高中数学选择性必修第二册等（同步训练）

高中数学选择性必修第二册等（同步训练）

目录

《4.4数学探究活动了解高考选考科目的确定是否与性别有关》同步训练1

《第四章概率与统计》试卷........................................28

《4.4数学探究活动了解高考选考科目的确定是否与

性别有关》同步训练（答案在后面）

一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）

1、在研究“高考选考科目的确定是否与性别有关”的数学探究活动中，以卜哪项

不属于数据的收集方法？

A.对一定范围内的学生进行问卷调查

B.通过学校教务处获取学生的选考科目和性别数据

C.对学生进行一对一访谈

D.利用网络平台收集学生自我报告的选考科目和性别信息

2、在调查某高中高一年级学生选考科目时，随机抽取了100名学生，其中男生60

名，女生40名。调查结果显示，男生中选择物理的有35名，女生中选择物理的有15

名。以下关于这一调查结果的描述，正确的是:

A.高中男生选择物理的比例明显高于女生

B.高中女生选择物理的比例明显高于男生

C.高中男生和女生选择物理的比例大致相同

D.高中男生和女生选择物理的比例没有显著差异

3、某地区高中数学高考成绩调查中，随机抽取了200名学生，其中男生100名，

女生100名。调查结果显示，男生中数学成绩在90分以上的有30名，女生中数学成绩

在90分以上的有20名。若要探究数学成绩与性别是否有关，以下哪种统计方法最为合

适？（）

A.抽样调查法

B.概率法

C.列联表法

D.方差分析法

4、某高中在数学探究活动中，随机抽取了100名学生，其中男生60名，女生40

名。经调查得知，选择数学作为高考选考科目的男生有48名，女生有32名。以下关于

选择数学作为高考选考科目与性别关系的说法中，正确的是（）

A.选择数学作为高考选考科目的男生比例明显高于女生比例

B.选择数学作为高考选考科目的女生比例明显高于男生比例

C.选择数学作为高考选考科目的男生比例和女生比例基本相同

D.无法从现有数据中判断选择数学作为高考选考科目与性别之间的关系

5、在研究高考选考科目与性别关系的研究中，以下哪种方法最适宜用于收集数据？

()

A.问卷调查法

B.实验法

C.访谈法

D.档案法

6、某学校为了研究学生对数学的偏好与性别之间的关系，随机抽取了100名学生

进行调查，并统计了他们的性别和是否选择数学作为选考科目的情况。结果显示，男生

中有20人选择了数学，女生中有30人选择了数学。根据这些数据，下列哪个选项最有

可能正确描述了学生对数学选择与性别的关系？

A.男生比女生更倾向于选择数学作为选考科目。

B.女生比男生更倾向于选择数学作为选考科目。

C.男生和女生选择数学的比例相同。

D.根据现有数据无法判断性别与选择数学的关系。

7、在调查某高中高一年级学生的选考科目时，随机抽取了100名学生，其中男生

60名，女生40名。结果发现，男生中有40人选考物理，20人选考化学；女生中有20

人选考物理，20人选考化学。以下哪个选项表明选考科目与性别有关？

A.男生选考物理的比例高于女生

B.女生选考化学的比例高于男生

C.男生选考化学的比例高于女生

D.男生和女生选考物理和化学的比例相同

8、在调查某地区高中生的选考科目时，随机抽取了100名学生，其中男生60名，

女生40名。统计结果显示，男生中选考数学的有50名，女生中选考数学的有30名。

以下关于这一调查结果的描述，正确的是（）

A.男生选考数学的比例高于女生

D.社会就业趋势

E.学生性别

三、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

第一题：

某高中为了了解该校学生在高考选考科目上的性别差异，随机抽取了100名学生进

行调查，统计结果显示，男生中选择物理的学生有30人，女生中选择物理的学生有20

人；男生中选择历史的男生有10人，女生中选择历史的女生有15人。请根据以上数据，

计算以下问题：

（1）该校学生中选择物理的学生比例是多少？

（2）该校学生中选择历史的学生比例是多少？

（3）该校学生中选择物理且是女生的比例是多少？

第二题

题目描述

某高中为了研究性别对高考选考科目选择的影响，随机抽取了100名学生进行调查,

并得到了以下数据：

•性别与选考科目统计表:

性别物理化学生物合计

男生35151060

女生20251560

合计554025120

根据上述数据，可以计算出男生和女生在物理、化学、生物这三门科目中选择的频

率（例如：男生选择物理的概率）。

计算题

问题1:计算男生选择物理科目的概率。

问题2:计算女生选择化学科目的概率。

问题3:比较男生和女生在选择化学科目的概率，分析其差异是否具有统计学意义

（假设显著性水平a=0.05）。

第三题

在某次高考前的模拟考试中，为了研究学生是否选择“物理、化学、生物”（简称

“物化生”）作为高考选考科目是否与性别有关，研究人员从参加此次模拟考试的学生

中随机抽取了500名学生进行调查，并将这些学生按性别分组，具体数据如下：

性别物理（A）化学（B）生物（C）合计

男生1208090290

女生7060110240

合11190140200530

假设选择“物化生”作为高考选考科目的概率为（0），且已知男生选择“物化生”

