对数函数的性质与图像（原卷版）

44对数函数的图象与性质

题型1对数函数的概念...........................................................................2

题型2对数函数求值..............................................................................3

♦类型1对数函数求解析式...............................................................4

♦类型2对数函数求值...................................................................4

♦类型3对数函数含参求值..................................................................5

题型3与对数函数有关的定义域问题...............................................................6

♦类型1对数图数的定义域..................................................................6

♦类型2对数型复合函数的定义域...........................................................6

♦类型3与定义域相关的含参取值问题.......................................................7

♦类型4与定义域相关的含参取值范围问题...................................................8

题型4对数函数国象过定点问题...................................................................8

♦类型1对数型函数的定点..............................................................8

♦类型2对数型函数与点坐标相关的问题.................................................9

题型5对数函数图像问题.........................................................................9

♦类型1对函型函数的图形选择........................................................10

♦类型2对数型函数图像的画法.............................................................12

♦类型3对数型函数的图像含参问题........................................................12

♦类型4对数型函数的图像与底数的大小关系问题...........................................13

题型6利用对数函数的性质比较大小..............................................................14

题型7对数函数不等式...........................................................................15

♦类型1不含参的对数不等式..........................................................15

♦类型2含参对数不等式...............................................................16

♦类型3抽象不等式...................................................................17

题型8与对数函数的单调性有关的问题............................................................18

♦类型1对数函数单调性的判断........................................................18

♦类型2对数函数的单调区间..........................................................19

♦类型3复合函数的单调性............................................................20

♦类型4单调性求参数取值范围问题....................................................21

题型9奇偶性相关问题..........................................................................22

Q知识梳理

知识点一.对数函数的定义

1.对数函数的概念

函数》二包侬僧＞。，且在〃叫做对数函数,其中工是自变量,函数的定义域是＜。，+9).

2.两种特殊的对数国数

(/)常用对数函数：以K)为底的对数函数)，=lgX.

（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数v=lnx.

知识点二.对数函数的图象与性质

对数函数的图象与性质列表如下:

y=logaX(a>0,且a/1)

底数0<a<l

X=1

4_y=l0gtix(a>l)

图象(1,0)一

y

(1.0)x

>'=]0gt

X=1((Xa<l)

定义域(0,十到

值域R

单调性在（0,+到上是增函数在（0,+◎上是减函数

共点性图象过定点&^2,艮]x=/时，y=0

在自〃时，），1・，，0）；,隹俏〃时，代（（）,+到;

国数值特点

xe[l,+到时，ve[O,+00；入€〃，+8）时,y*-8,

对称性函数y=logaX与y=log]X的图象关于X轴对称

a

注意：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质.

知识点三.不同底的对数因数图象的相对位置

一般地，对于底数的对数函数，在区间〃，+切内,底数越大越靠近x轴；对于底数。的对数函

数,在区间〃，+到内，底数越小越靠近x轴.

题型1对数函数的概念

【方法总结】判断一个函数是否为对数函数的方法

对数函数必须是形如y=3必。>0,且行〃的形式，即必须满足以下条件：

切对数式系数为1.

⑵底数为大于0且不等于/的常数.

⑶对数的真数仅有自变量工

【例题1】（2021上•高一校考课时练习）下列函数中，是对数函数的有

①）'=loga%（aWR）；②，=log8x；③y=Inx；®y=logx（x+2）；⑤丫=21og4x.

A.ljB.2jC.3jD.4j

【变式11]1.（2022・高一课时练习）下列函数是对数函数的是（）

x2

A.y=loga（2x）B.y=lglOC.y=loga（x4-x）D.y=Inx

【变式11】2.（多选）（2023上•贵州遵义•高一统考期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的

有（）

2

A.y=lognxB.y=log后xC.y=log4xD.y=log2（x+1）

【变式11]3.（多选）（2022上高一课时练习）下列函数为对数函数的是（）

A./（x）=log（m-i）x（m>1,且mH2）B./（x）=Igx3

C./（x）=InxD./（x）=Inx+e

【变式11]4.（2023・全国•高一专题练习）指出下列函数中，哪些是对数函数?

①y=5、;

②:y=-log3x；

®y=logo.5y；

®y=logy;

⑤y=10g2（%+1）•

题型2对数函数求值

♦类型1对数函数求解析式

【例题21](2023上•上海•高一上海市朱家角中学校考阶段练习)已知对数函数过点(4,2),则其解析式

为

【变式21]1.(2023上•高一课时练习)对数函数的图象过点(16,2)，则对数函数的解析式为.

