).

【热点突破】

热点一中点弦问题

核心归纳

已知4(必，V)，Bg")为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(M),yo),直线AB

的斜率为k.

⑴若椭圆E的方程为提+£=1(〃20),则攵=一耨；

(2)若双曲线E的方程为「一百=心0,疣>0),则仁与玲;

ccOCi)0

(3)若抛物线E的方程为)?=2PMp>0),则户.

例1(1)已知抛物线C)2=2/求(/»0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存

在关于直线/：］一>一2=0对称的不同两点P和Q,则线段PQ的中点坐标为()

A.(l,-1)B.(2,0)

D.(l,1)

(2)(2023•郑州二模)已知椭圆5+方im>z»o)的上顶点为B,斜率为目的直线/交

椭圆丁-M,N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,则椭圆的离心率

1

c-

2

答案(1)A(2)A

解析(I)：焦点到准线的距离为p,则p=l,

，抛物线方程为：)，2=2X.

设点P(X|,yi),2(X2,”).

»M=2X2,

则O?l—)眨)。“+)，2)=2(X1—X2),

・・・幼°=^^(或直接利用结论女=4一=^^),

y\十户y\十户y\十户

又•：P,。关于直线/对称.

•'•kpQ=­1,即yi+y2=-2,—1,

又：尸。的中点一定在直线/上，

.K+土)'|+)'2」

••2—2'z—1•

・•・线段P。的中点坐标为(1,-1).

(2)设M(xi,yi),N(X2,”)，MN的中点为尸(xo,w),

x2V2

因为M(XI,yi),Ng,”)都在椭圆”+方=1上，

序十〃1,

所以《

^cr'b2=1,

(X1+X2)(XI—X2)()|+)、2)(户一产)

作差可得，72

crb一0

2x()(XI-X2)2yo(yi~p)

即u一—卜b2=0,

所以件产Vy,

2X0(XI-X2)ci

b23

即koP'kMN=-因为kMN=3,

所以h片一景或直接利用结论一'•比=—%/；=,,从而有人”=一齐，

又因为F为4BMN的童心,

所以崩=，济，8(0,b),F(c,0),

所以(xo,刈一〃)=》(c,-b)y

整

得

理m

所以kop=二

即序十，-2bc=0,

所以b=c,则4=d从+。2=也0,

所以离心率6=(=乎.

规律方法1.处理中点弦问题的常用方法：(1)根与系数的关系；(2)点差法；

⑶常用结论.

2.利用点差法需注意保证直线与曲线相交.

72

训练1(1)(2023•青岛调研)已知椭圆C，+%=1(。>6>0)的左焦点为R过点产

的直线工一)，+6=0与椭圆C相交于不同的两点A,8.若P为线段A8的中点，

O为坐标原点，直线0尸的斜率为一)则椭圆。的方程为()

222

A.y+y2=1

得十《=1D《+《=l

(2)椭圆5+苧=1中以点M(2,1)为中点的弦所在直线方程为()

A.4%+9y-17=0B.4x—9y—17=0

C.由x+3y—26一3=0D.由x—3y—2#+3=0

答案(1)B(2)A

解析⑴因为过椭圆上两点A,8的直线x—y十也=0,过,MR-寸i,0),

所以C=，^且kAB=1,

可付kAB~―户._］，

A21

所以/=5，/=2/=后+02,

CI乙

所以b=c=y/^,ci=2,

i2

所以椭圆C的方程为，+5=1.故选氏

(2)设以点M(2,1)为中点的弦的两端点为A(xi,>1),8(X2,”),

两式相减得掾+宁=。

因为M（2,1）为中点，

Xl+X2）"+户

所以2—2、2—1，

所以斜率k=~~坐=_：:W=_[（或直接利用结论仁一*送=_/铝

x\—x29（yi+y2）9ayo91

4

-

所以所求直线方程为y—19

即4x+9y—17=0.

热点二弦长问题

核心归纳

巳知4（刘,yi）,8（x2,”）,直线A8的斜率为©k户0）,

则|/18|=y/（XLX2）2+（），|一），2）2

=11+彦阳~X2\

=7l+可（幻+12）2—4x112

或[4阴=41+占乃一"|

=q1+3/5+”）2_4y1”.