的概率为（4），女生选择“物化生”的概率为（外）。

1.计算（4）和®）的值。

2.根据上述数据，能否判断“选择'物化生'的高考选考科目与性别之间存在显著

关联”？请给出你的理由。

四、解答题（第1题13分，第2、3题15,第4、5题17分，总分：

77）

第一题：

研究某地区高中学生的数学成绩，随机抽取了100名学生的数据，其中男生60人,

女生40人。统计结果显示，男生的平均数学成绩为85分，女生平均数学成绩为75分。

假设成绩服从正态分布，且男生和女生成绩的方差相等。请根据以上信息，回答以下问

题：

（1）请构建假设检验模型，以检验该地区高中男生的数学成绩是否显著高于女生。

（2）计算检验统计量，并给出计算过程。

（3）假设显著性水平Q=0.05,根据检验统计量确定接受或拒绝原假设。

第二题

在某次高考改革中，为了研究考生选择性必修科目中的物理、化学、生物三门科目

与性别之间的关系，随机抽取了1000名学生进行调查，并得到了以下数据：

•男生中有50人选择了物理、30人选择了化学、20人选择了生物；

•女生中有30人选择了物理、50人选择了化学、40人选择了生物。

根据上述数据，请回答以下问题：

3.计算男生选择物理的概率；

4.计算女生选择化学的概率；

5.根据以上数据，能否认为选择性必修科目的选择与性别之间存在关联？请用适当

的方法说明理由。

第三题：

某高中为了了解选考科目与性别的关系，随机抽取了100名学生，记录了他们的性

别和选考科目（数学、物理、化学、生物、历史、地理）。数据如下表所示:

选考科目男生人数女生人数

数学3020

物理2515

化学2025

生物1020

历史1530

地理510

假设男生和女生选考科目的选择是独立的，请根据上述数据，使用卡方检验来判断

选考科目与性别之间是否存在显著的相关性。

（1）计算卡方检验的统计量X2。

（2）假设显著性水平。=0.05,根据自由度和显著性水平查表得到临界值，判断是

否拒绝原假设。

第四题

某学校为了研究高考选考科目（物理、化学、生物、政治、历史、地理）的选择是

否与性别有关，随机调查了100名学生，统计了他们的性别和所选的科目情况如下：

高考选考科目物理化学生物政治历史地理

男生25151c）535

女生202020101010

能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为高考选考科目与性别有关？

第五题：

已知某高中一年级有300名学生，其中男生180名，女生120名。该校在数学、物

理、化学、生物四门科目中，要求学生选择其中两门作为选修科目。现从学生中随机抽

取100名学生，记录他们的性别和所选的两门科目。

请根据以下数据回答问题：

性别：

•男生：60名

•女生：40名

所选科目组合及人数（性别分开统计）：

•数学+物理：男生30名，女生20名

•数学+化学：男生25名，女生15名

•数学+生物：男生10名，女生10名

•物理+化学：男生20名，女生10名

•物理+生物：男生15名，女生5名

•化学+生物：男生10名，女生10名

6.请“算男生和女生选择数学作为第一门选修科目的比例。

7.请分析男生和女生在选择物理作为第一门选修科目时是否存在性别差异。

《4・4数学探究活动了解高考选考科目的确定是否与

性别有关》同步训练及答案解析

一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）

1、在研究“高考选考科目的确定是否与性别有关”的数学探究活动中，以下哪项

不属于数据的收集方法?

A.对一定范围内的学生进行问卷调查

B.通过学校教务处获取学生的选考科目和性别数据

C.对学生进行一对一访谈

D.利用网络平台收集学生自我报告的选考科目和性别信息

答案：C

解析：本题考查数据的收集方法。A、B、D选项均属于收集数据的合理方法，可以

通过问卷调查、学校教务处数据或网络平台等方式获取数据。而C选项的“一对一访谈”