【变式21]2.(2022•江苏省滨海中学模拟预测)写出满足条件"函数y=f(%)在(0,+8)上单调递增，且

f(xy)=fM+fW的一个函数/(%)=.

【变式上全国高一专题练习)已知函数匕且。粕图象经过点

21]3(2023••/(x)=+logflx(x>0a1(8,2)

和

(1)求/(幻的解析式；

⑵[八刈2=3/(幻，求实数x的值；

【变式21】4.(2023上•高一课时练习)已知对数函数八外的图象过点(4彳).

Q)求f(%)的解析式；

(2)解方程f(%)=2.

【变式21】5(2023下云南玉溪•高一云南省玉溪第一中学校考期中已知函数f(x)=log5/幻=log.x,

若/(4)+。(4)=3,/(4)-g(4)=1.

(1)求人幻，gQ)的解析式;

(2)若f(m)=g(n),试比较m,n的大小.

♦类型2对数函数求值

【例题22](2023上•高一课时练习)已知对数函数/⑴的图象过点(8,3),则/信)=

【变式22]1.(2023・高一课时练习)已知对数函数y=/"(x)的图像过点(e,1),则f®)=.

【变式22]2.(2022上•北京•高三北京市第十三中学校考开学考试)已知函数/(%)=log/,且/⑵=

*=；哨+呜+屋)=

【变式22]3.(2023上•黑龙江大庆・高一大庆实验中学校考期中)已知g(x)为/?上的偶函数，当％>0时，

g(x)="+log2x,贝！Jg(-2)=

【变式22]4.(2023上•天津•高一校考阶段练习)已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点火2,1)

8(5,2).则/'(14)+f隹今的值是

【变式2215.(2023上•高一课前预习)已知八%)=怒,9(%)=logx(a>0,aH1)则f4(刈=；

t-AkIt»a

g[fM]=.

♦类型3对数函数含参求值

【例题23】(2023上•高一课时练习)若函数/(%)=(a2-3a+3)唾M是对数函数，则a的值是()

A.1或2B.1

C.2D.a>0且Q工1

【变式23】1.(2023上•高一课时练习)函数〃%)=(。2-。+1)嚏(。+1产是对数函数，则实数a

【变式23]2.(2023上♦高一课时练习)已知函数/(%)=(2血2一6)108鹏+血一1是定数函数，则

m=.

【变式23】3.(2022上•广东深圳•高一校考期末)设。eR,若函数/(%)=log2(x+Q)的图象经过点(3,1),

则a=()

A.7B.3C.1D,-1

【变式23]4.(2018・高一课时练习)已知函数f(%)=loga(x+2)，若图象过点(6,3)厕/"(2)的值为()

A.-2B.2C2D.2

【变式23】5.(2023上•江苏无锡高一统考期末圮知对数函数y=logax(a>0且a=1)的图象过点(4』),

则log4a=()

A4ZBC.2D.4

题型3与对数函数有关的定义域问题

【方法总结】求对数型函数的定义域时应遵循的原则

（1）分母不能为0.

（2）根指数为偶数时，被开方数非负.

（3）对数的真数大于0,底数大于0且不为1.

♦类型1对数函数的定义域

【例题31]（2023上•四川绵阳・高一绵阳中学校考期末）函数人幻=奢■勺定义域是（）

A.{x|x>-i]B.{x\x>1}

C.1x|x>一1且x.2}D.{x\x>1且无H2}

【变式31]1.（2023上•贵州毕节•高一校考阶段练习）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）

A.（-1,2]B.（-1,2）C.（1,2]D.[1,2]

【变式31]2.（2023上•陕西咸阳•高一校考阶段练习）函数/'（幻=霁的定义域为.

【变式31]3.（2023上•广东汕头•高一校考阶段练习）函数/Xx）=套+ln（2-3%）的定义域为.

【变式31]4.（2023・四川成都・成都七中校考一模）与y=妙相同定义域的函数是（）

22

A.y=X3B.y=（Vx）

C.y=lg（10x）D.y=e,nx

♦类型2对数型复合函数的定义域

【例题32]（2022上•黑龙江大庆•高一校考期末）函数y=J（log，3-1的定义域为（）

A.（O,1）B.（O,1]C.[1,1）D.（1,+oo）

【变式32]1.（2023上•新疆乌鲁木齐•高一校考期末）函数y=亚向尸-1]的定义域是.