92

例2已知椭圆氏5+白—①*。）的左、右焦点分别为四（一1，0）,乃（1,0）,

点Hj,乎）在椭圆E上.

⑴求椭圆石的标准方程；

（2）设直线/：x="zy+l（，"WR）与椭圆E相交于A,B两点，与圆f+）2=/相交

于C,D两点,当IA3HCDF的值为8啦时,求直线/的方程.

解（1）因为点壮1,乎）在椭圆上，根据椭圆定义可得|PFI|+|PF2|=2〃，

又|PFi|=y7j=乎，|P尸2|=坐，

所以2〃=^^+乎=2吸，

222

即。=啦，Vc=l,：.b=a-c=\t

故椭圆E的标准方程为4+V=i.

(2)设A(xi,yi),B(xi,yi),

联立ix=+my2-尸\-12,,

消去x,

整理得(加+2))2+2my—1=0,

所以/=8〃尸+8>0,y\+y2=—^^.)叮2=一^)^,

则|AB|=(yi+”)2_4yly2

2/(苏+i)

川+2

设圆f+)，2=2的圆心O到直线/的距离为d.

则4,(f)2+r

所以仁勺尸^小一房产嗜黑.

2

M1°26(zn+1)2〃P+!

则依4|8|2=X4X

Y〃尸+2-汴+1

8&(2疗+1)

=8隹

加2+2

解得〃7=±1,经验证用=±1符合题意.

故所求直线的方程为

x—y—1=0或x+y—1=0.

规律方法1.设直线方程要注意斜率不存在的情况.若已知直线过Q,()),可设直

线方程为犬=〃少+«〃层0)；

2.联立直线、曲线的方程组消元后，一需要二次项系数不等零，二需要，＞0；

3.点差法，要检验中点是否在圆锥曲线内部，若中点在曲线内部，可不必检验/

>0.

训练2(2023・遂宁二诊)已知定点。(2,0),直线/：)，=Mx+2)(Q0)与抛物线/

二4%交于两点A,B,若NAO8=90。，则依阳=()

A.4B.6

C.8D.10

答案C

解析设A(xi,yi),Bg”),

y=k(x+2),

=F『+(4F-4)x+4F=0,

b~=4%

故…=三

由题知,/>0,XIX2=4,

则y\y2=k{x\+2)^x2+2)

=尸[.口12+2(川+X2)+4]

8—8后

=后4Tk2卜4=8,

由/ADB=900=>DADB=(xi-2)(x2-2)+y了2=0,

即xiX2-2(xi+x2)+yi)2+4=0,

4(1—庐)

即4-2-——72——+8+4=0,

4

4-

3

8

1-

-

3

则\AB\=y]1+—|xi—X2I=y](xi+x2)2—软凌2=勺1+/464-16=8.

热点三圆锥曲线的切线问题

核心归纳

1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数

不为零)的判别式为零.

2.椭圆5+冬=1(。>/»0)在(M，/)处的切线方程为等+昔=1;双曲线，一5=

1(67>0,/»())在(xo,yo)处的切线方程为等一笔"=1;抛物线)2=2px(p>())在(xo,

yo)处的切线方程为joy=p(x+xo).

例3(多选)设A,B为抛物线C上两个不同的点，且直线48过抛物线C

的焦点F,分别以A,8为切点作抛物线C的切线，两条切线交于点P.则下列结

论正确的有()

A.点P一定在抛物线C的准线上

B.AP1BP

C.PF1AB

D.△%B的面积有最大值无最小值

答案ABC

解析由抛物线知焦点电，0，

可设直线A8方程为)，二区+/

设A(»,)，i),8(x2,/)，

联立直线与抛物线方程得f—丘一；=0,

则X1+X2=Z,41X2=一；,

y\+)，2=Z(X1+x2)+^=S+；,

yy=(如+JRz+g

=+x2)+*==,

,=

由抛物线可得y2xt

在点A处的切线斜率为2xi,

所以切线A尸的方程为y—>'i=2ri(x-xi),

即y+)"=2xix(也可有结论得到xri=/yi+y),即y\-^y=2xx\),

同理切线BP的方程为y+”=2迄E,

｛黑:黑联立解得唯f

因为抛物线的准线方程为y=-/所以点P在准线上，故A正确;