通常用于深入了解某些特定问题，不适合大规模收集数据，因此不属于此探究活动中的

数据收集方法。

2、在调查某高中高一年级学生选考科目时，随机抽取了100名学生，其中男生60

名，女生40名。调查结果显示，男生中选择物理的有35名，女生中选择物理的有15

名。以下关于这一调查结果的描述，正确的是：

A.高中男生选择物理的比例明显高于女生

B.高中女生选择物理的比例明显高于男生

C.高中男生和女生选择物理的比例大致相同

D.高中男生和女生选择物理的比例没有显著差异

答案：A

解析：从题目给出的数据可以看出，男生中选择物理的有35名，占总男生人数的

35/60=0.5833,即58.33%；女生中选择物理的有15名，占总女生人数的15/40=0.375,

即37.5机因此，高中男生选择物理的比例明显高于女生，选项A正确。选项B、C和D

与实际情况不符。

3、某地区高中数学高考成绩调查中，随机抽取了200名学生，其中男生100名，

女生100名。调查结果显示，男生中数学成绩在90分以上的有30名，女生中数学成绩

在90分以上的有20名。若要探究数学成绩与性别是否有关，以下哪种统计方法最为合

适？（）

A.抽样调查法

B.概率法

C.列联表法

D.方差分析法

答案：C

解析：本题需要探究数学成绩与性别是否有关，列联表法可以用来分析两个分类变

量之间的关系，通过构建列联表，观察数学成绩与性别之间的交叉频率，从而判断两者

之间是否存在关联。抽样调查法用于获取样本数据，概率法用于计算事件发生的概率，

方差分析法用于比较多个样本的均值差异。因此，C选项列联表法最为合适。

4、某高中在数学探究活动中，随机抽取了100名学生，其中男生60名，女生40

名。经调查得知，选择数学作为高考选考科目的男生有48名，女生有32名。以下关于

选择数学作为高考选考科目与性别关系的说法中，正确的是（）

A.选择数学作为高考选考科目的男生比例明显高于女生比例

B.选择数学作为高考选考科目的女生比例明显高于男生比例

C.选择数学作为高考选考科目的男生比例和女生比例基本相同

D.无法从现有数据中判断选择数学作为高考选考科目与性别之间的关系

答案：A

解析：根据题目数据，选择数学作为高考选考科目的男生比例为48/60=0.8,女生

比例为32/40=0.8,即男生和女生选择数学作为高考选考科目的比例相同。但男生人数

多于女生，所以选择数学作为高考选考科目的男生比例明显高于女生比例。因此，选项

A正确。

5、在研究高考选考科目与性别关系的研究中，以下哪种方法最适宜用于收集数据？

()

A.问卷调查法

B.实验法

C.访谈法

D.档案法

答案：A

解析：在研究高考选考科目与性别关系时，问卷调查法最适宜用于收集数据。问卷

调查法可以方便地收集大量样本的信息，且操作简便，成本较低，适合于大规模的调查

研究。实验法、访谈法和档案法在此类研究中的应用相对较少。

6、某学校为了研究学生对数学的偏好与性别之间的关系，随机抽取了100名学生

进行调查，并统计了他们的性别和是否选择数学作为选考科目的情况。结果显示，男生

中有20人选择了数学，女生中有30人选择了数学。根据这些数据，下列哪个选项最有

可能正确描述了学生对数学选择与性别的关系？

A.男生比女生更倾向于选择数学作为选考科目。

B.女生比男生更倾向于选择数学作为选考科目。

C.男生和女生选择数学的比例相同。

D.根据现有数据无法判断性别与选择数学的关系。

答案：D

解析：根据题目提供的信息，我们只能知道男生中选择数学的人数为20人，女生

中选择数学的人数为30人，总共选择了数学的学生有50人。然而，没有给出总样本中

的男女人数比例，因此我们不能直接得出男生或女生整体上对数学选择的偏好程度。所

以，根据现有数据，我们无法判断性别与选择数学之间的具体关系。

7-.在调查某高中高一年级学生的选考科目时，随机抽取了100名学生，其中男生

60名，女生40名。结果发现，男生中有40人选考物理，20人选考化学；女生中有20

人选考物理，20人选考化学。以下哪个选项表明选考科目与性别有关？

A.男生选考物理的比例高于女生

B.女生选考化学的比例高于男生

C.男生选考化学的比例高于女生

D.男生和女生选考物理和化学的比例相同

答案：A

解析：通过计算男生和女生选考物理和化学的比例，我们可以发现男生选考物理的

比例(40/60-2/3)高于女生选考物理的比例(20/40-l/2)o因此，选考科目与性别有

关，选项A正确。其他选项通过计算比例可以得出不符合题意的结论。

8、在调查某地区高中生的选考科目时，随机抽取了100名学生，其中男生60名，

女生40名。统计结果显示，男生中选考数学的有50名，女生中选考数学的有30名。

以下关于这一调查结果的描述，正确的是()