【变式32】2.（2023上安徽•高一校联考竞赛）已知函数y=/（2x）的定义域为,则函数y=痣蓑

乙III"T"4J

的定义域为（）

A.[0,；]B.[-3,-l)U(-l,4]

4

C.(-2,4]D.(-2,-l)U(-l,4]

【变式32】3(2023上湖北高一洪湖市第一中学校联考阶段练习H知函数y=+1)的定义域是[2,4],

则函数g(x)=借的定义域为()

invx-z)

A.(2,3)B.(2,3]

C.(2,3)U(3,6]D.(2,3)U(3,4]

【变式32】4.(2019•云南曲靖高三曲靖一中阶段练习)已知函数/(x)=Igx,则函数y=/(/(x)—1)的

定义域为()

【变式32]5.(2023上•陕西渭南•高三校考阶段练习)已知f(%)的定义域为[0,2],则函数g(x)=4==

/logi(x-l)

的定义域为()

A.(1,V3]B.[0,2]

C.[1,V2]D.(1,3]

♦类型3与定义域相关的含参取值问题

【例题33](2019上•高一课时练习)设函数八为=斤扇的定义域为(0,10],则实数a的值为()

A.OB.10C.1D.-

10

【变式33】1.(2022下•山东济宁•高二期末)若函数y=Vx2+2x+a+ln(x+2)的定义域为[1,+8),则

Q二()

A.-3B.3C.1D.-1

【变式33]2.(2023上•陕西西安高一统考期末)已知函数〃%)=的定义域为G，1)u(M],则实

数a的值是

【变式33]3.(2015上湖北武汉•高一统考期中)已知函数fG)=logi(x2-2ax+3).

2

Q)若函数f(x)的定义域为(—8,i)u(3,+8),求实数a的值;

(2)若函数/(切的定义域为R，值域为,求实数Q的值;

(3)若因数/(%)在(-8,1]上单调递增，求实数Q的取值范围.

♦类型4与定义域相关的含参取值范围问题

【例题34](2023上•上海•高一上海市进才中学校联考阶段练习)已知QGR，若函数y=lg(x2-ax4-1)定

义域为R,贝M的取值范围为

【变式34]1.(2023上•江苏苏州•高一校考阶段练习)若函数f(X)=lg(ax2-2x+a)的定义域为R,则

实数a的取值范围为()

A.(-1,0)B.[-1,1]C.(0,1)D.(1,+8)

2

【变式34]2.(2023上广东深圳•高一校考期中)已知函数f⑺=log2(mx+4x+m-3),若函数f(x)

的定义域为R,则实数m的取值范围是

2

【变式34]3.(2023下•贵州遵义高一统考期中)已知函数/(幻=log2(x+2ax+a).

(1)若/'(%)的定义域为R,求a的取值范围；

(2)若/'(0)+f⑴=log35-log59,求a.

题型4对数函数图象过定点问题

【方法总结】y=logax(a>0,且存〃图象过定点,即x=/B寸，尸0

♦类型1对数型函数的定点

【例题41](2024上•江苏扬州•高二统考学业考试)函数/⑶=loga(2x-3)+5(a>0fa^l)的图象

过定点片,则A的坐标为()

A.(1,0)B.(1,5)C.(2,5)D.(2,6)

【变式41】1.(2024上•辽宁辽阳•高一统考期末)函数y=I。％瑞(。>1)的图象经过定点4,则点A的

坐标为

【变式41】2.(2023上•湖北•高一校联考阶段练习)函数y=logax+谈一】+2(a>0且Q=1)的图象恒

过定点(k,b),若m+n=h-k且m>0,n>0,则也出的最小值为()

mn

A.9B.8C：D.：

22

【变式41]3.(2023上•江苏苏州•高一校考阶段练习)已知曲线y=loga(x-2)+1(a>0且aw1)过

定点(s,t),若m+九=s-t且m>0,n>0,则*+；的最小值为()

A.16B.10C.8D.4

【变式41]4.(2023上•海南省直辖县级单位•高一校考阶段练习)函数/⑺=loga(2x+1)+2(Q>0,

Q=1)的图象经过定点力，若点4也在函数g(x)=2X+b的图象上,则g(log23)=.

x+2

【变式41】5(2021•湖北•高一阶段练习存函数f(x)=a+1与g(x)=loga(2x4-m)+n(a>。且aH1)

的图象经过同一个定点，则?心的值是_______.