由A可知，直线AP的斜率为Zri,直线8尸的斜率为2也，

2xi・2x2=4XIX2=-1,

所以B正确;

1

4-

4

2

:・kpF，k=—\,.'.PFIAB,故C正确;

•・•弦长|AB=W+F|XLX2|

=yjl+/c\l(Xl+x2)2—4x112

'S△%B=3lA8|d=/(F+1)-

=3（&2+1尸，

当攵=0时，S△出8有最小值，无最大值，故D错误，故选ABC.

规律方法1.圆锥曲线在某点处的切线方程可通过求导的方法来解决.

2.过圆锥曲线外一点作曲线的两条切线，过两切点的直线方程与曲线在该点处的

22

切线方程相同.例如：过椭圆C：，+$=1（。＞/»0）外一点尸（xo,yo）作椭圆的两条

切线力,PB（A,B为切点），则直线的方程为等+笔=1.

训练3如图，已知点P（JVO,yo）是双曲线Ci：，一号=I上的点，过点P作椭圆

C2：j+f=1的两条切线，切点为A,B,直线相交Ci的两渐近线于点E，F,

O是坐标原点，则々•赤的值为（）

3

-

AC.4

4

-

3

答案B

解析椭圆C2关于点P(xo,K)的切点弦A8的方程为竽+竽=1,

即3mr+4.yo)，=12,

3xox+4yoy=12,

{y—2-

解行4\^刈+2yo'小xo+2yo)'

J4V5-6,

°%/5xo—2yo'y13xo—2yo/

则必•赤=菰竺就+蔡*=寻，=1,故选B.

热点四直线与圆锥曲线的位置关系

核心归纳

直线与圆锥曲线位置关系的判定方法

(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.

(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.

⑶利用判别式4判断直线与圆锥曲线的位置关系.

92

例4⑴(2023・徐州质检)过点(0,-1)且与双曲线，一方=1有且只有一个公共点

的直线的条数为()

A.OB.2

C.3D.4

⑵(2023・湖州模拟)已知直线/与抛物线)2=2px3>0)交于A,B两点，。为坐标

原点，OA1OB,OH工AB交AB于点、H,点”的坐标为(2,2),则〃的值为()

3

-B2

2

5

AC.-3

2D.

答案(1)D(2)B

解析⑴由双曲线［一9=1得其渐近线方程为产±|x.

33

-

①过点M(0,—1)且分别与渐近线平行的两条直线y=2-V--2一与双曲

线有且仅有一个交点；

②设过点M(0,—1)且与双曲线相切的直线为

y=kx~1,

y=kx-\,联立±,

149H

化为(9—43)『+8日一40=0,

由9—4SW0,/=(8Z)2+4X40X(9—43)=0,

得到43=10,解得出=等2

则切线1,)、=一杏£—1分别与双曲线有且仅有一个公共点.

综上可知：过点M(0,—1)且与双曲线，一，=1仅有一个公共点的直线共有4

条.

(2)・・・”(2,2),OH上AB,

・,.如“=考=],

kAB'koH=—1,:・kAR=11.

・・・直线A8的方程为了一2=一。-2),

即y=—x+4,

设A(xi,yi),Bgyi),

y——x+4,

联立直线与抛物线方程:「

Lr=2px,

得力+y-4=o,/=1+卷=1+2

由根与系数的关系得y\y2=~Sp,

11,

=符(一8〃)~=16，

又・・・OA_LO8,：.OAOB=Ot

•\x\X2~\~y\y2=16—8/7=0,/.p=2.

易错提醒1.直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲

线的渐近线平行.

2.直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平

行（或重合）.

