核心素养测评(第一章第节集合)

核心素养测评(时间:45分钟分值:80分)【基础过关练】一、单选题1.(5分)已知A={x|x2-ax+1≤0},若2∈A,且3∉A,则a的取值范围是()A.[52,103) B.(52C.[52,+∞) D.(-∞,10【解析】选A.由题意得4-2a+1≤0且9-3a+1>0,解得52≤a<102.(5分)(2025·滨州模拟)已知集合A={x∈Z|x2-2x≤0},则A的子集个数为()A.4 B.7 C.8 D.16【解析】选C.由题意可得:A={x∈Z|x2-2x≤0}={x∈Z|0≤x≤2}={0,1,2},可知A有3个元素,所以A的子集个数为23=8.3.(5分)(2025·阳泉模拟)设集合P={y|y=ex+1},M={x|y=log2(x-2)},则集合M与集合P的关系是()A.M=P B.P∈MC.M⊆P D.P⊆M【解析】选C.函数y=ex+1的值域为(1,+∞),函数y=log2(x-2)的定义域为(2,+∞),即P=(1,+∞),M=(2,+∞),所以有M⊆P.4.(5分)已知集合U={-2,-1,0,1,2},M={-2,2},N={x|-1≤x≤1,x∈N},则(∁UM)∩N=()A.{-1,0,1} B.[-1,1]C.{0,1} D.[0,1]【解析】选C.因为集合U={-2,-1,0,1,2},M={-2,2},所以∁UM={-1,0,1},又N={x|-1≤x≤1,x∈N}={0,1},所以(∁UM)∩N={0,1}.5.(5分)已知集合A={x|x-2x+2≤0},B={x|x2-3x<0},则A∪BA.{x|x≤2或x≥3} B.{x|-2<x<3}C.{x|0<x≤2} D.{x|x≤-2或x≥3}【解析】选B.x-2x+2≤0,则(x-2)(x+2)≤0,且x+2≠0,解得-2<x≤2,则集合A={x|-2<x≤2},B={x|x(x-3)<0}={x|0<x<3},则A∪B={x6.(5分)已知集合A={x|x2-x≥0},B={x|x<a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是()A.(0,+∞) B.[0,+∞)C.(1,+∞) D.[1,+∞)【解析】选D.由x2-x≥0,可得x≥1或x≤0,即A={x|x≥1或x≤0},由A∪B=R,B={x|x<a},则a≥1.二、多选题7.(5分)若表示集合M和N关系的Venn图如图所示,则M,N可能是()A.M={0,2,4,6},N={4}B.M={x|x2<1},N={x|x>-1}C.M={x|y=lgx},N={y|y=ex+5}D.M={(x,y)|x2=y2},N={(x,y)|y=x}【解析】选ACD.根据Venn图可知N⫋M,对于A,显然N⫋M,故A正确;对于B,M={x|-1<x<1},N={x|x>-1},则M⊆N,故B错误;对于C,M={x|x>0},N={y|y>5},则N⫋M,故C正确;对于D,M={(x,y)|y=x,或y=-x},N={(x,y)|y=x},则N⫋M,故D正确.8.(5分)已知集合M={x|x<3},N={x|x2-3x≥0},则()A.M∩N=⌀B.M∪N=RC.∁RM⊆N D.∁R(M∩N)=(0,+∞)【解析】选BCD.由x2-3x≥0可得x≤0或x≥3,即N={x|x≤0或x≥3}.对于A项,M∩N={x|x<3}∩{x|x≤0或x≥3}={x|x≤0}≠⌀,故A项错误;对于B项,M∪N={x|x<3}∪{x|x≤0或x≥3}=R,故B项正确;对于C项,因为∁RM={x|x≥3}⊆{x|x≤0或x≥3},故∁RM⊆N,故C项正确;对于D项,∁R(M∩N)=(∁RM)∪(∁RN)={x|x≥3}∪{x|0<x<3}={x|x>0},故D项正确.三、填空题9.(5分)(2025·衡阳模拟)已知集合A={a,a+1},集合B={x∈N|x2-x-2≤0},若A⊆B,则a=________.

【解析】由x2-x-2≤0,得(x+1)(x-2)≤0,解得-1≤x≤2,因为x∈N,所以x=0,1,2,所以B={0,1,2},因为A={a,a+1},且A⊆B,所以a=0或a=1.答案:0或110.(5分)若集合A={x|log3(x-1)<1},B={x|1≤x<2},则A∩(∁RB)=___________.