A.男生选考数学的比例高于女生

B.女生选考数学的比例高于男生

C.男生和女生选考数学的比例相同

D.无法判断男生和女生选考数学的比例

答案：A

解析：男生选考数学的比例为50/60=5/6,女生选考数学的比例为30/40=3/4。将

两个比例转换为小数，男生为5/620.833,女生为3/4=0.75。比较两个比例，男生选

考数学的比例高于女生，因此选项A正确。

二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）

1、以下哪些因素可能影响高考选考科目的确定与性别的关系？（）

A.学生个人兴趣

B.学校教育资源分配

C.社会性别角色期望

D.家长期望

E.学生学业成绩

答案：ABCD

解析•：本题考查影响高考选考科•目确定与性别关系的因素。根据题目要求，需要从

给出的选项中选择所有可能影响的因素。A选项“学生个人兴趣”可能影响学生选择选

考科目，B选项“学校教育资源分配”可能影响学生接触到不同科目的机会，C选项“社

会性别角色期望”可能影响学生和家长对选考科目的选择，D选项“家长期望”也可能

影响学生的选考科目选择。向E选项“学生学业成绩”虽然可能影响学生的选考科目选

择，但与性别关系无直接关联，故排除。因此，正确答案为ABCD。

2、在“了解高考选考科目的确定是否与性别有关”的数学探究活动中，以下哪些

因素可能影响学生选择选考科目的决定？

A.学生的性别

B.家长的意愿

C.学校的教育资源

D.学生对科目的兴趣

E.社会就业前景

答案：ACDE

解析：本题旨在探究性别是否会影响学生选择选考科目的决定。选项A,学生的性

别是探究的核心因素；选项C,学校的教育资源可能会影响学生对某些科目的选择；选

项D,学生对科目的兴趣是一个重要的个人因素，可能影响选考科目的选择；选项E,

社会就业前景可能会影响学生对未来职业发展的考虑，从而影响选考科目的选择。而选

项B,家长的意愿虽然可能对学生有影响，但并不直接关联到性别因素，因此天选。

3、以下哪些因素可能对高考选考科目的确定有影响？（）

A.学生个人兴趣

B.学校教育资源

C.家长意愿

D.社会就业趋势

E.学生性别

答案：ABCD

解析：本题考查的是影响高考选考科目确定的因素。学生个人兴趣、学校教育资源、

家长意愿以及社会就业趋势都是可能影响学生选择高考选考科目的因素。而性别因素虽

然在实际中可能存在一定影响，但并非决定性因素，故不选E。

三、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

第一题：

某高中为了了解该校学生在高考选考科目上的性别差异，随机抽取了100名学生进

行调查，统计结果显示，男生中选择物理的学生有30人，女生中选择物理的学生有20

人；男生中选择历史的男生有10人，女生中选择历史的女生有15人。请根据以上数据,

计算以下问题：

（1）该校学生中选择物理的学生比例是多少？

（2）该校学生中选择历史的学生比例是多少？

（3）该校学生中选择物理且是女生的比例是多少？

答案：

（1）选择物理的学生总数为30（男生）+20（女生）=50人。

该校学生中选择物理的学生比例为50/100=0.5,即50%。

（2）选择历史的学生总数为10（男生）+15（女生）=25人。

该校学生中选择历史的学生比例为25/100=0.25,即25%。

（3）选择物理且是女生的学生总数为20人。

该校学生中选择物理且是女生的比例为20/100=0.2,即20机

解析：

（1）首先计算出选择物理的学生总数，然后除以总学生数得到比例。

（2）同理，计算出选择历史的学生总数，然后除以总学生数得到比例。

（3）直接从数据中找出选择物理且是女生的学生数，然后除以总学生数得到比例。

第二题

题目描述

某高中为了研究性别对高考选考科目选择的影响，随机抽取了100名学生进行调查,

并得到了以下数据：

•性别与选考科目统计表:

性别物理化学生物合计

男生35151060

女生20251560

合计554025120

根据上述数据，可以计算出男生和女生在物理、化学、生物这三门科目中选择的频

率（例如：男生选择物理的概率）。

计算题

问题1:计算男生选择物理科目的概率。

问题2:计算女生选择化学科目的概率。

问题3:比较男生和女生在选择化学科目的概率，分析其差异是否具有统计学意义

（假设显著性水平a-0.05）o

答案

问题1：

男生选择物理科目的概率为g=£）或约0.5833。

问题2:

女生选择化学科目的概率为（附二3或约0.4167。

问题3:

为了判断男生和女生在选择化学科目的概率是否有显著差异，我们可以通过卡方检

验来解决这个问题。首先，我们需要构造一个期望频数矩阵。

期望频数矩阵如下:

性别物理化学生物合计

男生隔横、6。(40值3噎x6060

[Ei2--60

=29.17\=20)=11.75)

女生(E--x60(40(3=备6060

V21-12060&=痂*6。

=29.17、)=20)=11,75)

合计554025120

计算卡方值：

I

将各单元格的观测频数（0。和期望频数（历）代入公式计算:

X2=(3629.17)2+&斡2»+(5.劭2十(一封2十(_/.7力][乂2_33.3889+

29.17--20--11.75.~29.172011.75\~29.17

S+7F^1[x2=1.1606+1.25+0.2604\[x2=2.671]

