1102初二【数学(人教版)】+最短路径问题(第二课时)+教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ08SXRJ041学科数学年级八年级学期秋季课题最短路径问题（第二课时）教科书书名：义务教育教科书数学八年级上册出版社：人民教育出版社出版日期：2013年06月教学人员姓名单位授课教师张旖澈北京师范大学附属实验中学指导教师崔佳佳北京市西城区教育研修学院教学目标教学目标：（1）利用平移、轴对称解决最短路径的问题，进一步感悟化归思想．（2）培养培养用符号语言和图形语言表达数学问题的能力．教学重点：利用平移、轴对称解决最短路径的问题教学难点：体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟化归思想教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟复习引入上节课我们研究了两类最短路径问题：1.A，B在直线l异侧时：如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短．思考：（1）作图方法：连接AB，交直线l于点C，点C即为所求．（2）依据：“两点之间，线段最短”，2.当A、B在直线l同侧时（牧马人饮马问题）（2）作法：通过轴对称转移线段，转化为研究过的A、B两点在直线异侧的问题．利用“两点之间，线段最短”，找到满足条件的点C．同时，我们通过几何推理，证明了这个作法的正确性．12分钟探索新知本节课我们继续研究“最短路径”问题．例：造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BABA思考：（1）实际问题，首先做什么？将实际问题抽象为数学问题，用文、图、示的语言表达．图形语言：A、B两点看作两个定点，河的两岸看成两条平行线a和b．N为直线b上的一个动点．先画一个一般的点N．桥垂直于河的两岸，即MN垂直于直线b，交直线a于M．文字/符号语言：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小．（几何画板演示）（2）问题是否可以简化？由于河的宽度是固定的，当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小．所以问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小．（3）能否通过图形的变化（轴对称、平移等），将问题转化为我们研究过的问题呢？将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到A’，则AA'=MN，AM+NB=A’N所以问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A’N+NB最小．（4）这是我们上节课讲的哪种类型？两点在直线异侧，连接A’，B两点，与直线b的交点即为N．依据：两点之间，线段最短．（5）结论在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的．（6）用文字和符号语言整理一下作法总结：①实际问题可以抽象为数学问题，用文、图、示的语言表达．②利用平移，实现线段的转移．平移：沿直线方向移动．轴对称：绕某一点旋转．③把已知问题转化为容易解决的问题，体会化归思想．思考（6）如何证明这条路径最短？在直线b上任取一点N′，过N′作N′M′⊥a连接AM′，A′N′，N′B由平移性质可知，AM=A′N，AM′=A′N′.AM+NB=A′N+NB=A′BAM′+N′B=A′N′+N′B.由两点之间，线段最短可知：A′B<A′N′+N′B即AM+NB<AM′+N′B即AM+MN+NB<AM′+M′N′+N′B.总结④学会用符号语言进行推理和表达6分钟能力提升练习：已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P、Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．思考（1）哪些点是定点，哪些是动点？A，B为定点，P，Q为直线l上的动点，且PQ=a，距离不变．先从一般的点P和相应的点Q出发，画图观察．（2）问题是否可以简化？由于AB、PQ的长度是固定的．当AP+QB最小时，四边形APQB的周长最小．（3）如何通过平移、轴对称等方式转移线段，从而转化为我们研究过的问题？将AP沿直线l的方向平移，点P移动到点Q，点A移动到A’，则AA'=PQ，AP+QB=A’所以问题转化为：当点Q在直线l的什么位置时，A’Q+QB最小．（4）这是我们研究过的哪种类型？两点在直线异侧，连接A’，B两点，与直线l的交点即为Q．依据：两点之间，线段最短．（5）如何证明这条路径最短？总结：将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知（已解决）的问题．2分钟课堂小结课堂小结：比较本节课研究的两个问题（1）最短路径的依据：两点直线，