♦类型2对数型函数与点坐标相关的问题

【例题42】(2023上•高一课时练习)若点(a,b)在y=log?、的图象上，且a01,则下列点也在此图象上的

是()

A.B.(2a,l—b)

2

C.(3b+l)D.(at2b)

【变式42]1.(2021・全国•高一专题练习)若点(a,b)在函数f(%)=Inx的图象上，则下列点中,不在函

数/(%)图象上的是()

A.—b)B.(a+e,1+b)

C.(；,l-b)D.(a2,2b)

【变式42】2.(多选)(2021•高一课时练习)已知点(m,n)在函数y=logax(a>0且Q01)的图象上,则

下列各点一定在该函数的图象上的是()

A.(m2,2n)B.(ma,na)

C.(m++a)D.(，九-1)

题型5对数函数图像问题

♦类型1对函型函数的图形选择

【例题51】（2023•广东•高三统考学业考试）下列函数可能是又擞函数的是（）

【变式51]1.（2019•新疆乌鲁木齐•统考三模）当0VaV1时，在同一坐标系中，函数y=与y=logaz

)

xb

【变式51]2.（2022浙江省富（中学）设a>0且QH1,3>R,函数f（x）=a~,g（x）=loga（x+b）,

则函数/（外,。（幻在同一平面直角坐标系内的图像可能为（）

【变式51】3.（2023上福建三明•高一三明一中校考期中搭函数y=ax（a>0且a。1）的图象过点Q,4）,

则函数y=log。忱|的大致图象是（）

【变式51]4.（2023上•江苏盐城高一盐城市伍佑中学校联考阶段练习）已知。>1，则函数y=谈与函

数），=log4-%）的图像在同一坐标系中可以是（）

【变式51]5.（2021上•陕西汉中•高一校联考期中）已知Iga=-\gb工0，则函数/⑺=。一，与函数g（x）=

log,%的图像可能是（）

♦类型2对数型函数图像的画法

【例题52](2021・高一课时练习)画出函数/⑺=log2(2x-1)的图象.

【变式52]1.(2020・高一课时练习)画出函数y=|lg(x-1)出勺图象.

【变式52]2.(2022湖南•高一课时练习)画出函|数y=log3%及y=logy的图象，并说明这两个函数的相

3

同点与不同点.

%2—1XV1

【变式52】3.(2016上•广西桂林•高一统考期末)已知函数/(无)=(|0giX；x>1

2

(1)在表中画出该函数的草图；

(2)求函数y=f(x)的值域、单调增区间及零点.

【变式52]4.(2023上•广东佛山•高一校考阶段练习)已知/Xx)为定义在区间(-8,0)u(0,+8)上的偶函

数，当XE(0,十8)时r/(X)=10g2X.

(1)当xW(-8,0)时，求函数f(x)的解析式；

(2)在给出的坐标系中画出函数f(%)的图象，写出函数/(公的单调区间，并指出单调性.

♦类型3对数型函数的图像含参问题

【例题53](2023上•江西南昌•高一统考期末<6<1<a则函数y=logd(x+a)的图象不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式53]1.(2023上•山东聊成高一校联考期末)已知a>1,-2<b<-1,则函数y=loga(x-b)的

图象不经过()

A.第一象限B.第二象限

c.第三象限D.第四象限

【变式53]2（多选I2023上河北石家庄•高一石家庄精英中学校考阶段练习旧知函数y=logrt（3x-5）+

2（a>0且a工1）恒过定点（m,ri）,则函数/'（%）=m*+n的图象不经过不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式53】3.（2022・全国•高一课时练习）已知函数fQ）=log。。一b）（a>0且a#1,a,。为常数）的