【解析】因为log3(x-1)<1,所以0<x-1<3,1<x<4,所以A={x|1<x<4}.又∁RB={x|x<1或x≥2},故A∩(∁RB)={x|2≤x<4}.答案:{x|2≤x<4}【能力提升练】11.(5分)(2025·深圳模拟)定义两集合M,N的差集:M-N={x|x∈M且x∉N},已知集合A={2,3,5},B={3,5,8},则A-(A-B)的子集个数是()A.2 B.4 C.8 D.16【解析】选B.因为A={2,3,5},B={3,5,8},所以A-B={2},所以A-(A-B)={3,5},有两个元素,则A-(A-B)的子集个数是22=4.12.(5分)(2024·厦门模拟)已知集合A={x∈N|x2-4x-5≤0},B={1,3,5,7},则图中阴影部分所表示的集合为()A.{0,2,4} B.{2,4}C.{0,4} D.{2,4,5}【解析】选A.由x2-4x-5≤0,即(x+1)(x-5)≤0,解得-1≤x≤5,所以A={x∈N|x2-4x-5≤0}={x∈N|-1≤x≤5}={0,1,2,3,4,5},因为B={1,3,5,7},所以A∩B={1,3,5},所以题图中阴影部分所表示的集合为∁A(A∩B)={0,2,4}.13.(5分)(多选题)某校“五一田径运动会”上,共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目,其中有8人参加“100米比赛”,有7人参加“400米比赛”,有5人参加“1500米比赛”,“100米和400米”都参加的有4人,“100米和1500米”都参加的有3人,“400米和1500米”都参加的有3人,则下列说法正确的是()A.三项比赛都参加的有2人B.只参加100米比赛的有3人C.只参加400米比赛的有3人D.只参加1500米比赛的有1人【解析】选ABD.根据题意,设A={x|x是参加100米的同学},B={x|x是参加400米的同学},C={x|x是参加1500米的同学},则card(A)=8,card(B)=7,card(C)=5,且card(A∩B)=4,card(A∩C)=3,card(B∩C)=3,则card(A∩B∩C)=12-[(8+7+5)-(4+3+3)]=2,所以三项比赛都参加的有2人,只参加100米比赛的有3人,只参加400米比赛的有2人,只参加1500米比赛的有1人.14.(5分)已知集合A={x|1x-1≥1},B={x||lnx-1|≥m(m>0)},若A∩B=⌀,则m【解析】由题意,A={x|1x-1≥1}={x|1<x≤2},B={x||lnx-1|≥m(m>0)}={x|x≥em+1或0<x≤e1-m},因为A∩B=⌀,所以em+1>2,即m>ln2-1或0<e1-m≤1,即m≥1,又因为m>0,所以故m的取值范围为[1,+∞).答案:[1,+∞)【创新思维练】15.(5分)(多选题)对于R的两个非空子集A,B,定义运算A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},则()A.A×B=B×AB.A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)C.若A⊆C,则(A×B)⊆(C×B)D.A×A表示一个正方形区域【解析】选BC.由题意知,A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}表示以数集A中的数为横坐标,数集B中的数为纵坐标的点的集合,故A×B≠B×A,故A错误;因为A×(B∩C)={(x,y)|x∈A,y∈(B∩C)},又(A×B)∩(A×C)={(x,y)|x∈A,y∈B}∩{(x,y)|x∈A,y∈C},所以A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C),故B正确;若A⊆C,则(A×B)⊆(C×B),故C正确;若A={1},集合A×A只包含一个点,故D错误.16.(5分)(多选题)聚点是实数集的重要拓扑概念,其定义是:E⊆R,t∈R,若∀δ>0,存在异于t的x0∈E,使得0<|t-x0|<δ,则称t为集合E的“聚点”,集合E的所有元素与E的聚点组成的集合称为E的“闭包”,下列说法中正确的是()A.整数集没有聚点B.区间(3,4)的闭包是[3,4]C.{x|x=n+2n+1,n∈N*D.有理数集Q的闭包是R【解析】选ABD.对于A,根据定义,∀δ>0,t∈R,若存在x0∈Z,使得|t-x0|<δ,则t-δ<x0<t+δ,当0<t-δ<x0<t+δ<1时,这样的x0不存在,所以不存在符合不等式且异于t的x0,故整数集无聚点,故A正确;对于B,若∀δ>0,∀t∈[3,4],因为max{t-δ,3}<min{t+δ,4},所以存在异于t的x0,使得3≤max{t-δ,3}<x0<min{t+δ,4}≤4,故0<|t-x0|<δ,故t为集合E的“聚点”,