查卡方分布表，自由度（"=（次数-1）X（列教-1）二/义2二学，当显著性水平

（。二。.公）时，（、工）的临界值约为5.991o

因为（>2=2.67/<5.9勿），所以没有足够的证据拒绝原假设，即男生和女生在选

择化学科目的概率没有显著差异。

第三题

在某次高考前的模拟考试中，为了研究学生是否选择“物理、化学、生物”（简称

“物化生”）作为高考选考科目是否与性别有关，研究人员从参加此次模拟考试的学生

中随机抽取了500名学生进行调查，并将这些学生按性别分组，具体数据如下：

性别物理（A）化学（B）生物（C）合计

性别物理(A)化学(B)生物(C)合计

男生1208090290

女生7060110240

合计190140200530

假设选择“物化生”作为高考选考科目的概率为3),且已知男生选择“物化生”

的概率为(外)，女生选择“物化生”的概率为(4)。

8.计算(外)和(4)的值。

9.根据上述数据，能否判断“选择'物化生'的高考选考科目与性别之间存在显著

关联”？请给出你的理由。

答案：

10.计算3)和必)的值

•对于男生，选择“物化生”的概率(Pm)可以通过男生中选择“物化生”的人数除

以男生总数来计算：

_120_12

外二两二为

•对于女生，选择“物化生”的概率(Pw)可以通过女生中选择“物化生”的人数除

以女生总数来计算：

•_70_7-

『小砺二匹

2.判断“选择'物化生'的高考选考科目与性别之间是否存在显著关联”

为判断两变量间是否存在显著关联，我们可以使用卡方检验(Chi-SquareTest)。

首先,构建一个(2X0列联表，然后根据公式计算卡方值。

性别物理(A)化学(B)生物(C)合计

性别物理（A）化学（B）生物（C）合计

男生1208090290

女生7060110240

合计190140200530

计算每个格子的期望频数（ExpectedFrequency）,公式为:

.行合计,.x列合计;

E-=-----------------

“总样本数

比如男生选择“物化生”的期望频数（为/）为:

290X190290X190

530

继续计算其他期望频数后,可以得到整个表格的期望频数如下:

性别物理（A）化学（B）生物（C）合计

男生95.5485.46109.02290

女生94.4654.5490.98240

合计190140200530

然后计算每个格子的卡方值，公式为:

.二・厂％)

Eij

其中（0Q是实际观测频数，（功力是期望频数。计算卡方值后，需要查表确认其对

应的P值。通常，如果计算出的卡方值大于自由度为（行数-1）*（列数T）的临界值,

则拒绝原假设，认为变量之间存在显著关联。

由于上述计算过程较为繁琐，实际应用中一般会借助统计软件或计算器进行精确计

算。这里假设已经通过计算得出卡方值为（叼，并且经过查表得到相应的P值。

若P值小于显著性水平（例如0.05）,则可以认为选择“物化生”的高考选考科目

与性别之间存在显著关联；否则，认为没有显著关联。

本题由于没有具体数值，无法给出精确的卡方值和P值，但理论上，根据提供的数

据，可以进行类似的计算步骤来判断两者之间的关联性。

四、解答题（第1题13分，第2、3题15,第4、5题17分，总分：

77）

第一题：

研究某地区高中学生的数学成绩，随机抽取了100名学生的数据，其中男生60人,

女生40人。统计结果显示，男生的平均数学成绩为85分，女生平均数学成绩为75分。

假设成绩服从正态分布，旦男生和女生成绩的方差相等。请根据以上信息，回答以下问

题：

（1）请构建假设检验模型，以检验该地区高中男生的数学成绩是否显著高于女生。

（2）计算检验统计量，并给出计算过程。

（3）假设显著性水平。=0.05,根据检验统计量确定接受或拒绝原假设。

答案：

（1）假设检验模型如下：

•原假设（H0）：男生=女生

•备择假设（H1）：口_男生）、女生

其中，口一男生表示男生数学成绩的总体均值，女生表示女生数学成绩的总体

均值。

（2）检验统计量的计算过程:

•样本均值：u_男生样本=85,u_女生样本=75

•样本标准差：s_男生样本=V（S（x_i-男生样本）2/（n_男生-D）,

s_女生样本=V；S（x_i-女生样本）2/（n_女生-1））

•样本数量：n_男生=60,n_女生=40

•由于方差相等，可以使用合并样木标准差公式：

s_合并=V［（s_男生样本2*n_男生+s_女生样本2*n_女生）/（n_男

生+n_女生）］

•t统计量计算公式：

t=（u_男生样本-u_女生样本）/（s_合并*V（l/n_男生+l/n_女生））

•将具体数值代入计算得到检验统计量t的值。

（3）根据计算得到的检验统计量t的值，查t分布表，以自由度df二n_男生

+n_女生-2（本题中df=98）和显著性水平a=0.05,找到相应的临界值t_a。

如果计算得到的t统计量大于临界值t_a,则拒绝原假设，认为男生的数学成绩

显著高于女生；否则，不拒绝原假设，认为男生的数学成绩没有显著高于女生。由于具

体数值未给出，无法直接计算和给出t统计量的具体值和临界值。

第二题

在某次高考改革中，为了研究考生选择性必修科目中的物理、化学、生物三门科目

与性别之间的关系，随机抽取了1000名学生进行调查，并得到了以下数据：

•男生中有50人选择了物理、30人选择了化学、20人选择了生物；

•女生中有30人选择了物理、50人选择了化学、40人选择了生物。

根据上述数据，请回答以下问题：

11.计算男生选择物理的概率;