训练4（1）（2023・沈阳模拟）命题p：直线y=kx-\-b与抛物线『二2〃）。〉。）有且仅有

一个公共点，命题/直线），=h+〃与抛物线f=2〃），相切，则命题〃是命题q

的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

（2）己知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为最+（=1（。乂以）），则椭圆在其上一

点A（xo,州）处的切线方程为等+等=1，试运用该性质解决以下问题：椭圆G：

5+），2=1,点8为。在第一象限中的任意一点，过8作G的切线/,/分别与x

轴和），轴的正半轴交于C,。两点,。为坐标原点，则△OCQ面积的最小值为（）

A.lB.小

C.y[2D.2

答案（1）C（2）C

解析（1）二•抛物线f=2py的对称轴为），轴，，一条直线与抛物线f=2p），有且

仅有一个公共点，则该直线与抛物线相切或者该直线与），轴平行，

・・,直线），=丘+力存在斜率，与），轴不平行，

・•・“直线》=履+〃与抛物线有且仅有一个公共点”等价于“直线y=G

+人与抛物线《=2〃），相切”，则命题〃是命题q的充要条件.

（2）设伏叫yi）（Xi>0,ji>0）,由题意得，

过点8的切线/的方程为拶+）“），=1,

令y=0,可得dW，0），

令工=（）,可得4。，"），

1?11

所以△OCO的面积5=^X-X-=—

乙人【y1Alyl

又点B在椭圆上，所以，+）彳=1,

当且仅当郎吟居+加1，

即Xl=l,），1=平时，等号成立，

所以△OCO面积的最小值为啦.213页

【精准强化练】

一、基本技能练

1.直线/过抛物线C）2=2px（p〉o）的焦点，且与。交于A,B两点，若使|AB|=2

的直线/有且仅有1条，则〃等于（）

B.1

C.lD.2

答案C

解析由抛物线的对称性知，要使依5|=2的直线/有且仅有1条，则A8必须垂

直于x轴，故A,8两点坐标为（当±1）,代入抛物线方程可解得〃=1.

2.椭圆云+^=1中，以点历（-1,2）为中点的弦所在直线斜率为（）

A9门9

AT6B.我

「9c9

C-64D~32

答案B

解析设以M为中点的弦为弦A8,弦A8的端点为A（»,），i）,8（X2,户），

x?.y?,A.yi,hj3/m（xi+x2）（xi-xz）.

则讳+§=，正+亍=，两式相喊侍--------布--------+

（yi+户）

9=0，

又弦A8中点为M（-l,2）,

.•.xi+x2=-2,）”+）?=4,

---2（^fl-X2）,4（VI-V2）八

即—16一+一9'=°，

或直接利用结论仁—!<=一

J1

3.（2023.常德模拟）已知椭圆氏a+卓=1（。>">°），直线/：）'=步+。与椭圆E相

切，则椭圆E的离心率为（）

B.1

C.乎D雪

乙乙

答案B

2

解析由题意，联立椭圆E和直线/的方程得：后=//，

整理得：［^a2+b^^x24-a3x-\-a4-a2b2=0,

因为椭圆石和直线/相切，

则椭圆E的离心率e='=、/l—*=41一（=3，故选B.

4.（2023・广州模拟）已知抛物线。的顶点为坐标原点O,焦点尸在x轴上，过点（2,

0）的直线交。于P,。两点，且。尸_1_OQ,线段PQ的中点为M,则直线用广的

斜率的最大值为（）

A-6B2

C乎D.l

答案A

解析设抛物线C：y=2/7A（/7>0）,

直线尸。的方程为X=D，+2,P（XI,yi）,Q（X2,y2）,

y1=2px,

联立彳消去入•得y2—2p<y—4p=0,

x=ry+2,

』=4p2p+16p>0,

则有yi+/=2m，yiV2=-4p,

9,

所以》12=为•第=4,

由OP_LOQ,可得河r+)，1户=4—4p=0,

解得p=L

此时yi+y2=2f,XI+X2=2产+4,

即M(P+2,r),又雄，0),

所以直线Mb的斜率kMF1-3

-尸-

2+-2

当1=0时,kMF=0,

当fWO时，LWF="当且仅当产=；时取等号）

?+2-五一

所以直线MF的斜率的最大值为乎.