图象如图,则下列结论正确的是（）

A.a>0,ft<-1B.a>0,-l<6<0

C.0<a<l,b<-lD.0<a<l,-l<b<0

【变式53]4.（2021・全国•高一单元测试）（多选）已知函数y=logjx+C）（Q,C为常数，其中a>0,aH1）

的图象如图，则下列结论成立的是（）

A.a>1B.0<a<1C.c>1D.0<c<1

【变式53]5.（2022上•广西南宁•高一南宁二中校联考阶段练习）已知定义在[-2,0]上的函数f（x）=

loga（-x+l）（a>0,aH1）的值域是.若函g（x）=m（%eR）的图象不经过第一象限，则实数m

的取值范围为

♦类型4对数型函数的图像与底数的大小关系问题

【例题54】（2021•全国•高一课时练习）如图是对数函数y=logM的图象，已知a值取石则相

应的,C2,Q，的a值依次是（）

A115/FB/F541C5/F41D/r514

・8，5'3，V・V*3，丫*5*8*\/318*S

【变式54]1.（2022•新疆巴音郭楞•高一期末）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

【变式54]2.（2021・全国•高一）图中曲线分别表示y=logcx,y=\ogbx,y=logcx,y=log.的图像，

a,b,c,d,的关系是（）

A.O<a<b<l<d<cB.O<b<a<l<c<d

C.O<c<d<l<a<bD.O<c<d<l<b<a

【变式54】3.(多选)(2021♦全国•高一课时练习)侈选)如图是三个对数函数的图象，则()

A.a>1B.0</?<1C.2b<2C<2aD.c<b

【变式54]4.(2023・全国•高一随堂练习)如图，A,B,C,D是y=Igx,y=log4x,y=log2x,y=logix

2

四个函数的图象，则

(1)函数y=恒无的图象是；

(2)函数y=log/的图象是；

(3)函数y=1。&丫的图象是；

(4)函数y=log”的图象是

2

题型6利用对数函数的性质比较大小

【方法总结】比较对数值大小的常用方法

(1)同底数的利用对数函数的单调性.

(2)同真数的利用对数困数的图象或用换底公式转化.

(3)底数和真数都不同，找中间量.

注意：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.

【例题6】(2022•全国•高一课时练习)分别比较下列各组数的大小：

(l)]og3.82.5,log282.9,log2,84.6；

(2)8-07,iog7o.8,log0180.7；

⑶脸5与陶5.

【变式61]1.(2023上河南郑州高一河南省实验中学校考阶段练习)设a=log3^b=£c=3",

则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.c>a>b

C.c>b>aD.b>c>a

【变式61]2.（2023上•天津西青•高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末旧知Q=3。6力=log.2.6,

3

/I、1・2

。=G）.则（）

/\.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【变式上湖北襄阳高一校考期末若已知Qb=4,c=，则、

61]3.（2023••）=log23,log3logl,54ab,

c的大小关系为（）

A.bVaVcB.cVbVa

C.a<h<cD.h<c<a

【变式61]4.（2023上•湖南长沙•高一长沙市第十五中学校联考阶段练习）已知Q=Iog3："=GF，c=

,则b的大小关系为（）

log.143a,,c

fi<.c>a>bB.b>a>c

C.c>b>aD.a>h>c

题型7对数函数不等式

【方法总结】

⑴形如!ogaX>/ogab的不等式，借助y=logaX的单调性求解，如果a的取值不确定，需分Q/与0<a<l

两种情况进行讨论.

h

⑵形如logltx>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式化=logaa）,再借助y=logaX的单调

性求解.

⑶形如logf（x）a>logg（va（f（x）,g㈤>0且不等于/，心01的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行

求解，或利用函数图象求解.

♦类型1不含参的对数不等式

【例题71]解下列关于x的不等式：

（l）logix>logi（4-x）;（2）log3x<l;（3）Iog2（*-1）>1；（4）logo.7（2A）<logo,7（>r-1）

【变式71]1.（2022・全国•高一专题练习）不等式log式一与+7）>0的解集为.

2

【变式71]2.（2022•黑龙江•哈尔滨七十三中高一期末）解关于x的不等式:logi（x+1）>log式3-/）

22

【变式71】3.（2022♦陕西・咸阳市高新一中高一开学考试）已知函数f（%）=log3-log3（3x）,求不等式

fW>0的解集.