12.计算女生选择化学的概率；

13.根据以上数据，能否认为选择性必修科目的选择与性别之间存在关联？请用适当

的方法说明理由。

答案：

14.计算男生选择物理的概率：

男生中选择物理的人数为50人，总人数为男生人数之和，即50+30+20二100人。因

此，男生选择物理的概率为：

男生选择物理的人数50

《选择物理I男生）二—0.5

男生总人数100

3.计算女生选择化学的概率:

女生中选择化学的人数为50人，总人数为女生人数之和，即30+50+40=120人。因

此，女生选择化学的概率为：

女生选择化差的人数二之二巨-。0

《选择化学I女生）

女生总人数12012

3.根据以上数据，能否认为选择性必修科目的选择与性别之间存在关联?

为了判断选择性必修科目的选择与性别之间是否存在关联，我们可以使用卡方检验

（X?检验）来分析。首先，我们需要构建一个2义3的列联表:

物理化学生物总计

男生503020100

女生305040120

总计808060220

然后，我们计算每个单元格的期望频数。期望频数可以通过公式（£%=

行总计,X列总计J

计算得到。具体地:

~总样本数—

•对于男生选择物理（50人），其期望频数为:

100X80_8000

-220"~220=36.36

•对于男生选择化学（30人），其期望频数为:

/00X80_8000

E12=%36.36

~~220~220

•对于男生选择生物（20人），其期望频数为:

100X606000

~220=~220%27,2

•对于女生选择物理（30人），其期望频数为:

120X809600

43.64

J220220

•对于女生选择化学（50人），其期望频数为:

120X80_9600

43.64\

220~~220

•对于女生选择生物（40人），其期望频数为:

120X60_7200…

一~220~220^32.73

接下来，我们计算卡方统计量（乂2）：

i=l户/

代入各个单元格的观测频数(%)和期望频数(%)，得到：

222

[2-(50-36.36)2(30-36.:粉2{20-27.27)130-43.64){50-43.64)(40-32.7叫r.

L36.3636.3627.2743.6443.6432.73\L

1.11+1.77+1.99+3.69+2.47+2.47\[x2^13.80

查卡方分布表，自由度为(2T)X(3-1)=2,对应显著性水平为0.05时的临界值约

为5.991。由于我们的x2值大于临界值5.991,因此在显著性水平为0.05的情况下,

可以认为选择性必修科目的选择与性别之间存在关联。

解析：

通过计算期望频数并应用卡方检验，我们发现X2值为13.86,远大于临界值5.991。

这表明选择性必修科目的选择与性别之间存在显著关联。

第三题：

某高中为了了解选考科目与性别的关系，随机抽取了100名学生，记录了他们的性

别和选考科目(数学、物理、化学、生物、历史、地理)。数据如下表所示：

选考科目男生人数女生人数

数学3020

物理2515

化学2025

生物1020

历史1530

地理510

假设男生和女生选考科目的选择是独立的，请根据上述数据，使用卡方检验来判断

选考科目与性别之间是否存在显著的相关性。

(1)计算卡方检验的统计量X2。

(2)假设显著性水平a=0.05,根据自由度和显著性水平查表得到临界值，判断是

否拒绝原假设。

答案:

（1）卡方检验统计量X2的计算公式为:

2「名）［

X

其中，0_i为观察频数，E_i为期望频数。

首先，我们需要计算每个单元格的期望频数E_i,公式为:

'_（沅京数）X（列总黔

1总样本数

计算期望频数：

•数学：［伤尸毁詈=2Z5

•物理：同=吟泮=匈

•化学：卜3二券迎二名同

•生物：［%=强泮=网

.历史：|心=臂=2。］

•地理：际=吟泮=可

然后，计算每个单元格的卡方值：

•数学：［写:*0./幽

•物理：［殁艺二〃7n

•化学：咋!誓=0.555熊

•生物：忤浮=。］

•历史：喏艺=〃.625］

•地理：［号-二。

求和得到卡方检验统计量：

\x2=0.1818+0.75+0.5556+0+0.625+0=2.117\

(2)自由度df为(行数T)X(列数-1)=(2-1)X(6-1)=5o

查表得到显著性水平a=0.05时的临界值x2（5,0.05）约为11.070。

因为计算得到的乂2=2.117小于临界值11.070,所以我们不能拒绝原假设，即没有

足够的证据表明选考科目与性别之间存在显著的相关性。

第四题

某学校为了研究高考选考科目（物理、化学、生物、政治、历史、地理）的选择是

否与性别有关，随机调查了100名学生，统计了他们的性别和所选的科目情况如下：

高考选考科目物理化学生物政治历史地理

男生251510535

女生202020101010

能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为高考选考科目与性别有关？

答案：

通过计算得到的卡方值为（N=12.%）,查表得临界值（J,。0广6.635）,因为（一＞

Q-U.UiJ所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为高考选考科目与性别有关。

解析：

首先，我们需要明确这是•个关于独立性的检验问题，使用卡方检验来判断变量之

间是否存在显著的相关性。给定的数据是2X6的列联表，其中行变量是“性别”（分为

男生和女生），列变量是“高考选考科目”。

卡方检验的步骤如下：

15.建立原假设和备择假设:

一（帅:高考选考科目与性别无关。

-W）：高考选考科目与性别有关。

4.计算期望频数：

对于每个单元格，其期望频数计算公式为：

'_（行总和）X1列总和、

Ej--------------------------------------------

J总样本数

根据题目中提供的数据，我们计算出各个单元格的期望频数。

4.计算卡方值：

卡方检验的统计量公式为：

卜££中

i=lj=lJ

其中（。工/）是实际频数，（%）是期望频数。

4.确定临界值并做出决策：

通过查卡方分布表，找到自由度为（"二（行数一乂（列数-i）=.9的卡方分布临

界值。根据题目中的显著水平”0.01,查表得到临界值（82〃〃「6.634

5.比较卡方值与临界值：

如果计算得到的卡方值大于临界值，则拒绝原假设，即认为变量之间存在显著相关

性；否则，不拒绝原假设。

接下来，我们计算期望频数并进行卡方检验的具体步骤：

16.计算各单元格的期望频数：

以“物理”科目为例，男生的实际频数为25,女生的实际频数为20,总样本数为

100o期望频数计算如下:

(2介/*/0岳*5)X100_OJ[_(2多15+/加93+5)X100=20[E=

Too1[12TooJ3

(2升/*/口分*协=20卜=(2及1扭及夕5jX100=20忸=(2*/5/D5*5)X/O0

(2*/5+/」*3+5)x/。

100

同理可得其他单元格的期望频数。

5.计算卡方值：

将实际频数与期望频数代入卡方检验的公式中，计算得到卡方值为12.96o

5.比较卡方值与临界值：

查卡方分布表，自由度为5时，临界值为6.635,而计算得到的卡方值为：2.96,

显然大于6.635。

因此，我们拒绝原假设（砌，即能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为高考

选考科目与性别有关。

第五题：

已知某高中一年级有300名学生，其中男生180名，女生120名。该校在数学、物

理、化学、生物四门科目中，要求学生选择其中两门作为选修科目。现从学生中随机抽

取100名学生，记录他们的性别和所选的两门科目。

请根据以下数据回答问题：

性别：

•男生：60名

•女生：40名

所选科目组合及人数（性别分开统计）：

•数学+物理：男生30名，女生20名

•数学+化学：男生25名，女生15名

•数学+生物：男生10名，女生10名

•物理+化学：男生20名，女生10名

•物理+生物：男生15名，女生5名

•化学+生物：男生10名，女生10名

17.请计算男生和女生选择数学作为第一门选修科目的比例。

18.请分析男生和女生在选择物理作为第一门选修科目时是否存在性别差异。

答案：

19.男生选择数学作为第一门选修科目的比例计算如下：

男生选择数学的总人数:数学+物理的男生人数+数学+化学的男生人数+数学

+生物的男生人数

=30+25+10

=65

男生选择数学的比例=男生选择数学的总人数/男生总人数

-65/180

=0.3611

236.11%

女生选择数学作为第一门选修科目的比例计算如下：

女生选择数学的总人数=数学+物理的女生人数+数学+化学的女生人数+数学

+生物的女生人数

=20+15+10

=45

女生选择数学的比例二女生选择数学的总人数/女生总人数

=45/120

=0.375

二37.5%

6.分析男生和女生选择物理作为第一门选修科目时是否存在性别差异：

男生选择物理的总人数=物理+化学的男生人数+物理+生物的男生人数

=20+15

=35

女生选择物理的总人数二物理+化学的女生人数+物理+生物的女生人数

=10+5

=15

男生选择物理的比例二男生选择物理的总人数/男生总人数

=35/180

Q0.1944

〜19.44%

女生选择物理的比例二女生选择物理的总人数/女生总人数

=15/120

=0.125

=12.5%

从比例上看，女生选择物理的比例明显低于男生，说明在选择物理作为第一门选修

科目时，存在性别差异，男生选择物理的比例更高。

解析：

本题主要考察对概率和比例的计算以及对数据进行分析的能力。首先通过简单的加

法计算出选择数学作为第一门选修科目的男生和女生的总人数，然后分别除以男生和女

生的总人数得到比例。接着，通过比较男生和女生选搭物理作为第一门选修科目的比例,

可以判断是否存在性别差异。在本例中，通过计算和分析，我们可以得出男生选择物理

的比例高于女生，存在性别差异的结论。

《第四章概率与统计》试卷（答案在后面）

一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）

1、某班级有50名学生，其中30人喜欢篮球，20人喜欢足球，5人既喜欢篮球又

喜欢足球。那么这个班级中至少喜欢一项运动的学生比例是多少？

A.60%B.70%C.80%D.90%

2、在掷一枚均匀的正方体骰子的实验中，事件A为“出现点数大于3”，事件B为

“出现点数小于4”。则下列说法正确的是（）

A.事件A和事件B互斥

B.事件A和事件B互为对立事件

C.事件A和事件B不可能同时发生

D.事件A和事件B一定同时发生

3、一个袋子里有5个红球和3个蓝球，不放回地依次抽取两个球，求第一次抽到

红球且第二次抽到蓝球的概率。

,3

2

4、某班50名学生参加数学竞赛，成绩分布如下:

成绩区间人数

90-1008

80~8915

70-7918

60~699

60以下0

(1)求该班数学竞赛成绩的众数是多少？

A.70分

B.80分

C.90分

D.85分

5、在掷一枚均匀的正六面骰子的实验中，事件”出现偶数点数”的概率是多少？

A.1/6

B.1/3

C.1/2

D.2/3

6、一个盒子中有5个红球和3个蓝球，从中随机抽取两个球，至少有一个红球的

概率是：

A.2/7

B.5/8

C.3/7

D.4/7

7、从一副52张的标准扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是多少？

A.1/2

B.1/4

C.1/26

D.1/13

8、甲、乙两人独立地解同一道题，已知甲能正确解答的概率为0.8,乙能正确解

答的概率为0.7,那么这道题至少有一人能正确解答的概率是：

A.0.94

B.0.96

C.0.98

D.0.92

二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）

1、（多选题）某班50名学生参加数学竞赛，成绩分布如下表所示：

成绩区间人数

0-60分10人

60-70分15人

70-80分20人

成绩区间人数

80-90分5A

90-100分0人

若随机抽取一名学生，则这名学生的成绩在70-90分之间的概率是多少？

A.1/2

B.3/5

C.2/5

D.1/10

2、已知某班50名学生参加数学竞赛，成绩分布如下表所示：

成绩区间人数

60-7010

70-8020

80-9015

90-1005

（1）求该班数学竞赛成绩的众数；

（2）求该班数学竞赛成绩的中位数；

（3）求该班数学竞赛成绩的平均数。

A.（1）众数二80分；（2）中位数二78分；（3）平均数二79分

B.（1）众数二80分；（2）中位数=78分；（3）平均数二80分

C.（1）众数=70分；（2）中位数=77分；（3）平均数=78分

D.（1）众数=70分；（2）中位数=77分；（3）平均数=79分

3、在一组数据中，随机抽取5个数进行分析。若已知这5个数的平均值为12,标

准差为3,则下列哪个选项描述了这组数据的变异情况？

A.数据点之间的差异较小，几乎完全一致。

B.数据点之间有较大的差异。

C.数据点之间的差异适中。

D.根据现有信息无法判断数据的变异情况。

三、计算题(本大题有3小题，每小题5分，共15分)

第一题：

某商店为促销，开展了一个抽奖活动。活动规则如下：顾客购买满100元商品即可

获得一次抽奖机会，抽奖箱中有5个红球，10个蓝球，15个白球。顾客抽奖时，从箱

中随机抽取一个球，然后放回，再抽取一个球。请问：

(1)顾客连续抽取两次，至少抽取到一个红球的概率是多少？

(2)顾客连续抽取两次，抽取到两个同色球的概率是多少？

第二题

在一个盒子中有10个球，其中3个红球、4个蓝球和3个绿球。从这10个球中随

机抽取两个球。

(1)求这两个球都是红球的概率；

(2)求这两个球颜色不同的概率。

第三题

某公司为了了解员工对新政策的接受度，随机抽取了100名员工进行调查，并记录

了他们的年龄分布如下：

年龄段（岁）18-2526-3536-4546-5556岁以上

年龄段（岁）18-2526-3536-4546-5556岁以上

人数103040155

从这100名员工中随机选取一名员工，设事件A为“被选中的员工年龄在18-25

岁之间”，事件B为“被选中的员工年龄在36-45岁之间”。

求P(A)和P(B),并计算P(AUB)和P(ACB)。

四、解答题(第1题13分，第2、3题15,第4、5题17分，总分:

77)

第一题:

某学校为了了解学生参加课外活动的兴趣，