5.（2023・烟台调研）已知抛物线C：）?=4工，圆八仁一1产+），2=1,直线/：y=k（x

-1）（左20）自上而下顺次与上述两曲线交于Mi,Mi,%,MI四点，则下列各式

结果为定值的是（）

A.IM1M2IIM3M4IB.|FMI|.|FA/4|

C.IM1M3HM2M4|D.|FMI|-|MIM2|

答案A

解析如图，分别设M,M2,Ma,M4四点的横坐标为,El,X2,X3,X4,

由)2=©得焦点/(1,0),准线/o：X=-1,

由定义得，|MiE=jn+l,

又|M/1=|MM2|+1,

所以|MIM2|=XI,

同理|M3M4|=X4,

y=k(A—1),

Mi,消去)，整理得

Fr-QR+M+koawo),

则JOT4=1,即|M1M2HM3M4|=1.

6.(2023・辽南协作校模拟)已知P为直线)，=一工一1上一动点，过点P作抛物线C：

f=2y的两条切线，切点记为A,B,则原点到直线4B距离的最大值为()

A.IB.j

C.#D.2

答案B

解析设汽妆，刈)，切点为A3,yi),

Bgp),

由f=2y,得则y'=x,

所以在点A处的切线方程为

y-yi=xi(x—xi),即y—y\=xix—xit

因为X=2yi,所以y=xix—yi,

同理在点B处的切线方程为)，=Q¥一)、2,

因为两切线都过点P(M),州)，

所以y)=xuro—)”,j\)=X2Xo—p,

所以直线AB的方程为yo=xr()—y,

即xxo-yo=O,

所以原点到直线AB距离为

|yo|/yo/(—XQ—1)2/XD+2XQ-H

，诏+1'高+1V需+1V-w+1

当且仅当xo=l时取等号，

所以原点到直线A8距离的最大值为观,故选B.

7.已知直线尸左L1与焦点在x轴上的椭圆与+*^=1总有公共点，则b的取值

范围是.

答案［1,2）

解析由题意直线）=代―1恒过定点N（0，-1），

要使直线y=E-1与焦点在x轴上的椭圆，+孑=1总有公共点，

则只需要点N（0,—1）在椭圆上或椭圆内，

（一1）2

即F—W1,解得621,

又焦点在x轴上，:,b<l,：.\^b<2.

8.（2023・福州质检）已知椭圆C=1,直线/与。在第二象限交于A,B两

点（A在8的左下方），与x轴、y轴分别交于点M,N,且|MA|：|A8|：|8N|=1：2：3,

则I的方程为.

答案人一y+4=（）

解析

设直线在x轴，y轴上的截距为〃2,〃（，〃<0,心0）,

由|M4|:网:18M=1：2：3,可得A偿,如砥,。

又点A,8在椭圆上，

,ri1.25nr.n2“

故五十不=4且a下-+不=36,

解得加=—4,〃=4.

故直线I的方程为x—『+4=0.

9.（2023•江西大联考）已知抛物线C：），2=2〃Mp>0）的焦点为F,过尸作斜率为、5的

直线/与。交于M,N两点，若线段MN中点的纵坐标为忻，则/到C的准线

的距离为.

答案5&

解析设M(xi,yi),Ngp),

则＞彳=2pxi,y2=2px2,

两式相减得y^—yi=2px\—Ipxi,

即(yi—)2)。"+”)=2p(xi-X2),

因为历，N两点在斜率为小的直线/上,

yi—\2

所以

XI—X2

所以由(yi—+")=2P(xi—X2),

得小G"+”)=2p,

因为线段MN中点的纵坐标为也，

所以y।+,2=2JT5,

则小X2/=2〃，〃=5啦，

所以尸到C的准线的距离为55.

22

10.(2023・潍坊统考)设双曲线C，一方=1(。冷0)的右顶点为A,过点A且斜率

为2的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于点P,Q.若线段PQ的中点为M,

\AM\=^~a,则双曲线C的离心率6=.

答案华

解析因为A(a,0),

所以直线。。的方程为y=2(x-a).

心尸2(1)2g

则由”得也而五二寸

由］：=：：“'，得4就，—焉，

ra,

“，/4/2ah2、

所以咻匚6f!，

所以+（（）缶）1阕

整理，得3〃+42〃一为4=0,

即（3/一242）（/+〃2）=0,

力22

所以3〃-2层=0,所以3

所以e=K1+（9=^/^1=华，

11.（2023•荆州调研）己知抛物线C），2=2pMp〉o）的焦点为凡其准线与“轴交于

点P,过点P作直线/与C交于A,B两点，点八与点A关于x轴对称.