2

【变式71】4.（2022•河南焦作高一期末）已知则p:X-4X-12<0/Q:log2xV2,p是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式71】5.（2022•吉林长春外国语学校高一开学考试）已知p:log3b>log3a,q[>]则p是q

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【变式71]6.（2023上•江苏无锡・高一泰州中学校联考阶段练习）不等式/-x-2vln（x+2）-21nx的

解集为

♦类型2含参对数不等式

【例题72]（2023上•全国•高一专题练习）已知1呜汴1,那么a的取值范围是（）

A.（0,?U（l,+8）B.Q.l）C.（-8,1D.信+8）

【变式72]1.（2022上•北京海淀•高一校考阶段练习）已知log'<1,那么Q的取值范围是（）

A.（0，l）u（l，|）B.6+8）

c•（啕U信+句D.（0,1）U（|,+8）

【变式72J2.（2021上•内蒙古通辽•高二霍林郭勒市第一中学校考阶段练习茴。gad+1）>log.2a>0,

那么a的取值范围是（）

A.（O,1）B.（O,|）C.Q,1）D.（1,+QO）

2

【变式72]3（2022•全国高一课时练习廨关于x的不等式:loga（x+1）>loga（3-x）（a>0,且aH1）.

【变式72】4.(2022・全国•高一专题练习)解下列不等式：

(l)logx0.2<log3x_40.2；

⑵log(*_i)(/-1)>1；

♦类型3抽象不等式

考点1解析式已知

【例题73](2022•河南新乡•高一期末)已知函数/⑴=log2|x-l|,则不等式f(l—X”2的解集为

【变式73]1.(2022・全国•高一课时练习)设函数/(%)=lg(x2+1),则使得/(3%-2)>f(x-4)成立的x

的取值范围为()

A.(1,1)B.(一1,|)C.(一8,|)D.(-00,-1)u(|,4-00)

【变式73】2.(2023上•广西玉林•高一博白县中学校考阶段练习)已知函数f(x)=+lg|x|,则不等式

+D>/(2x-1)的解集为()

A.(0,2)B.(0,3u&3)C.(0,3)D.(0,0U&2)

【变式73】3(2023上广东深圳高一深圳外国语学校校考阶段练习股函数f(x)=|ln(VPTT-x)|+x2,

则关于x的不等式/'(%+1)>f(2x)的解集为()

A.(-8,1)B.(-l,+oo)C.(-1,l)D.

考点2解析式未知

【例题74](2023下•陕西榆林•高二校联考期中)已知/(、)是定义在R上的奇函数,且在区间[0,+8)上单调

递增，则不等式川。g2%)>/(D的解集为()

A.(0,1)B.(1,+oo)C.(0,2)D.(2,+8)

【变式74】1.(2022上•安徽阜阳•高三安徽省太和中学校考阶段练习)已知奇函数/(外在R上单调递增,

且/(I)=1，则关于%的不等式f(Inx)v/(-Inx)+2的解集为()

A.(0,1)B.(1,4-oo)C.(0,e)D.(e,+oo)

【变式74]2.(2023上•江苏徐州・高一统考期末)已知函数/•出是定义在R上的奇函数，当3>0时=

log2x,则f(x)>-2的解集是.

【变式74]3.(2023上•上海徐匚•高一上海市西南位育中学校考期末)已知函数f(x)是定义在R上的偶函

数，且在[0,+8)上是严格增函数,/(-I)=0,则不等式/(log产)<0的解集为

【变式74】4.(2023・高一课时练习)已知/•(%)是定义在R上的偶函数，且在[0,+8)上为增函数=0,

则不等式/(logix)>0的解集为

♦类型5与复合函数有关的不等式

【例题75](2023上•湖南长沙•高二雅礼中学校考阶段练习)若函数/(%)=贽，则丹/。)]>0

的解集为

【变式75】1.(2022•浙江大学附属中学高一期末)已知/(%)是在定义域(0,+8)上的单调函数，且对任意

xG(0,+8)都满足：/-(/-(%)-21og2x)=4,则满足不等式外幻-2<log2(3幻的x的取值范围是_______.

【变式75】2.2023上•四川成都♦高一四川省成都列五中学校考阶段练习股函数"1唯切的定义域为["],

且满足/(log2%)=岳，则不等式f((;)'-4)+/(2-Q)X)<0的解集是

【变式75]3.(2023上•陕西渭南•高三校考阶段练习)已知函数八均是定义在R上的偶函数，当x40时,

f(x)单调递减，则不等式f(logi(2x-5))>f(Iog38)的解集为

2

【变式75]4.(2023上•贵州六盘水•高一统考阶段练习)已知函数/(%)=loga(x+bx-l),其中a>0

且a羊1.

(1)若a>l,b=0,求不等式f(x+1)<f(x+4)的解集；

m+1m

(2)若vme口,+8)f/(2)>f(2+2),求b的取值范围.

题型8与对数函数的单调性有关的问题

♦类型1对数函数单调性的判断

【例题81](2020・全国•高一课时练习)函数/'(幻=log?”是()

A.(0,+8)上的增函数B.(0,+8)上的减函数

C.R上的增函数D.R上的减函数

【变式81】1.(2022・全国•高一课时练习)判断下列函数的单调性：

(1)y=log2x；

(2)y=log并；

5

(3)y=log7(2x+1);

(4)y=lg(3-2%).

【变式81]2.(2022・全国高二专题练习)判断及证明函数y=log(^).在定义域上的单调性.

•21—X

【变式81】3.(2020・上海•高一课时练习)求证：函数y=logflx(a>1)在区间(0,+8)上是增函数.

2

【变式81】4.(2019・湖南长沙市雅礼书院中学高一期中)已知/。)=log4(ax+2%+3)J(l)=1.

(1)求函数八乃的解析式及其定义域；

(2)求/(%)的单调区间.

【变式81]5.已知函数/(町=\ogax(a>0)且Q=1),作出y=|/(x)|的大致图像并写出它的单调性；

♦类型2对数函数的单调区间

【方法总结】求形如2的函数的单调区间的步骤

(〃求出函数的定义域.

⑵研究函数t和函数y=loSul在定义域上的单调性.

㈤判断出函数的增减性求出单调区间.

【例题82](2022下•浙江绍兴•高二校考学业考试)关于函数/(%)=log2(2x-：)的单调性的说法正确的

是()

A.在R上是增函数B.在R上是减函数

C.在区间(:，+8)上是增函数D.在区间(:，+8)上是减函数

44

【变式82]1.(2021・全国•高一专题练习)函数f(%)=ln(2-为的单调减区间为

【变式82]2.(2021・全国•高一课时练习)函数y=^(lnx-l)(x>0)的单调递增区间是_______.

【变式82】3.(2022・全国•高一课时练习)函数f㈤=logtx的单调递增区间是()

2

A.(0曰B.(0,1]C.(0,+oo)D.[1,+co)

【变式82]4.(2019上•湖南•高一校联考阶段练习)函数/•(%)=lo|x-2|的单调减区间为.

gl2

♦类型3复合函数的单调性

【例题83](2023上•江苏南通・高一海安高级中学校考阶段练习)已知函数/'(%)=log4r2+2%+3),贝U

2

/G)的单调减区间为

【变式83]1.(2022・全国•高一课时练习)的数y=ln(-x2+2幻的单调递增区间是________.

【变式83]2.(2023上诃北唐山•高三开滦第一中学校考阶段练习)若f(幻=3-1为奇函数,则g(x)=

ln[(x-l)(x-a)]的单调减区间是()

A.(0,1)B.(—oo,l)C.(|,+8)D.(2,+8)

2

【变式83J3.(2020上•安徽蚌埠•高一固镇县第一中学校考阶段练习)已知函数/⑴=loga(-x+ax-6)

(a>0,QH1).

(1)当a=7时，求函数的单调减区间(使用复合函数思想判断，不用定义判断)；

(2)若/(均存在单调递增区间，求Q的取值范围.

2

【变式83】4.(2020上•宁夏高三宁夏大学附属中学校考阶段练习)已知函数"X)=loga(-x+ax-

9)(a>0,aH1).

(1)当a=10时，求函数的单调减区间；

(2)若f(%)存在单调递增区间，求a的取值范围.

【例题84](2021・重庆市育才中学)已知/(%-2)=lnx-|,则/(%)的单调增区间为()

A.(-2,+oo)B.(-2,0)C.(0,+8)D.(0,2)

2

【变式84]1.(2022•江苏南通)设函数/(x)=-x+2x+8,g(x)=logax(0VaV1),则函数y=g(/O))

的减区间为()

A.B.(-2,1)C.(1,+8)D.(1,4)

【变式84]2.(2023上•湖南长沙高一长沙市第十五中学校联考阶段练习)若函数/⑶=3"，函数/(%)与

函数g(x)图象关于y=无对称,则g(4-/)的单调减区间是()

A.[-2,0)B.(-2,0]C.(0,2]D.[0,2)

♦类型4单调性求参数取值范围问题

【方法总结】

1.已知对数型函数的单调性求皴的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域

求解；若是分段函数，则