⑴证明：直线8。过点F；

Q）若称=3曲,求/的斜率.

⑴证明设点A（xi,y）,8（x2,ya）,

。（川，-yi）,直线/的斜率为Z,

由题可知k一定存在，

直线/的方程为：y=Q+§.

由,yG+2），得b?_2〃y+即2=0,

）2=2外，

A=4〃2—4Mp2>o,则一[<K1

._2/?

)"+”=女，>1)'2=〃2,

p+yi）吃十州2P

KBD==[

X2~X\I"一），|

而（正一y?）

故直线BD的方程为

故直线8。过点造，0）

（2）解由而=3彷可得

「十畀3卜尚

Ji=3”,

由(1)可知,yi+*=4*=卷故*=1

又加+3x2=2”，

YT,3贯C

故"+方=2〃，

即)彳+3父=4〃2=12强，

故货=弥=,所以F=l，

满足/>(),故2=±^.

12.已知椭圆C：\+忘=1(。>心())的离心率为坐，且经过点(一小，I).

(1)求椭圆C的方程；

⑵如图，点M是X轴上的一点，过点M的直线/与椭圆。交于A,B两点、(点A

4

在x轴的上方),若HM=2|M8|,且直线/与圆O：f+)心=亍相切于点M求△OMN

的面积.

^c2=a2-b\

c书

J£=2，

解(1)由题意知q

(f产隙

I/+下"=】,

(«?=4,

解得《加=1,

"=3,

所以椭圆。的方程为5+)7=1.

(2)设M("7,0),直线/：x=ty+m,A(x\,ji),B(xit*),

由HM=2|M8|,得川=一2”,

5+尸1,

由

x=(y+"z,

得(尸+4))2+2〃2(y+团2—4=0.

J=—16(/n2—Z2—4)>0,

即w2<r2+4.

由根与系数的关系得尸+户=一给,

7H2—4

)3=月・

由y\y2=—2族，y1+"=-2”+”=—yi，

得y\y2=—2]—(yi+)喇2=-2(yi+”)\

E/J-42ml、『

即7育=—2|r+4)'

化简得("P—4>(尸+4)=—8-〃户,

问

所以原点。到直线/的距离4=

4

又直线/与圆O：*+/=,相切,

加7

所以,即户=平一一1.

g一

(加2—4)(P+4)=—8及〃心,

由产=%?_],

得21/一]6〃?2—16=0,

即(3S2—4)(7/〃2+4)=(),

44

解得加2=],此时产=亨满足j>0,

此时点M的坐标为,0J,

424_4^21

在RtZSOMN中，|MN|二3~7=21，

所以酒产卜嚼乂斗=噪

二、创新拓展练

13.（2023・宝鸡二模）已知抛物线C：f=2p），（p＞0）的焦点为EM（xo,yo）为。上一

动点，曲线。在点M处的切线交y轴于N点，若NBWN=30。，则Nf7VM=（）

A.60°B.45°

C.30°D.15°

答案C

解析如图，由

在点M处的切线的斜率为彳，

所以在点M处的切线方程为y—yo=~（x—xo）.

令x=0,可得N点坐标为（0,—和）.

所以，|孙=和+§

又根据抛物线的定义可得，

|Mfl=g+yo=|FN|,

所以△BWN是以MN为底边的等腰三角形,

所以/FNM=/FMN=30。.

14.（多选）（2023・白山三埃）设双曲线E：^2-^2=l（r/＞（）,比＞（））的右焦点为巴〃（（）,

33，若直线/与£的右支交于A,8两点，且尸为△MA8的重心，则（)

A.E的离心率的取值范围为。限，，5）U（W，4-00）

B.E的离心率的取值范围为仔芈，小）U（S，+8）

C.直线/斜率的取值范围为（一8,

D.直线/斜率的取值范围为（一8,

答案AC

解析设。为AB的中点，根据重心性质可得话=2月）,

因为产(c,0),M(0,3b),则＜圄

因为直线/与E的右支交于A,8两点,

所以点。在双曲线右支内部，

9c29序

故